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专题 04 圆中的重要模型之圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理
以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷
（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.相交弦模型...........................................................................................................................................2
模型2.双割线模型...........................................................................................................................................2
模型3.切割线模型...........................................................................................................................................8
模型4.弦切角模型.........................................................................................................................................11
模型5.托勒密定理模型.................................................................................................................................14
..................................................................................................................................................19模型1.相交弦模型
相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相
等。
条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论： 。
证明：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 。
例1．（2023·广西·九年级假期作业）如图：若弦 经过圆O的半径 的中点P，且 ，则
圆O的直径为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
例2．（23-24九年级上·山西忻州·期末）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家
里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ．
证明：如图1，连接 ．
∵ ， ．∴ ，（根据）
∴ @，∴ ，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是 的弦，P是AB上一点， ， ，
，求 的半径．
例3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点
（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证 ；(2)当 时，求
CE的长．模型2.双割线模型
割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
证 明 ： ∵ HGEF 是 圆 的 内 接 四 边 形 ， ∴ ， ∵ ， ∴
，∴ ，∴ ，∴
又
例1．（2023·广西九年级月考）如图， 、 是 的割线， ， ， ，则
．
例2．（2023·北京九年级月考）如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，
则⊙O的半径的长为（ ）A． B． C． D．7
例3．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦 、弦 ，交于圆外一点A，连接 ．
(1)证明： ；(2)若 ，求 ．
模型3.切割线模型
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED，
∵BC是⊙O的切线，∴ ，∵ ，∴ ，
∵BE是圆的直径，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 。
例1．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图， 与 切于点 ， 是 的割线，如果
，那么 的长为 .例2．（2023春·河南驻马店·校联考三模）复习巩固
切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切
点.如图1，直线l 为⊙O的切线
1
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l 为
2
⊙O的割线
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
阅读材料《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几
何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理
（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了
说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，
并写出证明过程
已知：如图2，A是⊙O外一点， ．
求证：
[提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE．
例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图， 是 的直径，点C、D在 上，且 平分 ，过点
D作 的垂线，与 的延长线相交于E，与 的延长线相交于点F，G为 的下半圆弧的中点，
交 于H，连接 (1)证明： 是 的切线；(2)若圆的半径 ，求 的长；(3)求证： ．
模型4.弦切角模型
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
条件：如图，点A、B、D在 O上，直线BC与 O相切于点B。结论：∠CBD= =∠BAD。
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED，
∵BC是⊙O的切线，∴ ，∵ ，∴ ，
∵BE是圆的直径，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴∠CBD= =∠BAD。
例1．（2023春·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在 O上，直线 与 O相切于点A．(1)试问： 与 有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)如果我们把形如 这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．
例2．（2023春·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关
的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知
道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】
在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角 的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切
角内．如图1， 与 相切于点 ， 为直径，当圆心 在 上时，容易得到 ，所以弦
切角 ，请帮助小高继续解决下面的问题．
(1)如图2， 是 的切线， 为切点， 为直径， 夹弧所对的圆周角为 ，求证：
(2)如图3， 是 的切线， 为切点， 夹弧所对的圆周角为 ．求证；
【解决问题】(3)如图4， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 的切线交
的延长线于点 ，直接写出 与 的数量关系：______模型5.托勒密定理模型
托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
条件：
如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：
证明：如图2，作 交BD于点E．∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；∴ ．∴ ．∴ ．
∴ ，∴ ．
例1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对
角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图， 中有圆内接四边形 ，已知 ， ， ，
，则 （ ）A． B． C． D．
例2．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一
个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．
下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形 是 的内接四边形
求证：
证明：以C顶点， 为一边作 交 于点E，使得
又∵ ∴
∴ ∴ ，
又 ，
∴ ∴ ∴ ，∴
∴
∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形 是矩形时，托勒密定理就是
我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若 ，试探究线段
之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．例3．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 .
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作 ，交 于点 .
