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专题 04 一次函数
（考题猜想，易错常考重难点 8 大题型 79 题）
题型一：一次函数图象平移问题（常考）
1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线 平移得到直线 ，则移动方法为（ ）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，关键在于规律“左加右减，上加下减”的认识．根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．
【详解】解：将直线 平移得到直线 ，则移动方法为向下平移4个单位
故选：D．
2．（多结论）（22-23八年级下·重庆北碚·期末）对于函数 ， ， 为常数与函数
， ， 为常数）．若 ， ，则称函数 与 互为“对称函数”，下列结
论：①若函数 与 互为“对称函数”，则 与 的图象关于 轴对称；②若点 ， ， 分别在
“对称函数” 与 的图象上，当 时，则 ；③若函数 与函数
互为“对称函数”，则 的值为1；④若函数 与 互为“对称函数”，将函数
向右平移 个单位得到函数 ，当 ，则 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将已知条件代入选项中进行分析判断．
【详解】解：① 函数 与 互为“对称函数”，
， ，
， 互为相反数，
与 的图象关于 轴对称，
符合题意；
② 与 是“对称函数”，
，
与 互为相反数，
符合题意；
③ 函数 与函数 互为“对称函数”，
， ，
即 ，
求得： ，
，
不符合题意；
④ 函数 向右平移 个单位得到函数 ，
，
即
解得： 或 ，
不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质及其变换运用，要熟练掌握一次函数的基本性质及其平移规律．
3．（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）直线 平行于直线 ，且与 轴交于点 ，此函数
的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于确定k的值．根据互相平行的直线的解析式的
一次项系数的值相等确定出k，根据与y轴交于点 求出b，即可得解．
【详解】解：∵直线 平行于直线 ，
∴ ，
∴ ，又直线 与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）将直线 向右平移3个单位长度后，所得直线经过点 ，
则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数的平移规
律：上加下减，左加右减．先求出平移后的直线解析式，再将点 代入计算即可．
【详解】解：将直线 向右平移3个单位长度后，所得直线解析式为 ，
所得直线经过点 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，将 沿 轴向左平移2个单位得到 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次
函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数 与坐标轴交点 和 的坐标，再利用平移求出直线 的解析式，求出其与坐标轴交点 和 的坐标，再求面积即可．
【详解】解：如图，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，
解得： ，
则 ，
∵将 沿 轴向左平移2个单位得到 ，
∴直线 向左平移2个单位得到直线 ，且 ，
则直线 的解析式为 ，
时， ，
则 ，
∴ ．
故答案为：
6．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 交于
点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线 与y轴交于点D．将直线 向上平移6个单位得到直线 ，直线 与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线 ，若点M为垂线 上的一个动点，点N为x轴上的一
个动点，当 的值最小时，此时点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】由直线与坐标轴交点求法可求 ， ，由平移的性质得直线 ： ，从可
得点 是点 关于直线 对称，联立直线 ： 与直线 ： ，可求出 ，作点
关于 轴的对称点为 ，由点关于坐标轴对称规律得 ，连接 交 轴、 于点 、 ，则此时
最小，最小值为： ，由待定系数法求得直线 为 ，即可求解．
【详解】解： 直线 ： ，
当 时，
，
，
同理可求： ，
将直线 向上平移6个单位得到直线 ，
直线 ：
，
，，
，
，
点 是点 关于直线 对称，
联立直线 ： 与直线 ： 得：
，
解得： ，
，
如图，作点 关于 轴的对称点为 ，
，
连接 交 轴、 于点 、 ，
则此时 最小，
最小值为： ，
设直线 为 ，则有
，
解得： ，直线 为 ，
当 时，
，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了待定系数法，点关于坐标轴的对称规律，两点之间线段最短等，掌握“将军饮马”典
型问题的解法是解题的关键．
7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，等腰 在第一象限，且
轴，直线 从原点 出发沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 截得的线段长度 与直线在
轴上平移的距离 的函数图象如图 所示，那么 的面积为
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点 作 于点 ，根
据图形 可得到 ， ，由直线 与 轴的夹角为 ，得到 ，利用勾股定理即可
求出 ，进而得到 ，再得到 ，根据三角形面积公式计算即可
求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线 与 轴的夹角为 是解题的关键．
【详解】解：如图 ，过点 作 于点 ，则由图 可得，当直线 经过点 时， ， ，
当直线 向右平移经过点 时，与 相交于点 ，
此时，由图 可得， ， ，
∴ ， ，
∵直线 与 轴的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点
，且与x轴交于点A．(1)求 的函数表达式；
(2)将 向下平移 个单位长度得到直线 ，若平移后的直线 经过点A关于y轴的对称点，求n的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌
握相关知识点是解题的关键．
（1）代入点 到 ，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出 的函数表达
式，再代入对称点的坐标即可求出n的值．
【详解】（1）解：代入点 ，得 ，
解得： ，
的函数表达式为 ．
（2）解：令 ，则 ，
解得： ，
，
点A关于y轴的对称点为 ，
将 向下平移 个单位长度得到直线 ，设 的函数表达式为 ，
代入 得， ，
解得： ，
n的值为2．
9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数 的图象性质．
【素材内容】
素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数
的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 ；
素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一
应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象．
【问题解决】
任务1：对于函数 ，当 时化简函数的表达式：
当 时， ；当 时， ；
任务2：在平面直角坐标系中，画出函数 的图象；
任务3：函数 的图象可由 的图象向 平移 个单位得到；函数 的图象可由 的图象向 平移 个单位得到；
任务4：结合以上任务，你发现函数 有哪些性质？（写出一条即可）
【答案】任务1： ，
任务2：见解析，
任务3：右；2；右；
任务4：当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小（答案不唯一）
【分析】任务1：化简绝对值即可；
任务2：列表描点，连线画出函数图象，根据图象判断增减性即可．
任务3：根据图象即可得出答案；
任务4：根据函数增减性解答即可．
【详解】解：任务1：对于函数 ，当 时得函数的表达式 ，
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： ， ；
任务2：列表如下：
0 1 2 3 4
2 1 0 1 2
作图如下：
任务3：如图，由图可得：函数 的图象可由 的图象向右平移2 个单位得到；
函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到；
任务4：当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数图象性质，绝对值函数，画函数图象，一次函数图象的平移，熟练掌握一次函
数图象性质是解题的关键．注意数形结合思想的应用．
10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线 与 轴、 轴交于点 、 ，点 在 轴负半轴上，
且 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)直线 与直线 、 分别交于点 、 ，若 ，求 的值；
(3)将 中直线 向上平移后经过点 ，与 轴交于点 ， 为线段 上一点（含端点），连接 ，一动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿线段 运动到 ，再以每秒 个单位的速度沿线段
运动到 后停止．当点 的坐标是多少时，点 在整个运动过程中用时最少？
【答案】(1)直线 的函数表达式为
(2)
(3)当点 的坐标是 时，点 在整个运动过程中用时最少
【分析】 利用一次函数的解析式求出点 、 的坐标，再利用三角形面积之间的关系求出点 的坐标，
利用待定系数法求出直线 的解析式；
设 的坐标为 ，根据正比例函数图象关于原点中心对称，可得点 的坐标为 ，根
据点 在直线 上，可得方程 ，解方程求出 的值，从而得到点 的坐标为 ，利
用待定系数法求出 的值；
作 轴， ， 于 ，当点 是 与 的交点时，点 在整个运动过程中用时
最少，根据点 运动的速度和路程可以求出点 的位置和坐标．
【详解】（1）解：当 时， ，
点 的坐标为 ，
当 时，可得 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
，
，，
解得： ，
点 在 轴负半轴上，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 、 代入可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2）解： ，
，
设 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
点 在直线 上，
，
解得 ，
，
点 的坐标为 ，
把 点坐标代入 ，得 ，
；
（3）解：如下图所示，作 轴， ， 于 ，
由 可知 ，
直线 的表达式为 ，
，
，
，，
，
设点 在整个运动过程中用时为 秒，
由题意得： ，
当点 是 与 的交点时，点 在整个运动过程中用时最少，
此时点 的横坐标为 ，
设把直线 向上平移后经过点 后的解析式为 ，
可得： ，
直线 的表达式为 ，
当 时， ，
∴当点 的坐标是 时，点 在整个运动过程中用时最少．
【点睛】本题考查一次函数图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最短，解决本题的关键
是用垂线段最短找到点 ．
题型二：一次函数的规律探究问题（难点）
11．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为
直线 ， ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， 过点 作 轴的垂线交 于点 ， 过点 作
轴的垂线交 于点 ，过点 作y轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的横坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点 与
的横坐标相同， 与 的纵坐标相同，再根据 可求出 ， ， ，
， ， ， ， ，通过观察这些点的坐标可得出 的横坐标为 ，
然后根据 可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：依题意得： 与 的横坐标相同， 与 的纵坐标相同，
∵ ，
∴对于 ，当 时， ，
∴点 ，
对于 ，当 时， ，
∴点 ，
同理可得： ， ， ， ， ， ，
观察这些点的坐标可得出： 的横坐标为 ，
∵ ，∴点 的横坐标为 ，
故选： ．
12．（23-24八年级上·河南周口·期末）正方形 ， ， ，…按如图所示的方式放置，
点 ， ， ，…和点 ， ， ，…分别在直线 和 轴上，则点 的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出 、 的纵坐标相同，根据点 ，
， ，…在直线 上和正方形性质，推出点 ， ， ， 的坐标，根据坐标找出点的坐标规律
为 的坐标为 ，利用规律表示出 的坐标，即可解题．
【详解】解：由题知，四边形 为正方形，
轴，即 、 的纵坐标相同，
当 时， ，即 ，
，则 ，
当 时， ，
的坐标为 ，
同理可得 的坐标为 ， 的坐标为 ，的坐标为 ，
的坐标为 ，
点 的纵坐标是 ，
故选：B．
13．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 图象上，
过 点作 轴平行线，交直线 于点 ，以线段 为边在右侧作正方形 ， 所在的直线
交 的图象于点 ，交 的图象于点 ，再以线段 为边在右侧作正方形 依此类推．
按照图中反映的规律，则点 的坐标是 ；第 个正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边
长为 ，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为 ，依次得出第三个正方形的边
长为 ，以此类推，可得 ， ，从而得到答案．
【详解】解：由题意， ， ，
，则第一个正方形的边长为 ，
即 ，
， ，
，
则第二个正方形的边长为 ，
即 ，
， ，
，
则第三个正方形的边长为 ，
即 ，
， ，
以此类推，
可得 ， ，
第2020个正方形的边长为 ．
故答案为： ； ．
14．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…和点 ， ， ，
…分别在直线 和x轴上，直线 与x轴交于点M， ， ， …都是等
腰直角三角形，如果点 ，那么点 的纵坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，分别计算 、…的纵坐标得
到规律，用规律解决问题即可．
【详解】解：作 轴， 轴， 轴，垂足分别为
的纵坐标是 ；
设 则
，将坐标代入
得： ，
解得： ，
的纵坐标是 ；
设
，将坐标代入
得： ，
解得： ，的纵坐标是 ；
，
的纵坐标为 ．
故答案为： ．
15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴
于点 ，点 ， ，…在直线l上，点 ， ， ，…在x轴的正半轴上，若 ， ，
，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形 顶点
的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标规律探索，解题的关键是根据给出的已知点的特点，得出坐标规律．
先求出 ，得出 ，从而得出
得出 的坐标为 ．
【详解】解：把 代入 得： ，解得： ，
把 代入 ，解得： ，
，
，，
故答案为： ．
16．（23-24八年级下·山东聊城·期末）正方形 、 、 、⋯，按如图所示的方式放
置．点 、 、 、⋯，和点 、 、 ，⋯，分别在直线 和 轴上，已知点 ，
，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、坐标的变化规律等知识点，根据 点的坐标总结规律
是解答本题的关键．
首先利用待定系数法求得直线的解析式，求得 的坐标，然后根据 的坐标归纳总结规律得出 的
坐标即可．
【详解】解：∵ 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴正方形 边长为1，正方形 边长为2，
∴ 的坐标是 的坐标是 ，
代入 得 ，解得 ，
则直线的解析式是： ，
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∵ 的横坐标是： 的纵坐标是： ，
的横坐标是： 的纵坐标是： ，
的横坐标是： 的纵坐标是： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
17．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
按如图方式作正方形 ，正方形 ，正方形 点在直线 ， ， ，…在直线
上，点 ， ， ，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为 ， ， ，
…则 的值为 ．
【答案】
【分析】设直线 与x轴交于H，求出 ，得到 ，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为 ，证明 ，得到
，进而求出 ，再根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：设直线 与x轴交于H， 交于点 ， 交于点 ， 交于点
，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与x轴的夹角为45°，
∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，
