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第5讲 指数函数
复习要点 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能画
出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
指数函数及其性质
1．指数函数的概念
函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a
是底数．
[说明] 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
2．指数函数的图象和性质
底数 a>1 00时，恒有y>1； 当x>0时，恒有01
函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数
常/用/结/论
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1
之间的大小关系为c>d>1>a>b>0. 在第一象限内，指数函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠1) 的图象越高 ，
底数越大．
所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是R上的增函数．()
(2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)与x轴有且只有一个交点．()
(3)若am>an，则m>n.()(4)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(√)
2．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )
解析：因为当x<0时，2x<1；当x≥0时，2x≥1.所以f(x)＝1⊕2x＝故选A．
答案：A
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵y＝x是R上的减函数，∴>>0，即a>b>1，又c＝<0＝1，∴c1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对
称变换得到其图象．
对点练1(1)(2024·安徽合肥模拟)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图
所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
(2)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是( )
A．a>>，故选C．
(2)如图，由指数函数的图象可知，0b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
解析：方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得ab.
方法二：因为 ＝ 0.3 < 1 ，且 ＝ 0. 5 <1 ，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D．
方法二为商值比较法．
比较指数式大小的方法
比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．
(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．
(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂
函数，然后利用幂函数的性质比较大小．
(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．
对点练2已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．a
，即c1时，等式不成立．故a的值为.故答案为.
1．解指数方程的依据
af(x)＝ag(x)(a＞0，且a≠1) f(x)＝g(x)．
2．解指数不等式的思路方法
⇔对于形如ax＞ab(a＞0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的
取值不确定，则需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；而对于形如ax＞b的不等式，需先将
b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解.
对点练3(多选)(2024·重庆质检)若4x－4y<5－x－5－y，则下列关系式正确的是( )
A．xx－3
C．> D．y<3－x
解析：由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)y－3，故B错
误；当x<0，y<0时，，无意义，故C错误；因为y＝x在R上是减函数，且x0 ，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0,4]上单调递减，
内层函数单调递减．
在(4，＋∞)上单调递增． 令 x ≤4 ，得 x ≥ － 2 ，令x>4，得x<－2，
代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x的取值范围，这才是复合函数的单调递
增区间．
而函数t＝x在R上单调递减，所以函数y＝2x－8·x＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．
求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调
性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
对点练4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－t(t∈R)有3个不同的
零点a，b，c，则2a＋2b＋2c的取值范围是( )
A．[16,32] B．[16,34)
C．(18,32] D．(18,34)
(2)已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．
①求a的值；
②若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
(1)解析：函数g(x)＝f(x)－t(t∈R)有3个不同的零点，即y＝f(x)与y＝t有三个不同的交
点，画出函数f(x)的大致图象如图，令a
