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专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型
圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的
圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用
于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
....................................................................................................................................................1
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）......................................................................................................2
..................................................................................................................................................19
【知识储备】
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整
个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA
2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°
1）证明：如图，设折叠后的 所在的圆心是G，连接AC，CD.
由题意得（折叠）： ，即： ，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。
2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，
∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。
例1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在 中， 为直径，点 为圆上一点，将劣弧 沿弦
翻折交 于点 （不与 重合），连结 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意运用折叠的性质及圆内接四边形对角互补是解此题
的关键．先根据圆周角定理求得 的度数，从而利用直角三角形的性质求得 的度数；再由翻折的
性质可得，弧 所对的圆周角为 ，弧 所对的圆周角为 ，从而得到 ，
即可求出．
【详解】 是直径， ， ．
根据翻折的性质，弧 所对的圆周角为 ，弧 所对的圆周角为 ，
， ，故选B．
例2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图， 是 一条弦，将劣弧沿弦 翻折，连结 并延长
交翻折后的弧于点 ，连结 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答
本题的关键．延长 交 于点D，过点B作 于点H，连结 ，先根据“在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等”，得到 ，即 ，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到
，利用勾股定理求出 的长，进一步求出 和 的长，再根据等腰三角形三线合一性质，
得到 ，由此即得答案．
【详解】延长 交 于点D，过点B作 于点H，连结 ，和 是圆周角 所对的弧， ， ，
是直径， ， ，
， ，
， ， ，
， ．故选：C．
例3．（2023·河南新乡·二模）如图， 是 的直径， ， °，将 沿 翻折，
与直径交于点 ，则图中阴影部分面积为
【答案】
【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及折叠轴对称，掌握圆周角定理以及扇形面积的计算方
法是正确解答的前提．根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系可求出 、 ，再根据中位线定理求
出 ，由图形中面积之间的关系进行计算即可．
【详解】解：如图，连接 ， ,过点 作 于点 ，则 ，
∵ 是 的直径，∴ ，在 中， ， ，∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ 是 的中位线，∴ ，
= ，故答案为： ．
例4．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径 向上对折得到图②，
再沿弦 向下翻折得到图③，最后沿弦 向上翻折得到图④．若点 恰为弧 的中点，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠和圆的相关知识得出 ，再利用圆周角知识进而得到
，在等腰 中，由勾股定理得到 ，由垂径定理及中垂线判定与性质可得
，数形结合求值即可得到答案．
【详解】解：设圆的半径为 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ，如图所示：
由题中折叠性质可知 ，， ，
， ， ，
在等腰 中， ，则由勾股定理可得 ， ，
如图④所示： ， ．故选： ．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，垂径定理，勾
股定理，垂直平分线判定与性质，翻折变换（折叠问题），掌握圆的相关知识是解题的关键．
例5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将弧 沿弦 翻折过圆心 点，交弦 于 ，
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 、 、 、 ，求出 为等
边三角形，求出 和 的长，求出 ，再根据勾股定理求出 即可．
【详解】过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 、 、 、 ，
， ， ， ，
， ， 为等边三角形，
， ， ， ，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是
解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
例6．（2023·江苏·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧
上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2
【答案】
【分析】过点P作 于点T，过点O作 于点H，交 于点K，连接AO，AK，PO，解直
角三角形求出AB，求出PT的最大值，可得结论．
【详解】解：如图，过点P作 于点T，过点O作 于点H，交 于点K，连接AO，
AK，PO．
由题意得AB垂直平分线段OK，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴PT的最大值为3，∴ 的面积的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题关键是求出PT的最大
