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专题06 圆中的重要模型之内切圆与外接圆模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与
外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接
圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.内切圆模型...........................................................................................................................................2
模型2.多边形的外接圆模型...........................................................................................................................9
..................................................................................................................................................19
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！模型1.内切圆模型
内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆。它亦是该
多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线
段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
图1 图2 图3
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= 。
证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，
∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∴∠BAO=∠CAO= ，∠BCO=∠ACO= ，∠ABO=∠CBO= ，
∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（ - ）=180°-
=180°- =90°+ ，
∴r=
即
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt 的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= ；
证明：①②证明同模型1）的证明，
∵⊙O为Rt 的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，
∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r= ；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论： 。
证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴ 。
例1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点 是 的内心，若 ，则
．
【答案】 /125度
【分析】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键；
先根据三角形的内心的定义得到 平分 ， 平分 ，根据角平线的定义得 ，
再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解： ， ，
点I是 的内心，， 平分 ， 平分 ，
， ，故答案为： ．例2．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长
相等，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，
∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【详解】解：如图，
∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∠1+∠3= （180°-∠A）= （180°-50°）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-65°=115°．故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，掌握三角形内心的性质是解答此题的关键．
例3．（24-25九年级上·绵阳市·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古
典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，
其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，
中， 的长分别为 ．则可以用含 的式子表示出 的内切圆直径 ，下列
表达式错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令 ，根据选项中关系式计算比较判断
即可．
【详解】解： 为直角三角形， 令 ．
选项A： ，选项B： ，选项C： ，选项D：
，只有D选项结果跟其他选项结果不一致，
表达式错误的是D选项，故选：D．
例4．（2023·湖北武汉·九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了
已知三角形三边a，b，c求面积的公式 ．若三角形的三边a，b，c分别为
7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把三角形的三边长代入面积公式，得出三角形的面积为 ，然后设这个三角形内切圆的半径为
，再根据三角形的内切圆的半径垂直于三角形的三边，结合三角形的面积公式，得出
，即 ，再把三角形三边长代入面积公式，计算即可得出答案．
【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，∴ ，如
图，
设这个三角形内切圆的半径为 ，则 ，即 ，
∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴ ，解得： ，∴这个三角形内切圆的半径为 ．故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内切圆、求代数式的值、二次根式的运算，解题关键在正确求出代数式的值．