∵ ，即第一个正方形的边长为2，
∴ ，
∴ ，即第二个正方形的边长4，
同理可得 ，即第三个正方形的边长为8，
…，
∴可知第n个正方形的边长为 ，
，，
同理得： ，
，
，
，
∴ ，
，
，
…，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角
形全等的判定与性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示， ， ，…， 都是边长为2的
等边三角形，边 在x轴上，点 ， ， ，…， 都在直线 上，则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，找到平移规律，继而求出 坐
标即可．
【详解】解：过 作 轴于 ，
∵ ， ，…， 都是边长为2的等边三角形，边 在x轴上，
∴ ， ，后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上沿射线 平移
2个单位长度，
∴ ， ，
∴ ，∴后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上向右移动1个单位长度，再向上移动 个单位长
度得到的图形；
∴点 是在 基础上平移2024次，每次向右移动1个单位长度，再向上移动 个单位长度，
∴点 的坐标是 ，
∴ ．
故答案为： ．
19．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 且与x轴正方向
夹角为30°，如图所示依次作正方形 、正方形 、正方形 、…、正方形 ，
使得点 、 、 …在直线l上，点 、 、 …在y轴正半轴上，则 的长度是 ．
【答案】
【分析】本题记直线l与 轴交于点 ，设 ，利用30度所对直角边等于斜边的一半和勾股定理，
求出 ，设直线l的解析式为 ，将点 代入解析式，求出解析式，再根据一次函数图象上
点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点 、 的坐标，得出 ，同理可得出 、 、 、 、 、的坐标和 、 、 ，根据点的坐标变化可找出变化规律，找出规律即可解题．
【详解】解：记直线l与 轴交于点 ，设 ，
直线l与x轴正方向夹角为 ，
，
，即 ，
直线l与x轴交于点 ，
，
，即 ，解得 （舍去）， ，
，
设直线l的解析式为 ，
将点 代入解析式，有 ，解得 ，
直线l的解析式为 ，
点 ，且四边形 为正方形，
，即 ，
当 时，有 ，解得 ，
，又四边形 为正方形，则 ， ，
当 时，有 ，解得 ，
，又四边形 为正方形，则 ， ，当 时，有 ，解得 ，
，又四边形 为正方形，则 ， ，
， ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了30度所对直角边等于斜边的一半、勾股定理、用待定系数法求一次函数解析式、一次
函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型，解题的关键在于根据坐标变化找出规律．
20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图．在平面直角坐标系中，点 ，…和 ，…分
别在直线 和x轴上， ，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点 且
截距为 ．
（1）直线 的表达式为 ；
（2） 的纵坐标是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律．
（1）根据待定系数法求出 ；
（2）设 ， ， ， ， ，则有 ， ，…..，
，然后根据等腰直角三角形的性质可得 ， ，….，进而将点的坐标
依此代入即可求解．
【详解】解：（1）∵直线 经过点 且截距为 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）设 ， ， ， ， ，
则有 ，
，
，
过点 作 轴于点C，过点 作 轴于点D，如图所示：∵ ， ， ， 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
同理可得： ，
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
，
又 ，
，
，
，，
即 的纵坐标是 ．
故答案为： ．
题型三：求直线围成的图形面积（易错）
21．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线 ，直线 ，
若 ， 与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积
公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键．
设 交y轴于点A， 交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作 轴于点D，求出 ， ，
得到 ，根据 ， 与y轴围成的三角形的面积为5，得到 ，代入 求得 ，
代入 ，即得 ．
【详解】解：设 交y轴于点A， 交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作 轴于点D，
∵ 中， 时， ； 中， 时， ．
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
代入 ，
得， ，
解得， ．
故选：D．
22．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线 是一次函数 的图象，直线 是一次函数
的图象．
(1)求 的面积；
(2)根据图象直接写出 时x 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点情况、一次函数与二元一次方程组和已知一次函数的交点求不
等式的解集．能求出两直线交点是解此题的关键．
（1）先利用一次函数解析式确定点 、 、 的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（2）根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．
【详解】（1）解： 直线 是一次函数 的图象，
当 时， ，
解得 ，
，
直线 是一次函数 的图象，
，
联立 与 有 ，
解得 ，
当 时， ，
，
的面积为 ；
（2）解： ，
时x 的取值范围为 ．
23．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过 与点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点 为此一次函数图象上一点，且 的面积为12，求点 的坐标．
【答案】(1)一次函数表达式为
(2)点 的坐标是 或
【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、直线与坐标围成的三角形面积等，
灵活运用一次函数图象与性质，数形结合求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案；
（2）根据题意，分两种情况：①点 在 轴左边；②点 在 轴右边；设 ，由 的
面积为12，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过 与点 ，
设一次函数的表达式为 ，
将 与点 代入表达式得到
，解得 ，
一次函数表达式为 ；
（2）解：根据题意，分两种情况：①点 在 轴左边；②点 在 轴右边；
点 在 轴左边，如图所示：
的面积为12，
设 ，其中 ，
，解得 ，则 ；
点 在 轴右边，如图所示：
的面积为12，
设 ，其中 ，
，解得 ，则 ，综上所述，点 的坐标是 或 ．
24．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象经过
两点．
(1)求b的值；
(2)若 是y轴上的点，连接 ，求 的面积；
(3)若 ，且直线 与线段 有一个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算，两直线交点问题的综合运
用，
（1）将 代入 可得 ，解析式为 ，再把点 代入即可求解；
（2）根据坐标与图形，可得 ，根据几何图形面积的计算即可求解；
（3）由（1）可得 ，分别把点 代入即可求解．
【详解】（1）解：将 代入 中，得 ，
解得 ，
正比例函数的解析式为 ，把 代入 中，得 ．
（2）解： ，
，
．
（3）解：由(1)可得 ，
所以直线 的解析式为 ，
将 代入 ，
解得 ；
将 代入 ，
解得 ；
．
25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，与
直线 交于点 ，直线 与x轴交于点A．
(1)求直线 的解析式；
(2)求四边形 的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．【答案】(1) ；
(2)四边形 的面积为10；
(3) ．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式
等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键．
（1）由直线 求得P的坐标，代入 即可得到结论；
（2）由直线 的解析式求得B、C的坐标，由直线 求得A的坐标，然后根据四边形 的面
积等于 的面积减去 的面积即可得到结论；
（3）利用图象直接得出结论．
【详解】（1）解：∵直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为： ；
（2）解：把 代入 ，得：
，解得 ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
过P点作 轴于H，如下图所示：
∴四边形 的面积为
；
（3）解：∵ ，
∴由图象知：不等式 的解集为 ．
26．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 分别交 轴、 轴
于点 ，直线 分别交 轴、 轴于点 ．
备用图
(1)求线段 的中点坐标；
(2)若点 是直线 上的一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点 在第一象限内，以 为顶点作 ，射线 交 轴于 ．求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】（1）根据题意先求出点 ， ， 的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段 的中点坐标；
（2）设 ，分两种情况，当点 在直线 上方时，当点 在直线 下方时，根据三角形
面积的关系分别求解即可；
（3）过 作 于 ，过 作 轴，过 作 于 ，过 作 于 ，设 ，证明
，则 ， ，可得 ，解方程可得 ，由 ，
得直线 解析式为 ，即可得点 的坐标．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
令 ，解得： ，
，
令 ，解得： ，
，
线段 的中点坐标为 ；
（2）设 ，
当点 在直线 上方时，，
，
， ， ，
，
， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
当点 在直线 下方时，
，
，
， ， ，
，
， ，
，解得 ，点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 ；
（3）过 作 于 ，过 作 轴，过 作 于 ，过 作 于 ，
设 ，
又 点 的坐标为 ， ，
∴ ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
又 ，
，
， ，
，
解得 ，
，
设直线 的解析式是 ，
将点 ， 代入 得： ，
解得： ，直线 解析式为 ，
令 ，得 ，解得 ，
点 的坐标为 ， ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查中点坐标公式，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等
三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用．
27．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
．直线 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的值及点 的坐标．
(2)求 的面积．
(3)连接 ，在 轴上有一点 ，使得 的面积等于 面积的 ．直接写出此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据直线与x轴的交点可求得b的值，进而得到解析式，即可求得点的坐标；
（2）根据两个直线的解析式联立求得交点坐标D，以及点C的坐标， 的面积以 为底，以点D
的横坐标的绝对值为高，即可求得面积；
（3）先求出 的面积，根据两个三角形面积之间的关系求得 面积，然后设出 的长，根据面
积分割法列得等式，求解即可，注意分情况讨论．【详解】（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 ，
令 ，解得 ，
∴ ；
（2）解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵直线 与 轴交于点 ，
∴令 ，解得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（3）解：由（1）（2）可得 ， ， ，
∴ ，
∵ 的面积等于 面积的 ，
∴ ，
设 ，
则 ，
即 ，解得： ，
∵ ，点 在 轴上，
当点E在点A左侧时，点E的横坐标为： ，此时点 ，
当点E在点A右侧时，点E的横坐标为： ，此时点 ，
∴点E的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了直线围成的三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐
标特征，分割法求三角形的面积，运用数形结合是解答本题的关键．
28．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于 ，
两点，过点 作 交 于点 ，交 轴于点 ，且 ．
(1) 的坐标为_________，线段 的长为_________．
(2)求直线 的解析式和点 的坐标．
(3)如图（2），点 是线段 上一动点（不与点 ， 重合）， 交 于点 ，连结 ．
①在点 移动过程中，线段 与 数量关系是否不变，并证明；
②连结 ，当 面积最大时，求 的长度和 的面积．
【答案】(1) ，
(2) ，(3)①相等，不变，见解析，② ，
【分析】（1）分别将 、 时，代入解析式，即可求出点 、 坐标，即可求解，
（2）根据 ，可得 ，通过 ， ，求直线 的解析式，与
联立方程组，即可求解，
（3）①由已知可证 ，即可求解，②由 ，得到
为定值，当 最小时 最大， 由 ，得：当 时， 取最小值，即可求
解，
本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，
实现面积之间的等量代换．
【详解】（1）解：当 时，直线 ，
当 时，直线 ，解得： ，
，
，
故答案为： ， ，
（2）解： 过点 作 交 于点 ，交 轴于点 ，且 ，
， ，
，
设过点 ， ，直线 的解析式为： ，则： 解得： ，
直线 的解析式为： ，
、 交于点 ，
解得： ，
，
故答案为： ， ，
（3）解：
① ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，即线段 与线段 数量关系， 保持不变，
② ，
，
，
，
，
，即： ，
，
，
，，
， ， ，
， ，
，
∴ 为定值，
，
∴要使 最大，求 最小即可，
，
∴当 取最小值时， 最小，
， ， ，
，
当 时， 取最小值，
，即： ，解得： ，
面积最小为 ，
，
故答案为：①相等，不变，见解析；② ， ．
29．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与直线 交于点
，直线 与x轴，y轴分别交于点B，点C， 的面积为 ．(1)求直线 的表达式；
(2)如图2，过点 作直线分别交直线 ， 于点E，点F，设点E在第三象限．
①连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求点E的坐标；
②当 的面积最小时，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)① ，②
【分析】（1）把点 代入 求得点 的坐标，利用三角形面积求得点 的坐标，然后利用待定系数法
即可求得直线 的表达式；
（2）①由题意可知 ，设点H为 的中点，过点H作 轴于点I，过点F作 所在直
线于点J，过点E作 轴于点K，则 ，即可证得 ，得出
，设 ，即可得到 ，代入 的解析式求得 的值，从而求得点 的坐标；
②先证得当点 是 中点时， 的面积最小，过点F作 轴于点P，过点E作 轴于点
Q，则 ，得到 ， ，设 ， ，代入 的解析式求得 的值，
从而求得点 的坐标．【详解】（1）解：由点A在直线 上，代入 ，则 ，
∴ ，
过点A作AG⊥x轴于点G，则 ，
∵ 的面积为
∴ ，
∴ ，
设 ： ，
代入A，B的坐标，得
∴
∴直线 的表达式为 ；
（2）①∵ ，
∴ ，
设点H为 的中点，过点H作 轴于点I，过点F作 所在直线于点J，过点E作 轴
于点K，∴ ，
则 ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，过点D两条直线 和 ，其中D是 的中点．
过点F作 交 于点M，则 ，
，∴当点D是 中点时， 的面积最小，
过点F作 轴于点P，过点E作 轴于点Q，
则 ，
设 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数
的解析式，三角形全等的判断和性质，正确表示 、 点的坐标是解题的关键．
30．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 交于点
，且分别交x轴于A、C两点．
(1)求a，b的值及点A，C的坐标；(2)在直线 上找一点D，使得 是 的面积的2倍，求出点D的坐标；
(3)y轴上有一动点P，直线 上有一动点M，点N在平面上，若四边形 是正方形，求出点N的坐
标．
【答案】(1) ， ， ，
