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专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模
型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值
相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，
这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆
的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以
与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
....................................................................................................................................................1
模型1.米勒最大张角（视角）模型...............................................................................................................1
模型2.定角定高模型（探照灯模型）...........................................................................................................8
..................................................................................................................................................17
模型1.米勒最大张角（视角）模型
已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？
对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形
ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。M
M
C
C
O N O N
A B A B
如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，
易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
M
C'
C D
O N
A B
在三角形AC’D中，
又
常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，
并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从
而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例1．（23-24·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角
度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出 ，根据三角形外角的性质得出
，得出 最大，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ 最大，∴小明将球传给丁球员射门较好，故选：D．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2022·广西·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB
方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是
米．
【答案】
【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形
的性质可求解．
【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，
∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝❑√3EF＝20❑√3m，∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝ m，故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明OB是⊙F的切线是解题
的关键．
例3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，A为y轴正半轴上一点． 已知点
， ， 是 的外接圆．（1）点P的横坐标为 ；（2）若 最大时，则
．
【答案】 3
【分析】本题考查坐标与图形，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，求正弦值，解题的关键是确
定点P,A的位置．（1）根据三角形的外接圆的圆心为三边中垂线的交点上，得到点 在 的中垂线上，
即可得出结果；（2）据 最大时， 与 轴相切，确定点 的位置，再根据正弦的定义进行计算
即可．
【详解】解：（1）∵三角形的外接圆的圆心为三边中垂线的交点上，∴点 在 的中垂线上，
∵ ， ，∴点 的横坐标为 ；故答案为：3；
（2）如图：当 与 轴相切于点 时， 的度数最大，理由如下：
若 过点 点，连接 ， 交与 轴相切且过点 的圆于点 ，连接 ，则：
，
又∵ ，∴ ，
∴当 与 轴相切于点 时， 的度数最大，则： 轴，∵ ， ，点 的横坐标为 ；∴ ，
连接 ，过点 作 ，则： ， ， ，
∴ ；故答案为： ．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1， 是 的弦，直线 与 相交于点
两点， 是直线 上异于点 ， 的两个点，则 、 、 的大小关系是______
（用“ ”连接）．（2）如图2， 是 的弦，直线 与 相切于点 ，点 是直线 上异于点
的任意一点，请在图2中画出图形，试判断 ， 的大小关系，并证明．
问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在 边上点 处安装监控装置，用
来监控 边上的 段，为了让监控效果最佳，必须要求 最大．已知 ， 米，
米，问在 上是否存在一点 ，使得 最大，若存在，请求出此时 的长和 的
度数，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3） ，
【分析】（1）先利用三角形外角的性质得出 再利用同弧所对的圆周角相等得出
即可得出结论；（2）先利用三角形外角的性质得出 ，再利用同弧所对的
圆周角相等得出， 即可得出结论；（3）如图3中, 当经过 的 与 相切于 时,的值最大，作 于 , 交 于 , 连接 .设 ，用两种方法求出
，构建方程即可解决问题.
【详解】（1）如图 ,延长 交 于 , 连接 ,
是 的外角， ，
， ，故答案为: ；
（2）画出图形如图 所示， 证明: 连接 ,
是 的外角， ，
， ；
（3）如图 中, 当经过 的 与 相切于 时, 的值最大，
作 于 , 交 于 ,连接 .设 ，
， ，
，
， ， ，
， ，整理得： ， ，
或 (舍弃), ，
， ， ，
， ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角的性质，解直角三角形，
构造出直角三角形是解本题的关键.