例5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张 纸片中， ， ， ，
是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线DE剪下一块三角形 ，则 的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解直角三角形．设 的内切圆
切三边于点 ，连接 ，得四边形 是正方形，由切线长定理可知 ，根
据 是 的切线，可得 ， ，根据勾股定理可得 ，再求出内切圆的半径，进
而可得 的周长．
【详解】解：如图，设 的内切圆切三边于点 、 、 ，连接 、 、 ，∴四边形 是正方形，由切线长定理可知 ，
∵ 是 的切线，∴ ， ，
∵ ， ， ，∴ ，解得 ，∴ ，
∵ 是 的内切圆， 、 为切点，∴ ， ，
∵ ，∴四边形 是矩形，∵ ，∴四边形 是正方形，
设内切圆的半径为 ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，解得 ，∴ ，
∴ 的周长为： ．故选：B．
例6．（2023·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（ ，1）与x轴、y
轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O 的半径r＝ ﹣1；若⊙O 与⊙O、
1 1 2 1
l、y轴分别相切，⊙O 与⊙O、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O 的半径r ＝ ．
3 2 2014 2014
【答案】
【分析】连接OO 、AO 、BO，作O D⊥OB于D，O E⊥AB于E，O F⊥OA于F，将三角形ABO分
1 1 1 1 1 1
解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次
列出⊙O，⊙O…的半径大小，找出规律即可．
2 3
【详解】连接OO 、AO 、BO，作O D⊥OB于D，O E⊥AB于E，O F⊥OA于F，如图所示：
1 1 1 1 1 1则O D＝O E＝O F＝r，
1 1 1 1
∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2 ，0），则S ＝ ×OB×r ＝r，
OO1B 1 1
△
S ＝ ×AO×r ＝ r
AO1O 1 1
△
∵S ＝S +S +S ＝ ∴
AOB OO1B AO1O AO1B
△ △ △ △
同理得： …∴
依此类推可得：⊙O 的半径r ＝ 故答案为
2014 2014
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理、规律型，解此类题目时要根据题意列出等式，适当地
对图形进行分解，总结出规律是解题的关键．
例7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ，点 在 边上，过
的内心 作 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作 ， ，垂足分别为G，F，可得 ， ， ，设 ， ， ，再由 ，
即可求解．
【详解】解：如图，过点I作 ， ，垂足分别为G，F，
∵点I为 的内心，∴以 为半径的圆I是 的内切圆，
∴ ， ， ，设 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得： ，∴ ．故选：C．
模型2.多边形的外接圆模型
外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，
若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。
图1 图2 图3
1）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；② 。证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，
∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC
2）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：① ，PM平分 ；②PA=PB+PC；③ ；
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边 ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠B△AC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC
∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分 ；在PA上截取PD=PC，连结CD．
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在 ACD和 BCP中， ，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵△ PA=AD+D △ P，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。
BMP≌△AMC，∴ ，同理： 。
∴△
∴ ，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴ 。
3）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：① ； ；② 。
证明：连结OA、OC，设∠AOC= ，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC= ，
同理：∠ABC= ，∴ ；同理： ；
∵ ，∴ 。
例1．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质得出内心和外心都在底边的高AD上，根据勾股定理得出方程，即可求出
外接圆的半径，根据三角形的面积公式即可求出内切圆的半径．
【详解】解：如图，
∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，
∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC，
∴BD=CD= BC=8，AD= =6，∵在Rt OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
△
∴R2=（6-R）2+82，∴R= ；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC，
则IF=IE=ID=r，∵S ABC=S BIC+S AIC+S ABI，
△ △ △ △
∴由三角形的面积公式得： BC×AD= BC×r+ AC×r+ AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r= ，