(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问
题等；
（1）把 分别代入 与 即可求出a，b的值，分别令 与
即可得到点A，C的坐标；
（2）过 作 交 于 ，则 ，再求出 的面积，根据 是 的
面积的2倍列方程求解即可；
（3）过 作 于 ，过 作 于 ，当四边形 是正方形时，可证得 设
， ，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标．
【详解】（1）把 代入 可得 ，解得 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
∴ ，
把 代入 可得 ，解得 ，∴ ，
令 ，解得 ，
∴ ；
（2）过 作 交 于 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的面积的2倍，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ；
（3）根据题意设 ， ，
当 在第一象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得
∴ ， ，
∴ 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到
∴ 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到 ；
当 在第四象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则
∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得
∴ ， ，
∴ 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到
∴ 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到 ；
当 在第二象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则
∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得 不合题意；
综上所述， 或 ．
题型四：分配方案问题(一次函数的实际应用)（难点）
31．（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个
场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题：
(1)求A场馆和B场馆的门票价格；
(2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免
参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个
场馆参观；
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小
值；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，
最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案．
【答案】(1)A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元
(2)①此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；②购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C
场馆门票
【分析】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结
论．
（2）①购设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票 张，求出a的取值范围，再设此次购买门票
所需总金额为w元，则有 ，最后根据函数系数的性质确定最值问题．②
设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票 张，可得 ．根据
m、n为正整数，且让去A场馆的人数尽量的多，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据题意得：
，
解得 ．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．
（2）解：①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票 张，依题意得：，解得： ．
设此次购买门票所需总金额为w元，则
，
∵ ，
∴w随a的增大而减小 ．
∵ ，且a为整数，
∴当 时，w取得最小值，最小值 ．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票 张，依题意得：
，
∴ ．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
当 时， ，符合题意．
当 时， ，符合题意．
当 时， ，符合题意，舍去；
∵让去A场馆的人数尽量的多，
∴购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，解题的关键是根据题意列出相应的方
程和不等式．32．（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二
课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两
种优惠促销活动．
活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
活动乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球 筒．
(1)写出每种优惠办法实际付款金额 （元）， （元）与x（筒）之间的函数关系式．
(2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛
球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案．
【答案】(1) ， ；
(2)当 时，按活动甲付款更省钱；当 时，两种活动付款一样；当 时，按活动乙付款
更省钱；
(3)同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买．
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握分类讨论的思想和函数的数学思想解决问题是解题的关键．
（1）根据题意，即可列出 （元）， （元）与x（筒）之间的函数关系式即可；
（2）根据（1）得出的函数关系式，分三种情况讨论进行解答即可；
（3）根据题意计算三种方案的花费，再比较大小即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知， ， ，
即 ， ；
（2）解：分三种情况讨论：
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
∵ ，∴当 时，按活动甲付款更省钱；当 时，两种活动付款一样；当 时，按活动乙付款更
省钱；
（3）解：由题意可知，购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒，即 ，
∴甲活动方案： （元）；
乙活动方案： （元）；
两种活动方案买： （元），
∴同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买．
33．（23-24八年级下·江西宜春·期末）某学校是乒乓球体育传统项目学校．为进一步推动该项目的开展，
学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须购买10个乒乓球，乒乓球
的单价为2元/个，若购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；购买10副直拍球拍比购买5副
横拍球拍多花费800元．
(1)求两种球拍每副各多少元？
(2)若学校购买球拍共30副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，
并求该方案所需费用．
【答案】(1)直拍球拍每副200元，横拍球拍每副240元
(2)购买直拍球拍20副，则横拍球拍10副，最少费用为6400元
【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用等，弄清题意，正确找到相
关数量关系是解题的关键；
（1）设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副x元，根据“购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；
购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费800元”列方程组求解即可；
（2）设购买直拍球拍m副，则横拍球拍 副，根据“直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍”，
求出m的取值范围，设总费用为w元，则 ，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副x元，
根据题意，得 ，
解得 ，答：直拍球拍每副200元，横拍球拍每副240元；
（2）解：设购买直拍球拍m副，则横拍球拍 副，
根据题意，得 ，
∴ ，
设总费用为w元，
则
，
∵ ，
∴w随x的增大而减小，
∴当 时，w有最小值，最小值为 ，
此时方案为：购买直拍球拍20副，则横拍球拍10副．
34．（23-24八年级下·云南昆明·期末）鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达
500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上
荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，
火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同．
(1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？
(2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼
数量的 ，应怎样购买，费用最少为多少元？
【答案】(1)鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
(2)这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
（1）设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是 元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼 个，购买总费用为w元，根据题意列出函数关
系式，再由题意确定不等式得出 ，根据一次函数的基本性质求解即可．【详解】（1）解：设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
答：鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
（2）解：设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼 个，购买总费用为w元，
则 ，
∵购买火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的 ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴当 时，w有最小值为 ，
此时 ，
答：这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
35．（23-24八年级下·山东聊城·期末）为落实“五育并举”教育，强化体育锻炼，大力发展青少年体育运
动，我县涌现出来一批体育特色学校．某学校计划购买篮球和足球共 个，已知每个篮球的价格是 元，
每个足球的价格是 元．设购买篮球 个，购买两种求所需费用为 元．
(1)求 与 的函数表达式，其中 ；
(2)若购买篮球的数量不超过足球数量的2倍．请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)
(2)购买篮球 个，足球 个，所需费用为 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用．熟练掌握一次函数的应
用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）由题意知，购买篮球 个，则购买足球 个，依题意得， ，
然后作答即可；（2）依题意得， ，可求 ．由 ， ，可知当 时，
，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，购买篮球 个，则购买足球 个，
依题意得， ，
与 的函数表达式为 ；
（2）解：依题意得， ，
解得， ．
∵ ， ，
∴当 时， ，
∴费用最省的方案是购买篮球 个，足球 个，所需费用为 元．
36．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有
A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数
一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该年级共有600名学生．
①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？
②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？
【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人
(2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元
【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解
决问题．
（1）设A、B分别坐a、b人，可得 ，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人；
（2）①设租用A客车x辆，则B需： 辆， 求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论
【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人．
，
解得 ，
∴A、B两种客车分别坐45，30人．
（2）①设租用A客车x辆，则B需： 辆
∵x为正整数且 为正整数，
∴ ，2，4，6，8，10，12．
故一共有7种方案：
0辆A客车和20辆B客车；
2辆A客车和17辆B客车；
4辆A客车和14辆B客车；
6辆A客车和11辆B客车；
8辆A客车和8辆B客车；
10辆A客车和5辆B客车；
12辆A客车和2辆B客车；
②花费： ．
∵ ，W随x增大而减小．
故当 时， 元．
答：租车最少花费2060元．
37．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋 千克，超市决定从甲、乙两大型
养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出 千克，乙养殖场每天最多可调出 千克，从甲、乙
两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元 千克 千米）
甲养殖场乙养殖场
设从甲养殖场调运鸡蛋 千克，总运费为 元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式
表示为__________；
(2)求出 与 的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？
【答案】(1) 元， 千克
(2)
(3)从甲养殖场调运 斤鸡蛋，从乙养殖场调运 斤鸡蛋
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答．
（1）根据题意直接得出结论；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到 与 的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和 的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能
使每天的总运费最省．
【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋 千克，则从乙养殖场调运鸡蛋 千克，
则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为： ，
故答案为： 元， 千克；
（2）解：根据题意得： ，
与 的函数关系式为： ；
（3）解：由（2）知， ，
，
随 的增大而增大，
， ，
，
当 时， 取得最小值，
此时 ，
答：当从甲养殖场调运 斤鸡蛋，从乙养殖场调运 斤鸡蛋时，每天的总运费最省．38．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化 行动计划”，搭建数字化校
园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买 台电子白板和 台平板电脑共需 万元；购买3台电
子白板和4 台平板电脑共需 万元．
(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共 台，其中电子白板不超过 台，某商家给出了
两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买 台电子白板，送 台平板电脑．若购
买电子白板 台和平板电脑所需的费用为 （万元），请根据两种优惠方案分别写出 关于 的函数表达
式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
