思维拓展04指对幂值的比较大小的常见七大类型（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 思维拓展 04 指对幂值的比较大小的常见七大类型 （精讲+精练） ①利用单调性 ②作差作商法 ③利用中间值 ④利用构造函数 ⑤数形结合法 ⑥估算法 ⑦同构法 ⑧放缩法 一、必备知识整合 一、常规思路 1. ①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性； ②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小； 注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。 2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助 “媒介数”进行大小关系的判定. 3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。 二、估值比较大小 根式： ， ， ， 分式： ， 指数式： ， ，对数式： ， ， ， 三角式： ， 三、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex (x∈R),x=eln⁡x (x>0)将要比较的三个数化为结构相 同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变 量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利 用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调 性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3.常见的构造函数有 （1）与 和 相关的常见同构模型 ① ，构造函数 或 ； ② ，构造函数 或 ； ③ ，构造函数 或 . （2）六大超越函数图像 表达式 图像 表达式 图像三、放缩法 常用的放缩不等式 （1） ； （2） （ ），当 时取等号；变式： ,当 时取等号； （3） （ ），当 时取等号；变式： ； （4） （ ），当 时取等号； （5） （ ），当 时取等号. 二、考点分类精讲 【典例1】（2024.福建宁德高三统考）设 ，则 的大小关系 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 以及 是 上的单调减函数， 故可得 ， ，即 ， ； 又因为 ， 而 是 上的单调增函数，则 ，即 . 故 .故选：D. 【典例2】（2023·河南·安阳高中高三模拟）设 ， ， ，则a，b、c的大小关 系为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】利用基本不等式可得 ， ，然后利用换底公式及作差法即得. 【详解】∵ ， ， ， 又 ， ，所以 ，即 ， ，即 ，∴ .故选：A. 【典例3】（2023·天津河东一模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， ， ，所以 .故选：C. 【典例4】（2023·江西九江高三专题检测）已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的 大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知 ，由 ，得 ， 设 ，则 ， 当 时， 单调递增，因 ， 当且仅当 时取等号，故 ， 又 ，所以 ，故 ， ∴ ，则 ，即有 ，故 .故选:C． 【典例5】（2024·广东广州一模）已知 均为大于0的实数，且 ，则 大小关系正 确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，将问题转化为函数 与直线 的交点的横坐标的关系，再 作出图像，数形结合求解即可. 解：因为 均为大于0的实数， 所以 ， 进而将问题转化为函数 与直线 的交点的横坐标的关系， 故作出函数图像，如图， 由图可知 故选：C 【典例6】（2023·安徽高三校联考模拟）若 ，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c 【答案】A 【解析】令 ，则 ，∴ 在 上单调递增， ，即 ， ∴ ， 又 ， ， ∵ ， ， ，故 ， ∴ ． 故选：A． 【典例7】（2023·云南大理高三模拟）若 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D．【答案】D 【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到 ，再利用指数函数单调性结合放缩法得到 即可 求解． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 【题型训练-刷真题】 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ， 对于选项AB：可得 ，即 ， 根据函数 是增函数，所以 ，故A正确，B错误； 对于选项C：例如 ，则 ， 可得 ，即 ，故C错误； 对于选项D：例如 ，则 ， 可得 ，即 ，故D错误， 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为 在 上递增，且 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 因为 在 上递增，且 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 故选：B 3．（2024·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ， 则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当 时 ，所以 ， 又因为 ， 则 ， ， ， ， ，则依次下去可知 ，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质 ，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 4．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，因为 ，而 ， 所以 ，即 由二次函数性质知 ， 因为 ，而 ， 即 ，所以 ， 综上， ， 又 为增函数，故 ，即 . 故选：A. 5．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由 在R上递增，则 ， 由 在 上递增，则 . 所以 . 故选：D 6．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系. 【详解】因为 ，故 . 故答案为：C. 7．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ） A． B． C． D．【答案】C 【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小. 