例5．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点( 在
的左侧)，与 轴交于点 ， ，点 的坐标为 ．
(1)求 、 、 的坐标及 的值；(2)直线 经过点 ，与抛物线交于 、 ，若 ，求直线
的解析式；(3)过点 作直线 ， 为直线 上的一动点．是否存在点 ，使 的值最
大？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 、 ， ， ；(2)直线 的解析式为： 或
；
(3)存在， ．
【分析】（1）令 ，即可求出点 、 坐标，再求出点 坐标代入抛物线解析式即可求出 ．
（2）如图1，作 于点 ， 于点 ，则 ，设直线 的解析式为 ，， ，列出方程组消去 ，根据根与系数关系以及 ，列出方程即可解决问
题．
（3）存在点 ，使 的值最大，当 时， 最小，此时 与 相切于点 （如图
3），求出 即可．
【详解】（1）解：令 ，得 ， 、 ；
， ，代入 得 ；
（2）解：如图1，作 于点 ， 于点 ，则 ，
， ，又 ， ，
设直线 的解析式为 ， ， ，
由 消去 得 ， ， ，
， ， ， ，
直线 的解析式为： 或 ；
（3）解：存在点 ，使 的值最大，
如图2，设 的外接圆为 ， 是弦心距，则 ，
在 中， 为定值，当 的半径最小时， 最大，
当 时， 最小，此时 与 相切于点 （如图3），由 ，得 ，解得 ， ．
【点睛】本题考查二次函数综合题、根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理、圆、锐角三角
函数等知识，解题的关键是学会利用根与系数的关系构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造圆解
决问题，属于中考压轴题．
模型2.定角定高模型（探照灯模型）
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有
最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。
条件：在△ABC中，∠BAC= （定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明：如图，作△ABC的外接圆 ，连接OA，OB，OC，
过点O作OH⊥BC于点E，设 的半径为r，则∠BOH=∠BAC= ；
∴BC= 2BH=2OB sin =2r sin ，OH=OB cos =r cos 。
∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立），
∴r+rcos ≥h，即
，
当取等号时r有最小值；
∴
，
当取等号时BC有最小值；∴
，
当取等号时△ABC有最小值；
∴
，
当取等号时△ABC有最小值。
例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是
4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB= ，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。
法2：如图，过点O作直线 直线l，则直线l与直线 之间的距离为4，作点B关于直线 的对称点 ，
连接 ， ， 交直线 于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证
明当A，O， 共线时， 的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．
【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小；
设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h，
当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2r sin∠AOB；
∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB= ，∴r≥ ，sin∠AOB= ，∴BC≥4。
法2：如图，过点O作直线 直线l，则直线l与直线 之间的距离为4，作点B关于直线 的对称点 ，
连接 ， ， 交直线 于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．在Rt 中，AB= ，∴ 的值最小时，AB的值最小，
△
∵OA+OB=OA+ ≥ ，∴当A，O， 共线时， 的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l'垂直平分线段 ，∴TB= ，∴∠ =∠ ，
∵∠TBA+∠ =90°，∠TAB+∠ =90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，
∵cos∠AOB=cos∠ATB= ，∴ ，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k，
∴AH= =4k，∴AB= ，
∵ ，∴ ，解得k= ，
∴AB的最小值 ，故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学
会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题。
例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在 中， ， 边上的高 为4，则 周长的最
小值为 ．
【答案】
【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作 的垂直平分线，交 于点N，交 于点
M，连接 ，则 周长 ，当点D与点M重合时， 周长 ，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r，
根据定角定高
（探照灯）模型知：r+rcos ≥h，即
，
当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为： ，BC的最小值为：
，
此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值： .
法2：如图所示，作 的垂直平分线，交 于点N，交 于点M，连接 ，
∵ 垂直平分 ，∴ ，
∴ 周长
∵在 中， ，∴ ，当点D与点M重合时， ，
∴ 周长 ，∴ 周长的最小值 ，
∵ ， ∴ 为等边三角形，∵ 为 边上的高， ，
∴ ，∴ 周长的最小值 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定
当 周长最小时的情况．
例3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，