【答案】(1)电子白板的单价是 万元，平板电脑的单价是 万元；
(2)当 时，方案一更省钱；当 时，两种方案花费一样；当 时，方案二更省钱．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出
方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案．
（1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元；
（2）根据题意，分别写出两种方案下， 关于 的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应
选用哪种优惠方案购买更省钱．
【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元，
，
解得： ，
答：电子白板的单价是 万元，平板电脑的单价是 万元；
（2）由题意可得，方案一∶ 关于 的函数表达式为∶ ，
方案二∶ 关于a的函数表达式为∶ ，
当 时，得 ，即当 时，选择方案一；
当 时，得 ，即当 时，方案一和方案二花费一样多；
当 ，得 ，即当 时，选择方案二；
综上所述，当 时，方案一更省钱，当 时，两种方案花费一样，当 时，方案二更省钱．
39．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）某公司在 两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从 地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和
400元．从 地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从 地运往甲地 台挖掘机，运这批
挖掘机的总费用为 元．
(1)请填写下表，并写出 与 之间的函数关系式；
运往地
甲 乙 总计
运出地
A 台 ______台 16台
B ______台 ______台 12台
总计 15台 13台 28台
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？
【答案】(1)表见解析，
(2)A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）根据运送挖掘机的总费用 地运往甲的费用 地运往甲的费用 地运往乙的费用 地运往乙的
费用，然后确定出y与x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质来确定哪种方案最省．
【详解】（1）解：根据题意填表如下：
运往地
甲 乙 总计
运出地
A x台 台 16台
B 台 台 12台
总计 15台 13台 28台
；
（2）解：∵ 且 ，
∴ ，
又∵ ，y随x增大而增大，
∴当 时，能使运这批挖掘机的总费用最省，运送方案：A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台．
40．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每
天 元，双人间为每人每天 元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠
大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个 人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双
人间客房．
(1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)设三人间共住了 人，一天一共花去住宿费 元，请写出 与 的函数关系式；
(3)一天 元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿
费用最低，并求出最低的费用．
【答案】(1)三人间 间；双人间 间
(2)
(3) 人住三人间， 人住双人间
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
（1）设三人间有 间，双人间有 间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据 客房人数 ； 住宿费
元列方程组求解；
（2）根据题意，三人间住了 人，则双人间住了 人，住宿费 三人间的人数 双人间的
人数；
（3）根据 的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答．
【详解】（1）解：设三人间有 间，双人间有 间，
根据题意得： ，
解得： ，
答：租住三人间 间，双人间 间；
（2）解：根据题意，三人间住了 人，住宿费每人 元，则双人间住了 人，住宿费每人 元，；
（3）解：因为 ，所以 随着 的增大而减小，
故当 满足 、 为整数，且 最大时，
即 时，住宿费用最低，此时 ，
答：一天 元的住宿费不是最低；若 人入住三人间，则费用最低，为 元．
所以住宿费用最低的设计方案为： 人住三人间， 人住双人间．
题型五：最大利润问题(一次函数的实际应用)（难点）
41．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对
窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
(1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
(2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总
进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多
少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元
(2)购进 副春联时销售利润最大，最大利润为 元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应用（销售、利润问
题），一元一次不等式组的应用等知识点，读懂题意，利用题中的等量关系列出二元一次方程组、一次函
数解析式及一元一次不等式组，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键．
（1）设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，根据“购进40副春联和30对窗花共需410元，购
进60副春联和80对窗花共需720元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设批发春联a副，总利润为W元，根据“总利润 （售价 进价） 销售数量”即可得出W与a的函
数关系式，根据总进价和总销售额的条件列出不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围，然后根据一
次函数的增减性即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，由题意可得：
，
解得： ，每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元；
（2）解：设批发春联a副，总利润为W元，
∴ ，
由题意可得：
，
解得： ，
∵在 中，W随a的增大而增大，
∴当 时，W取得最大值，此时 ，
购进 副春联时销售利润最大，最大利润为 元．
42．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划从厂家购进 、 两款衣服共100件，这两款衣服的进
价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价
90 75
（元/件）
售价
120 100
（元/件）
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最
大利润；
(3)为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，
结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为2000元，求 、 的
值．
【答案】(1)
(2)购进 的进货 件， 的进货 件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为 元．
(3)
【分析】（1）根据题意可得利润等于两种服装的利润之和列函数关系式求解即可；
（2）根据题意列不等式，求出 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．（3）根据商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，可得
，再利用函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
∴ 款衣服 件，
根据题意，得 ；
（2）解：由题意： 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，
得： ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 的最大值为 ，
∵ ，
随 的增大而增大，
当 时， 有最大值，
最大值为： ，
种衣服的数量为： ，
答：购进 的进货 件， 的进货 件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为 元．
（3）解：∵商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，
∴ ，
∵100件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为2000元，
∴ ，
解得： ，
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，二元一次方程组的应
用，理解题意是解本题的关键．
43．（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、
航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划
购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞
船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、
乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有
40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大
利润是多少？
【答案】(1)每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
(2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，
最大利润是1700元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据“2件
甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙
种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进 件乙种航天
载人飞船模型，利用总利润=每个甲种航天载人飞船模型的销售利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量
+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再
利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据题意得： ，
解得： ．
答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
（2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进 件乙种
航天载人飞船模型，
根据题意得： ，
即 ，
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
又∵ ，
∴当 时，w取得最大值，最大值为 ，
此时 ．
答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，
最大利润是1700元．
44．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展．某无人机配件销售公司有
A和B两种配件，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进A配件50件和B配件25件．
种类 A种配件 B种配件
进价（元/件） a 80
售价（元/件） 300 100
(1)求a的值；
(2)若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，设本次销售获得总利润y元，购进A
种配件x件，请写出y与x之间的函数关系式（利润 售价 进价）；
(3)在（2）的条件下，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种的2倍．如何进货才能使本次销售获
得的总利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)260(2)
(3)当购进 种配件 件， 种配件 件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列
式是解题关键．
（1）根据“用 元可购进 产品 件和 产品 件”列方程求解即可；
（2）设购进 种配件 件，则购进 种配件 件，根据总利润 种配件的利润 种配件利润即
可建立函数关系式；
（3）根据“ 种配件进货件数不低于 种配件件数的 倍”列不等式，得出 （ 为正整数），根据
一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：依题意得： ，
解得： ，
答： 的值为 ；
（2）解：由题意得， ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（3）解：由题意得， ，
解得： ，且x为正整数，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，最大值为： ，
此时 ，
答：当购进 种配件 件， 种配件 件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是 元．
45．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同
时购进 ， 两类图书，已知购进3本 类图书和4本 类图书共需192元；购进6本 类图书和2本 类
图书共需240元．
(1) ， 两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用 元来购进这两类图书，设购进 类 本， 类 本．
①求 关于 的关系式．
②进货时， 类图书的购进数量不少于500本，已知 类图书每本的售价为38元， 类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1) ， 两类图书每本的进价分别为32元，24元
(2)① ，②当购进 类图书501本， 类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为
10998元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，
（1）设 类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本 类图书和4本 类图
书共需192元；购进6本 类图书和2本 类图书共需240元．”列出方程组，即可求解；
（2）①根据“用 元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，
根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设 ， 两类图书每本的进价分别为 元， 元．
，解得
答： ， 两类图书每本的进价分别为32元，24元．
（2）①依题意；
∴
② 解得
设利润为 元．
因为 小于0，所以 随 的增大而减小，
当 取501时，
，所以当购进 类图书501本， 类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元．
46．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨
梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题．
内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货
总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经
过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤．
材料一
某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低
材料二
于200斤，且不高于500斤．
杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅
材料三
按同样的价格销售，并适当让利给消费者．
任务一 （1）已知 ， ，求图中直线 的函数表达式．
（2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，
设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润 销售额 成本）．求出w
任务二
（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公
司设计出获得最大利润的收购方案．
（3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的 让利给购买者，那么按
任务三
同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数）
