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第3讲 函数的奇偶性、周期性
复习要点 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用函数图象理
解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的
周期性．
一 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
偶函数 关于 y 轴 对称
f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
奇函数 关于原点对称
f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
二 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期．
常/用/结/论
1．如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义， 则一定有 f (0) ＝ 0 ；如果函数f(x)是偶函
数，那么f(x)＝f(|x|)．
奇函数在x＝0的独有气质！另外，周期为T的奇函数，必有f＝0的性质．
2．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性．
1．判断下列结论是否正确．
(1)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.()
(2)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(√)
(3)函数f(x)＝＋是非奇非偶函数．(√)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．(√)
2．已知 f(x)是 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝x＋ln(x＋1)，则当 x<0 时，f(x)＝
( )
A．－x－ln(1－x) B．x－ln(1－x)
C．－x＋ln(1－x) D．x＋ln(1－x)
解析：当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝－x＋ln(1－x)．故选C．
答案：C
3．(2023·全国甲卷，理)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________________.解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则(－x－1)2－ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋sin，
得a＝2.
答案：2
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝0，当x∈(0,2]时，f(x)＝log x，则f(2
4
024)＝________.
解析：由f(x＋2)－f(x)＝0得f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(2
024)＝f(2)＝log 2＝.
4
答案：
题型 常见函数奇偶性的判断
典例1判断下列函数的奇偶性．
(1) f ( x ) ＝ x 3 －；快速判断：奇－奇＝奇．
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3) f ( x ) ＝
上、下两代数式做比较，相应偶函数的系数互为相反数，奇函数的系数相同，这样的
函数是奇函数．
(4)f(x)＝＋.
解：(1)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个 x都有
f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)由 得－ 1< x ≤1 ，
从定义域着眼，定义域不对称．
因为f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)方法一(定义法)：当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1
＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－
f(x)．所以f(x)为奇函数．
方法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数
f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
1 2
f(x) g(x) f(x)＋g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定
奇函数 偶函数 不能确定
奇函数 奇函数 奇函数
f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数
不能确定 奇函数 偶函数
不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数
注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
对点练1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝ln|1＋x|；
(4)f(x)＝xln(－x)．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶
函数．
(2)由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝＝.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．
(4)易知f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝(－x)·ln(＋x)
＝－x·ln
＝x·ln(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
题型 函数奇偶性的应用问题
典例2(1)(2024·山西吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)
＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．2－x－x－1
B．2－x＋x＋1
C．－2－x－x－1
D．－2－x＋x＋1
(2)(2023·新高考全国Ⅱ卷)若f(x)＝ ( x ＋ a )ln 为偶函数 ，则a＝( )
几个具备奇偶性的函数：y＝ax＋a－x为偶函数，y＝ax－a－x为奇函数，y＝log 和y＝
a
log(x＋)都为奇函数．
a
A．－1 B．0
C． D．1
解析：(1)当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以 f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝－2－x＋x＋1. 故
选D．
自变量的转变是我们要学习的．
(2)设g(x)＝ ln ，易知 g ( x ) 的定义域为 ∪ ，且 g(－x)＝
解不等式＞0.
ln＝ln＝－ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则y＝x＋a也
应为奇函数，所以a＝0.故选B．
已知函数奇偶性可以解决的几个问题
(1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等
式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区
间上的单调性．
对点练2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若f(m)＝2，则f(－m)
＝( )
A．4 B．5C．7 D．－2
(2)已知函数f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且2 019f(－x)＝，f(x)在[0,1]上单调
递减．若f(log m)<f(log (m＋2))成立，则实数m的取值范围为( )
\f(1,2 \f(1,4
A．(－1,2) B．
C． D．(0,2)
解析：(1)g(x)＝f(x)－3＝ax3＋bsin x为R上的奇函数，则g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)－
3＋f(－m)－3＝0，则f(－m)＝4.故选A．
(2)由2 019f(－x)＝，得2 019f(－x)·2 019f(x)＝1，即2 019f(－x)＋f(x)＝1，即f(x)＋f(－x)＝0，故
函数f(x)为奇函数，则f(x)在[－1,1]上单调递减．
所以 解得≤m<2.故选C．
\f(1,2\f(1,4\f(1,2\f(1,4
答案：(1)A (2)C
题型 函数周期性的探究
典例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ．
条件可转化为f(x)＝－f(x－2)．
当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当 x ∈ [2,4] 时，求 f ( x ) 的解析式；
由x∈[2,4]，得x－2∈[0,2]，则f(x)＝－f(x－2)＝－[2(x－2)－(x－2)2]＝x2－6x＋8.
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)．
(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴ f ( x ) ＝ f ( x － 4) ＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
这是应用周期性求解析式．
(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2
019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)＝
1.
函数周期性的三个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.
(2)若f(x＋a)＝(f(x)≠0)，则T＝2a.
(3)若f(x＋a)＝－(f(x)≠0)，则T＝2a.
对点练3(1)(2024·河北石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上，以3为周期的偶函数，若
f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为________．
(2)(2024·河北唐山一中模拟)若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
解析：(1)∵f(x)是定义在R上，以3为周期的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∴由f(1)<1，f(5)＝，
得f(5)＝<1，
即－1＝<0，
解得－1<a<4.
∴实数a的取值范围为(－1,4)．
(2)当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得f(x＋1)＝－f(x－2)，
即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)的周期为6，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
答案：(1)(－1,4) (2)－1
