文档内容
2020年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．
北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000
纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（ ）
A．1×10﹣8秒 B．1×10﹣9秒 C．10×10﹣9秒 D．0.1×10﹣9秒
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a6
C． ﹣ ＝ D．2a3+3a2＝5a5
5．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm） 24 24.5 25 25.5 26 26.5
销售数量（双） 2 7 18 10 8 3
第1页（共33页）则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩
余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图
能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y ＝ （x＞0）上任意一点，连接AO，过点O
1
作AO的垂线与双曲线y ＝ （x＜0）交于点B，连接AB，已知 ＝2，则 ＝（ ）
2
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式 的值不存在，则x＝ ．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试
据此估计这批电子元件中大约有 件次品．
12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，
第2页（共33页）94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的
方差S新 2＝ ．
13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
日期x（日） 1 2 3 4
成绩y（个） 40 43 46 49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心， 为位似比作位似变换，得到
△A OB ，已知A（2，3），则点A 的坐标是 ．
1 1 1
15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60 ，则圆锥主视图的面积为
． π
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于 BD的长
为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN
＝ ．
三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，
共82分）
第3页（共33页）17．（6分）计算：（ ）﹣1﹣2cos45°+|1﹣ |﹣（ +1）0．
18．（6分）解方程： ＝ +1．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．
连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等
平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习
效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般； D．效果不理想），并根据调查结果绘
制了如图两幅不完整的统计图：
（1）此次调查中，共抽查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠ 的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好α，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从
学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？
第4页（共33页）（要求画树状图或列表求概率）
21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首
飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝
4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处
的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1
米/秒，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）．
22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为
3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物
资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安
排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
23．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径．直线l与 O相切于点A，在l上取一
点D使得DA＝DC，线段DC⊙，AB的延⊙长线交于点E． ⊙
第5页（共33页）（1）求证：直线DC是 O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB⊙＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
π
24．（10分）为了探索函数y＝x+ （x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描
出相应的点，如图1所示：
（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点（x ，y ），（x ，y ）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
1 1 2 2
若0＜x ＜x ≤1，则y y ；若1＜x ＜x ，则y y ；
1 2 1 2 1 2 1 2
若x •x ＝1，则y y （填“＞”，“＝”或“＜”）．
1 2 1 2
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已
知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，
水池总造价为y千元．
请写出y与x的函数关系式；
①
第6页（共33页）若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？
②
25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以
DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为
（0°＜ ＜90°）． α
（1）如α图2，在旋转过程中，
判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
①当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
②（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
求证：AG⊥CP；
①在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说
②明理由．
26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于
点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S ，
1
①
△ADC的面积为S ，求 的最大值；
2
第7页（共33页）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴
②l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共33页）2020年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．
北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000
纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（ ）
A．1×10﹣8秒 B．1×10﹣9秒 C．10×10﹣9秒 D．0.1×10﹣9秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的
数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1秒＝1000000000纳秒，
∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
第9页（共33页）C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转180度后与原图重合．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a6
C． ﹣ ＝ D．2a3+3a2＝5a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算分
别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣a）4＝a4，正确；
B、a2•a3＝a5，故此选项错误；
C、 ﹣ ＝2 ﹣ ＝ ，故此选项错误；
D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正
确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
第10页（共33页）【解答】解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；
C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；
D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm） 24 24.5 25 25.5 26 26.5
销售数量（双） 2 7 18 10 8 3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参
考意义的是众数．
【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众
数．
故选：C．
【点评】此题考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各
个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．
7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩
余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图
能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：由图可知，
第11页（共33页）图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y ＝ （x＞0）上任意一点，连接AO，过点O
1
作AO的垂线与双曲线y ＝ （x＜0）交于点B，连接AB，已知 ＝2，则 ＝（ ）
2
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD ＝
k
1
，S△BOE ＝﹣ k
2
，然后通过证得△BOE∽△OAD，即可证得结论．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A是双曲线y ＝ （x＞0）上的点，点B是双曲线y ＝ （x＜0）上的点，
1 2
∴S△AOD ＝ |k
1
|＝ k
1
，S△BOE ＝ |k
2
|＝﹣ k
2