即三角形ABC的外接圆半径R= ，内切圆半径r= ，故答案为： ， ．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆和内切圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
例2．（2024·山东济宁·二模）如图，四边形 接于 ，点I是 的内心， ，点E
在 的延长线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由点I是 的内心知 ，从而求得
，再进行角的等量代换，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
【详解】解：∵点I是 的内心，∴
∵ ，∴ ，
又四边形 内接于 ，∴ ，故选：D．
例3．（2022春·江苏·九年级期末） 中， ， ，点I是 的内心，点O是
的外心，则 ．
【答案】14.3
【分析】如图，过点A作 交于点D，由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上，连接OB、
OC，过点I作 交于点E，设 ， ，根据勾股定理求出 ，则
， ，由勾股定理求出R的值，证明 由相似三角形的性质得 ，求
出r的值，即可计算 ．
【详解】如图，过点A作 交于点D，
∵ ， ，∴ 是等腰三角形，∴ ，
∵点I是 的内心，点O是 的外心，∴点I、点O都在直线AD上，
连接OB、OC，过点I作 交于点E，设 ， ，
在 中， ，∴ ， ，在 中， ，解得： ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ， 解得： ，∴ ，
∴ ．故答案为：14.3．
【点睛】本题考查内切圆与外接圆，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握内切圆的圆心
为三角形三条角平分线的交点，外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键．
例4．（2024·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图， 的直径 的长为8，P是 上一动点，
的角平分线交 于点Q，点I为 的内心，连接 ，下列结论：①点Q是定点；② 的最大值为
8；③ 的长为定值；④ 的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序
号都填上）．
【答案】①②③
【分析】连接 ，由题意易得 ，然后可得①，根据圆中直径最大可判定②，由内心可知
，然后根据三角形外角的定义及圆周角定理可进行排除③，过点P作 于点D，进而
可得 ，最后可得出选项．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵ 为 的直径，∴ ，∵ 的角平分线交 于点Q，点I为 的内心，
∴ ，∴ ，且 是等腰直角三角形，
∴ ，即点Q是定点，故①正确；
由圆中最长的弦是直径可知 的最大值为8，故②正确；
∵ ，且 ，
∴ ，∴ ，即 的长为定值，故③正确；
过点P作 于点D，∴ ，
当 的值为最大，则 的值为最大，即 的值为最大，
∴当 是半径时，即为 ，∴ 的最大值为 ；故④错误；
综上所述：正确的有①②③；故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的内心、
圆周角定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
例5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图， 是 的外心， 是 的内心，连接 并延长交 和
于 ， ．(1)求证： ；(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2) ．【分析】（1）欲证明 ，只要证明 ；
（2）连接 ，由 ，可得 ，设 ， ，则 ，
，同法可证： ，推出 ，推出 ，推出 ，设 ，
，由 ，可得 ，推出 ，即 解得 ，由此
即可解决问题；
【详解】（1） 是 的内心，
平分 ， 平分 ， ， ，
， ，
， ， ；
（2）连接 ． ， ， ，
， ， ，
，设 ， ，则 ， ，
同法可证： ， ， ，
： ： ，设 ， ，
， ， ，
， ，
或 舍弃)， ， ， ， ， ．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等
边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．例6．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图， 是等边 的外接圆．
【问题原型】如图①，连结 ，延长 交弦 于点M，交 于点P，连结 、 ．求证：
；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下．
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，则 为等边三角形，
同理可得： 也为等边三角形，∴ ．
【方法应用】如图2，若P为 上任意一点，连结 ， ， ，（1）中的结论是否成立？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若 的半径为2，且P为 上一点，且 ，则四边形 的面积的是 ．
【答案】方法应用：见解析 拓展提升：
【分析】本题考查了圆的综合应用，三角形全等和勾股定理的应用及准确的计算是本题的解题关键．
方法应用：延长 到 ，使 证明 得出 为等边三角形， 即可解答；
拓展提升：如图③， 连接 ， 由②得 且四边形 的面积等于以 为边长的等边三
角形的面积.作 于 ， 连接 ， 作 的延长线于 ，求出 ，利用勾股定理求出CE和
，即可求出 再利用等边面积公式求出以 为边长的等边三角形的面积，即可解答此题．
【详解】方法应用：结论成立.
延长 到 ， 使 ， 如图②，∵ 为等边三角形，∴ ，
∵四边形 为圆内接四边形，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 为等边三角形，
∴ ，∴ ， 即 .
拓展提升：如图③， 连接 ， 由②得 且四边形 的面积等于以 为边长的等边三
角形的面积.作 于 ， ，连接 ， 作 的延长线于 ，
∵ 为等边三角形的中心点， ，且 ， ，
， ，
∵四边形 为圆内接四边形， ， ，且 ，
， ，
， ，
∴以 为边的等边三角形的面积为： ，
∴四边形 的面积为： ．
例7．（2024·浙江·九年级专题练习）已知 为三角形 的内心，连接 交三角形 的外接圆于点 ，
如图所示，连接 和 ．(1)求证： ．(2) ， ， ，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2) (3)
【分析】（1）连接 ，根据I为三角形ABC的内心，可得 ， ，进而可得
，进而证明 ，可得 ，即可得证；（2）过点 作 于 ，过点 作
于点 ，解 ，勾股定理求得 ，进而求得 ，过点 ，作 的垂线，垂足
分别为 ，根据等面积法求得 ，进而求得 ，根据 即可求解；（3）设 为三角形
