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第5讲 指数函数
复习要点 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能画
出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
指数函数及其性质
1．指数函数的概念
函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a
是底数．
[说明] 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
2．指数函数的图象和性质
底数 a>1 0<a<1
图
象
函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
性
当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1；
质
当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数
常/用/结/论
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1
之间的大小关系为c>d>1>a>b>0. 在第一象限内，指数函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠1) 的图象越高 ，
底数越大．
所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是R上的增函数．()
(2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)与x轴有且只有一个交点．()
(3)若am>an，则m>n.()(4)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(√)
2．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )
解析：因为当x<0时，2x<1；当x≥0时，2x≥1.所以f(x)＝1⊕2x＝故选A．
答案：A
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵y＝x是R上的减函数，∴>>0，即a>b>1，又c＝<0＝1，∴c<b<a.
答案：c<b<a
2
－x ＋4ax
4．(2024·四川成都模拟)若函数f(x)＝ 在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范
围为________．
解析：因为函数y＝x是减函数，所以函数y＝－x2＋4ax在区间(1,2)上单调递减，则
2a≤1，解得a的取值范围为.
答案：
题型 与指数函数图象的有关问题
典例1(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(
)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
(2)若 直线 y ＝ 2 a 与函数 y ＝ | a x － 1|( a ＞ 0 ，且 a ≠1) 的图象有两个公共点 ，
数形结合来思考此问题. 准确画出y＝|ax－1|的图象和直线y＝2a的图象的交点情况．
则a的取值范围是________．
解析：(1)由单调性判断0<a<1， 观察 a x － b 可由 a x 向左平移得到 ，从而判断b<0.故选
D．
怎么观察的呢？由于y轴交点坐标的变化．
(2)①当0＜a＜1时，y＝|ax－1|和y＝2a的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有
两个交点，所以0＜2a＜1，所以0＜a＜；②当a＞1时，y＝|ax－1|和y＝2a的图象如图2，
而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围为.故答案为.指数函数图象的画法(判断)及应用
(1)画(判断)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对
称变换得到其图象．
对点练1(1)(2024·安徽合肥模拟)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图
所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
(2)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是( )
A．a<b B．若a<0，则b<a<0
C．|a|<|b| D．若0<a<log 2，则ab<ba
3
解析：(1)由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，
b，而>>>，故选C．
(2)如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确；D选
项中，0<a<log 2 0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确．
3
⇒
答案：(1)C (2)BCD
题型 指数函数性质的多维研讨
维度1 指数幂的大小比较
典例2(2024·福建质量检测)已知 a ＝ 0.3 0.6 ， b ＝ 0.3 0.5 ， c ＝ 0.4 0.5 ，则( )先观察后思考：a，b的特点，底数相同，指数不同；b，c的特点，指数相同，底数不
同．
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
解析：方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在
定义域内单调递增，得c>b.
方法二：因为 ＝ 0.3 < 1 ，且 ＝ 0. 5 <1 ，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D．
方法二为商值比较法．
比较指数式大小的方法
比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．
(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．
(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂
函数，然后利用幂函数的性质比较大小．
(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．
对点练2已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
解析：因为函数y＝x单调递减，故a＝1<＝b.因为<，所以>
，即c<b.又<1，则1<，所以a<c.综上，a<c<b.故选B．
答案：B
维度2 简单指数方程或不等式的求解
2
典例3(1)若x满足不等式 2 x ＋ 1 ≤ x － 2 ，则函数y＝2x的值域是( )
此条件是给出自变量x的范围. 不等式的解应是两边化为同底的幂，根据单调性求解
x.
A． B．
C． D．[2，＋∞)
(2)(2024·陕西西安五校联考)已知实数a≠1，函数f(x)＝若 f (1 － a ) ＝ f ( a － 1) ，则a的值为
________．
欲解方程，先写出解析式，欲写解析式，必讨论a和1的大小关系. 这也是有关分段函
数的常见考法，即分段讨论解析式．
2
解析：(1)将2x ＋1≤x－2化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2
－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是.故选B．
(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，等式不成立．故a的值为.故答案为.
1．解指数方程的依据
af(x)＝ag(x)(a＞0，且a≠1) f(x)＝g(x)．
2．解指数不等式的思路方法
⇔对于形如ax＞ab(a＞0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的
取值不确定，则需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；而对于形如ax＞b的不等式，需先将
b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解.
对点练3(多选)(2024·重庆质检)若4x－4y<5－x－5－y，则下列关系式正确的是( )
A．x<y B．y－3>x－3
C．> D．y<3－x
解析：由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)<f(y)．因为
g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x<y，故A正确；
因为G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x<y<0时，x－3>y－3，故B错
误；当x<0，y<0时，，无意义，故C错误；因为y＝x在R上是减函数，且x<y，所以y<x，
即y<3－x，故D正确．故选AD．
答案：AD
维度3 指数函数性质的综合应用
2
ax －4x＋3
典例4(1)已知函数f(x)＝ (a∈R)．若a＝－1，则函数f(x)的单调递增区间为
________； 若 f ( x ) 的值域是 (0 ，＋∞ ) ，则a＝________.
ax2－4x＋3的值域为R.
(2)求函数 y ＝ 2 x － 8· x ＋ 17 的单调递增区间．
内层是指数函数，外层是二次函数．
2
－x －4x＋3
(1)解析：当a＝－1时， f ( x ) ＝ ，令 g ( x ) ＝－ x 2 － 4 x ＋ 3 ，由于g(x)在
复合函数，先学会分解复合过程，本例外层函数单调递减，则只须求内层函数的单调
递减区间．
(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在
(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋
∞)． 令 h ( x ) ＝ ax 2 － 4 x ＋ 3 ， f ( x ) ＝ h ( x ) ，由指数函数的性质知，要使 f ( x ) ＝ h ( x ) 的值域为 (0 ，＋
∞ ) ，应使 h ( x ) ＝ ax 2 － 4 x ＋ 3 的值域为 R ，因此只能a＝0
由复合函数的值域，思考出内层函数的值域．
(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a
的值为0.故答案为[－2，＋∞) 0.
(2)解：设 t ＝ x >0 ，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0,4]上单调递减，
内层函数单调递减．
在(4，＋∞)上单调递增． 令 x ≤4 ，得 x ≥ － 2 ，令x>4，得x<－2，
代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x的取值范围，这才是复合函数的单调递
增区间．
而函数t＝x在R上单调递减，所以函数y＝2x－8·x＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．
求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调
性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
对点练4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－t(t∈R)有3个不同的
零点a，b，c，则2a＋2b＋2c的取值范围是( )
A．[16,32] B．[16,34)
C．(18,32] D．(18,34)
(2)已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．
①求a的值；
②若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
(1)解析：函数g(x)＝f(x)－t(t∈R)有3个不同的零点，即y＝f(x)与y＝t有三个不同的交
点，画出函数f(x)的大致图象如图，令a<b<c，则1－2a＝2b－1，故2a＋2b＝2，结合图象可
得，4<c<5，故16<2c<32，所以18<2a＋2b＋2c<34.故选D．
答案：D
(2)解：①f(x)＝×2x＋，
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以×＋2x＝－，
所以＝0，
即＋1＝0，解得a＝－1.
②由①知，f(x)＝－2x，x∈[1,2]，
所以－22x≥m，
所以m≥＋2x，x∈[1,2]，
令t＝2x，t∈[2,4]，
由于y＝t＋在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋＝.