【答案】（1）
（2） ，甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤
（3）销售价应定为：22（元/斤）
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答．
（2）根据甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤，得出，且 ，再结合一次函数的性质进行作答即可．
（3）先算出甲乙两个品种的杨梅获得的利润以及甲乙品种杨梅的进货总金额，从而得出总成本，再除以
总数量，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，设直线 的函数表达式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）依题意，乙品种杨梅的进货量x斤，则甲品种杨梅的进货量 斤，
∵乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤．
∴ ，
由（1）得 ，
则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∵ ，
∴当 时， 最大， 最大值为 ，
（斤），
即甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤时获得的利润最大；
（3）∴甲乙两个品种的杨梅获得的利润是 （元），
则乙品种杨梅的进货总金额是 （元），
甲品种杨梅的进货总金额是 （元），
∴总成本为 （元），∴混合销售杨梅的销售价应定为 （元）．
47．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品
平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品 篇，制作并上传这70篇
作品共获利 元．
(1)求 与 之间的关系式．
(2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的 ，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大
利润是多少？
(3)由于网络管理需要，有 的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是 元．若总获利 随
的增大而减小，请求出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)该博主制作甲 篇、乙 篇时获利最大，最大利润 元
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：获利 甲作品的获利 乙作品的获利，列出函数关系式，即可求解；
（2）由不等关系求出 ，利用一次函数的性质，即可求解；
（3）等量关系式：获利 甲作品的获利 乙作品的获利 乙作品的处理费，列出函数关系式，利用一次函
数的性质，即可求解；
理解 、 的实际意义，能找出等量关系式列出函数关系式，并能熟练利用一次函数的性质进行求解是解
题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
故 与 之间的关系式： ；
（2）解：由题意得
，
解得： ，
，且 为整数，，
当 时，
（元），
（篇），
该博主制作甲 篇、乙 篇时获利最大，最大利润 元；
（3）解：由题意得
，
总获利 随 的增大而减小，
，
解得： ，
．
48．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和
橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其
中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是
多少？
【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元
(2)总利润的最大值是 元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千
克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进 千克橙子，
利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元；
（2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进 千克橙子，
根据题意得： ，
即 ，
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
又∵ ，
∴当 时，w取得最大值，最大值为 （元）．
答：总利润的最大值是 元．
49．（22-23八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大
了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进
乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
乒乓球拍（元/套） 45
羽毛球拍（元/套） 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，
售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（ ），羽毛球拍的进
价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【答案】(1)a的值为35，b的值为40
(2)①y与x的函数关系式为 ，x的取值范围为： ；②当 时，乒乓球拍购
进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当 时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套
能获利最大；当 时，无论购多少套，只要满足 ，利润都是 ．
【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需
花费260元，列出方程组，解方程组即可；
（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超
过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；
②根据总利润 乒乓球拍的利润 羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】（1）根据题意： ，
解得 ，
答：a的值为35，b的值为40；
（2）①由题意得：
，
∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，
∴ ，
∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，
∴ ，
解得： ，
则x的取值范围为： ，
∴y与x的函数关系式为 ，x的取值范围为： ；
②由题意得： ，
∵ ，
∴当 即 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，y有最大值 ，∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；
当 时，即 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值 ，
乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；
当 时，无论购多少套，只要满足 ，利润都是 ．
【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数
解析式和列出方程组．
50．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300
盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设
该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
(1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
(3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了 元，同时B种盆栽
批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是
1460元，求m的值．
【答案】(1)
(2)商场能获得的最大利润为1820元
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函
数解析式是解答的关键．
（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为W，根据题意得到总利润 ，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W，根据题意得到总利润 ，分 和 ，利用一次函
数的增减性质求解即可．【详解】（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购 盆B种盆栽，
根据题意， ，
由题意得： ，
解得： ，
答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为 ；
（2）解：设总利润为W，根据题意得：
，
∵ ，
∴W随x的增大而增大，又 ，
∴当 时，W最大，最大值为1820，
答：商场能获得的最大利润为1820元；
（3）解：设总利润为W元，根据题意得：
，
当 即 时，W随x的增大而增大，
又∵ ，
∴当 时，W有最小值为 ，
解得 ，舍去；
当 即 时，W随x的增大而减小，
又∵ ，
∴当 时，W有最小值为 ，
解得： ，综上分析可知，满足条件的m值为2．
题型六：行程问题(一次函数的实际应用)（难点）
51．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，
小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，
用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一
个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中
错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发 分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形
结合的思想．
由图象可知前5分钟，两人共行驶了 米，故两人速度和为 米/分钟，再
根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的 倍，即可算出两人开始的速
度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开始
5分钟和返回4分钟即总时间，逐一判断即可．
【详解】A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此
时由图 轴可知，小东和小天相距的路程不变，
所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同，
此选项不符合题意
B． 小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的 倍
设小东原速度为v米/分钟,则提速后为 米/分钟，小天的速度为 米/分钟，则
小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟，
故此选项不符合题意；
C． 两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距
的路程不变，
此时两人相距2200米，
拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶 分钟相遇，
小天一共行驶了 分钟
故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地 分钟，
小冬最终达到乙地的时间是29分钟，
故此选项不符合题意．
故选：D
52．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）明明、亮亮在学校操场上玩飞机模型，已知1号、2号两个飞机模
型分别从距水平线起点 和距水平线起点 处同时出发，匀速上升、如图是1号、2号两个飞机模型所
在位置的高度 与飞机上升时间 的函数图象．当这两个飞机模型的高度相差 时，上升的时
间为【答案】 或
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
设1号飞机模型的函数表达式为 ，将 ， 代入求解析式；设2号飞机模型的函
数表达式为 ，将 ， 代入求解析式；然后令 ，求解该
绝对值方程即可．
【详解】解：设1号飞机模型的函数表达式为 .
将 ， 代入 中，
得
解得
1号飞机模型的函数表达式为 ；
设2号飞机模型的函数表达式为 .
将 ， 代入 中，
得
解得
2号飞机模型的函数表达式为
∵当这两个飞机模型的高度相差 时，可得，
解得 或 ，
故答案为： 或 .
53．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一艘游船从A港逆流开往B港，游船在静水中的行驶速度为
．出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，游客在游船出发5分钟后发现遗失物品，游船
随即掉头寻找，并在找回物品之后掉头继续前往B港．游船距离A港的距离 与行驶时间 的关
系如图所示．
(1)水流的速度为__________ ；
(2)求点A的坐标，并解释它的实际意义；
(3)若游船在出发 后到达B港，则A港与B港之间的距离为__________m．
【答案】(1)
(2) ，实际意义见解析
(3)
【分析】本题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，解题的关键是从图象中挖掘有用信息，以及
记住船顺流航行的速度 船在静水中航行的速度 水流速度，船逆流航行的速度 船在静水中航行的速度
水流速度．
（1） 根据题意得到游船逆流速度，再结合“船逆流航行的速度 船在静水中航行的速度 水流速度”求
解，即可解题；
（2）结合题意先求出游客与物品的距离，以及游船顺流航行的速度，再结合追击问题解题思路求解，即
可解题．
（3）先求出船从点A到达B港所用时间，进而得到路程，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，游船逆流出发5分钟后，游船距离A港的距离为 ，游船逆流速度为 （ ），
游船在静水中的行驶速度为 ，
水流的速度为 （ ），
故答案为： ．
（2）解： 出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，
游船出发5分钟时，游客与物品的距离为 （ ），
游船随即掉头寻找，即游船顺流航行，其船速为 （ ），
追上时间为： （ ），
此时距离A港 （ ），
点A的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ；
点A的实际意义为游船掉头找到了物品，并准备掉头继续前往B港．
（3）解：从点A到达B港所用时间为： （ ），
其路程为： （ ），
则A港与B港之间的距离为 （ ），
故答案为： ．
54．（24-25八年级上·山东青岛·期末）周末，甲、乙两名同学相约在同一路段进行长跑训练．二人在起点
会合后，甲出发 时，乙出发，结果乙比甲提前 到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如
图①，设甲离开起点后的时间为 ，甲离开起点的路程 与 之间的函数关系式为 ，
图象为线段 ；乙离开起点的路程 与 之间的函数关系用线段 表示，请根据图象中的信
息解决下列问题：(1)图中 的值为______， 的值为______；
(2)求线段 对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出点 的坐标，并解释点 的坐标表示的实际意义；
(4)设甲离开起点后的时间为 ，甲乙两人之间的距离为 ，请在图②坐标系中画出 与
的函数图象．
【答案】(1)20，18
(2)
(3) ，甲出发 后，乙在距离起点 处追上甲
(4)见解答
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式，二元一次方程组的解法是解题
的关键．
（1）将 代入 ，解方程求出对应 的值，即 的值，再根据结果乙比甲提前 到达终
点计算 的值即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）设 ，将该坐标分别代入线段 和 对应的函数表达式，二者联立建立关于 和 的二元一
次方程组并求解，从而求得点 的坐标并描述其实际意义即可；
（4）按照 不同的取值范围，分别求出 关于 的函数关系式并画出其图象即可．
【详解】（1）解：当 时，得 ，
解得： ，
，
，
故答案为：20，18．
（2）解：设线段 对应的函数表达式为 为常数，且 ．
将坐标 和 分别代入 ，得 ，
解得 ，
∴线段 对应的函数表达式为 ．
（3）解：设 ，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：点 的坐标为 ，其实际意义是甲出发 后，乙在距离起点 处追上甲．
（4）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
综上， ，
其图象如图所示：55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）周末，李叔叔开车从青岛出发去350千米远的济南游玩，张大伯在
同一时间从济南去往青岛．李叔叔行驶2小时到达潍坊时，他停车休整了半小时，离开时恰好遇见了张大
伯．两人继续行驶，李叔叔到达济南用时5小时，李叔叔、张大伯与青岛的距离 、 （千米）与时间
（时）之间的关系如图所示．
(1)求李叔叔遇到张大伯后， 与 之间的函数关系式；
(2)张大伯到达青岛时，李叔叔离济南还有多远？
【答案】(1)
(2)50千米
