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专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字
模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.“8”字模型.............................................................................................................................................2
模型2.“A”字模型............................................................................................................................................8
模型3.三角板拼接模型.................................................................................................................................11
..................................................................................................................................................16模型1.“8”字模型
“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，线段 和 相交于点O， ， ，则
的度数是 度．
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为
．
例3．（2023·广东深圳·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数
量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；
（3）如果图2中， ， ， 与 分别是 和 的角平分线，试求 的度数；
（4）如果图2中 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 ， 之间存在着怎样的数量关系
（直接写出结论即可）．
例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．
求证：（1） ； （2） ．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者
能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律
为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决
问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论 ．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论 ．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2， 、 分别平分 、 ，说明： ．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ， ，
求 的度数．②在图4中， 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与
、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中， 平分 ， 平分 的外
角 ，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．模型2.“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件， 的度数是（ ）A． B． C． D．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点
E，则 （ ）．
A． B． C．235 D．245
例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ，
（都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.模型3.三角板拼接模型
由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、
60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：
例1．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中
的度数是 ．
例2.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在 的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
例3．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①
；② 与 互为补角；③若 ，则 ；④ ．其中一定正确的
序号是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
例4．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将三角板 与三角板 摆放在一起，其中
， ， ，如图②，固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺
时针方向旋转，记旋转角 ．
(1)当 为______ 时， ；
(2)当 的一过与 的某一边平行（不共线）时，写出旋转角 的所有可能的度数；
(3)当 时，连结 ，分别交 、 于点 、 ，利用图③探 值的大
小变化情况，并给出你的证明．1．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另一
个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为 的直角三角形，一
个锐角为 的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在
另一个三角板的上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板 和 ，其中
， ， ，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么 不
可能等于（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去
，则 等于（ ）A． B． C． D．
6．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为C，
且 保持不变．为了舒适，需调整 大小，使 ，则 应调整为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
7．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则
．
11．（2023春·广东·七年级专题练习）如图所示，已知 ， 平分 ， 平分 ，求
证：
12．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ，
．
13．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在 中，D、E分别是 上的点，点F在的延长线上， ， ，求 的度数．
14．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算
每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补
充完整．
(1)解：∵ ， ．
∴ ．
∵ ________ ，
∴ ________ ，
∴ ________ ．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求 ， ，
， ， 的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点 落在 上，点 落在 上，若 ，则
________ ．
15．（2024·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知 ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中
虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ △
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知 ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据△（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．16．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图 ，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其
中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方
向旋转，记旋转角 ．
(1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ．
(2)当 时，连接 ，利用图 探究 值的大小变化情况，并说明理由．
17．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
(2)【简单应用】如图2， 、 分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ，
，请猜想 的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设 ， ， ， ，试问 与、 之间的数量关系为：___．（用 、 表示 ，不必说明理由）