值．
例7．（2023·江西萍乡·模拟预测）如图（1） 是 的直径，且 ，点 是半圆 的中点，点
是 上一动点，将 沿直线 折叠交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)当点 与点 重合时，如图（2），求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，由折叠的性质可知
， ，根据圆周角定理可知 ， ，可得
，继而得到 ，即 ；（2）证明 是等边三角形，可知 所对圆心
角为 ，利用弧长公式可求 的长．
【详解】（1）证明：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，由折叠的性质可
知 ， ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ．
（2）解：由（1）知 ，又∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ 所对圆心角为 ，∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答
本
例8．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片．
(1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则 的大小
是______；在 上任取一点C（异于A，B），则 的大小是______；
(2)如图（2），将纸片沿一条弦 翻折，使其劣弧 恰好经过圆心O，作出直径 ，则图中阴影部分
的面积是______；
(3)如图（3）， 是 的直径，将劣弧 沿弦 翻折，交 于点D，再将劣弧 沿直径 翻折，
交 于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧 的中点，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) ； 或 ；(2) ；(3) ．
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，即可
求解；（2）作 交 于点E，交 于点D，连接 ， ，得出 是等边三角形，进而
根据阴影部分的面积即为 的面积，即可求解．（3）首先添加辅助线，利用圆周角定理证明线段
，设 ，则 ，构建方程求出 ，
再通过解直角三角形求出 ， 即可解决问题．
【详解】（1）解：根据折叠了2次，则 ，
如图（1）所示，当点C在优弧 上时， ，
当点C在 上时， ，故答案为： ； 或 ．（2）解：如图（2）所示，作 交 于点E，交 于点D，连接 ， ， ，
由折叠可知， ， ，
， ， ， ，
， 和 是等边三角形， ，
∴弓形 的面积等于弓形 的面积，∴扇形 的面积等于扇形 的面积，
∴阴影部分的面积即为 的面积；
，则 ， ， ，
∴阴影部分面积 ，故答案为： ；
（3）解：如图（3），连接 ，过点C作 于H，
， ，
， ，∵E是 的中点， ， ， ，
设 ，则 ， ，
是直径， ， ， ， ，
， ， ，则 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，∴弓形 ， 的面积相等，
∴阴影部分面积为 ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学
会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键．1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图， 、 为 的两条弦， ， ，将 折叠
后刚好过弦 的中点D，则 的半径为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】连接 ，作 于 ，连接 、 、 、 ，过点O作 于F，可由
推出 ，进而利用勾股定理求得 ， ，然后证明四边形 是矩形，可得
， ，再利用勾股定理构建方程求出 ，然后可求半径 ．
【详解】解：如图，连接 ，作 于 ，连接 、 、 、 ，
， ， ， ，在 中， ， ， ，
过点O作 于F，∵点D是 中点，∴ ，
∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ，
又∵ ， ，且 ，
∴ ，∴ ，解得： ，
∴ ，∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等
知识，解决问题的关键是作辅助线，求出 ， ．
2．（2023·河北唐山·统考二模）如图， 的直径 ， 是 上一点，将 沿直线 翻折，若
翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OC，BC，可证得 ， ， ，再过点O作
于点D，可求得OD、AD，最后根据 ，即可求得．
【详解】解：连接OC，BC， ， ， ，
， ， ，
，过点O作 于点D，， ， ，
．故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，作
出辅助线是解决本题的关键．
3．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径， 是弦，沿 对折劣弧 ，交
于点D，E、F分别是 和 的中点，令 为 所在圆的圆心，若 ， ，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， 交 于点 ，由垂径定理和对称的性质得出 ，进而
得到 ，证出四边形 是平行四边形，得出 ，求出 ，在
中，由勾股定理得出 ，再利用勾股定理求出 ，即可得出答案．
【详解】解：连接 ， 交 于点 ，如图所示：∵点E、F分别是 和 的中点，∴ ∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵折叠，∴ ，∴ ，在 中， ，
∴ ，∴ ；故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理及平行四边形的判定及性质， 掌握圆的有关性质，平行四边形的性质，
勾股定理的内容是解题的关键．
4．（2023·浙江宁波·九年级校考期末）如图， 是 的外接圆， ，把弧 沿弦 向
下折叠交 于点D，若点D为 中点，则 长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质可得 ，由折叠的性质和圆周角定理可得
可得 ，可证 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，∵ ，∴ ，∵点D为 中点，∴ ，
∵弧 沿弦 向下折叠交 于点D，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ （负值舍去），故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，
证明三角形相似是解题的关键．
5．（2023·广东广州·统考一模）如图， 为 的直径，点 为圆上一点， ，将劣弧 沿
弦 所在的直线翻折，交 于点 ，则 的度数等于( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根
据优弧 所对的圆周角为 ，得到 ，然后根据 ，计算求得
的度数．
【详解】解：如图，连接 ，是直径， ， ， ．
根据翻折的性质， 所对的圆周角为 ，优弧 所对的圆周角为 ，
， ，
，故选:B．
【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角，
构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解 .