ABC的外接圆的圆心，连接 ，由（2）的条件求得圆的半径为 ，根据
即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 为三角形 的内心， ， ， ， ，
， ， ，
， ， ；
（2）如图，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，， ， ，则 ，
， ，则 ，
，
， ， ， ，
， ，
过点 ，作 的垂线，垂足分别为 ，如图，
I为三角形ABC的内心， ，设 ，
，即 ，
解得 ， 中， ，
， ，
（3）如图，设 为三角形ABC的外接圆的圆心，连接 ，
， ， ， ，且 ，
， 是等边三角形， ， 圆的半径为 ，
．
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，垂径定理，勾股定理，求扇形面积，掌握三角形内心的性质是
解题的关键．1．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点 为 的内心，点 在 边上，且
⊥ ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 中，点 为 的内心，可求出 的度数，根据四边形 的内角和即可得出结论．
【详解】解：在 中， ，
点 为 的内心，
四边形 的内角和 ，且
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义及多边形的内角和，牢固掌握相关概念是解题的关键．
2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图， 中， ，点O为 的外心， ， ，是 的内切圆．则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心．熟练掌握三角形内心性质，三角形外心性质，切线长
定理，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．
过点P作 ， ， ，根据三角形的内心性质得到 ，根据切线长定理
得到 ， ， ，得到四边形 是正方形，根据勾股定理求出 ，得到
，求出 ，得到 ，得到 ，即得 ．
【详解】过点P作 ， ， ，
∵点P是内切圆的圆心，∴ ， ， ， ，∴四边形 是正方形，
∵ 中， ， ， ，∴ ，
设 ， ， ，
则 ， ，得 ，∴ ，∴ ，
∵点O为 的外心，∴ ，∴ ，
∴ ．故选：C．
3．（2023秋·绵阳市九年级期中）如图，在 中， ， 的内切圆 与分别相切于点D、E、F，若 的半径为2， ，则 的长（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】连接 ．则由题意可知四边形 是正方形，边长为2．设 ， ，
则 ，由 ，由此即可解决问题；
【详解】解：如图连接 ．则由题意可知四边形 是正方形，边长为2．
∵ 的内切圆 与 分别相切于点D、E、F，
∴可以假设 ， ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，
构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， 为中线，若 ， ，
设 与 的内切圆半径分别为 ， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设
的内切圆为 ， 与 分别相切于点 ，由 ， ，
得 ， ，连接 ，由 可得
，即得 ，同理得 ，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设 的内切圆为 ， 与 分别相切于点 ，
∵ ， ， ，∴ ，
，
∵ 为斜边 上的中线，∴ ，∴ ，
连接 ，则 ，
∵ ，且 ， ， ，
∴ ，解得 ，同理可得， ，
解得 ，∴ ，故选： ．
5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，不等边 内接于 ，I是其内心， ， ，
， 内切圆半径为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】延长 交 于点 ，连接 ， 交 于点 ，利用圆周角定理，以及内心是三角
形三条角平分线的交点，证明 是等腰三角形，过点 作 ，证明
，得到 ，利用切线长定理，求出 的长，过点 作 ，连接
，设 ，利用勾股定理，求出 的高，进而求出 的面积，再利用 的面积等于
的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可．
【详解】解：延长 交 于点 ，连接 ， 交 于点 ，
则： ，∵I是 内心，∴ ，
∴ ，∴ ，即： ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
过点 作 ，则： ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵I是 内心，∴ ，
∴ ，如图2：过点 作 ，连接 ，设 ，则： ，
则： ，即： ，解得： ，
∴ ；∴
设 的半径为 则： ∴ ，
即： ，解得： ；故选A．
【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心．熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线，
是解题的关键．同时考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
以及切线长定理．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求较高．
6．（2023·江苏·九年级专题练习）图， 是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O
于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由点I是
△ABC内心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，从而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，
∠CBD=∠BAD，进而得到BD=ID，再证得△MBC∽△ABD，可得 ，即可求解．
【详解】：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，
∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，
∵点I是△ABC内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，
∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，∴AB=AM=9，∴MC=AM+AC=22，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD，
∴∠IBD=∠BID，∴BD=ID，
