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专题10 全等三角形模型之对角互补模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互
补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳
理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°）..............................................................................................2
模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°）............................................................................................9
模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α）..........................................................................................19
..................................................................................................................................................25—
模型1.全等模型-对角互补模型（90° 90°）
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，
构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，② .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
MCD NCE
2）“斜边等腰直角三角形△ +直角△三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，② .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，∵△MCD≌△NCE，∴S =S ， .
MCD NCE
△ △
例1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知 ，将等腰直角
三角板 摆放在平面内，使点A在 的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边 上．
(1)如图1，小明摆放 ，恰好使得 ，又由于 是等腰直角三角形， ，
从而直接可以判断出点A在 的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了 的位置，请判断 平分 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，
请举出反例．
例2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）已知 中， ， ，D为AB边的中点，
，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
(1)当∠EDF绕D点旋转到 于E时（如图①），则 ______ （请在“＞、＝、
＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若
成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
例3．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC
上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；
问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条
直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角
边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
例4．（23-24七年级下·山东济南·期末）在 中， 于点 ， ， ．
(1)如图①，过点A作 于点H，交 于点P，连接 ．
①求线段 的长度；②求证： ；(2)如图②，若D为 的中点，点M为线段 延长线上一动点，连接 ，过点D作 交线段 的延长线于点N，则 的值是否发生改变？若
改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
—
模型2.全等模型-对角互补模型（60° 120°）
对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
1）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC.
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
2）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC.
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°
∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC。
又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，
例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA
于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数
量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．例2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，已知 ，在 的平分线 上有一点 ，
将一个60°角的顶点与点 重合，它的两条边分别与直线 ， 相交于点 ， ．下列结论：（1）
；（2） ；（3） ；（4） ， ，则 ；其中正
确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个
夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线．
(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB
的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
(2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角
度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP OB，请直接写出线段OD与OE的数量关系
（不用说明理由）．
例4．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝
5，OD＝4，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：
OD+OE＝_________；（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；
（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；
②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需
证明．
例5．（23-24八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边
AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为 ；
问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．
成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝
DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置?
例6．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图， ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作
一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于△M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数
不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD．（1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，
请给予证明;若不成立，请说明理由；（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB．上，点N在
边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明.
模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α）
对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转
的构造，构造手拉手全等。
1）“α对180°-α模型”
条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。
证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，
∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补）
条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。
证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
例1．（2024八年级上·绵阳市·专题练习）如图， 为 的角平分线，P为 上一点，且
于D， ，给出下列结论：① ；② ；③ ；④连
接 ，则 ；⑤四边形 的面积是 面积的2倍．其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图， 为的 平分线上的一点， 于点 ， 为
上一点， 为 上一点， ．（1）求证： ；（2）若 ，求
的值．例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知 的平分线OM上有一点P，
的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设 ，
．
(1)如图（1），当 时，试猜想PC与PD， 与 的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当 ， 时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当 时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；
若不成立，请说明理由．
1．（23-24八年级上·河南漯河·期末）如图，点 为定角 的平分线上的一个定点，且 与
互补，若 在绕点 旋转的过程中，其两边分别与 交于点 ，则一下结论：①
恒成立；② 的值不变；③四边形 的面积不变；④ 的长不变；其中正确的个
数为（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图， 为 的角平分线，点P为 上一点，且
于D， ，下列结论：① ；② ；③ ；④四边形
的面积是 面积的 倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知 ， 是 的平分线，将三角尺的直角
顶点P放在射线 上，两直角边分别与 ， 交于点C，D， 垂足为点N， ，
则四边形 的面积为 ．
4．（24-25九年级上·重庆·课后作业）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边
形．如图，四边形 是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．写出图中相等的角，并
说明理由．
5．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形 中， 是钝角， ，对角线 平分 ．(1)如图1，求证： ；(2)如图2，若 ，求 的度数；
(3)如图3，当 时，请判断 、 与 之间的数量关系？并加以证明．
6．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如：
(1)如图①，已知 是 的平分线，点A是 上一点，若 ，则可以得到
，请说明理由；(2)发现规律：连结 ，则 是等腰三角形．如图②，在等腰三角形 底
边的另一侧存在一点D，当 时，请直接写出 与 的数量关系．
(3)请解决下列问题：如图③，等腰 中， ，D是 外一点， ，且
，求证： ．
7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
平分 ．(1)如图1，若 ，根据教材中一个重要性质直接可得： ______ ．（填 、 、 ）
(2)如图2，求证 ；
(3)如图3，在等腰 中， ， 平分 ，求证： ．
8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知 ， 是 的平分线．三角板的直角顶点 在
射线 上移动，
(1)在图1中，三角板的两直角边分别与 ， 交于 ， ，求证： ；
(2)在图2中，三角板的一条直角边与 交于点 ，另一条直角边与 的反向延长线交于点 ，猜想此
时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．
9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，画 ，并画 的平分线 ，将三
角尺的直角顶点落在 的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与 的两边分别相交于点E、F，
试猜想 的大小关系，并说明理由．10．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，
∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC与E、F点。
（1）如图，若EF∥AB，求证DE=DF
（2）如图，若EF与AB不平行，则问题（1）的结论是否成立？说明理由.