，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOE＝∠OAD，
∠BEO＝∠OAD＝90°，
∴△BOE∽△OAD，
第12页（共33页）∴ ＝（ ）2，
∴ ＝22，
∴ ＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角
形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式 的值不存在，则x＝ ﹣ 1 ．
【分析】直接利用分式不存在的条件得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：若分式 的值不存在，
则x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式不存在的条件，正确把握分式有意义的条件：分式存在的条
件是分母不等于零是解题关键．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，然后解关于c的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，
第13页（共33页）解得c＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数
根；当△＜0时，方程无实数根．
11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试
据此估计这批电子元件中大约有 2 0 件次品．
【分析】根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大
约有多少件次品．
【解答】解：1000× ＝20（件），
即这批电子元件中大约有20件次品，
故答案为：20．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用样本中的数据，可以
计算出总体中次品数．
12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，
94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的
方差S新 2＝ 8. 0 ．
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况
不变，即方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都
加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
∴所得到的一组新数据的方差为S新 2＝8.0；
故答案为：8.0．
【点评】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反
之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
日期x（日） 1 2 3 4
成绩y（个） 40 43 46 49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 y ＝ 3 x +3 7
第14页（共33页）．
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．
【解答】解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得 ，
∴该函数表达式为y＝3x+37．
故答案为：y＝3x+37．
【点评】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的
关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心， 为位似比作位似变换，得到
△A OB ，已知A（2，3），则点A 的坐标是 （ ， 2 ） ．
1 1 1
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心， 为位似比作位似变换，得到△A OB ，A（2，
1 1
3），
∴点A 的坐标是：（ ×2， ×3），
1
即A （ ，2）．
1
故答案为：（ ，2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60 ，则圆锥主视图的面积为 4 8
． π
第15页（共33页）【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S＝ rl，
圆锥的母线长为10， π
侧面展开图的面积为60 ，
故60 ＝ ×10×r， π
解得：πr＝π6．
由勾股定理可得圆锥的高＝ ＝8，
∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，
∴它的面积＝ ＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于 BD的长
为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN
＝ 2 ．
【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图
过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN＝BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN
的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
【解答】解：如图，连接DN，
第16页（共33页）在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，
∴BD＝ ＝4 ，
根据作图过程可知：
MN是BD的垂直平分线，
∴DN＝BN，OB＝OD＝2 ，
∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得
DN2＝AN2+AD2，
∴DN2＝（8﹣DN）2+42，
解得DN＝5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得
ON＝ ＝ ，
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO，
∠DMO＝∠BNO，
∵OD＝OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON＝ ，
∴MN＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解
决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，
共82分）
第17页（共33页）17．（6分）计算：（ ）﹣1﹣2cos45°+|1﹣ |﹣（ +1）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化
简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2× + ﹣1﹣1
＝3﹣ + ﹣2
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）解方程： ＝ +1．
【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解： ＝ +1，
方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），
解得x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．
故x＝3是原方程的解．
【点评】考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．
连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
【分析】可以用两种方法证明：根据四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，
∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，
△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形；或者通过证明四条边相等可得四边
形BEDF是菱形．
第18页（共33页）【解答】证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝AB，
∴△DAE≌△BFC（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌
握菱形的判定与性质．
20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等
平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习
效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般； D．效果不理想），并根据调查结果绘
制了如图两幅不完整的统计图：
第19页（共33页）（1）此次调查中，共抽查了 20 0 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠ 的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好α，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从
学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？
（要求画树状图或列表求概率）
【分析】（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人
数；
（2）求出“C效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条
形统计图；
（3）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），
故答案为：200；
（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°× ＝72°，补全条形统计图如图所示：
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
第20页（共33页）共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1
人为B的有2种，
∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好） ＝ ＝ ．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法或树状图求随机事
件的概率，理解统计图中的数量关系，列出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首
飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝
4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处
的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1
米/秒，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）．
【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，
∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000 ，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000 ﹣460，进而解得x的值．
【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB＝3x，
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，
∴AO＝2000，
∴DO＝2000 ，
第21页（共33页）∵CD＝460，
∴OC＝OD﹣CD＝2000 ﹣460，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC，
∵OB＝OA+AB＝2000+3x，
