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专题05 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、
婆罗摩笈多（定理）模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模
型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................5
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.阿基米德折弦模型.................................................................................................................................6
模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型................................................................................................................12
.......................................................................................................................................16
折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴
弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型。数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将
抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史
研究者津津乐道。
婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以7世纪印度数学家婆罗摩笈多 （Brahmagupta）命名，他是首个
系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千
年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的
音译差异。
（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线
是圆的一条折弦）， ，点M是 的中点，则从M向 所作垂线的垂足D是折弦 的
中点，即 ．下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，在 上截取 ，连接 、 、 和 ，∵M是 的中点， ，又
， ， ，
又 ， ， ，即
(1)【理解运用】如图1， 、 是 的两条弦， ，点M是 的中点， 于
点D，求 的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是 中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断
、 、 之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4， 是 的直径，点A是圆上
一定点，点D是圆上一动点，且满足 ，若 ， 的半径为10，求 长．
【答案】(1)3(2) ，证明见解析；(3) 或 ．【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知， ，
， ， ， ；
（2）解： ，证明如下：如图3，在 上取 ，连接 、 、 、 ，
点M是 中点， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
， ， ，即 ；
（3）解： 是 的直径， ，
的半径为10， ， ，由勾股定理得： ，
，
①当点 在 上方时，如图 ，过点 作 于点 ，连接 、 ，
， ， ， ， ，，即点 是 的中点， ，
， ；
②当点 在 下方时，如图 ，过点 作 于点 ，
， ， ， ，即点 是 的中点，
由（2）可知， ， ，在 中， ，
综上可知， 长为 或 ．
（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆
罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名
的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形 的对角线 与 垂直相交于M，过点M
的直线与边 分别相交于点F、E．则有下两个结论：
如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．
数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究．
证明： ， ，即 ， ， ，
在 中， ， ……
请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为
4，A，B，C，D为圆上的点， ，连接 交于点F，过点F作 于E，延长
交 于G，则 的长度为______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明： ， ，即 ，
， ，在 中， ， ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，∴ ；
（2）证明：∵ ∴ ，∴
又∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，∴ ；
（3）解：如图，连接 ，设 交于点M，
， ，
， ，即 ，
， ，
， ， ，由（1）中结论可得 ，
， ，在 中， ， ．
1）阿基米德折弦（定理）模型
条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则
从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。
M C H M C M C M C
B D B D G B D G B D
F
A A A A
图1 图2 图3 图4
证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接 ，AC；∵M是 的中点，∴ ．∵ ， ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ， ．∵ ，
，
∴ ．∴ ．∴ ．
法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC；
∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是 的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，
∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，
∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴ MBA≌ MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．
法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至△ F，使△BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC，
∵M是 的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，
∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF，
在△MBF和△MBA中， ， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC，
又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD；
2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型
条件：如图，四边形ABCD内接于 ，对角线 ，垂足为点M，直线 ，垂足为点E，并
且交直线AD于点F．结论： ．
证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，
又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD
2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理
条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点
E，FA=FD．结论：FE⊥BC．
证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，
∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．
模型1.阿基米德折弦模型
例1（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如
图， 和 组成圆的折弦， ， 是 的中点， 于 ，则下列结论一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ， ， ，是 的中点， ， ，
和 都是 所对的圆周角， ，
在 和 中， ， ， ，
又 ， ， ，故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C．