【详解】方法一：构造法 设 ，因为 ， 当 时， ，当 时 ， 所以函数 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，故 ，即 ， 所以 ，所以 ，故 ，所以 ， 故 ， 设 ，则 , 令 ， ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 又 ， 所以当 时， ， 所以当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，即 ，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ，令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 8．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式 可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由 可得 ，而 ，所以 ， 即 ，所以 . 又 ，所以 ，即 ， 所以 .综上， . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由 ，可得 ． 根据 的形式构造函数 ，则 ， 令 ，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该 题的最优解． 【题型训练-刷模拟】 1 . 利用单调性 一、单选题 1．（2024·上海宝山·二模）已知 ，则（ ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解. 【详解】 ， 则 ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 2．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求导可知 在 上单调递增，再利用函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】函数 的定义域为 ， 由 得 ， 所以 在 上单调递增， 当且仅当 ，即 时等号成立， 因为 ，所以 ， 即 . 故选： . 3．（2024·云南·一模）已知 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 将 进行转化，再利用 在 上为增函数进行判断即可. 【详解】由 得： ， ， ， 因为 在 上为增函数， 所以 ，即 . 故选：B. 4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义域为 的函数 为偶函数，且 在区间 上单调递减， 则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数，把自变量为负数的等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较对数值的大小， 再利用函数在区间 上单调递减，就可以比较各选项. 【详解】因为 ，所以 . 因为 ， 所以 ，即 ， 又 ， 所以 ，又 在区间 上单调递减， 所以 ， 即 . 故选:A. 5．（2024·云南·模拟预测）已知函数 为 上的偶函数，且当 时， ，若 ， ，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.【详解】当 时， ，所以 在 上单调递增； 又有 为 上的偶函数，所以 在 上单调递减. 由于我们有 ， 即 ，故 . 而 ， ， ，故 . 故选：C. 6．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知偶函数 满足 ，且在区间 上是减函数，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周期性及偶函数的性质得到 ， ，再比较 、 、 的大小， 结合函数在 上的单调性即可判断. 【详解】因为 ，所以 是以 为周期的周期函数， 又 为偶函数，所以 ， ， 又 且 在 上单调递减， 所以 ， 即 . 故选：D 2 . 作差作商法 一、单选题 1．（2024·北京东城·一模）已知 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.【详解】当 时， ，故AD错误； 当 时， ，故B错误； 对于C，因为 ，所以 ，因为 ，所以 且 ， 则 ， 所以 ，故C正确. 故选：C. 2．（2023·广东·二模）若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项. 【详解】因为 ，所以 . ， 因为 ， 且 ，所以 ，所以 ，所以 .故 . 故选： A 3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较. 【详解】 所以 . 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断 范围，比较它们的大小；利用作商法比较 的大小，即可得答案. 【详解】因为函数 在R上单调递增，所以 ． 又 ，所以 ． 因为 ，故 在 上单调递减， 所以 ，所以 ， 所以实数 的大小关系为 ， 故选：B． 5．（22-23高一下·四川泸州·阶段练习）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数单调性以及作商法，可得答案. 【详解】由 ，则 ， ， 由 ，且 ， 则 ， 由 ，则 ，故 ， ， 由 ， ， ，则 ， 由 ， ， ，则 ， 综上可得 . 故选：A3 . 利用中间值 一、单选题 1．（2023·天津和平·三模）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性，结合特殊值比较大小即可. 【详解】因为 在定义域上单调递减，所以 ， 又 在定义域上单调递增，所以 ， 在定义域上单调递减，所以 ， 所以 . 故选：B 2．（2024·江西上饶·模拟预测）设 ，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小即得. 【详解】由 ，得 ， ， ，且 ，所以 . 故选：B 3．（2024·天津河西·三模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小. 【详解】由函数 是增函数，则 ，所以 ， 由函数 是增函数，则 ，所以 ， 由函数 是减函数，则 ，所以 ，由 ， ， 由函数 是增函数，则 ，即 ， 故选：B. 4．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断 ， ， 的范围，即可比较 ， ， 的大小． 【详解】因为 ， ， ， 所以 ． 故选：A． 5．（2024·河南·三模）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 分别化为 ，利用对数函数单调性比较可得. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 综上， . 故选：C 6．（2024·天津·二模）设 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性再结合两个中间量“0”和“ ”比较大小即可. 【详解】 ，， ， ， . 故选：C. 7．（2024·河南·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性可知 ，利用对数的运算法则得到 ，再由余弦函数的性质可知 ， 即可求得结果. 【详解】由指数函数 的性质可知 ， 由对数函数 的单调性可知， ． 又 ，所以 ，即 ． 故选：B． 8．（2024·山东临沂·二模）若实数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断 ， ，且 ，根据对数函数的性质可得 ，即可判断. 