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专题 06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................1
模型1.倍长中线模型.......................................................................................................................................1
模型2.截长补短模型.....................................................................................................................................13
..................................................................................................................................................36模型1.倍长中线模型
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关
知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。
练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）
条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。
证明：延长FE，交DC的延长线于点G。
∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）
若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直
接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行
线型”可以看做是“中点型”的改良版。
例1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长 至E，使 ，∵ 是 边上的中线，∴ ，
在△BDE和△CDA中， ，∴△BDE≌△ CDA（依据1），∴ ，
在 中， （依据2），∴ ．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： ；依据2：
．【归纳总结】上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转
化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角
形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是 ；
A． ； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4， 中， ，D为 中点，求
证： ．
例2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1， 中，点 ， 在边 上，
，过 作 交 于点 ．判断 是否平分 ？请说明理由．
下面起两位同学的做法：
如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长 ，使 ，连接 ；
如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长 ，使 ，连接 ；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）如图4，在 中， 是 的中线， ．请判断 与
的数量关系，并说明理由．
【学以致用】（3）如图5，在 中，分别以 为直角边向内作等腰直角三角形，是 边上的中线，已知 ，求 的长．
变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，
此法称为：倍长中线．
(1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在 中， 是 边上的中线，点E在 的延长线
上，且 ．请证明： ．
(2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作： ，使 ， ， 边上的中线 ．
请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据．
①已知共顶点两边 ，要想作出 ，还需要知道 或 ．若知道 ，则可以根据
______作出符合条件的 ；若知道 ，则可以根据______作出符合条件的 ；但目前只知道中线
，所以不能直接作出 ．
②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的 ．此作图过程需先做出一条线段等于线段
m的两倍，然后依据______作出 ．
③在 上截取m得 的中点D，连接 并延长至点C，使得______，可得 ．
(3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图
痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰 ，满足腰 ，底边BC上的高
．变式2．（23-24八年级上·福建福州·期中）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在 中， ， ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长 到Q，使得 ；②再连接 ，把 集中在 中；
③利用三角形的三边关系可得 ，则AD的取值范围是 ．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）请你写出图1中 与 的位置关系并证明．
（3）思考：已知，如图2， 是 的中线， ， ， ．试探究线
段 与 的数量和位置关系并加以证明．
变式3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， 边上的中线 的取值范
围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）：(1)①延长 到Q，使得 ；②连接 ，把 集中在 中；
③利用三角形的三边关系可得______ ______，则 的取值范围是_____ _____．
感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中 与 的位置关系并证明；
(3)思考：已知，如图2， 是 的中线， ，试探究线段
与 的数量和位置关系，并加以证明．
模型2.截长补短模型
截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过
辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两
角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在 中， 平分 ， ，
探究 ， ， 之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在 上截取 ，使得 ，连接 ，可以得到全等三角形，进而解决此问题．方法2：如图3，延长 到点 ，使得 ，连接 ，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出 ， ， 之间的数量关系；
【迁移应用】（2）如图4，在 中，D是 上一点，， ， 于 ，探究 ， ，
之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】（3）如图5， 为等边三角形，点 为 延长线上一动点，连接 ．以 为边在
上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．若 ，求
证： ．
例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线
平分 ， ．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点 作 ，垂足为
点 ，请写出线段 、 、 之间的数量关系．
变式1．（2023·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；
（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、
DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
变式2．（23-24八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形 中， ，
， ，点 ， 分别是 ， 上的点，且 ．探究图中线段 ，
， 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长 到点 ，使 ，连接 ．先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论应是______．
【探索延伸】
如图②，若在四边形 中， ， ，点 ， 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【实际应用】
如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的A处，快艇乙在指挥中心南偏东
的 处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前
进，快艇乙沿北偏东 的方向以40海里/小时的速度前进， 小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别
到达 ， 处，且两艇之间的夹角为 ，试求此时两艇之间的距离．1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于
F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图， 中，点D在 上， ，点E
是 的中点，连接 ，则 ______________．
3．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知： 平分 ，D为 中点， ，求证： ．证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，
为 中点， （______）
在 和 中 ， （______） ______，
， （______） ，
平分 （______）