∵∠D=∠C，∴△MBC∽△ABD，∴ ，
∴ ，∴ ，解得： ，
∴ ．故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出
适当辅助线是解题的关键．
7．（2024·广东广州·一模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若
的半径为 ， ，则 的值和 的大小分别为（ ）A．0， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接 ．利用切线长定理，可
得 ，从而得到 ，再由圆周角定理，可得
，即可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．故选：A
8．（2023·山东聊城·九年级校联考期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）
A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2
【答案】D
【分析】连接OD、OE，根据切线的性质和等边三角形的性质证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，
即可求出OD、OA的比．
【详解】如图，连接OD、OE，∵AB、AC切圆O于E、D，∴ ， ， 且OA平分∠BAC，
又∵ 为等边三角形， ， ， : :2．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，等边三角形的性质，切线的性质以及直角三角形的性质，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．（2023·江苏九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点
D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定
理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】在⊙O中，∵∠CBD=32°，∴∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的 内心，连接 并延长交 的外接圆于点D，
若 ，点E为弦 的中点，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B． C．4 D．【答案】C
【分析】由已知条件可得到 ，过点D作 于F，连接 ，可得四边形 为平
行四边形，可得 ，即可求出IE的长．
【详解】解：连接 ，如图，∵I为 的内心，∴ ， ∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，过点D作 于F，连接 ，∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∵点E为弦 的中点∴ 为 的中位线，
∴ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，故选C．
【点睛】本题是三角形外接圆和内切圆综合，考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰
三角形的性质与判定，内心等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
12．（2023春·江苏九年级课时练习）用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在 上任取一点
A，连接 并延长交 于点B；②以点B为圆心， 为半径作圆弧分别交 于C，D两点；③连接
， 并延长分别交 于点E，F；④顺次连接 ， ， ， ， ， ，得到六边形
．连接 ， ，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A． 的内心与外心都是点G B．C．点G是线段 的三等分点 D．
【答案】D
【分析】证明 是等边三角形， ， ，可判断A；证明 ，可判
断B；证明 ，可判断C；证明 ，可得结论．
【详解】解：在正六边形 中， ，
∵ ，∴ ， ， 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴四边形 ，四边形 都是菱形，∴ ， ，
∴ 的内心与外心都是点G，故A正确，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故B正确，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵ ， ，∴ ，故D错误，故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等
知识，解题的关键是证明四边形 ，四边形 都是菱形．
13．（2023·广东广州·校考二模）如图， 是 的弦，点 是 上一点，与点 关于 对称，直线
交 于点 ， 交 于点 ，直线 交 于点 ，且连接 给出下面四个结论：①
；② 平分 ；③ 平分 ；④点 为 的内心．其中，所有正确结论的序号是
．
【答案】①③④
【分析】连接 、 ，根据轴对称的性质得 垂直平分 ，可知 正确， 错误；再利用等腰三
角形的性质和圆周角定理可知 平分 ，同理， 平分 ，进而判断 正确．
【详解】解：连接 、 ，点 与 关于 对称， 垂直平分 ，故 正确， 错误；
， ， ，
， ， ，
平分 ，同理， 平分 ， 平分 ，
点 为 的内心，故 正确，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内心的性质等知识，熟
练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．（2023·贵州遵义·统考二模）已知 内接于 ，它的内心为点D，连接 交弦 于点E，交
于点F，已知 ， ， ，则线段 的长为 ．
【答案】 /
【分析】连接 ， ，通过证明得到 ，求得线段 ，利用三角形的内心是三角形的三个
内角平分线的交点，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得 的长，再利用三角形的外角的性
质和等腰三角形的判定与性质得到 ，则 ．
【详解】解：连接 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵点 为 的内心，∴ ， 分别为 ， 的平分线，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定
理及其推论，等腰三角形的判定与性质，充分利用相似三角形的判定与性质求得相应线段的长度是解题的
关键．
15．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点B的坐标为（4，0），以O点为圆心，以OB为半
径的圆交y轴于点A，点C为第一象限内圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最