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）设汽车修好后 与 之间的函数关系式为 ，利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出两人出发 小时后，张大伯到达青岛，然后代入 求解即可．
【详解】（1）解：设汽车修好后 与 之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得 ，
∴函数关系式为 ；（2） （千米/时）
（时）
即两人出发 小时后，张大伯到达青岛．
将 代入 得， ， （千米）
答：张大伯到达青岛时，李叔叔离济南还有50千米．
56．（24-25八年级上·四川成都·期末）某无人机表演团队进行无人机表演训练．甲无人机以a米/秒的速度
从地面起飞，乙无人机从距离地面20米的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到
达指定的高度停止上升，并开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升．当甲、乙无人机按照训练
计划同时到达距离地面120米时，进行了时长为b秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面，
甲、乙两架无人机所在位置的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合
图象解答下列问题：
(1)填空：a的值为______，b的值为______；
(2)求图中线段 所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们之间的高度差为10米？（请直接写出答案）
【答案】(1)10，15
(2)
(3)2秒或6秒或10秒或18秒
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为 （秒 ，得到 ，利用待定系数法即可求解；（3）利用待定系数法分别求得线段 、线段 、线段 所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，
列式计算即可求解详解．
【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为 （米/秒），
（秒 ．
故答案为：10，15；
（2）解：由图象知， ，
甲无人机的速度为10米 秒，
甲无人机匀速从0米到120米所用时间为 （秒 ，
甲无人机单独表演所用时间为 （秒 ，
（秒 ，
，
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
将 ， 代入得： ，
解得 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ；
（3）解：如图所示：
由题意 ， ，
同理线段 所在直线的函数解析式为 ，
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
把 和 代入解析式得： ，解得 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ；
线段 所在直线的函数解析式为 ，
当 时，由题意得 ，
解得 或 ；
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或6秒或10秒或18秒时，它们距离地面的高度差为10米．
57．（24-25八年级上·山东济南·期末）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游
玩，设乙行驶的时间为 ，甲、乙两人距出发点的路程 、 关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两
人之间的路程差 关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是______ ，乙的速度是______ ；
(2)分别求出 、 与x的函数关系式；
(3)对比图1，图2可知： ______， ______， ______；
(4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距 ？（直接写出x的值）
【答案】(1)30，12
(2) ，(3)12， ，24
(4) 或 或 或
【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用，能够从函数中读取信
息是解题的关键．
（1）根据图象中的信息求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）首先求出当 时， 和 ，然后作差即可求出a；根据题意得到 时， ，即此时甲乙两人
相遇，然后联立表达式求解即可；求出当 时， 和 ，然后作差即可求出c；
（4）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）甲的速度是 ，乙的速度是 ；
（2）设
将 ， 代入得，
解得
∴ ；
设
将 代入得，
解得
∴ ；
（3）当 时， ，∴ ；
根据图2可得， 时， ，即此时甲乙两人相遇
∴联立得，
解得
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
（4）根据题意得，
当甲还没出发时，
解得 ；
当甲出发后，追上乙前，
解得
当甲追上后，还没到终点前，
解得
当甲到达终点后，乙还没到终点前，
解得
综上所述，乙出发 或 或 或 小时，甲、乙两人相距 ．
58．（24-25八年级上·山西运城·期末）学科实践
问题情境：体育课上，老师组织同学们进行往返障碍跑比赛.甲、乙二人在相邻两条直跑道上比赛（注：跑
道长50米），他们从跑道同一起点出发，到达对面终点后，转身沿原路回到起点.数学思考：同学们根据两人比赛信息画出了如图所示的部分图象（跑步的过程均视为匀速）.图中的折线
是甲离起点的距离 （米）与比赛时间 （秒）的函数图象；线段 是乙去程中离起点的距离
（米）与比赛时间 （秒）的函数图象.已知线段 对应的函数表达式为 .
问题解决：
(1)求点 的坐标及线段 对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
(2)乙在对面终点处转身过程中因故耽误了2秒，结果仍比甲提前3秒回到起点.请在坐标系中画出表示乙转
身及返程途中，离起点的距离 （米）与比赛时间 （秒）之间的函数图象，并标明表示乙返程图象的两
个端点的坐标；
(3)请直接写出比赛过程中，当乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半时，比赛时间 的值.
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3) 或
【分析】本题主要考查一次函数图像和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数图像和性质是
解题的关键．
（1）将点 代入 ，即可得到点 坐标，设 ，将 代入，即可得到答案；
（2）根据题意补全图形即可；
（3）分到达 点前，和到达 点后两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，
解得 ，
，
设 ，
将 代入，，
，
；
（2）解：根据题意补全图形，
（3）解：到达 点前，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半，
即 ，
解得 ；
到达 点后，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半，
设 ，
将 代入，
解得
，
设 ，
将 代入，解得
，
乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半，
即 ，
解得 ；
综上所述，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半，比赛时间 的值为 或 ．
59．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达
到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计
两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量 与时间 （分钟）的关系数据记录如表 ：
电池充电状态
时间 （分钟）
增加的电量
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量 与行驶里 （千米）的关系，数据
记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程 （千米）
显示电量
【建立模型】（1）观察表 、表 发现都是一次函数模型请结合表 、表 的数据，求出 关于 的函数表达式及 关于
的函数表达式．
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点 千米处的目的地，若电动汽车行驶 千
米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量
为 ，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【答案】（1） ， ；（2）电动汽车在服务区充电 分钟
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出行驶 千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电 分钟后增加的电量，从而计算出充电 分
钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电
量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电 分钟后，电动汽车仪表盘显示电量 到达目的
地后电动汽车仪表盘显示电量 消耗的电量”列方程，求出 的值即可．
【详解】解：（1）设 关于 的函数表达式为 （ 为常数，且 ），
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
关于 的函数表达式为 ．
设 关于 的函数表达式为 （ 、 为常数，且 ），
将 ， 和 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，关于 的函数表达式为 ．
（2）当 时， ，
∴行驶 千米后，电动汽车仪表盘显示电量为 ，
充电 分钟后，增加的电量为 ，
∴充电 分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为 ，
若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为 ，
∴行驶完剩余的路程消耗的电量为 ，
，
．
答：电动汽车在服务区充电 分钟．
60．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图①，在长方形 中， ，
，点 从点 出发，沿 路线运动，到点 停止；点 出发时的
速度为每秒 秒时点 的速度变为每秒 ，图②是点 出发 秒后， 的面积 与
（秒）的函数图象．
(1)根据题目中提供的信息，请直接写出 的值；
(2)设点 运动的路程为 ，请写出点 出发后， 与 的函数表达式；
(3)当点 出发几秒后，以点 为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)(2)
(3)2秒，4.5秒，6秒
【分析】（1）根据三角形的面积公式可求 ，根据路程、速度、时间的关系可求 的值；
（2）确定 与 的等量关系后列出关系式即可；
（3）先计算 的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的 的值，若解
出的 值在对应的分段区间内，则 的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可．
【详解】（1）
∵ 出发时速度为1cm/秒，由图②得当 为12时，对应的时间为 秒，
∴图①中 ，
即
∴
∵ 在 上运动时
面积不变，因此图②中水平线段 表示 在 上运动时对应的 与 之间关系
∴ 表示 运动到了 点，由 至7即由4秒到7秒共3秒钟，面积由12 增加至30 ，增加了18
，即
∴
∴
当 运动到 时停止，此时 ，即对应图②中 秒，在 上速度为2cm/秒
走完 用的时间为 (秒)
∴
即
（2）前4秒速度为1cm/s，
，4秒后速度为2cm/s，
∴
因此
（3）
如图③当 时，
中
∴
∴
同理当 时，中
∴
当 时
在 的垂直平分线上
即 为 的中点
∴
即当 出发2秒，4.5秒，6秒时， 是等腰三角形
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，路程、速度、时间的关系，用函数关系式表示变量间的
关系及分类讨论的数学思想．此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不
同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式．
题型七：梯度计价问题(一次函数的实际应用)（重点）
61．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包
时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收
费用 （元 与上宽带网时间 （时 的函数关系如图所示，且超时费都为 元 时，则这两种方式所收的
费用最多相差 元．
【答案】【分析】本题考查了一次函数的应用，本题中应分三段进行计算，第一段是当 时，费用相差
(元)；第二段时当 时，费用相差小于 元；第三段当 时，根据函数图象列出
两种收费方式的收费与时间之间的函数关系式，根据关系式求出所收费用的差距．
【详解】解：由函数图象可知，当 时，费用相差 (元)，
当 时，费用相差小于 元，
当 时，两种收费方式的函数关系式分别是 ， ，
(元)，
这两种方式所收的费用最多相差 元．
故答案为： ．
62．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种
玉米种子，经过多次协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一
次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下：
购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 …
付款金额/元 10 50 58 130 …
任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？请直
接写出；
任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一个数量
关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为 千克，付款金额为 元，请你为小李建立 与 的函
数关系式；
任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量合在一
起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？
【答案】任务一：25，90；任务二： ； 任务三：可省8元
【分析】本题考查了有理数的混合运算、求函数关系式，
任务一：根据有理数的混合运算的法则列式计算即可；
任务二：根据题意写出 与 的函数关系式即可；
任务三：分别计算出两次购买的金额，再求和，再计算合在一起购买时花费的钱，进行比较即可．
【详解】解：任务一： ， ，故填表如下
购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 …
付款金额/元 10 25 50 58 90 130 …
任务二： ；
任务三：购买40千克付款金额 （元），
购买8千克付款金额 （元），
一起购买付款金额 （元），
（元），
答：一起购买可省8元．
63．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、
小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元
与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为 ；B种电动车支付
费用是 之内，起步价6元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为
，小唐家到公司的距离为 ，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）；
(2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同
为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差．
【答案】(1)B
(2)小宋和小元骑行的时间差为1分钟．
【分析】本题考查了一次函数的应用，
（1）首先求出所用时间为 分钟，然后根据函数图象，即可求解；（2）分别求得 的函数解析式，根据两人支付费用同为7.6元，代入解析式即可求解．
【详解】（1）∵两种电动车的平均行驶速度均为 ，小刘家到公司的距离为 ，
∴所用时间为 分钟，
根据函数图象可得当 时， 更省钱，
∴小唐选择 种电动车更省钱；
（2）设 ，将 代入得，
解得：
∴ ；
当 时， ，
当 时，设 ，将 ， 代入得，
解得：
∴
∵两人支付费用同为7.6元
∴ ，
∴当 时，
解得 ；
当 时，
解得 ；∴ ．
∴小宋和小元骑行的时间差为1分钟．
64．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的
出行市场，现有 ， 两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费 （元）与骑行时间 之间的对
应关系，其中 品牌收费方式对应 ， 品牌的收费方式对应 ，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)分别求 、 关于 的函数表达式；
(2)如果小明爸爸每天早上骑行 品牌或 品牌的共享电动车去公司上班，已知两种品牌共享电动车的平均
行驶速度均为 ，小明家到公司的距离为 ，那么小明爸爸选择哪个品牌共享电动车更省钱?