则△ABC面积的最小值为 ．
【解析】作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
设⊙O的半径为r，则OE＝ OB＝ r，BE＝ OB＝ r，∴BC＝ r，
∵OA+OE≥AD，∴r+ r≥4，解得：r≥ ，∴BC≥ ，∴ ，
∴△ABC的面积的最小值为 ，故答案为： ．
例4.（23-24·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则
△AEF面积的最小值为________.
【解析】“大角含半角+有相等且共端点的边”识别出“半角模型”，通过截长补短构造△AEF的全等三
角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB为定高，通过定角定高模型结论求出最值。
延长CD至点G，使DG=BE，连结AG，易证△ABE≌△ADG(SAS) ∴BE=DG，∠BAE=∠DAG
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF则△AEF'≌△AGF(SAS)，作△AGF的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OF，过得O作OH⊥GF于H，
则∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，设△AGF的外接圆的半径为R，
则GF＝ R，OH＝ R，由题意得，OA+OH≥AD，即R+ R≥4，解得，R≥8﹣ ，
∴△AGF的面积≥ × ×（8﹣ ）×4＝16 ﹣16，∴△AFE的面积的最小值为16 -16．
例5．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点 是一只探照灯，距离
地面高度 ，照射角度 ，在地平线 上的照射范围是线段 ，此灯的光照区域 的
面积最小值是多少？
(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设 ， ，构造 的外接圆
，可得 ，即 的最小值为4，又 ，故得 的最小值为__________，通过计算可
得 的面积最小值为__________．
(2)当 时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程
续写完整：解：作 的外接圆 ，作 于H，设
(3)请你写出原题中的结论：光照区域 的面积最小值是__________________________．（用含
的式子表示）；(4)如图3，探照灯A到地平线l距离 米，到垂直于地面的墙壁n的距离 米，
探照灯的照射角度 ，且 ，光照区域为四边形 ，点M、N分别在射线 上，
设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值．
【答案】(1)8，16(2) (3) (4)
【分析】（1）当 和点 重合时， ，此时 最小为4，从而得出 ；
（2）作 的外接圆 ，作 于 ，设 ，依次表示出 ， ， ， ，根据列出 ，从而得出 的最小值，进一步得出结果；
（3）同（2）步骤相同：作 的外接圆 ，作 于 ，设圆的半径为 ，依次表示出 ，
， ，根据 列出方程，从而得出 的最小值，进一步得出结果；
（4）作 ， 交 于 ，可证得 ，从而得出 ，可证得
，从而得出由（3）结论知： 的最小值，进而变形得出 的最小值，可得
出 ，进一步得出结果．
【详解】（1）解： ， ，当 和点 重合时， ，此时 最小为4，
， 最小 ，故答案为：8，16；
（2）解：如图1，作 的外接圆 ，作 于 ，设 ， ，
， ， ，
， ， ，
当点 在 上时， ，此时 最小， ；
（3）解：如图2，作 的外接圆 ，作 于 ，设 ， ，
， ， ， ， ，
， ， ，当点 在 上时， ，此时 ， ，故答案为： ；
（4）解：如图3，作 ， 交 于 ，
， ， ，
， ， ， ，
，由（2）知： ， ，
， ，
， ， ，
同理 ， ，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键
是作辅助线，构造相似三角形．
例6．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则
S ABC＝ ．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4 ，请
△
求出四边形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB
＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，
根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花
卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按
设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据： ≈1.7）【答案】（1） ；（2）16；（3） ．
【分析】（1）过点A作 于点D，根据等腰三角形的性质求出 ，利用正弦求出
，再根据三角形面积公式即可求解； （2）因为 ， 四点共圆，所以当
BD是直径时，四边形ABCD的面积最大，此时 ，由勾股定理可得 ，因为四边形
，所以 ，当 时，四边形ABCD是正方形，由
不难求出 ，进而求得四边形ABCD的最大面积；（3） 因为甲种花卉贵，所以若费用最
少，则甲种花卉种植面积最小， 最小时，将 绕A顺时针旋转 到 ，可证得
三点共线，通过证明 ，得 ，过点A作 过点A作 于
K，求得 ，作 的外接圆 ，连接 ，过点 作 于点N，通
过 过得 面积的最小值为 ， 再通过求 求得乙种花卉的种植面积为
，最后根据甲乙两种花卉每平方米的价格求出至少种植两种花卉的费.
【详解】解：（1）如图①，过点 作 于点D，， 是等腰三角形， ，
， ，故答案为：
（2） ， 四点共圆，
当 为直径时， 最大，此时 ， ，
，由勾股定理， ，
时，四边形 是正方形， 最大， ，
， 的最大值= ，
（3）如图③
甲种花卉贵， 若费用最少，则甲种花卉种植面积最小， 最小时，将 绕A顺时针旋转
到 ，由旋转可得
三点共线，
， ，
过点A作 过点A作 于K， ，
作 的外接圆 ，连接 ，过点 作 于点N，
设在 中， ， ，
， ， ，
， 面积的最小值为
且
，
乙种花卉的种植面积为
种四花卉花费： 元，种乙花卉花费： 元，
至少花费 元．
【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，
正方形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，三角形和四边形的面积问题等知识，利用四点共圆及图
形的旋转变换是解决本题的关键．