小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，作 的外接圆，圆心为P，连接 证明
，求出 ， ，求出点B的坐标为 ，当 三点共线时，
取得最小值，
【详解】解：如图，连接 ，作 的外接圆，圆心为P，连接∵点I为 的内心，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴∠OIC＝∠OIB，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵点B的坐标为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
当 三点共线时， 取得最小值，
此时 ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了圆和三角形的综合，解题的关键是熟悉圆和三角形的相关知识．
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点M，
N分别是 的内心和外心，则 ．【答案】
【分析】连接 ，过点M作 于点D，作 于点E，作 于点F，根
据勾股定理求得 ，根据三角形的外心性质求得 ，由三角形的内心性质得 ，再根据
三角形的面积公式，由 的边长求得 ，进而证明四边形 为正方形，求得 ，再证明
得 ，进而求得 ，最后由勾股定理求得 ．
【详解】解：连接 ，过点M作 于点D，作 于点E，作 于点 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∵N为 的外心，∴ ，∵M为 的内心，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴四边形 为正方形，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的
判定与性质，勾股定理，关键是作辅助线，利用三角形的内心与外心性质求得 、 ．
17．（2023·北京·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若点O为△ABC的外心，则
∠AOC的度数是 ；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是 ．
【答案】 80°/80度 110°/110度
【分析】先根据三角形内角和计算出∠ABC=40°，若点O为 ABC的外心，利用圆周角定理得到
∠AOC=2∠ABC；若点P为 ABC的内心，利用角平分线的性质和三角形内角和得到
．
【详解】解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-60°=40°，若点O为 ABC的外心，如图1所示，则∠AOC=2∠ABC=80°；
∵点P为 ABC的内心，如图2所示， ，
∴ ．故答案为80°，110°．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三
角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心．
18．（2023·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则
∠AOB的度数为 ．
【答案】140°
【分析】分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角
和定理求出∠IAB+∠IBA＝55°，进而求出∠CAB+∠CBA＝110°，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB＝
70°，最后根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数．
【详解】解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝ ∠CAB，∠IBA＝ ∠CBA，
∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝180°-∠AIB＝55°，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°，
∴∠ACB＝180°-（∠CAB+∠CBA）＝70°，
∵点O是△ACB是外心，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，故答案为：140°．
【点睛】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是
根据题意做出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，进而利用三角形内心和外心的性质求解．
19．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在 中，R和r分别为外接圆
和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则 ．若 的外接圆的半径为 ，内
切圆的半径为 ，则 的外心与内心之间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知， ，
∴ 的外心与内心之间的距离 ，故答案为： ．
20．（2023浙江年级上期中）在 ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，则它的外接圆半径R =
cm，内切圆半径r = cm. △
【答案】 6.5， 2.
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据直角三角形外接圆半径=斜边的一半，即可得出结果．内切
圆半径则通过三角形的面积去切入即可.
【详解】解：(1)∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，∴AB= = =13(cm)，
∴ ABC的外接圆的半径= AB=6.5cm，故答案为6.5cm.
△(2)S =(AC+AB+BC)× ×r =C =30，则 ABC的内切圆的半径为2cm.故答案为：2.
ABC 内 ABC
△ △
△
【点睛】本题考查了内切圆的定义与三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟悉内切圆与外接圆的概念以
及运用.
21．（2023·江苏·九年级假期作业）如图 内接于 ， ， 是 的直径，点 是 延长
线上一点，且 ， ．
(1)求证： 是 的切线；(2)求 的直径；(3)当点B在 下方运动时，直接写出 内心的运动路
线长是 ．
【答案】(1)见解析(2)6(3)
【分析】（1）分别求出 ， ，即可得 ，从而证明 是 的切线；
（2）由（1）可知 ， ，则 ，即可求圆 的直径是6；
（3）设 的内切圆圆心为 ，连接 ， ， ，根据内心的性质可得 ，因此可知
点在以 为弦， 弦所对的圆周角为 的圆上，作 的外接圆 ，连接 、 ，再由
，可知 点在圆 上，连接 ，可得 是等边三角形，则 ，当 点与