6．（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图， 是 的直径，且 ， 是 上一点，将 沿直线
翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作 于E，交 于点D、 于点F，求得 ，因为 垂直平分 ，求得
，即而进行求解．
【详解】作 于E，交 于点D、 于点F，如图所示：由翻折可知DE=EO，∵ ，∴ ，∴ ，
∵在 中， ， ，∴ ，∴ ，
∵直径 ，∴弧AD=弧CD∴ ，∴ ，
由对称性可知阴影部分面积等于扇形COB的面积，∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆内阴影的面积，正确读懂题意是解题的关键．
7．（2023·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿BD翻
折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD
＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有 ， ， ，∴AC＝CD＝DE，
∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，
在Rt OCH中，CH＝ ，
△
在Rt ACH中，AC＝ ，
△
∴ ．故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数
解决问题．
8．（2023·湖北黄石·校考模拟预测）如图，在半圆 中，直径 ， 是半圆上一点，将弧 沿弦
折叠交 于 ，点 是弧 的中点．连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，OE的最小值为
EC-OC．
【详解】解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FCA=∠CAO，∴CF∥AB，∵ 是弧 的中点，∴FE⊥AB，∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，∴EC= ，∵OE≥EC-OC即OE≥ -2， 的最小值为 ，故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形
三边关系确定OE的取值范围．
9．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图1，已知 分别是圆形纸片的直径、弦，以弦 为折线
将弓形纸片 折叠至如图2所示的弓形纸片 的位置， 与直径 交于点D，若 ，则
（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理，折叠问题，关键是由圆周角定理得到 的度数 的度数 ．
由圆周角定理得到 的度数 ，求出 的度数 ，而 的度数 的度数
，即可求出 的度数 的度数 的度数 ．【详解】解：∵ 是圆的直径，∴ 的度数 ，
∵ 的度数 ，∴ 的度数 ，
∵ 的度数 的度数 ，∴ 的度数 的度数 的度数 ．故选：B．
10．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的 中， 为 的一条弦，将 所对的劣弧沿着
翻折后恰好经过圆心，连接 并反向延长交 于一点，则如图所示的阴影面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，求不规则图形面积；作O关于 的对称点D，连接 交 于E，连
接 ，则得四边形 是菱形，且 ，利用 即为阴影部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，作O关于 的对称点D，连接 交 于E，连接 ，
由折叠知， ， ，
， ，即 是等边三角形，且 ；
， ， ， ；
， 是等边三角形， ，即四边形 是菱形，
， ；
由于O是 所在圆的圆心，由对折知， 是 所在圆的圆心，
；故 ；故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，三角函数，求不规则图形的面
积等知识．利用折叠的性质是解题的关键．
11．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知 是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧
（虚线）沿弦 折叠后交弦 于点D，连接 ．若 ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为 ，则⊙O与⊙ 设等圆， 是公共的圆周角，所以可以证得
，设⊙O的半径为R，过O作 于G，可得 ， ，即 ，
根据勾股定理可得 ，即可求得．
【详解】设折叠后的 所在圆的圆心为 ，连接 ，
∴
连接 ，同理， ∴ ∵⊙O与⊙ 是等圆∴
设⊙O的半径为R 过O作 于G
∵ ， ∴ ，
∴ ∴ ∴ 故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相
等的，利用这些等量关系，是解决此类题的突破口．
12．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）图1为一圆形纸片， 、 、 为圆周上三点，其中
为直径，以 为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的 ，且 交 于点 ，如图2所示，若
为 ，则 的度数 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质得到： ，又 是圆的直径，即可求出 的度数．
