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专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、
外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进
行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.高分线模型...........................................................................................................................................2
模型2.双垂直模型...........................................................................................................................................3
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）.......................................................................................................5
....................................................................................................................................................7模型1.高分线模型
三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线
段叫做三角形的角平分线.
高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。
1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ．
2）条件：如图2，F为 的角平分线AE的延长线上的一点， 于D，结论：
．
图1 图2
1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，， ．
例1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AD， 分别是 的角平分线和高线，且
， ，则 ．
例2．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ，猜想 与 之间的数量关系，直接写出结论．
例3．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分
线，若 ， ．(1)求 的度数．(2)试写出 与 关系式，并证明．(3)如图，
F为AE的延长线上的一点， 于D，这时 与 的关系式是否变化，说明理由．模型2.双垂直模型
双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之
间的关系。
条件：如图所示，在 ABC中，BD，CE是两条高，
结论：①∠ABD=∠A△CE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③ 。
证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，
∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。
∵BD，CE是 ABC的两条高，∴ ，∴ 。
△
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于
点P，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
例2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， ， 是它的两条高，直线
交于点F， ．
例3．（2023·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若
， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）
子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。
条件：在Rt 中，∠ACB=90°，CD是 的高线，
结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③ 。证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∵∠ACB=90°，CD是高线，∴ ，∴ 。
例1．（23-24八年级上·山东·期中）如图，在 中， ， 是边 上的高线， ，
求 ， ， 的度数．
例2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在直角三角形 中， ，
为 所在直线上一动点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A．5 B．4.8 C．4.5 D．4
例3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是 上一点，且
．（1）求证： ．
证明：在 中，∵ （已知）∴ （ ）
又∵ （已知）∴ （等量代换）∴ （ ）
（2）如图②，若 的平分线分别交 ， 于点 ，求证： ．
（3）如图③，若 为 上一点， 交 于点 ， ， ， ．
①求 的值；②四边形 的面积是 ．
1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，已知 ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE
的交点，则线段BH的长度为（ ） △A． B．2 C．5 D．4
2．（23-24八年级上·绵阳市·期中）如图， ， ，下列叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在 中， 、 分别是 的角平分线和高，若
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在锐角 中， ， 边上的高，且 ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，在 中， 是高， 是中线， 是角
平分线， 交 于点G，交 于点H，下面说法正确的是（ ）
① 的面积 的面积；② ；③ ；④ ．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交
于点D，交 于点E， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（23-24湖北八年级联考）如图，在 中， ， ， 于 ，
于 ， 与 交于 ，则 ．
9．（2024·重庆·三模）如图， 中， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，已
知 ， ，则 的面积为 ．
10．（2024·重庆·八年级课堂例题）如图，在 中， 于点 ， 平分 交 于点 ．（1）若 ， ，则 的度数为 ；
（2）若 ，则 的度数为 ．
11．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上取
一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长为
．
12．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，在 中， ， 于点 ．
(1)尺规作图：作 的角平分线，交 于点 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ，求 的度数．
13．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在直角三角形 中， ， 是 边上的
高， ．(1)求 的面积；(2)求 的长．14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在直角三角形 中， 是斜边 上的高， ，
求：(1) 的度数；(2) 的度数．
15．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在 中， ，点 为 上一点，过点 作
于点 ．(1)当BD平分 ，且 时，求 的度数；
(2)当点 是 中点， ，且 的面积为 ，求 的长．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，在 中， 是高，
是角平分线，它们相交于点O， ， ，求 、 的度数．17．（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）锐角 中， 、 分别为 、 边上的动点，连接 、
交于点 ．(1)如图1当 、 运动到 、 ， ，求 的度数；
(2)如图2 当 、 运动到 、 分别平分 、 ，求 与 的数量关系．
18．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在 中， 的平分线交 于点E， 于
点D， 于点F．(1)如图，若 ，求 的度数；
(2)若 ，则 _____（用含α，β的代数式表示）；
(3)若 ，求 的值．
19．（24-25八年级上·山东单元测试）在 中， 是 的平分线， 是 的高．(1)如图①，若 ，则 _________．
(2)如图①， ，试说明 与 的数量关系．
(3)拓展：如图②，四边形 中， 是 的平分线， 是 的平分线，猜想： 与
的数量关系，并说明理由．
20．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，
(1)如图①所示，在 中， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，求
的度数．(2)如图②所示，已知 平分 ，交边 于点 ，过点 作 于点 ， ，
．① _________；（用含x的式子表示）
②试判断 的度数是否为定值？若是，请直接写出 的度数；若不是，请说明理由．
21．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线
段”为主题开展数学活动．(1)【初步探究】在 中， ，作 的平分线 交 于点D．在图1中，作
于E，求 的度数；
(2)【迁移探究】在 中， ，作 的平分线 交 于点D．如图2，在
上任取点F，作 ，垂足为点E，直接写出 的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在 中， 平分 ，点F在 的延长线上， 于
E，求出 与 之间的数量关系．
22．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，
我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在 中， 为 的平分线， ， ．求证： 为 的“等角分割
线”；
(3)在 中，若 ， 是 的“等角分割线”，请求出所有可能的 的度数．23．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图， 中，在 的延长线上取一点 ，作 于点
（1）如图①，若 于点 ，那么 是 的平分线吗？若是，请说明理由．请完
成下列证明并在下面的括号内填注依据
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定义）
（ ）
（两直线平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代换）
平分 （ ）
（2）如图②，若 中 的角平分线相交于点 ．
①求证：
②随着 的变化， 的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出 与 的数量关系；如
果没有变化，请直接写出 的度数．24．（23-24八年级上·湖北·期中）（1）如图 ，在 中， ，AD是 的角平分线，
是 的高线． 若 ， ，求 的度数． 试探索 ， 和 之间的数
量关系．
（2）如图 ，在 中， 是 的高线，延长 到点 ， 的平分线和 的平分线相
交于点 ，求 的度数．