1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB= ，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】法1：运用定角定高（探照灯）模型求解。
法2：如图，过点O作直线 直线l，则直线l与直线 之间的距离为4，作点B关于直线 的对称点 ，
连接 ， ， 交直线 于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证
明当A，O， 共线时， 的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．
【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝
根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。
∴r+rcos ≥h，即
，
当取等号时r有最小值；
∴ =4， 当取等号时AB有最小值；
法2：如图，过点O作直线 直线l，则直线l与直线 之间的距离为4，作点B关于直线 的对称点 ，
连接 ， ， 交直线 于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．在Rt 中，AB= ，∴ 的值最小时，AB的值最小，
△
∵OA+OB=OA+ ≥ ，∴当A，O， 共线时， 的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l'垂直平分线段 ，∴TB= ，∴∠ =∠ ，
∵∠TBA+∠ =90°，∠TAB+∠ =90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，
∵cos∠AOB=cos∠ATB= ，∴ ，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，
∴BH=TB-TH=2k，∴AH= =4k，
∴AB= ，
∵ ，∴ ，解得k= ，
∴AB的最小值 ，故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学
会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．
2．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知正方形 和直角三角形 ， ，
，连接 ， ．若 绕点A旋转，当 最大时， 的面积是（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】作 于H，由题意知 绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当
为此圆的切线时， 最大，即 ，利用勾股定理计算出 ，接着证明得到 ，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：作 于H，如图，
∵ ，
∴当 绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当 为此圆的切线时， 最大，即 ，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、圆的性质等知识；
熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点P为 上一动点，点A为圆内一点，且满足 ，当
最大时，则 的长是 ．【答案】
【分析】本题考查的是圆的基本性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本
题的关键，先过 作 于 ， ，可得 最大，则 最大，再进一步解
题可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ， ，
∴ ，∴ 最大，则 最大，∴此时 ，
∴ ，故答案为：
4．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系 中，P为x轴正半轴上一点．已知点
， ， 为 的外接圆．（1）点M的纵坐标为 ；（2）当 最大时，点P的坐
标为 ．【答案】 5
【分析】（1）根据点A、点B的坐标求出 的中点，根据外心的概念得到点M的纵坐标；
（2）连接 、 ，过点M作 轴于点N，根据垂径定理求出 ，进而求出 ，根据勾股定理
计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵点 ， ，
∴ 的中点坐标为 ，
∵ 为 的外接圆，
∴点M在 的垂直平分线上，
∴点M的纵坐标为5，
故答案为：5；
（2）连接 ， ，
根据解析（1）可知，点M一定在直线 上，
∵ 为 的外接圆，点P在x轴上，
∴ ，
∴ ，
如图，过点M作 于点N，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 最小时， 最大，即 最大， 最大，
∴当 ，即当 与x轴相切于点P时， 最大，
连接 、 ，
∵ 与x轴相切于点P，
∴ 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当 与
x轴相切于点P时， 最大是解题的关键．
5．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，M是AD的中点，点P是CD上一个
动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 ．【答案】4-2❑√2
【分析】过点A、M作⊙O与CD相切于点P',记AM的中点为N,PM与⊙O交于点Q,连接
AP',M P',OM,OP',AQ,则∠AP'M=∠AQM>∠APM，证明四边形OP'DN是矩形, 再求出圆的半
径，利用勾股定理和矩形的性质即可求解．
【详解】：过点A、M作⊙O与CD相切于点P',记AM的中点为N,PM与⊙O交于点Q,连接
AP',M P',OM,OP',AQ,
则∠AP'M=∠AQM>∠APM，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴∠ADP'=90°，AD=CD=AB=4，
1
∵M是AD的中点，∴AM=DM= AD=2，
2
∵过点A、M作⊙O与CD相切于点P'，∴∠OP'D=90°，
1
∵AM的中点为N,∴ON⊥AM，AN=NM= AM=1，
2
∴∠OND=90°，∴四边形OP'DN是矩形, ∴OM=OP'=DN=DM+MN=3,
在Rt△MON中,ON=❑√OM2-M N2=2❑√2，
∴DP'=ON=2❑√2,∴当点P运动到点P'时，∠APM最大，
此时CP=4-2❑√2，故答案为：4-2❑√2
【点睛】本题考查了最大张角问题，涉及到了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、正方形的性质、勾股