例2（2024·河南洛阳·校考二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高
斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ， 是
的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ，下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，延长 到点F，使得 ，连接DA，DB，DC和DF．
∵ 是 的中点∴ …
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边 内接于 ， ， 为 上一点， ． 于
点 ，则 的周长是______．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：∵ 是 的中点∴
∵ ，AE=CF∴ ∴
在 和 中 ∴
∴ ∴
（2）如图，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，
根据题意得，AB=AC， ,在 ABF和 ACD中， ∴ ABF≌ ACD∴AF=AD
△ △ △ △
∵AE⊥BD∴FE=DE∴CD+DE=BF+FE=BE
∵ ∴ ∴BD+CD=2BE=
∵ΔABC是等边三角形，且AB=BC=6∴ 的周长为： 故答案为：
例3（24-25九年级上·江苏连云港·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是 的中点，则从
M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA
的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是 的中点，∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG
又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：① ，② ，③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是 的中点，MD⊥BC于点D，
则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是 的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存
在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半
径为5，求AD长．
【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等
的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7 或 ．
【详解】（问题呈现）①相等的弧所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三
角形全等；（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1；
（变式探究）DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，
又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
（实践应用）如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．
因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．
已知∠DAC＝45°，过点D 作DG⊥AC于点G，则CG′+AB＝AG，
1 1 1 1 1 1 1
所以AG＝ （6+8）＝7．所以AD＝7 ．如图∠DAC＝45°，同理易得AD＝ ．
1 1 2 2
所以AD的长为7 或 ．
例4（2024·河南·校考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解
古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆
周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成
的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ．M是弧 的中点，则从M
向 所作垂线之垂足D是折弦 的中点，即 ．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从C点截取一段线段 ，连接
．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作 于点H，连接任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明： ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取 C，连接 ，
∵ 是 的中点，∴
在 和 中， ∴ ，∴
∵ ，∴ ∴ ；
（2）证明：在 中， ，在 中， ，
由（1）可知， ，
∴
；
模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型
例1（2024·河南·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多
定理”，也称“布拉美古塔定理”．
定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对
边”．
按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：________________________________________________________________________________，
求证：________________________________________________________________________________，
证明：________________________________________________________________________________．
【答案】见解析
【详解】解：已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点M，过点M作AB的垂线分别
交AB、DC于点F，E．
求证：点E是DC的中点．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥AB，
∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠BMF＝∠MAF，
∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，
∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可证ME＝CE，
∴DE＝CE，∴点E是DC的中点．点E是DC的中点．
∵AC⊥BD，EF⊥AB，∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，
∴∠BMF＝∠MAF，∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，
∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可证ME＝CE，∴DE＝CE；
例2（2024·河南周口·二模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、
四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定
理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于 ，对角线 ，垂足为点M，直线 ，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则 ．
证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．…
任务：(1)将上述证明过程补充完整；
(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于 ，对角线 ，垂足为点M，直线
FM交BC于点E，交AD于点F．若 ，则 ．请证明该命题．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【详解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，
∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD
（2）在Rt△AMD中，AF＝FD，∴FM＝AF＝FD，∴∠MAD＝∠AMF，∠ADM＝∠FMD，
∵ ，∴∠MAD＝∠CBD，∵∠BME＝∠FMD，∴∠BME＝∠ADM，
∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BEM＝90°，∴FE⊥BC．
例3（24-25九年级·江苏·假期作业）阅读材料并完成相应任务：婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，
他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔
定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形 内接于 ，对角线 于点 ， 于点 ，延长 交
于点 ．求证： ．
证明： ， ， ， ， ．……