【详解】解：由折叠性质可得： ， ， ，
为直径， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到 ．
13．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知半圆 的直径 ，沿弦 翻折 ，翻折后
的 与直径 相切于点D，且 ，则折痕 的长度是 ；【答案】
【分析】根据折叠的性质可得折叠后的圆与圆 半径一样，设折叠后的圆弧所对的圆心为 ，根据相交圆
的性质可以得到 与 互相垂直平分，由勾股定理就可以求出 和 的值，从而求得结果．
【详解】解：设折叠后的圆弧所对的圆心为 ，连接 ， ， ， 与 交于点M，如图所示：
，
∴ 与 互相垂直平分，∴ ， ，
∵ ，∴ ，以点 为圆心的圆半径也是2，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即折痕 的长为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的应用，勾股定理的运用，垂直平分线性质的运用，
根据相交圆的性质求解是解题的关键．
14．（2023·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的
运动轨迹为 ，P是半径OB上一动点，Q是 上的一动点，连接PQ．
（1）当∠POQ＝ 时，PQ有最大值，最大值为 ；
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求 的长；
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
（2）先判断出∠POQ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt B'OP中，OP2+
△
＝ ，解得OP＝ ，最后用面积的和差即可得出结论．
【详解】解：（1）∵P是半径OB上一动点，Q是 上的一动点，
∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，
此时，∠POQ＝90°，PQ＝ ， 故答案为90°，10 ；
（2）解：如图，连接OQ，∵点P是OB的中点，∴OP＝ OB＝ OQ．
∵QP⊥OB，∴∠OPQ＝90°在Rt OPQ中，cos∠QOP＝ ，
△
∴∠QOP＝60°，∴lBQ ；
（3）由折叠的性质可得， ，
在Rt B'OP中，OP2+ ＝ ,解得OP＝ ，
△
S ＝S AOB﹣2S AOP＝ .
阴影 扇形
△
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．
15．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1） 是 的直径，且 ，点 是半圆 的中点，
点 是 上一动点，将 沿直线 折叠交 于点 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)当点 与点 重合时，如图（2），求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，由折叠的性质可知
， ，根据圆周角定理可知 ， ，可得
，继而得到 ，即 ；（2）证明 是等边三角形，可知 所对圆心
角为 ，利用弧长公式可求 的长．
【详解】（1）证明：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，由折叠的性质可
知 ， ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）解：由（1）知 ，又∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ 所对圆心角为 ，∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答
本题的关键．
16．（2023·陕西安康·九年级统考期末）在 中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合， 的半径r为2，则AC的长为______；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证： ；(3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的
圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同
颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径
AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段
走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本
26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用．
【答案】(1) (2)见解析(3)铺设完AB走道所需地砖费用是914元
【分析】（1）作点D关于AC的对称点E，连接DE交AC于F，由对称可知：AC垂直平分DE，可得OF
＝1，进而可求得结果；（2）因为圆周角∠CAD＝∠BAC，故 ，进而命题得证；
（3）作点O关于AC的对称点O′，连接OO′，交AC于I，以O′为圆心，半径13作圆⊙O′，作
于F，连接O′A，先求出OO′，可证得 AOI∽△O′OF，从而可求得O′F，进一步求得结果．