【详解】因为 ， 又 ，则 ，且 ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 故选：A 4 . 利用构造函数 一、单选题 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线放缩公式： 比较 ，再由三角函数 单调性，比较 .【详解】由 知 ，∵ ，∴ .知 . 故选：B. 2．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）已知 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察 的式子结构，构造函数 ，利用导数判断 的单调性，从而得到 ，再利 用对数函数的单调性判断出 ，从而得解. 【详解】因为 ， ，构造函数 ，则 ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以 ； 又 ，所以 ，即 . 综上， . 故选： . 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性，即可比较大小. 【详解】令 ，则 在 上单调递增函数， 由于 ， 则 ， , ， 所以 ， 故选：B 4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】构造函数 ，由 的单调性和最值可证明 ，再构造 ，由 的单调性和最值可证明 ，即可得出答案. 【详解】令 ，则 . 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 则 ，故 . 令 ，则 . 当 时， ， 单调递减， 则 ，即 . 故 . 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数 ，和 即可得出答案. 5．（2024·安徽·三模）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数 ，利用导数求取单调性可得 、 之间大小关系，构造函数 ，利用导数求取单调性可得 、 之间大小关系，即可得解. 【详解】由 ， 即 ， 令 ， 则 在 上恒成立， 故 在 上单调递增， 则有 ，即 ， 令 ，则 在 上恒成立， 故 在 上单调递减， 则有 ，即 ， 故 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数 、 ，以比较 、 与 、 之间大小关系. 6．（2024·安徽芜湖·三模）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数 ，利用导数证明 ，则 ，再构造函数 ，利用 导数求出其单调区间，即可比较 ，构造函数 ，利用导数求出其单调区间，即 可比较 ，即可得解. 【详解】令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 ，即 ， 所以 ， 而 ， 令 ， 则 ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递减， 所以 ， 即 ，所以 ， , 令 ， 则 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 所以函数 在 上单调递减， 所以 ， 即当 时， ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 ， 即 ，所以 ， 综上所述， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造 和 两个函 数，是解决本题的关键.5 . 数形结合法 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江温州·期末）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析三个数在图象中的几何意义，做出函数图象即可得出三者的大小关系. 【详解】由题意， ， ， 表示 时函数 的点 的纵坐标， 表示 时函数 的点 的纵坐标， 表示 时函数 的点 的纵坐标， 作出三个函数的图象如图所示， 由图可知， ， 故选：A. 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知 ，则以下四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当 时，推导出 ，再利用对数的单调性可得出结论. 【详解】当 时，如下图所示：设锐角 ，锐角 的终边交单位圆 于点 ， 设射线 交过点 且与单位圆相切的直线于点 ，过点 作 轴，垂足为点 ， 则 ， ， ， 因为 ，即 ，即 ， 因为 ，则 ， ，所以， ， ， 又因为 ，则 ，所以， ， 所以， ， 故选：D. 3．（2024·江西·模拟预测）若 ，则（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】令 ， ，构造函数，作出函数图象，即可比大小. 【详解】因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，可得 ， 令 ， ， 所以 ， 设 ， ， ， 作出它们的图象如图：由图可知 .故选项A正确. 故选：A. 6 . 估算法 1．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【解析】 ， ， ，选D 2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ， ，可知 ， 又由 ，从而 ，可得 ， 因为 ，所以 ； 因为 ，从而 ，即 ， 由对数函数单调性可知， ， 综上所述， ． 故选：B． 3．（2023·陕西榆林高三专题检测）若 ， ， ， ，则 ， ， 这三个 数的大小关系为（ ） A． B． C． D．【答案】C 【解析】因为 ， 所以取 ，则 ， ， ，所以 . 故选：C. 7 . 放缩法 1．已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解： ， ，选D 2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以， ，则 ， 因为 ， 所以， ，则 ，所以 因为 ，即 ，因此， ． 故选：C． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知m＝log π，n＝log ee，p＝ ，则m，n，p的大小关系是（其中e为 4π 4自然对数的底数）（ ） A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m 【答案】C 【解析】由题意得，m＝log π ， 4π ， ∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge， ∴ ， ∴ ，而p＝ ， ∴n＜m＜p． 故选：C． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ． 令 ，则 ， ∴ 在 上单调递增，∴ ，即 ，∴ ，∴ ． 故选：D． 5．（2023·广东·统考二模）已知 ， ， ，则（参考数据： ）（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为 ， ，考虑构造函数 ，则 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 因为 ，所以 ，即 ，所以 ， 所以 ，即 ，又 ，所以 ，故 ，故选：B.