11．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）在 中， ， ， ，垂足为G，且
． ，其两边分别交边 ， 于点E，F．(1)求证： 是等边三角形；(2)求证：
．12．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分
内容：已知：如图， 是 的平分线，点 是 上的任意一点． ， ，垂足分别
为点 和点 ．求证： ．
分析：图中有两个直角 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 ．
(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．
(2)【类比探究】如图②， 是 的平分线， 是 上任意一点，点M、N分别在 、 上，连
接 和 ，若 ，求证： ．
13．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）【情景呈现】(1)画 ，并画 的平分线 ．把三角尺的直角顶点落在 的任意一点 上，使三角尺的
两条直角边分别与 的两边 ， 相交于点 ， ，若 ， （如图1），则
；若把三角尺绕点 旋转（如图2），则 ．（选填“ ”，“ ”或“ ”）（不用证
明）
【理解应用】(2)在（1）的条件下，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，如图3．
①图中全等三角形共有 对；（不添加辅助线）②直接写出 与 之间的数量关系为 ．
【拓展延伸】(3)如图4，画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作 ，
当 时 的两边分别与 ， 相交于点 ， ， 与 相等吗？请说明理由．
14．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，已知 ，点 在射线 上，点 在射线 上，
且 ．连接 ，以 为边，在 内部作等边 ．(1)求证：点 在 的角平分线上；
(2)连接 ，试探究 、 、 的数量关系，并证明你的结论．15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，
(1)如图①，等腰 ， ，D为 的中点， ，将 绕点D旋转，旋转过
程中， 的两边分别与线段 、线段 交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段
之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图②，等腰 ， ，D为 的中点， ，将 绕点D旋转，旋转过
程中， 的两边分别与线段 、线段 交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段
之间的数量关系为 ；
(3)如图③，在四边形 中， 平分 ， ， ，过点A作 ，交
的延长线于点E，若 ， ，则 的长为 ．
16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 为 边的中
点，点 、 分别在射线 、 上，且 ， 连接 ．
(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
① 证明 ： ．② 直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．17．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O是斜边AB的中点，
将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三△角板绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），
记三角板的两直角边与Rt ABC的两腰AC、BC的交点分别为E、D，四边形CEOD是旋转过程中三角板
与 ABC的重叠部分（如图△①所示）.那么，在上述旋转过程中：
（△1）线段CE与BD具有怎样的数量关系？四边形CEOD的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（2）当三角尺旋转角度为____________时，四边形CEOD是矩形；（3）若三角尺继续旋转，当旋转角度
α（90°＜α＜180°）时，三角尺的两边与等腰Rt ABC的腰CB和AC的延长线分别交于点D、E（如图②所
示）. 那么线段CE与BD的数量关系还成立吗？△若成立，给予证明；若不成立，请说明理由。
18．（23-24八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形 中， ，
， ，点 ， 分别是 ， 上的点，且 ．探究图中线段 ，
， 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长 到点 ，使 ，连接 ．先证
明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是______．
【探索延伸】如图②，若在四边形 中， ， ，点 ， 分别是 ， 上的
点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【实际应用】如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的A处，快艇乙在指挥中心南偏东 的 处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海
里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东 的方向以40海里/小时的速度前进， 小时后，指挥中心观测到
甲、乙两艇分别到达 ， 处，且两艇之间的夹角为 ，试求此时两艇之间的距离．