点重合时， ，所以 内心的运动路线长 ．
【详解】（1）解：证明：连接 ， ，
是圆 的直径， ， ， ，， 是等边三角形， ，
， ， ，
， ， 点在圆上， 是 的切线；
（2）由（1）可知， ， ，
， ， ， ，
， 圆 的直径是6；
（3）设 的内切圆圆心为 ，连接 ， ， ，
， ，
是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
由（2）可知， ，
点在以 为弦， 弦所对的圆周角为 的圆上，
作 的外接圆 ，连接 、 ，
， ， ， 点在圆 上，
连接 ， ， ，
是等边三角形， ，
当 点与 点重合时， ，
内心的运动路线长 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，切线的判定及性质，三角形内切圆的性
质，四点共圆的判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆的弧长公式是解题的关键．
22．（2023春·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知在 中．（1）请用圆规和直尺作出 的内切圆⊙ ：（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙ 与 、 、 分别相切于点D、E、F，且 ， 的周长为12，求 的长．
【答案】（1）画图见解析；（2） ．
【分析】（1）利用尺规作图，先作出 、 的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心，圆心
到三角形一边的距离为半径，进而作出三角形内切圆．
（2）根据切线性质可知 、 是直角三角形，进而可证 ， ，同理可证
， ，根据等量代换可推出 ，计算得出 的长即可．
【详解】解：（1）如图，⊙ 即为所求作的图形．
（2）如图，连接PD、PF、PE、PA、、PB、PC，
∵⊙ 与 、 、 分别相切于点D、E、F，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
周长＝ ，
∵ ，即 ，∴ ．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质定理，全等三角形的判定与性质定理，掌握切线的性质定理是
解题关键．
23．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于 ．
(1)连接AC、BD，若 ，则 的形状为______；
(2)在（1）的条件下，试探究线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若 ， ，点P为AB上的一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PD，
求证： ．
【答案】(1)等边三角形(2)AC＝AB+AD；证明见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，以及等边三角形的判定，可以判断出△DBC是等边三角形；
（2）如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE，利用等边△DBC以及等边对等角的关系，可以证得
△DAB≌△DEC(SAS)，可以证明AC＝AB+AD；
（3）如图2，根据已知条件易证得四边形ABCD是正方形，在PD上取DE＝BP，也同样可证得
△DAE≌△BAP(SAS)，可证得△PAE为等腰直角三角形，所以PE＝ PA．
【详解】（1）解：∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，
∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形．
（2）结论：AC＝AB+AD．理由：如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE．∵∠DAE＝60°，AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠EDC，
∵DA＝DE，DB＝DC，∴△DAB≌△DEC(SAS)，
∴EC＝AB，∴DE＝AD∴AC＝AE+EC＝AD+AB．
（3）如图2中，在PD上取DE＝BP，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，
∵ ，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，
∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，∴△DAE≌△BAP(SAS)，
∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，∴∠PAE＝∠BAD＝90°，∴PE＝ PA，
∴PD﹣PB＝PD﹣DE＝PE＝ PA，∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形、正方形以及全等三角形的判定和性质，证明三条线段之间的数量关系，
一般采用“截”、“补”法构造全等三角形，利用等量代换证明；根据题意作出辅助线，构造出全等三角
形，利用等量代换求解是解答本题的关键．
24．（2023江苏盐城九年级期中）（1）如图 所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧 上任意
一点（不与 重合），连接 、 、 ，求证： ．（2）[初步探索]小明同学思考如下：将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得
、 、 三点在同一直线上，进而可以证明 为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明
的思路，请你完成证明．若圆的半径为 ，则 的最大值为______．
（3）类比迁移：如图 所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与 、
重合），连接 、 、 ，若圆的半径为 ，试求 周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图 所示，等腰 ，点A、 在圆 上， ，圆 的半径为 连接 ，
试求 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3） ；（4）
【分析】（1）由旋转得 ， ， ，则 ，
所以 、 、 三点在同一条直线上，再证明 是等边三角形，则 ；
（2）当 是 的直径时， ，此时 的值最大，所以 的最大值是 ；
（3）先由 证明 是 的直径，且圆心 在 上，则 ， ，再证明 、 、
三点在同一条直线上，则 ，当 是 的直径时， ，此时 的
值最大，则 ，即可求得 周长的最大值是 ；
（4）连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ，先求得 ，再连接 、 ，
证明 ≌ ，得 ，所以 ，则 ，所以 的最小值为 ．【详解】（1）证明：由旋转得 ， ， ， ，
