文档内容
考点 06 指数函数（7 种题型 2 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022·全国·统考高考真题 指数函数的单调性 利用指数函数的单调性比较大小
2022·全国·统考高考真题 导数判断其单调性 利用指数函数的单调性比较大小
二、命题规律与备考策略
方法一：（指对数函数性质）
方法二：【最优解】（构造函数）
方法三：构造法
方法四：比较法
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
1．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
四、考点清单
一．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定： ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
∈
＝ ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
∈
常考题型：
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、 ＝a C、 ＝3
D、 ＝a （a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
学科网（北京）股份有限公司 1解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵ ，
∴B不正确；
∵ ，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计
算题．
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂： ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
∈
②负分数指数幂： ＝ ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
∈
．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r， ∈s Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞ ∈0，r Q）．
常考题型：
∈
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、
1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
学科网（北京）股份有限公司 2故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
R，值域是（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集
R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝ ，x＝ 在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．
三．指数函数的图象与性质
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象
限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
学科网（北京）股份有限公司 3②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝ 的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
四．指数型复合函数的性质及应用
指数型复合函数性质及应用：
指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x）
复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理
U＝g（x） y＝au y＝ag（x）
增 增 增
减 减 增
增 减 减
减 增 减．
五．指数函数的单调性与特殊点
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论 a
的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，
一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值
就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数
自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减
小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”
若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的
增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外
层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
六．指数函数的实际应用
指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数
形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等
变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研
学科网（北京）股份有限公司 4究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
七．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象
限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝ 的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
五、题型方法
一．有理数指数幂及根式（共5小题）
1．（2022•临川区校级模拟）若实数a，b满足a6＜a5b，则下列选项中一定成立的有（
）
A．a＜b B．a3＜b3 C．ea﹣b＞1 D．
2．（2022•海淀区二模）已知x，y R，且x+y＞0，则（ ）
∈
学科网（北京）股份有限公司 5A． + ＞0 B．x3+y3＞0 C．lg（x+y）＞0 D．sin（x+y）＞0
3．（2022•天津模拟）已知2x＝24y＝3，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
（多选）4．（2023•汕头一模）已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2（x+y） B．xy＞16 C．x+y＜9 D．x2+y2＜32
（多选）5．（2022•汕头二模）设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是
（ ）
A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac
C．4b•9b＝4a•9c D．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域（共1小题）
6．（2021•浙江模拟）函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b
＝g（a）的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
三．指数函数的图象与性质（共4小题）
7．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•宿州模拟）已知3m＝4，a＝2m﹣3，b＝4m﹣5，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 6A．a＞0＞b B．b＞0＞a C．a＞b＞0 D．b＞a＞0
9．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，
则a＝ ．
10．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线
mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则 ﹣ 的最小值是 ．
四．指数型复合函数的性质及应用（共1小题）
11．（2021•眉山模拟）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向
世人展示了其重大考古新发现﹣﹣6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文
物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰
变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物
样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，
已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是 5730年，以此推算出该
文物大致年代是（ ）（参考数据： ≈﹣19034.7，
68 ≈﹣34881）
A．公元前1400年到公元前1300年
B．公元前1300年到公元前1200年
C．公元前1200年到公元前1100年
D．公元前1100年到公元前1000年
五．指数函数的单调性与特殊点（共7小题）
12．（2023•嘉兴二模）已知a＝1.11.2，b＝1.21.3，c＝1.31.1，则（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
13．（2023•广州二模）已知 ， ， ，则（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a
14．（2023•九江模拟）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．e ＞ e＞3e B． e＞3e＞e C．e ＞3e＞e3 D．3e＞e ＞e3
π π π π
15．（2023π •盐城一模）设a， πb R，4b＝6a﹣2a，5a＝6b﹣2b，则（ ）
A．1＜a＜b B．0＜b＜a C．b＜0＜a D．b＜a＜1
∈
16．（2023•建水县校级模拟）函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a＝1）的图象恒过的定点
是（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（1，1） D．（1，2）
17．（2023•大荔县一模）设a＝40.7， ，c＝0.80.7，则a，b，c的大小关系为（
）
学科网（北京）股份有限公司 7A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
18．（2023•海南一模）函数f（x）＝ax﹣4+log （x﹣3）﹣7（a＞0，a≠1）的图象必经过
a
定点 ．
六．指数函数的实际应用（共2小题）
19．（2023•沙坪坝区校级模拟）2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国
美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的
量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为 66个．已知1个超导量子比特
共有“|0＞，|1＞”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00＞，|01＞，|10＞，|11＞”4
种叠加态，3个超导量子比特共有“|000＞，|001＞，|010＞，|011＞，|100＞，|101＞，|
110＞，|111＞”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指
数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M
有（ ）个．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（2023•和平区校级一模）在核酸检测时，为了让标本中 DNA的数量达到核酸探针能
检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA
的数量X （单位： g/ L）与PCR扩增次数n满足 ，其中X 为DNA的
n 0
初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 g/ L，核酸探针能检测到的DNA
μ μ
数量最低值为10 g/ L，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：
μ μ
lg1.6≈0.20）
μ μ
A．5 B．10 C．15 D．20
七．指数函数综合题（共1小题）
21．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）若 x ≠x ，f（x ）＝f（x ），求证：x +x ＜0．
1 2 1 2 1 2
∃
六、易错分析
易错点1:幂函数中忽视定义域致错
1.已知幂函数f(x)＝x ，若f(a＋1)