定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与BC相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．
6.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一
点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。
【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆 ，
连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2），
BG=CG= BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC，
∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°，
设OB=OC=OE=r，则OG= BG= r，BC=2BG= r，
∵OE+OG≥EF,，∴ r+ r≥2，解得r≥4 -4，即BC≥4 -4，
当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4 -4，
∴S =BC ×EF=(4 -4)×2=8 -8，四边形ABCD面积的最小值为8 -8。
ABCD最小 最小
7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ， 边上的高 ，则
周长的最小值为 ．【答案】
【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。
法2：延长 到E，使得 ，延长 到F，使得 ，连接 ，作 的外接圆 ，
过点O作 于点J，交 于点T．求出 的最小值，可得结论．
【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：
当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。
再结合 ， 边上的高 ，∴BC=12，AB=AC= 。
∴ 的周长的最小值为 ，故答案为： ．
法2：如图，延长 到E，使得 ，延长 到F，使得 ，连接 ，作 的外接
圆 ，连接 ，过点O作 于点J，交 于点T．
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ， ，∵ ，∴ 最小时， 的周长最小，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）某博物馆出土了一件文物，文物长度为 ，摆放在高度为
的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为 ，为了保证观看视角最大
（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏 应摆放在距 多远的位置？
【答案】
【分析】本题综合考查了与圆相切的位置关系和勾股定理，找出最大视角即与圆相切的位置关系是解决问
题的关键．
根据题意画出图形找到最大视角，运用与圆有关的位置相切和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，在 上截取 ，则 在过 ，且与地面平行的直线 上，
当过 ， ， 的 与 相切时， 最大，
过 作 ，则 ， ，， 栅栏 应摆放在距 的位置．
9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）问题发现（1）如图1， 是 的弦，直线 交 于点 ，
在直线 上找一点 ，使得 ，请画出满足条件的一个 ．
问题探究（2）如图2，已知射线 、 ， ，点 、 在射线 上，点 是射线 上一动
点， ， ，当 最大时，请求出此时 的长．
问题解决（3）如图3，某公园准备修建一室外儿童游乐园，地面道路 边的 段为儿童游乐园的入口，
安全管理部门准备在与地面道路 夹角为 的射线 方向上确定一点 ，并架设横杆 ，使得
且 ，在点 处安装一摄像头，对入口段 实施监控（点 、 、 、 、 、 、
在同一平面内）．已知 ， ， ．调研发现，当 最大时监控效果最好．
请问能否找到一个点 ，从而确定点 ，使得 达到最大？如果存在，请确定点 的位置，并求出此
时 的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）满足条件点 的位置是 ，此时
【分析】（1）设直线 交 于 ， ，根据三角形的外角的性质，当点 在点 的左侧或点 的右侧时，
满足条件．（2）如图2中，作线段AB的垂直平分线，垂足为 ，在线段AB的垂直平分线上取一点 ，
以 为圆心， 为作 ，当 与直线 相切于点 时， 的值最大．（3）存在．过点 作
交 于 ，作线段AB的垂直平分线垂足为 ，在线段AB的垂直平分线上取一点 ，以 为圆心，
为作 ，当 与直线 相切于点 时， 的值最大．延长 交 的延长线于 ，连接 ，
． ，则 ，利用勾股定理构建方程求出 ，再求出 即可．
【详解】解：（1）如图， ， ．（2）如图2中，作线段AB的垂直平分线，垂足为 ，在线段AB的垂直平分线上取一点 ，以 为圆心，
为作 ，当 与直线 相切于点 时， 的值最大． 是 的切线， ，
， ， 四边形 是矩形， ，
， ， ，
， 当 最大时， 的长为 ．
（3）存在．理由：过点 作 交 于 ，作线段AB的垂直平分线垂足为 ，在线段AB的垂直
平分线上取一点 ，以 为圆心， 为作 ，当 与直线 相切于点 时， 的值最大．延长
交 的延长线于 ，连接 ， ．
，
，
是 的切线，
，
，
， ，
，，
设 ， ，则 ，
由题意， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
整理得， ，
解得 或 （舍），
，
，
，
，此时 ．
∴满足条件点 的位置是 ，此时 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．（2023·广东深圳·一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，
A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧 上任一点C都是有触礁危险的临
界点， 就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角 与“危险角” 有
怎样的大小关系？
(1)数学小组用已学知识判断 与“危险角” 的大小关系，步骤如下：如图2， 与 相交于点
D，连接 ，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知 ，
是 的外角，
（填“ ”，“ ”或“ ”），
（填“ ”，“ ”或“ ”）；