【详解】（1）解：如图1，作点D关于△AC的对称点E，连接DE交AC于F，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，故答案是： ；（2）证明：∵ ，∴ ，∴ ；
（3）解：如图2，作点O关于AC的对称点 ，连接 ，交AC于I，则 与AC互相垂直平分，以
为圆心，半径13作圆 ，作 于F，连接 ，
在 中， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∴铺设完AB走道所需地砖费用为：39AD＋26BD＝39AD＋26（AB－AD）＝
，∴铺设完AB走道所需地砖费用是914元．
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦之间的关系、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，轴对
称性质等知识，解决问题的关键是作出对称图形，找出数量关系．
17．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作
及问题：如图1， 的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心 ，则
AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2， ⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦
AB折叠后经过 C的中点D，AB=10cm，求 的半径；（3）如图3， 的半径为4cm，劣弧AB沿
弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．【答案】（1） cm；（2） cm；（3） cm
【分析】（1）过点O 作OF⊥AB于F，得出OF＝ OF，再根据勾股定理，即可得出结论；
1 1 1 1
（2）同（1）的方法先判断出OC＝2r cm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
2
（3）先求出OO ，进而求出OE，进而利用勾股定理求出AH，即可得出结论．
3 3
【详解】（1）如图1，过点O 作OF⊥AB于F，并延长OF交虚线劣弧AB于E，
1 1 1
∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝OF＝ OE＝ ×4＝2（cm），
1 1
连接OA，在Rt OFA中，OA＝4，根据勾股定理得，AF＝ （cm），
1 1 1
△
∴AB＝2AF＝ （cm），故答案为： ；
（2）如图2，延长OC交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD，
2
∵D是OC的中点，∴CD＝OD，∴CG＝CD＝OD，设⊙O 的半径为3r cm，则OC＝2r（cm），
2 2 2 2 2
∵OC⊥弦AB，∴AC＝ AB＝5（cm），连接OA，
2 2
在Rt ACO 中，根据勾股定理得，（3r）2−（2r）2＝25，
2
△
∴r＝ （舍去负值），∴OA＝3r＝ （cm），即⊙O 的半径为 cm；
2 2（3）如图3，记实线劣弧AB所在的圆心为O，连接OE，OA，OA，OO ，则OA＝OA＝OE＝4（cm），
3 3 3
∵折叠后与直径CD相切，∴∠OEO ＝90°，
3
∵⊙O 的半径为4cm，∴OA＝OD＝4（cm），
3 3 3
∵DE＝2cm，∴OE＝OD−DE＝2（cm），
3 3
在Rt OEO 中，根据勾股定理得，OO ＝ （cm），
3 3
△
∵AB是⊙O和⊙O 的公共弦，∴OO ⊥AB，∴AB＝2AH，OH＝ OO ＝ （cm），
3 3 3 3
在Rt OHA中，根据勾股定理得，AH＝ （cm），∴AB＝2AH＝2 （cm）．
3
△
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，相交两圆的连心线垂直于勾股弦，构造出
直角三角形是解本题的关键．
18．（2022·四川宜宾·模拟预测）如图，将 沿弦 折叠，使折叠后的劣弧 恰好经过圆心O，连接
并延长交 于点C，点P是优弧 上的动点，连接 .
（1）如图，用尺规面出折叠后的劣弧 所在圆的圆心 ，并求出 的度数；
（2）如图，若 是 的切线， ，求线段 的长；
（3）如图，连接 ，过点B作 的重线，交 的延长线于点D，求证： .【答案】（1）图见解析， =60°；（2）AP=4 ；（3）见解析.
【分析】 分别作AO，AB的垂直平分线，其交点即为劣弧 所在圆的圆心 ，由作图的过程可知
AO，OB， ， ， 分别为 ， 的半径，可证△AO 与△BO 均为等边三角形，点
在 上，则可求出 ，根据圆周角定理可求出 的度数； 连接 ，证明 为 的
直径，则 ，在 中利用勾股定理可求出AP的长； 延长AP至M，使 ，连接
CM，证明 ∽ ，可证明 ，进一步可证明 ．
【详解】解： 如图1，分别作AO，AB的垂直平分线，其交点即为劣弧 所在圆的圆心 ，
连接A ，B ，OB， ，OB， ， ， 分别为 ， 的半径，
∴AO=BO= = = ，∴△AO 与△BO 均为等边三角形，点 在 上，
∴ ， ，∴∠AOB=∠AO +∠BO =120°， ；
如图2，连接 ， 是 的切线，∴AP⊥ ，∴ ， ∴ 为圆O的直径，，∴ ，在 中， ；
如图3，延长AP至M，使 ，连接CM， 为 的直径， ，
在 中， ， ，
， ， ，由 知， ，
， ，即 ，
， ∽ ， ， ，
， ， ．
【点睛】本题考查了尺规作图找圆心，圆有有关性质，解直角三角表，相似三角形的判定与性质等，解题
的关键是要有数感，能对 倍的线段进行转化，通过作辅助线构造特殊直角三角形．