【答案】(1) 关于 的函数表达式为 10）， 关于 的函数表达式为 ；
(2)小明爸爸选择 品牌共享电动车更省钱．
【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程．
用待定系数法求出函数解析式即可；
根据小明家到公司的距离和共享单车的速度可以求出小明爸爸从家到公司需要的时间，再根据两种共
享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，通过比较选择价格较低的．
【详解】（1）解：当 时，设 （ ， 、 为常数），
将坐标 和 分别代入 ，
可得： ，解得： ，
当 时， ；
品牌每分收费 （元），
．
答： 关于 的函数表达式为 ，
关于 的函数表达式为 ；
（2）解： ， ，
当 时， ，
．
，
小明爸爸选择 品牌共享电动车更省钱，
答：小明爸爸选择 品牌共享电动车更省钱．
65．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携 克的月球背面土壤
样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装
饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒
挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170
元可以买2盒挂件和3盒印章．
(1)求每盒挂件和每盒印章的价格；
(2)如果购买挂件 盒，则购买印章_______盒（用含有 的式子表示）恰好能够配套分发；
(3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费 元，
求 关于 的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？
【答案】(1)40元，30元
(2)(3) ， 元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分段函数及一次函数的应用，能够根据题意列出准确的方程
组，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
（1）设每盒挂件 元，每盒印章 元，根据每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元
可以买2盒挂件和3盒印章，再建立方程组解题即可；
（2）根据给每位学生分发1个挂件和1个印章再列式计算即可；
（3）根据累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答．
【详解】（1）解：设每盒挂件 元，每盒印章 元．
根据题意得： ，
解得 ．
答：每盒挂件 40 元，每盒印章 30 元．
（2）解：∵给每位学生分发1个挂件和1个印章，
∴购买挂件 盒，则购买印章 盒恰好能够配套分发；
（3）解：当 ，即
解得： ，
∴ ．
当 ，即 时，
．
当有660名学生参加活动，则需购买挂件 （盒）．
当 时，
∴ （元）．
66．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）今年君君家科学养虾喜获丰收，上市22天全部售完．君君对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函
数关系如图①所示．大虾价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图②所示．
(1)观察图①，直接写出日销售量的最大值 ；
(2)根据图①，求君君家上市12天之前大虾的日销售量y与上市时间x的函数关系式；
(3)根据图②，当 时，根据大虾价格z与上市时间x的关系，试计算第8天与第12天的销售金额各
是多少？
【答案】(1)120千克
(2)
(3)第8天的销售金额是4160元，第12天的销售金额是4320元
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）由图①可知：日销售量的最大值为120千克；
（2）当 时，设 ，把 代入列方程计算即可；
（3）用待定系数法可得当 时，大虾价格z与上市时间x的函数关系式为 ，当 和
时，求出日销售量 和价格 的值，再计算销售金额即可．
【详解】（1）解：由图①可知：日销售量的最大值为120千克，
故答案为：120千克；
（2）解：当 时，设 ，把 代入得 ，
解得 ，
∴君君家上市12天之前大虾的日销售量y与上市时间x的函数关系式为： ；
（3）解：当 时，设大虾价格z与上市时间x的函数关系式为 ，将 ， 代入
得：，
解得 ，
∴ ，
当 时，日销售量 ，价格 ，
∴销售金额为 （元），
当 时，日销售量 ，价格 ，
∴销售金额为 （元），
答：第8天的销售金额是4160元，第12天的销售金额是4320元．
67．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某地出租车计费方法如图所示， 表示行驶里程，
（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
(1)该地出租车的起步价是______元；
(2)当 时，求 关于 的函数关系式；
(3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查分段函数的实际应用，涉及由图象获取信息、待定系数法确定函数表达式、已知函数值
求自变量等，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由图象即可得到答案；
（2）利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；
（3）由题意可知，当 时，列方程 求解即可得到答案．【详解】（1）解：由图象可知，该地出租车的起步价是 元，
故答案为： ；
（2）解：当 时，设 关于 的函数关系式为 ，
将 、 代入 得到 ，
解得 ，
当 时，求 关于 的函数关系式为 ；
（3）解：由（1）知起步价为 元，
，
由（2）知，当 时，求 关于 的函数关系式为 ，
当 时， ，解得 ，
答：若某乘客一次乘出租车的车费为40元，这位乘客乘车的里程是 ．
68．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出
租车自驾游．
公
租车收费方式
司
甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元．
乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元．
(1)设租车时间为x小时 ，租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为 元，
分别求出 与x间的关系式；
(2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算．
【答案】(1) ， ； ，
(2)当 ，甲合算
【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用；（1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可得出 、 与x之间的关系式；
（2）求出当 时x的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得： ， ；
， ．
（2）解： 当 ，
解得： ，
∴当 时，选择甲公司合算．
题型八：一次函数与几何综合（难点）
69．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在x轴上，
当 最大时，点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、一次函数的应用，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
延长 交 轴于点 ，点 即为所求，由对称的性质可得 ，求出直线 的解析式为
，令 ，则 ，求解即可得解．
【详解】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，延长 交 轴于点 ，点 即为所求，，
由对称的性质可得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点M的坐标为 ，
故答案为： ．
70．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数
的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为 ．若动点P在 的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出 两点坐标，直线上 时的函数值，根据动点
P在 的内部列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∵动点P 在 的内部，
∴ 且 ，
∴ ；
故答案为：
71．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交x轴和y
轴于A，B两点，点A关于y轴的对称点为C，作直线 ．
(1)求点C的坐标及直线 的函数表达式；
(2)在线段 上取一点D，连接 ，将 沿直线 翻折得到 ，且点E刚好落在y轴上．ⅰ）求点D的坐标；
ⅱ）试探究直线 与直线 的位置关系．
【答案】(1) ，直线 的解析式为 ；
(2)ⅰ） ；ⅱ）
【分析】本题主要考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，轴对称的性质及应用，解题的关键是掌握
对称的性质．
（1）求出 ， ，根据点 关于 轴的对称点为 ，得 ，再用待定系数法可得直线
解析式为 ；
（2）ⅰ）设 ，求出 ， ，根据 ，有
，解得 ，即可得 ；
ⅱ）延长 交 于 ，根据点 关于 轴的对称点为 ，将 沿直线 翻折得到 ，且点
刚好落在 轴上，可得 ，故 ，从而 ， ．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ，
令 ，得 ，
， ，
点 关于 轴的对称点为 ，
，
设直线 解析式为 ，
，解得 ，
直线 解析式为 ；
（2）解：ⅰ）设 ，
将 沿直线 翻折得到 ，且点 刚好落在 轴上，
， ，
，
，
解得 ，
，
；
ⅱ） ，理由如下：
延长 交 于 ，如上图，
点 关于 轴的对称点为 ，
，
将 沿直线 翻折得到 ，且点 刚好落在 轴上，
，
，
，，
，
．
72．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ，点
，点 的解．
(1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）；
(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接 ，设点P的运动时间为t秒，
△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S；
(3)在（2）的条件下，当 时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q， ，当点P
停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿 向终点C运动（当点M运动至点C
时停止运动），连接 、 ，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等．
【答案】(1)0，4；2，0
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的应用，勾股定理：
（1）解出关于m，n的方程，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当 时，点P在x轴的正半轴，当 时，点P在x轴的负半轴，（3）先求出分两种情况讨论：当点M在 上时，当点M在 上时，即可求解．
【详解】（1）解： ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
故答案为： ；
（2）解：根据题意得： ，
当 时，点P在x轴的正半轴，此时 ，
∴ ；
当 时，点P在x轴的负半轴，此时 ，
∴ ；
终上所述， ；
（3）解：当 时， ，此时 ，
∵点B的坐标为 ， ，
∴ ，
如图，当点M在 上时，∴ ，
即 ，解得： ，
此时点M运动的时间为 ；
如图，当点M在 上时，过点M作 轴于点N，此时点M到x轴的距离为 ，即
，
根据题意得： ，
在 中， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把点 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，当 时， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点M运动的时间为 ；
综上所述，点M运动 或 秒时， 与 的面积相等．
73．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点．
(1) 点坐标为__________， 点坐标为__________；
(2)如图1，若点 的坐标为 ，且 于点 ， 交 于点 ，求点 的坐标；
(3)如图2，若点 为 的中点，点 为 轴正半轴上一动点，连接 ，过点 作 交 轴于点
，当点 在 轴正半轴上运动的过程中，式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式
子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 的值不发生改变，
【分析】本题考查一次函数，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；（1）分别计算 和 ，对应的坐标即可求解；
（2）根据题意证明 ，进而求解即可；
（3）连接 ，则 ，证明 ，利用三角形的面积进一步即可求解；
【详解】（1）解：当 时， ，
解得： ，
故点 坐标为 ；
当 时， ，
故点 坐标为： ；
故答案为： ，
（2）解： ，
， ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
的坐标为 ，
；
（3）解： 的值不发生改变，
理由如下：
连接 ，则 ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
74．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线. .的点的横
坐标和纵坐标都扩大到原来的 倍，得到新的直线 ，则称直线 为直线 的“k倍伴随线”．