∵ ，∴ ，
∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边 外接圆 ，点 为 上一点，且 ， ，求 的长.
1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，
他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘
积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．
如图，四边形 内接于半径为 的圆， ， ， ，则四边形 的周长
为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A
作小圆的割线 ，若 ，则图中圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京·九年级校考期中）如图，点 是 外一点， 为 的一条割线，且 ， 交
于点 ，若 ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·中考模拟）如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆的割线,若
PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于( )A．12 B．9 C．8 D．4
5．（2023·重庆·九年级假期作业）已知：如图 的割线 交 于点 ， ， ， ，
，则 的半径是（）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
6．（23-24九年级·绵阳市·假期作业）如图， 是 的切线，A为切点， 是过点O的割线．若
， ，则 的直径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·北京九年级月考）如图，割线 、 分别交 于 和 ，若 ， ，
，则 ．
8．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B
两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝ ．9．（2024·湖北·一模）已知一个圆的弦切角等于40°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数是
．
10．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，以 为直径的 中，点 为 上一点，连接 ， ，过
点 作 的切线交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ．若 ， ，则
的长为 ．
11．（2023·河南洛阳·统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出
圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊
数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧
所对的圆周角度数．
(1)如图1， 是 的切线．点C，D在 上．求证： ；
(2)如图2， 是 的切线．连接 交 于点D， 为 的直径．若 ， ， 的
半径为5，求 的长．12．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，
分别求证： ．
13．（2023·贵州遵义·模拟预测）筒车也称为“水车”，利用水力运转的原理，让竹筒取水，流水自转导
灌入田．如图1，点 是水车的一个竹筒（能盛水），如图2，水车工作时，竹筒的运动路径是以轴心 为
圆心的圆，水力驱动水车按逆时针方向转动，竹筒转动到点 时，水沿 的切线 方向倒入水渠 ，
延长 交 于点 ， ．
(1)如图2，若水面恰好在 处，且点 ， ， 在同一条直线上， ， 米．
①求证： ；②求竹筒在水下的最大深度为 米（结果保留根号）；
(2)如图3，若水面 下降至 ，点 ， ， 不在同一条直线上，求证： ．14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆
内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相
应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1， 的两弦 相交于点P．
求证： ．
证明：
如图1，连接 ．
∵ ， ．
∴ ，（根据）
∴ @，
∴ ，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是 的弦，P是 上一点， ， ，
，求 的半径．15．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知 是 的外接圆，AD是 的直径，
， ，延长AD到E，使得 ．
(1)求证： 与 相切；(2)求 的半径；(3)直接写出 的长为 ．
16．（2023·贵州安顺·模拟预测）若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的夹角称为直
线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性
质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．
(1)为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，
请补充完整（只证明劣交角即可）．
已知：如图1，直线 与 相交于点 ，过点 作 的切线 ，点 为 上任一点，连接
．求证： ______．
(2)如图2，直线 与 相交于 ， 为 的直径， 切 于点 ，交 的延长线于点 ，若
， ，求 的半径．17．（2023·山西太原·二模）阅读与应用 请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大
成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边
形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．
如图1，四边形ABCD内接于 ．求证： ．
证明：如图2，作 交BD于点E．
∵ ，∴ ．（依据）
∴ ．∴ ． ．…
∴ ．∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；
(3)如图3， 的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长．18．（23-24九年级下·北京通州·开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不
同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明． 为
上的点，直线 相交于点 ．
证明
情况一点P在⊙O内时，连接
（如图1）：
，
情况二点P在⊙O外时（如 情况三当点A和点B重合时
图2）： （如图3）
∴
∴ ，即
19．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）弗朗索瓦•韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出
“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交
点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：已知 是 的直径，点P是 延长线上的一点．①作线段 的垂直平分
线 交 于点Q；②以点Q为圆心， 长为半径作圆，交圆O于点E，F；③连接 和 ．(2)试说
明 是圆O切线的理由．20．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1： ；依据2： ；
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出定理名
称）.
（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的
长.