（______） ，∴ ．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，AD是 ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接
CE．①证明 ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设△AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，△在 ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，求证：BE＋△CF＞EF．5．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根
据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到 的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
6．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系
即可判断中线 的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作
一个 的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量
关系，并说明理由．
7．（2024·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在 中，
是 边上的中线，若延长 至 ，使 ，连接 ，可根据 证明 ，则
．
(1)【类比探究】如图②，在 中， ， ，点 是 的中点，求中线 的取值范围；
(2)【拓展应用】如图③，在四边形 中， ，点 是 的中点．若 是 的平分线．
试探究 ， ， 之间的等量关系，并证明你的结论．
8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的
两个三角形，从而解决问题．
如图，已知 ，点D是 的中点，延长 至点E，使 ，连接 ，易得到 ，
从而得到 ， ．已知 ，点D是 的中点．
(1)如图1，点E在 上，延长 交 于点F，且 ，求证： ；小明同学应用倍长中线的
方法，延长 至点M，使 ，连接 ，请你帮助他写出证明过程．
(2)如图2，点E，G在射线 上，连接 ，延长 交 于点F，若 ，G为 的中
点，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若点M是线段 的中点， ， 垂直平分线段 ，在 上有一动
点P，连接 ，当 的周长最小时，求 的度数．
9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图
1， ，
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】（2）如图2， 是 的中线， 是 的中线， ，下列四个选项中：直接写出
所有正确选项的序号是______．
① ；② ；③ ；④
【问题拓展】
（3）如图3， ， ， 与 互补，连接 E是 的中点，求证：
；
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点 ， ， ，则 的
面积是______．
10．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在 中， 为 的角平分线，
(1)如图1，当 时，在 上截取 ，连接 ，直接写出线段 的数量关系．
(2)如图2，当 ，线段 又有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，在（2）的条件下点 分别是 上的动点，若 ， ，求
的最小值．
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角 中， ，点D，E分别是边 上一动点，连接BE交直线 于点F．
(1)如图1，若 ，且 ，求 的度数；(2)如图2，若 ，且
，在平面内将线段 绕点C顺时针方向旋转60°得到线段 ，连接 ，点N是 的中点，
连接 ．在点D，E运动过程中，猜想线段 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
12．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道
是 的“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．
13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读理解：在数学兴趣小组活动中，小芳同学遇到了如下问题：
（1）如图1，已知平面内的3条射线 ，反向延长 ，得到图2，若 ，
判断 和 的数量关系．
经过小组同学们的观察，思考，交流，对上面的问题形成了如下想法：由于 和 互补，可以通
过探究 与 的关系，从而得到 和 的数量关系……根据以上分析过程，请写出
和 的数量关系：_________．
（2）将图1中的 反向延长，得到图3，若 ，请写出图中一对相等的角
____________；
（3）如图4，在 中， ，点D，点E分别在 边上，过点B作 的平行线交 的
延长线于点F．若 ，请说明 ；拓展应用：（4）如图5，在 中， ，点D为 边上一点，连接 ，
．若 ， ，求 的长．（用含a的代数式表示）
14．（23-24七年级上·山东烟台·期末）阅读材料：
“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段
上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线
段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．
依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边 中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，
以DE为边作等边 ，连接CF．
(1)如图，若点D在边BC上，试说明 ；（提示：在线段CD上截取 ，连接EG．）
(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．
15．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】
在数学活动课上，李老师给出如下的问题：
如图1，已知 ， ，过点B作射线l，点E在 的内部，点A和点E关于l对称，
交l于点D，连接 ．证明： ．
【探究合作】
同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：
小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到 ；
小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在 上截取
，再证明 ；小亮：要证明 ，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接 ，
以 为目标构造与之全等的三角形；
小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长 到点G，使
，连接 ，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．
【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；
（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明 ．
【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”
转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中
无处不在．
请同学们反思后解决下面的问题：
（3）如图， ， ，点D是 的角平分线上一动点， 的垂直平分线交射线 于
E，求 的最小值．
16．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复
习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC17．（23-24八年级上·北京·期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝ （30°＜ ＜
60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．
请根据上述分析过程，完成解答过程．
18．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】
在解决“如图1，在 中， 于D，若 ，求证： ”时，有两名同学给出
了不同的解答思路：①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在 上截取 ，连接 ，从而解决问题．
②如图3，小亮从结论出发，作 的垂直平分线交 于点E，连接 ，从而解决问题．
（1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）如图，线段 于E，点F，G分别为 上两点，且 ， ．求证：
．
19．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰 中， ， ， ，求证 ；在此问题的基础
上，老师补充：过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 交 于点 ，交 于点 ，
试探究线段 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现， 与 有某种数量
关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可
以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：
(1)求证 ；(2)猜想 与 的数量关系，并证明；
(3)探究线段 之间的数量关系，并证明．
20．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和
点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关
系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量
关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否
依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