【定义辨析】
（1）若点 在 上，则下列四个点① 、② 、③ 、④ ，在 的 “k 倍伴随
线” 上的点有 （填序号）；
（2）下列函数图像是直线 的“2倍伴随线”的是（ ）；
A． B． C． D．
【定义延伸】（3）若直线 的“k倍伴随线”记为 ．现给出两个关系式：① ；②
．其中正确的是 （填序号）；
【定义应用】
（4）如图，已知直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点
C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值．
【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4） 或3．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据“k倍伴随线”求解即可；
（2）依据“k倍伴随线”求解即可；
（3）先求出直线 与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以 ，得 ，再
将 代入 可得结果；
（4）先求出 ，，再求出直线 的“k倍伴随线”为 ，再分三种情况讨论
即可求解．
【详解】（1）∵将 横、纵坐标都乘以2，得到 ，
将 横、纵坐标都乘以3，得到 ，
∴在 的“k 倍伴随线” 上的点有② 、 ④ ，
故答案为：②④；
（2）直线 经过 ，将这两点横、纵坐标都乘以2，得 ，
设直线 的“2倍伴随线”关系式为 ，将 代入得：
，解得： ，
∴直线 的“2倍伴随线”关系式为 ，
故选：B；
（3）直线 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ 经过 ，将这两点横、纵坐标都乘以 ，得 ，
∵直线 的“k倍伴随线”记为 ．
∴将 代入 得： ，
故答案为：②；
（4）直线 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的“k倍伴随线”为 ，
将 ， ，横、纵坐标都乘以 ，得到 ， ，
∴ ，
∴直线 的“k倍伴随线”为 ，
∵ 为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论：当 且 时，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 且 时，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 且 时，
得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或3
75．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）情景探究【问题情景】学习了“最短路径问题”后，李老师结合坐标系的知识，设计了下面的问题：如图1，在平
面直角坐标系中，已知点 为 轴上的一个动点，点 在什么位置时， 的值最小？
最小值为多少？
【方法探究】“顶尖”小组先在图1中画出点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时
的值最小；然后展示了两种求解方案：
方案一：连接 ，利用 列方程求出点 的坐标．
方案二：求出直线 对应的函数表达式，利用一次函数的图象与性质求出点 的坐标．
（1）点 的坐标为_____， 的最小值为_____．
（2）选择一种你喜欢的方案求出点 的坐标．
【推广应用】
（3）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，直线
经过点 ，且与 轴平行，分别在 轴和直线m上找点 ，使得 轴，且 的值最小，
求出点 的坐标．
【答案】（1） ， ；（2）点 的坐标为 ；（3）点 的坐标为 ，点 的坐标为
【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用：
（1）根据对称性求出 点坐标，勾股定理求出 的长即可；
（2）方案一，根据等积法求出点 坐标即可；方案二：求出 的解析式，进而求出直线 与 轴的交点
即为点 ；
（3）设 ，连接 ，证明 ，得到 ，进而得到
， 三点共线时， 的值最小；连接 ， 与直线 的交点即为点 ，进而求出点 ， 的坐标即可．
【详解】解：（1）∵ ，点 与点 关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在 上时， 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ ；
即： 的最小值为 ；
（2）方案一：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
方案二：∵ ，
∴设直线 的解析式为直线 ，把 代入，得： ，解得： ，∴ ，
当 时， ， ，
∴ ；
（3）由题意设 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小；
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，则： ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，即 ，
∴ ．
76．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，坐标系 中，直线 与 轴正半轴交于点 ，与
轴正半轴交于点 ，且 ， ．【基本问题】
（1）求直线 的解析式；
【问题探究】
（2）点 是线段 上一点，连接 ，当 的面积为 时，求 的值；
【问题拓展】
（3）在（2）的条件下，过点 作直线 轴，在直线 上有一点 ，直线 交 轴正半轴于点 ，
在射线 上有一点 ，使 ，请直接写出点 坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决问题的关键是证
明三角形全等．
（1）先根据勾股定理求得 的长，从而得出点 的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）由点 是线段 上一点， ，可得 ，根据 列出方
程，进一步得出结果；
（3）由（2）可知 ，由 可得 ， ，可证得 ，
从而得出 ，从而得出 或 ，可直线 的解析式，可得 或 ，推出
或 ，再求出 ，即可进一步得出结果．
【详解】解（1） ， ， ，
， ，
，将 ， 代入直线 中得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2） 点 是线段 上一点， ，
，
，
的面积为4.5，
，
解得： ；
（3） ，
， ，
， ，
，
直线 轴，
，
，
又 ， ，
，
，
或 ，
设直线 的解析式为 ，将 或 ， 代入得：或 ，
解得： 或 ，
直线 的解析式为 或 ，
令 ，则 或 ，
解得： 或 ，
或 ，
或 ，
或 ，
或 ，
或 ．
77．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，与
直线 交于点 ，B为直线 上一点．
(1)求a，m的值；
(2)当线段 最短时，求 的长和点B的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ， ；(2) ， ；
(3)存在， ．
【分析】（1）点 在直线 上求得m，结合两直线得交点求得点 ，代入即可求得a的值；
（2）过点A作直线 的垂线，垂足为C，求得点 ，结合直线 的解析式求得点 ，则
，根据直线 与坐标轴交点判定 为等腰直角三角形，过点C作y轴的垂线，交y轴于点
E，则 ，那么，线段 最短时，点B位于点C，其值为 ，且
；
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点M，则 最小，
求得直线 的解析式为 ，令 解得 即可．
【详解】（1）解：∵点 在直线 上，
∴ ，
∵直线 与直线 交于点 ，
∴ ，解得 ；
（2）解：如图，过点A作直线 的垂线，垂足为C，
∵直线 与y轴交于点D，∴点 ，即 ，
∵直线 的解析式为 ，
∴点 ，即 ，
则 ，
∵直线 与坐标轴交于点 和 ，
∴ ，
则 为等腰直角三角形，
过点C作y轴的垂线，交y轴于点E，则 ，
那么，线段 最短时，点B位于点C，其值为 ，
此时， ，
即当线段 最短时，求 的长和点B ；
（3）解：存在，理由如下：
如图，作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点M，
则 ，
∵直线 过点 ，
∴设直线 的解析式为 ，∵点
∴ ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，解得 ，
则 的值最小时，点 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角
三角形的判定和性质和轴对称的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和几何图形的结合．
78．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【模型呈现】
（1）如图1， 中， ，直线 经过点C，过点A作 于点D，过点B作
于点E，求证： ；
【模型应用】
（2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为 ，则点A的坐标是 ；
（3）如图3，直线l： 分别交x轴、y轴于点A、B．
①将直线l绕点A逆时针旋转 得到直线m，求直线m的函数表达式；
②如图4，点C的坐标为 ，点D为直线l上一动点，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得
到线段 ，请直接写出线段 长度的最小值．【答案】（1）见解析（2） （3）① ②
【分析】（1）同角的余角相等，求出 ，利用 证明 即可；
（2）根据（1）中结论得到 ，求出 点坐标即可；
（3）①过点 作 于点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，作 ，设 ，易得
，求出点 的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；②过点 作 轴，过点 作
轴，设 ，易得 ，求出 点坐标，利用勾股定理结合完全平方式的非负性，
进行求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）∵点B的坐标为 ，
∴ ，由（1）知： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）①过点 作 于点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，作 ，
设 ，则： ，
∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同法（1）可得： ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，则： ，解得： ，∴ ；
②过点 作 轴，过点 作 轴，设 ，则： ，
同法可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的最小值为： ．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数
解析式等知识点，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键．
79．（24-25八年级上·广西百色·期末）综合与实践
【积累经验】
（1）如图1， 于点A， 于点 ，点 在线段 上，连接 ， ， ，且
．求证： ， ．只需证明 __________ __________即可；【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形， ， ，已知点A的坐
标为 ，点 的坐标为 ，求点 的坐标；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点 在第一、三象限的角平分线 上，点 在 轴上，
为等腰直角三角形．
①如图3，当 时，求点 的坐标；
②直接写出其他符合条件的点 的坐标．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）① ；② ， ，
【分析】（1）因为 于 ， ，所以 ，因为 ，即可通过 证
明 ．（2）因为 ， ，得 ，因为 ，即可通过 证明
，再运用全等三角形的性质，即可证．
（3）①过点 作 轴，过点 作 的延长线，易得 ，
， ，通过 证明 ，再设点 的坐标为 ，
，根据 ， ，进行列式作答即可；
②分类讨论，当 时， ，和 分别作图，接着证明相应三角形全等，根据
全等三角形的对应边相等，列式作答即可．
【详解】解：（1） 于 ， ，
， ，
，
即 ，
，
，
，
；
故答案为： ， ；
（2）如图2，过点 作 轴于点 ．
点 ， ，
， ．
由（1）可知 ，
， ，
，
点 的坐标为 ．（3）①如图3，过点 作 轴，过点A作 ，交 的延长线于点 ．
， ，
， ， ，
．
轴，
．
，
，
， ．
点 在第一、三象限的角平分线 上，点 在 轴上，
设点 的坐标为 ， ．
， ，点 ，
， ，
解得 ， ，
故点 的坐标为
② ， ，过点 作 轴，过点 作射线 轴，且过点 作 ，如图：
，
∴ ，
∴ ，因为 ，
，
过点 作 轴，过点 作 ，
，
，
， ，
点 在第一象限的角平分线 上，点 在 轴上，
设点 的坐标为 ， ，
， ， ，
， ，
此时 无解，
当 ， ，过点 作直线 轴，与 轴交于点 ，过点 作 于点 ，如图：
， ，
，
即 ，
，
，
， ，
点 在第一、三象限的角平分线 上，点 在 轴上，
设点 的坐标为 ， ，
， ， ，
， ，
解得 ， ，故点 的坐标为 ；
当 ， ，过点 作直线 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于 ，如图：
， ，
，
即 ，
，
，
， ，
点 在第一、三象限的角平分线上，点 在 轴上，
设点 的坐标为 ， ，
， ， ，
， ，
解得 ， ，
故点 的坐标为 ；
当 时， ，过点 作直线 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
如图：， ，
，即 ，
，
，
， ，
点 在第一、三象限的角平分线上，点 在 轴上，
设点 的坐标为 ， ，
， ， ，
， ，
解得 ， ，
故点 的坐标为 ；
综上，其他符合条件的 点的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角
互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是
解题的关键．