(2)如图3，已知线段 与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作 使其与直线l相切，切点为
P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接 、 ，请你判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿 方向带球跑动，
球门 米， 米， 米， ， ．该球员在射门角度（ ）最
大时射门，球员在 上的何处射门？（求出此时 的长度．）
【答案】(1) ，
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）由 是 的外角，可得 ，即可求解；
（2）设 与 交于点G，连接 ，可证 ，从而可证 ，即可求证；
（3）当经过A，B的 与 相切时， 最大，过点O作 交 于点H，延长 交 于
点E，过点E作 交 于点F，四边形 是矩形， 可求 ，可证是等腰直角三角形，设 的半径 ， ，由此即可求解．
【详解】（1）解： 是 的外角，
，
，
故答案为： ， ．
（2）解： ，理由如下：
如图所示，设 与 交于点G，连接 ，
，
，
是 的外角，
，
．
（3）解：如图所示，由（2）可得，当经过A，B的 与 相切时， 最大，
过点O作 交 于点H，延长 交 于点E，过点E作 交 于点F，
，
，
， ，AD⊥DF，四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设 的半径 ，
，
，
在 中， ，
，
解得： 或 （舍去），
，
．
答： 的长度为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性
质，勾股定理，三角函数等掌握相关的性质，找出最大角的条件是解题的关键
11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，完成探索任务．
生活中的最大视角问题
素
如图1，直线 ， 相交于点 ，A，B为直线 上两点且在 同侧，C为直线 上一动点，当
材
1 的外接圆与动点C所在直线相切时， 最大．如图2，在 上任取异于点C的一点D，连接 ，交圆于点E，连接 ，可证得 ．
如图3，山顶有一座古塔 ，已知塔的高度 为 ，距离山脚 的观测点E处（即
）看古塔的视角最大．
素
材
2
如图4，若动点C在半径为r的 上，经过点A、点B的 （半径为R）与点C所在圆外切时，
最大．（参考：两圆外切时一个圆在另一个圆的外面，且有唯一公共点，此时两圆心与切点
三点共线）
素
材
3
如图5，摩天轮的半径为 （它的最低点距地面的高度忽略不计），与摩天轮在同一竖直平面内有
一长度为 的风景带 ，其中 为 ，点P从最低点A处按逆时针转动到最高点B处．
素
材
4
问题解决任
务 结合图2，说明 ．
一
任
务 结合图3，求山的高度．
二
任
务 结合图4，写出两个圆外切时，圆心之间的距离 _______．（用含R和r的代数式表示）
三
任
务 结合图5，若从点P处看风景带 视角最大，求 的度数．
四
【答案】任务一：见解析；任务二： ；任务三： ；任务四：
【分析】任务一，根据圆周角定理，建立圆周角与圆外角之间的联系，即得答案；
任务二，根据最大视角的定义可知， 的外接圆 与 相切于点E，过点O作 于点H，
连结 ， ，根据垂径定理求得 的半径长，即可进一步求得答案；
任务三，根据素材三给出的两圆外切的概念阐述，即得答案；
任务四，由题意得点P位于 的外接圆 与 外切的切点处，过点 作 于点C，
于点D，连结 ， ，则切点P在 上，设 的半径为r（m）， （m），根据
勾股定理列出方程组，解方程组得 ，可知点O与点D重合，即得答案．
【详解】解：任务一，由圆周角定理得 ，
是 的一个外角，
，
；
任务二，根据最大视角的定义可知， 的外接圆 与 相切于点E，
过点O作 于点H，连结 ， ，
则 ，
，
四边形 是矩形，
， （m），（m），
在 中， （m），
（m），
（m），
即山的高度为 ；
任务三，
与 外切，
，C， 三点共线，
两圆心之间的距离 ；
故答案为： ；
任务四，
若从点P处看风景带 视角最大，
由素材三可知，点P位于 的外接圆 与 外切的切点处，
过点 作 于点C， 于点D，连结 ， ，
则切点P在 上，
，
（m），
设 的半径为r（m）， （m），
则 （m），
， ， ，四边形 是矩形，
（m）， （m），
（m），
在 和 中， ，
解得 ，
，
即点O与点D重合，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，正确理解最
大视角的定义是解题的关键．
12.（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知正方形 ，以顶点 为直角顶点的等腰 在
正方形外部绕点 旋转．
(1)如图1，连接 与 ，在旋转过程中小语同学发现 ，请你帮小语同学完成证明过程；
(2)如图2，若 ， ，在旋转过程中，
①求点 与点 之间的最大距离；②当 最大时，连接 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析(2)① ；②24
【分析】（1）先根据 证明 ，得出 即可；（2）①连接 ， ，根据题意可知 ，当点 ，点 ，点 共线时， 可以取得最大值；
②以点 为圆心，以8为半径作圆，可知当 为圆的切线时， 最大，可求得 ，证明
，得出 ，代入数据求出 ，根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 为正方形，∴ ， ，
∵ 为等腰直角三角形，∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ；
（2）解：①如图所示，连接 ， ．
∵四边形 为正方形，∴ ， ，
∴ ，根据题意可知： ．
且当点 ，点 ，点 共线时， 可以取得最大值，
∴ ，即点 与点 之间的最大距离为 ．
②以点 为圆心，以8为半径作圆，可知当 为圆的切线时， 最大．
∵此时 与 相切，∴ ，∴ ，根据勾股定理得： ，
过点 作直线 的垂线，交直线 于点N，∵ ，∴
，∵ ，∴ ，∴ ，即 ,∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，
切线的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
13．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 （ ）
过点 、 ，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的表达式：(2)点 为第四象限内抛物线上一动点，
过点 作 轴交直线 于 ， 为直线 上一点，且 ，求 的最大值及此时点
的坐标：(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点 ，使 的度数最大，若存在，请写
出 点的坐标，并做详细解答．