任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知
中， ， ， ， 分别交 于点 ， ，连接 ， 交于点 ．过点 作
，分别交 ， 于点 ， ．若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：证明： ， ，
， ， ，
， ， ， ，同理， ， ；
（2） 四边形 是 内接四边形， ，
， ， ， ，
， ， ．
1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如
图， 和 组成圆的折弦， ， 是 的中点， 于 ，则下列结论一定成立的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ， ， ，
是 的中点， ， ，
和 都是 所对的圆周角， ，
在 和 中， ， ， ，
又 ， ， ，故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C．
2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互
相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在 中，四边形 是“婆
氏四边形”，对角线 相交于点E，过点E作 于点H，延长 交 于点F，则 的值
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，故选A．
3．（2024山东·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一
条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即
．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边 内接于 ， ， 为
上一点， ， 于点 ，则 的周长是 ．
【答案】
【详解】解：∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ 外接圆 中， ，即点 是弧 的中点，且 于点 ，
∴根据阿基米德折弦定理得， ，∵ 中， ， 于点 ，且，
∴ ， ，即 是等腰直角三角形，则 ，
∴ ，∴ ，
∵ 的周长为 ，∴ ，故答案为： ．
4．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂
直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形 是 的内接四
边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若 ，则 的半径为 ．
【答案】1
【详解】解：连接 ， 交于点E，连接 并延长交 于F，连接 ，设 的半径为r，
∵ 是直径，∴ ，由题意知 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
同理可得 ，∴ ，
∴ ，即 的半径为1，故答案为：1．
5．（24-25·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前 ～公元前 年，
古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛
顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（ 年～ 年）的译文中保存了
阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题
就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如图1， 和 是 的两条弦（即折线
是固的一条折弦）， ， 是弧 的中
点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦
的中点，即 ．
这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”
证明 的部分证明过程．
证明：如图2．作 射线 ，垂足为 ，连
接 ， ， ．
∵ 是弧 的中点，
∴ ．…
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图3，已知等边 内接于 ， 为 上一点， ， 于点 ，
，则折弦 的长是______．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【详解】（1）∵ 是弧 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 和 所对的弧是 ，∴ ，在 和 中， ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
（2）∵ 是等边三角形，∴ ， ，∵ ，∴ ，
∵ 于点 ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，
∴折弦 的长为： ，故答案为： ．
6．（2024·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知 内接于 ，点P在 上（不与点A，B，C重合），过点P分别作 ， ，
的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）：
如图（1），连接 ， ， ， ，取 的中点Q，连接 ， ，则
，（依据1）
∴点E，F，P，C四点共圆，∴ ．（依据2）
又∵ ，∴ ．
同上可得点B，D，P，E四点共圆，……
任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是 的中点时， ，请你利用图（2）
证明该结论的正确性．
【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补(2)见解析(3)见解析【详解】（1）①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
②依据2指的是圆内接四边形对角互补，
故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；
（2）如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE、QF，
则EQ=FQ= PC=PQ=CQ，∴点E，F，P，C四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°，
又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得点B，D，P，E四点共圆，∴∠DBP=∠DEP，
∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴点D，E，F在同一直线上；
（3）如图，连接 ．
∵点P是 的中点，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
7．（24-25·湖南长沙九年级月考）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、
零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这
类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）
①矩形；②菱形；③正方形
（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，
AB=6， ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．
（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知
∠BOC+∠AOD=180°．
①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．
【答案】（1）③；（2）3；（3）①见解析；②
【详解】解：（1）如下图，
∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形，
∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故答案为：③；
（2）∵∠BAC=90°，AB=6， ，∴ ， ,BD为直径，
∴∠BED=∠DEC=90°，∵四边形ABED是“婆氏四边形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，
设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根据勾股定理,
,即 ，解得 ，即DE=3；
（3）①设AC，BD相交于点E如图所示
∵ ， ，∠BOC+∠AOD=180°，∴ ，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC，
∴ ， ，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA=OB=OC=OD，∴ , ，
∵∠BOC+∠AOD=180°，∴ ，∴ ，
在△OAM和△BON中∵ ∴△OAM≌△BON（AAS），∴ ，
∵AD+BC=4设 ，则 ， ， ，
在Rt△BON中， ，
当 时，取得最小值 ，即⊙O半径的最小值为 ．
8．（2024·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问
题，其中有这样一个问题：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦），
， 是 的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．其部分证