∴2000+3x＝2000 ﹣460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯
角定义．
22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为
3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物
资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安
排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两
种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一
次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输
300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的
取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．
【解答】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，
依题意，得： ，
第22页（共33页）解得：25≤m≤27 ．
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型
卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组．
23．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径．直线l与 O相切于点A，在l上取一
点D使得DA＝DC，线段DC⊙，AB的延⊙长线交于点E． ⊙
（1）求证：直线DC是 O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB⊙＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
π
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到
∠DCO＝∠DAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到OC＝OB＝
BC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是 O的直径．直线l与 O相切于点A，
∴∠DAB⊙＝90°， ⊙
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，
即∠DCO＝∠DAO＝90°，
∴OC⊥BD，
第23页（共33页）∴直线DC是 O的切线；
（2）解：∵∠⊙CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝2，
∴CE＝ OC＝2 ，
∴图中阴影部分的面积＝S△OCE ﹣S扇形COB ＝ ﹣ ＝2 ﹣ ．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇
形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（10分）为了探索函数y＝x+ （x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描
出相应的点，如图1所示：
第24页（共33页）（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点（x ，y ），（x ，y ）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
1 1 2 2
若0＜x ＜x ≤1，则y ＞ y ；若1＜x ＜x ，则y ＜ y ；
1 2 1 2 1 2 1 2
若x •x ＝1，则y ＝ y （填“＞”，“＝”或“＜”）．
1 2 1 2
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已
知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，
水池总造价为y千元．
请写出y与x的函数关系式；
①若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？
②【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．
（2）利用图象法解决问题即可．
（3） 总造价＝对面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可．
转化①为一元二次不等式解决问题即可．
②【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）若0＜x ＜x ≤1，则y ＞y ；若1＜x ＜x ，则y ＜y ，
1 2 1 2 1 2 1 2
若x •x ＝1，则y ＝y ．
1 2 1 2
故答案为＞，＜，＝．
（3） 由题意，y＝1+（2x+ ）×0.5＝1+x+ （x＞0）．
①
由题意1+x+ ≤3.5，
②
∵x＞0，
可得2x2﹣5x+2≤0，
解得： ≤x≤2，
第25页（共33页）∴长x应控制在 ≤x≤2的范围内．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思
想思考问题，属于中考常考题型．
25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以
DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为
（0°＜ ＜90°）． α
（1）如α图2，在旋转过程中，
判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
①当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
②（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
求证：AG⊥CP；
①在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说
②明理由．
【分析】（1） 结论：△AGD≌△CED．根据SAS证明即可．
如图2中，过①点A作AT⊥GD于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性
②质求解即可．
（2） 如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可．
因为①∠CPA＝90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，
②∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）．
【解答】解：（1） 如图2中，结论：△AGD≌△CED．
①
第26页（共33页）理由：∵四边形EFGD是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠GDE＝∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△AGD≌△CED（SAS）．
如图2中，过点A作AT⊥GD于T．
②
∵△AGD≌△CED，CD＝CE，
∴AD＝AG＝4，
∵AT⊥GD，
∴TG＝TD＝1，
∴AT＝ ＝ ，
∵EF∥DG，
∴∠GHF＝∠AGT，
∵∠F＝∠ATG＝90°，
∴△GFH∽△ATG，
∴ ＝ ，
第27页（共33页）∴ ＝ ，
∴GH＝ ．
（2） 如图3中，设AD交PC于O．
①
∵△AGD≌△CED，
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，
∴∠AOP+∠DAG＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴CP⊥AG．
∵∠CPA＝90°，AC是定值，
②∴当∠ACP最小时，PC的值最大，
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），
∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，
∴EC＝ ＝ ＝2 ，
∵EF＝DE＝2，
第28页（共33页）∴CP＝CE+EF＝2+2 ，
∴PC的最大值为2+2 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角
三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值
问题，属于中考压轴题．
26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于
点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S ，
1
①
△ADC的面积为S ，求 的最大值；
2
如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴
②l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B
（3，0），C的坐标代即可求解；
（2） 设点D的坐标为（m，﹣m+3），利用待定系数法求得直线PA的表达式y＝ x+
①
，解方程 x+ ＝﹣x2+2x+3，求得点P的横坐标为 ，利用平等线分线段
第29页（共33页）成比例定理求得 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
设 ＝t，则t＝ ，整理得（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，根据△≥0，即可解决问题．
根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为（2，1），分当EF为边和EF为对角线时
②两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得： ，
解得，
∴抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得： ，
解得，
∴直线BC的表达式：y＝﹣x+3．
（2） ∵PA交直线BC于点，
∴设点①D的坐标为（m，﹣m+3），
设直线PA的表达式为y＝k x+b ，
1 1
∴ ，
解得，
∴直线PA的表达式，y＝ x+ ，
∴ x+ ＝﹣x2+2x+3，
整理得，（x﹣ ）（x+1）＝0
第30页（共33页）解得x＝ 或﹣1（不合题意，舍去），
∴点D的横坐标为m，点P的横坐标 ，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：
∴DM∥PN，OM＝m，ON＝ ，OA＝1，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
设 ＝t，则t＝
整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，
∵△≥0，
∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，
解得t≤
∴ 有最大值，最大值为 ．
存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，
②
第31页（共33页）∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3）
∵OC＝OB＝3，∠OCB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴EG＝GB＝EG＝1，
∴点F的坐标为（2，1），
当EF为边时，
∵EFPQ为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，2）；
当EF为对角线时，如图3中，
第32页（共33页）∵PEQF为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，﹣2）；
综上，点P的标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角
三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，
二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两
种情况讨论．
第33页（共33页）