【答案】(1) (2) 的最大值为 ， (3)
【分析】（1）用待定系数法，将点 ，点 坐标代入 ，即可求解，
（2）先证明 ，得出 ，设 ，求出 ，则
，然后证明 是等腰直角三角形，得出 ， ，则可求 ，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）利用圆周角定理判断出当 的外接圆与对称轴相切时， 的度数最大，然后设 ，
，利用 相等构造方程组求解即可．
【详解】（1）解：将点 ，点 代入 可得：
，解得： ，故抛物线的解析式为： ；
（2）解：当 时， ，∴C(0,-3)，∴ ，
∵ ， ∴ ， ，设直线 解析式为 ，
则 ，解得 ，∴直线 解析式为 ，
过点F作 于H，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，设 ，
∵ 轴，∴点E的纵坐标为 ，代入 ，得 ，解得 ，
∴ ，∴ ，∵ ， ，∴
，∵ 轴，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取最大值为 ，此时 ，∴ 的最大值为 ， ；
（3）解：∵ ，∴对称轴为 ，
作 的外接圆，记为 ，
∵点M在对称轴上运动，∴对称轴与 相交或相切，
设 与对称轴相切于M，在对称轴上另取一点 ，连接 ， ， ， ， 与 相交于
点N，则 ，由 ，∴ ，
∴当 与对称轴相切时， 的度数最大，此时 ，设 ， ，则
∵ ，∴ ，整理得 ，
解得 （舍去）， ，∴
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是：
（1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，（2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值，
（3）利用圆周角定理找到符合已知条件的点M的位置．
14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上， 于点D，
且 ， ，求 的最小值；
（2）如图2，某公园有一块四边形空地 ，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，
点E，F分别为 ， 上的点， ， 将其分为三个区域．已知 ， ，
，若保持 ，试求四边形 面积的最大值．
【答案】（1） 的最小值为 ；（2）
【分析】（1） 的外接圆 ，连接 ，过点O作 ，先由圆周角定理和垂径定
理得 ， ，则 ， ，设 ，
则 ，再由 即可求解；
（2）长 交于点M，如图所示：则 均为等腰直角三角形，将 绕点C顺时针旋
转 得到 ，则 三点共线 由 ，因
为 为定值， 取得最小值时， 取得最大值．
【详解】（1）解：如图，作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 ，则
， ∵ ∴ ，设 ，则 ，
∵ ∴ ，解得： ，
∴ ，∴ 的最小值为 ；
（2）解：分别延长 交于点M，如图所示：则 均为等腰直角三角形
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴
∵ ，
∴将 绕点C顺时针旋转 得到 ，则 三点共线
∴
∵ 为定值∴当 取得最小值时， 取得最大值，
∵ ∴以 为斜边作等腰 ，则 的外接圆是以点O为圆心， 长
为半径的圆，过点O作 于点J，设 的外接圆半径为 ，则 ，
∵ ∴ ∴
当点O在 上时， 最短，此时
∴ ∴
【点睛】本题属于四边形综合题，三角形的外接圆，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为 的等边 中，点 在边 上，
，连接 ，则 的面积为____
【问题探究】(2)如图2，已知在边长为 的正方形 中，点 在边 上，点 在边 上，且
，若 ，求 的面积；
【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在 米， 米的矩形
区域内开挖一个 的工作面，其中 、 分别在 、 边上 不与点 、 、 重合 ，且
，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求 面积最小，那么是否存在一个面积最小的
若存在，请求出 面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在一个面积最小的 ，其最小值为 平方米
【分析】（1）过点 作 于点 ，勾股定理求得 ，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求
解；
（2）延长 到 使得 ，连接 ，证明 ， ，得出
， ，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）把 绕点 顺时针旋转 并把边长缩小为原来的 ，得到 ，得出 ，过点
作 于 ，作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，得出 当
的面积最小时， 的面积最小；作 的外接圆，圆心为 ，连接 ， ， ，过点 作
于 ，当 最小时， 的面积最小，进而求得当 、 、 三点共线时， 有最小值，最小值
为 米，然后根据 ，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵等边 的边长为 ，∴ ， ，∴
又∵ ，∴ 的面积为 ，故答案为： ．
（2）如图所示，延长 到 使得 ，连接 ，
四边形 是正方形， ， ，
， ， ，
∠ ， ，
， ，
又 ， ， ， ，
又 ， ；
（3）把 绕点 顺时针旋转 并把边长缩小为原来的 ，得到 ，
， ， ， ，
过点 作 于 ，作 于 ，则四边形 是矩形，
， ，
， 当 的面积最小时， 的面积最小；
如图所示，作 的外接圆，圆心为 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，
设 ， ， ，
， ， ， 当 最小时， 的面积最小，， ， ，
当 、 、 三点共线时， 有最小值，最小值为 米，
平方米
存在一个面积最小的 ，其最小值为 平方米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，
等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键．
16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①， 为 的一条弦，圆心 到弦 的距离
为4，若 的半径为7，则 上的点到弦 的距离最大值为______；
【问题探究】（2）如图②，在 中， 为 边上的高，若 ，求 面积的最
小值；
【问题解决】（3）如图③，在 中， 平分 交 于点 ，点 为 上一点，
米， ．则四边形 的面积的最小值为______．
【答案】（1）11；（2） ；（3） 平方米