， ，
、 、 三点在同一条直线上， ，
是等边三角形， ，
， 是等边三角形， ， ；
（2） 是 的弦，且 的半径为 ，
当 经过圆心 ，即 是 的直径时， ，此时 的值最大，
的最大值是 ，故答案为： ．
（3） 类比迁移 解：如图 ， ， ，
是 的直径，且圆心 在 上， ， ，
将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，则 ， ， ，
， ， 、 、 三点在同一条直线上，
， ，
当 经过圆心 ，即 是 的直径时， ，此时 的值最大，
， 的最大值是 ，
， 周长的最大值是 ．
（4） 拓展延伸 解：如图 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ，
， ， ，
连接 、 ， ， ，， ， ，
， ， ， 的最小值为 ．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、
勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．（2023山东九年级上期中）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．
∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断 ABC的形状： ；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
△
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）PA+PB=PC；证明见解析（3）当点P为 的中点时，四边形APBC面
积最大值为
【分析】（1）根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出AC=BC，同弧所对的圆周角
相等可得∠BAC=∠BPC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABC为等边三角
形．
（2）在PC上截取PD=PA，连接AD，得出 PAD为等边三角形，再根据已知条件得出 PAB≌△DAC，
得出PC=DC，PD+DC=PC，等量代换得出结△论． △
（3）当点P为 的中点时，四边形APBC的面积最大．理由，如图过点P作PE⊥AB，CF⊥AB垂足分
别为点E，点F，四边形APBC的面积为 APB与 ACB的和，底相同，当PE+CF最大时，四边形的面积
△ △
最大，因为直径是圆中最大的弦，即PE+CP=直径，即P为 的中点时，面积最大．
【详解】（1）等边三角形；
由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形；故答案为等边三角形；
（2）PA+PB=PC．证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD．
∵∠APC=60°．∴△PAD是等边三角形．∴PA=AD， ∠PAD=60°，
又∵∠BAC=60°，∴∠PAB=∠DAC．∵AB=AC．∴△PAB≌△DAC．∴PB=DC．
∵PD+DC=PC，∴PA+PB=PC．
（3）当点P为 的中点时，四边形APBC面积最大．
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S = AB·PE．S = AB·CF．∴S = AB（PE+CF）．
PAB ABC 四边形APBC
△ △
当点P为 的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．
∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大．
又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB= ．∴S = ×2× = ．
四边形APBC
26．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）张老师给爱好学习的的小军和小俊提出这样一个问题：如图
（1），在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，
E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD＋PE＝CF．
小军的证明思路是：如图（2），连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD
＋PE＝CF．
老师表扬了小军，并且告诉小军和小俊：在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形
面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系
转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这种方法称为“面积法”.
请你使用“面积法”解决下列问题：
（1）Rt ABC两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为 ；
（2）如△图（3），△ABC中AB=15，BC=14，AC=13，AD是BC边上的高.求AD长及△ABC的内切圆的半
径；（3）如图（4），在四边形ABCD中，⊙O 与⊙O 分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O 与△ABD切点
1 2 1
分别为E、F、G，设它们的半径分别为r 和r，若∠ADB=90°，AE=8，BC+CD=20，S =36，r=2，求r
1 2 DBC 2 1
△
的值．
【答案】（1）1；（2）AD=12，内切圆半径为4；（3）2.
【分析】（1）由勾股定理求出 ，设半径是r，根据面积法
，分别代入化简可得；
（2）由勾股定理得 ，代入求出 ，
设半径是r ，根据面积法 ，代入化简可得；
（3）由（2）可知，设半径是r ，根据面积法可得 ，
则利用已知可以求出 ，⊙O 是△ABD的内切圆，可知 ， ， ，设
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，利用勾股定理得 ，则可得出 ， ，代入 即可求出．
【详解】（1）如图示，Rt ABC中，AB=4，BC=3，⊙O是内切圆∴
△设⊙O的半径是r ，由面积法可得：
即： ∴ ∴ ∴
（2）如图示，设 ，则 ，并且AD是BC边上的高，
∴由勾股定理得：
即： ，解之得：
∴ ， ，
∴设⊙O的半径是r ，由面积法可得：
即：
∴ 解之得：（3）由（2）可知，设半径是r ，根据面积法可得： 即：
，
已知 ， ， ，∴ ，即 ，
∵⊙O 是△ABD的内切圆，∴ ， ， ，
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∴ ，
∴设 ，则 ， ， ，
∵ ，∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、勾股定理等知识．
