文档内容
第二篇 解题技巧篇
技巧04 解答题解法与技巧（讲）
考向 速览
规律预测
1.解答题中档常见题型：解三角形（三角函数图象与性质）与简单恒等变换相结合，考查利用正、余弦定理求
解三角形边、角、面积问题，常涉及最值、范围问题．注意在平面四边形中考查三角形应用.立体几何问题，
在解答题中多与线、面位置关系的证明结合，考查直线与平面所成角、二面角(平面与平面的夹角)的求法，注
意与体积最值问题交汇考查，着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转
化与化归思想贯穿整个立体几何的始终；高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题；证明一个
数列为等差或等比数列；求数列的通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.难度稳定在中档.
2.解答题中档以上题型：对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程
或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,从新高考命题看，连续
两年出现直线与双曲线位置关系问题，难度不减.解决此类问题的关键是通过联立方程组来解决；高考对函数
与导数的考查,已经从直接利用导数讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利
用求导的方法证明不等式、探求参数的取值范围、解决函数的零点、方程根的问题，以及在某不等式成立的条
件下，求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值.
3.难度摇摆不定的概率统计问题：对概率、统计与统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,其中
回归分析、独立性检验,用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点，常与抽样方法、茎叶图、频率分
布直方图、概率等知识交汇考查：二是统计与概率分布的综合，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频
率、概率以及概率分布列等知识交汇考查：三是均值与方差的综合应用，常用离散型随机变量、概率、相互独
立事件、二项分布、条件概率、正态分布等知识交汇考查. 回归分析与独立性检验常与概率交汇命题.中档以上
的题目主要是概率问题，涉及随机变量问题，有时与数列、导数等相结合.
另外，高考的核心功能是“立德树人，服务选才，引导教学”，特别是在发挥“立德树人”功能方面，更加注
重“五育”并举，在选择题、填空题、解答题中均有相关背景的题目出现，如“一带一路”、“疫情防控”、“南水北调”、“亚运赛事”、“冬奥赛事”、“低碳生活”、“扶贫脱贫”、“建党百年”、“社区生活”
等，特别是考查概率与统计的综合问题，往往以社会热点话题为背景，值得我们关注.
方法技巧 典例分析
解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前
的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意
识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．因此，
抓住解答题得分要点，是高考决胜的必要条件.复习的后期要特别注意以下几点：
1.高考阅卷速度以秒计，规范答题少丢分
高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没
分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.
2.不求巧妙用通法，通性通法要强化
高考注重通性通法的考查，高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用
常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.
3.干净整洁保得分，简明扼要是关键
高考已实行网上阅卷，若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写
错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.
4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题
(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢
分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问
的结论推出一些结论，可能就是得分点.
5.评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，解题步骤的书写，要保证逻辑思路清晰，用词用句、符号、
行段等，规范无误，突出过程中“结论”的“醒目”位置，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按
步得分，踩点得分，一分也要抢．
从近几年命题原则、命题要求及高考命题看，解答趋势是不拘泥于某种特定模式，引导师生避免“解题模式
化”，防止“思维固化”、“弱化”思维创新能力.因此，我们应在规范答题过程上着力！
01 三角函数与解三角形
【核心提示】
1.三角函数图象与性质的综合问题.
2. 三角形中基本量的求解（解三角形）．
3. 解三角形中的证明问题.
4. 解三角形中的范围、最值问题
【典例分析】
典例1. (2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝ ，②csin A＝3，③c＝ b这三个条件中任选一个，补充在下
面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝ sin B，C＝ ，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
典例2.（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
典例3.（2023·全国·模拟预测）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
△
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ABC的面积．
△
02 立体几何
【核心提示】
1.用空间向量证明平行、垂直
2. 求直线与平面所成的角（函数值）
3. 求二面角（函数值）
4. 空间中的距离、翻折、探索性问题
5. 立体几何中的动态问题．
【典例分析】
典例4.（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
典例5.（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的
中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45，
求三棱锥A−BCD的体积.
典例6.（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
为等边三角形， 分别为棱 的中点.(1)棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
(2)若 ，当二面角 为 时，证明：直线 与平面 所成角的正弦值小于 .
03 数列
【核心提示】
1.数列的判断与证明
2. 数列求和
3. 数列与不等式—最值、范围问题．
【典例分析】
典例7.（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
典例8.（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
典例9.（2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）已知数列 的前 项的和为 ,且.
(1)当 时,求证数列 为等比数列,并求 的通项公式;
(2)当 时,不等式 对于任意 都成立,求 的取值范围.
04 解析几何
【核心提示】
1. 圆锥曲线中的最值问题
2. 圆锥曲线中的范围问题
3. 圆锥曲线中的证明问题
4. 圆锥曲线中的定点问题
5. 圆锥曲线中的定值问题
6. 圆锥曲线中的存在性问题.
【典例分析】
典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两
点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
典例11.（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
典例12.（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知椭圆 过点 ，其右焦点为.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 上一动点（不在 轴上）， 为 中点，过原点 作 的平行线，与直线 交于点
.问 能否为定值，使得 ？若是定值，求出该 值；若不是定值，请说明理由.
05 函数与导数
【核心提示】
1. 证明不等式
2. 不等式恒、能成立(存在性)问题
3. 判断函数零点个数
4. 根据零点个数求参数的值(范围)
【典例分析】
典例13.（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
典例14. (2020·全国Ⅰ)已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
典例15.（2023·陕西铜川·校考一模）已知函数 ．
(1)若存在 使得 成立，求a的取值范围；
(2)设函数 有两个极值点 ，且 ，求证： ．
06 概率统计
【核心提示】1. 回归分析及其应用
2. 独立性检验的实际应用
3. 离散型随机变量的分布列、均值与方差
4. 有关预测与决策问题.
【典例分析】
典例16.（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生
习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未
患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾
病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
典例17.（2023·湖南·模拟预测）2022年12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三
点新提法，其中“住房改善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯
彻中央经济工作会议精神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到访客户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第i天记为 ，第i天到访的人次记
为 ， ）
1 2 3 4 5 6 7
（单位：天）
4 20
（单位：人 12 22 68 132 392
次） 2 2
(1)根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为 （c，d均为大于零的常数）.请根据统计数据及
下表中的数据，求活动到访人次y关于活动开展的天次x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人
次；
参考数据：其中 ；
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为： ；
(2)该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意向的
决定因素主要有三类：A类是楼盘的品质与周边的生态环境，B类是楼盘的品质与房子的设计布局，C类是楼
盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：
类
A类 B类 C类
别
频
0.4 0.2 0.4
率
从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量X为被抽取的3人中A类和
C类的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.
典例18. （2023秋·辽宁·高三校联考期末）2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发
起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环
赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者
晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.
(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞
士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多
少？
(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞
士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队
战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X表示中国队最终获得的名次，求其分
布列和数学期望.