【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；（2）作 的外接圆 ，连接 ，过点O作
于点 ，设 ，则 ，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出 的
最小值，进而得出答案；（3）过点 作 于点 于点 ，则 ，在 上截取
，连接 ，利用 证明 ，则，要使四边形 的面积最小，只需 的面积最
小，由（2）同理求出 面积的最小值即可．
【详解】解：（1）∵圆心 到弦 的距离为4，若 的半径为7，
∴ 上的点到弦 的距离最大值为 ，故答案为：11；
（2）作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于点 ，如图．
， ， ，设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，∴ ，
， ．即 面积的最小值为 ；
（3）过点 作 于点 于点 ，∵ 平分 ，∴ ．
又 ， ．
米， ， ，
、 为等腰直角三角形，∴ 米，
（平方米）， 平方米．
在 上截取 ，连接 ，如图．
， ，
，
要使四边形 的面积最小，只需 的面积最小．
， ， ，
作 的外接圆 ，如图，连接 ，作 于点 ，则 ，∴ ．设 ，则 ．
由 ，得 ，解得 ， 米，
（平方米），
（平方米）．
即四边形 的面积存在最小值，最小值为 平方米．故答案为： 平方米．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与
性质，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是
解题的关键．
17．（2024九年级下·广东·专题练习）问题提出：
如图1：在 中， 且 ，点O为 的外心，则 的外接圆半径是 ．
问题探究：如图2，正方形 中，E、F分别是边 两边上点且 ，请问线段
有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：如图3，四边形 中， ， ，点E、F分别是射线
上的动点，并且 ，试问 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．
若不存在，请说明理由．
【答案】问题提出： ；问题探究： ，见解析；问题解决：
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，添加合适的辅助线进行
推理证明是解题的关键．
问题提出：作出 的外接圆 ， 证明 ，则 ，即可得到
答案；
问题探究：延长 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，再证明 ，即可得到 ；
问题解决：延长 ，使 ，证明 ，得到 ，证明
，在 中， ，则 边上的高 ，画 的外接圆
，作 于M，得到 ，设 ， ， ， ，由
得到 ，得到 的最小值为 ，即可得到 的最小值．
【详解】问题提出：如图1，作出 的外接圆 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，故答案为： ．
问题探究： ，理由如下：如图2，延长 ，使 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
问题解决：存在最小值，如图3，延长 ，使 ，∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中，∵ ， 边上的高 ，
画 的外接圆 ，作 于M，
∵ ，∴ ，设 ， ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，∴ 的最小值为 ．
18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务．
素
如图，在 中， ，垂足为点D，若保证 始终为
材
直角，则点A、B、C在以 为直径的圆上．
一
如图，在 C中， ， ，垂足为点D，取
素
的中点O，连接 ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
材
二 半”可知 ，可得 ．
如图，矩形 是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长
素 1米的遮光板 ，且 ，点E到墙 的距离为4米，到地面
材 的距离为5米．点O为室内光源， 、 为光线， ，
三 通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区
的和最大时，该实验室“可利用比”最高．
任 若素材一中的 ，求 的最大值．
务一
任
务 若素材二中的 ，求 的最小值．
二
任
若任务二中的 改成 ，其余条件不变，请直接写
务
出 的最小值．
三
任
若任务二中的 ， 改成 ， ，请直接
务
写出 的最小值．
四
任
务 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时 的值
五
【答案】任务一： ；任务二： ；任务三： ；任务四： ；任务五：
【分析】本题考查了阅读学习型考题，先学习后应用是解题的关键．
(1)根据斜边大于直角边计算即可．(2)根据斜边大于直角边计算即可．(3)作 的外接圆 ，作
于E，作直径 ，连接 ， ，设 的半径是R，构造素材二问题背景求解即可．
(4)作 的外接圆 ，作 于E，作直径 ，连接 ，设 的半径是R，构造素材二问题
背景求解即可．
(5) 作 于G，延长 交 于H，证明 ，把问题转化任务4求解即可．
【详解】解：任务一如图，取AB的中点O，连接
∵ ， ， ．∴ ，故 的最大值为2．
任务二，如图1， 的最小值为12．理由如下：取 的中点O，连接 ，根据“直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半”可 ，可得 ，∴ 即 ，故 的最小值为12．
任务三，如图2，解：作 的外接圆 ，作 于E，作直径 ，连接 ，
∴ ，设 的半径是R，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值是 ．
任务四，如图2，解：作 的外接圆 ，作 于E，作直径 ，连接 ，
∴ ，设 的半径是R，∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 的最小值是 ．
任务五，如图3，作 于G，延长 交 于H，
∵ ，∴ ，设 ，∴ ，
∴ ，在 的延长线上截取 ，
∵ ∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ， 由任务四可知， ，
∵ ，
当 最小时，∴ 取得最大值，此时最大值为 ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的性质，线段和的最值，三角形全等的判定
和性质，三角形外角性质，熟练掌握治疗三角形的性质，圆的性质，三角函数是解题的关键．