明过程如下：证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
∵ 是 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，……
任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在 中， ， ，若 ， ， ，则到 的距离是____________， 到 的距离是____________， 的半径是____________．
【答案】(1)证明见解析 (2) ； ；
【详解】（1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
∵ 是 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
由（1）的结论，并结合图形，可得： ，
∴ ，解得： ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 到 的距离是 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ 到 的距离是 ，
∵ ， ，∴ ，∴ 的半径是 ．故答案为： ； ；．
9．（24-25··福建泉州·九年级校考期中）材料：如图①， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一
条折弦）， 点 是弧 的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即
。（1）如图②，已知等边 内接于 为弧 上--点，
于点 ，求 的周长；（2）求证： ．
【答案】（1）△BDC的周长为 ；（2）证明见解析
【详解】（1）解：∵AE⊥BD，∠ABD=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，∴ ，
又∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴A为弧BDC的中点，
∴AE平分折弦CDB，即BE=ED+DC，∴BD+DC=2BE= ；
∴△BDC的周长=BD+CD+BC= ；
（2）证明：如图，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，
∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中， ，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD．
10．（2024·山东临沂·统考一模）（1）如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），
BC>AB，点M是 的中点，MD⊥BC，垂足为D．求证：CD＝DB+BA．
（2）如图2，BC是半⊙O的直径，点A是半圆上一定点，点D是半圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若
AB＝5，⊙O的半径为6.5，
①请在图2上作出D点，说明理由；②结合（1）的结论，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）①作图见解析，理由：∠DAC＝ ∠DOC＝45°；②
【详解】（1）证明：如图，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是 的中点，∴MA＝MC，又∵∠A＝∠C，∴△MAB≌△MCG∴MB＝MG
又∵MD⊥BC，∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG，即CD＝DB+BA ；
（2）①如图2，过点O作DO⊥BC交半圆于点D，即为所求．理由：∠DAC＝ ∠DOC＝45°
②过点D作DM⊥AC ，∵DO⊥BC，∴D为半圆弧的中点，由（1）得，CM＝AM+BA ，∵BC是半⊙O的直径，⊙O的半径为6.5，∴∠CAB=90°，BC=13，∵A B＝5，∴ ，
∴AM=AC-CM=AC-（AM+AB），∴ = （12-5）= ，
∵∠DAC＝45°，∴AD= AM= ．
11．（24-25··浙江·九年级专题练习）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是 的中点，
DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）
__________．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
【答案】（1） ；（2） ，见解析；（3）40
【详解】（1） 是 的中点， 故答案为： （2）
理由如下：如图，在线段 上截取 ，∵
∴ 是 的中垂线∴ ，
∵点D是 的中点，∴ ， ， ∴
∵ ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 即
（3）∵ ∴
∴
12．（24-25·江苏·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在 中，C是劣弧 的中点，直线 于
点E，则 ．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．
如图2， ， 组成 的一条折弦．C是劣弧 的中点，直线 于点E，则 ．可
以通过延长 、 相交于点F，再连接 证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3， ， 组成 的一条折弦．C是优弧 的中点，直线 于点E，则 ， 与
之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3) ，证明见解析
【详解】（1）如图1，连接 ， ，∵C是劣弧 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ 是等腰三角形，∵ ，∴ ；
（2）如图2，延长 、 相交于点F，再连接 ，
∵四边形 是圆内接四边形，∴ ，∵C是劣弧 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ∵ ∴ ∴
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴
（3） ．理由如下：连接 ， ， ， 与 相交于点F，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ．
13．（2024·山西大同·三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学
家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之
父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：
如图1，以 为直径作半圆O，弦 是一个内接正五边形的一条边（即： ），点D是的中点，连接 并延长与直径 的延长线交于点E，连接 交于点F，过点F作 于点
M．求证： 是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：证明：如图2，过点D作 于点H．
∵ ，∴ ．（依据1）
∵点D是 的中点，∴ ．∵ ，∴ ．
∴ ．（依据2）
∵以 为直径作半圆O，∴ ．（依据3）
∴ ．∵四边形 是半圆O的内接四边形，
∴ ．（依据4）
∵ ，∴ ．
∵ 于点M，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ．∵ ．
∴ ．∴ ．……
通过上面的阅读，完成下列任务：(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出 的度数，再根据等腰三角
形的性质或判定完成该题的证明过程）
【答案】(1)依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．（或圆周角定理）；依据2：同
弧或等弧所对的圆周角相等；依据3：直径所对的圆周角是直角；依据4：圆内接四边形的对角互补(2)见
解析
【详解】（1）解：依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半（或圆周角定理）；
依据2：同弧或等弧所对的圆周角相等；依据3：直径所对的圆周角是直角；
依据4：圆内接四边形的对角互补；
（2）解：∵ ，∴ ，∵ 于点H，∴ ，∴ ，
∵ 是 的外角，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是半圆的半径．
14．（2024·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学
家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定
理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________ 证明：
（2）如图（2），在 中，弦 于M，连接 分别是 上的点，
于 于H，当M是 中点时，直接写出四边形 是怎样的特殊四边形：
__________．
【答案】（1）见解析；（2）菱形
【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形 中，对角线 于点M，过点M作 的垂线分
别交 于点 ． 求证：点E是 的中点
证明： ， ，
， ， ，
同理可证 ， ，∴点E是 的中点
故答案为：已知：如图，在圆内接四边形 中，对角线 于点M，过点M作 的垂线分别交
于点 ． 求证：点E是 的中点
（2）四边形 是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知， 分别是 的中点，
是 中点
∴四边形 是菱形故答案为：四边形 是菱形15．（24-25··江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦
（即折线 是圆的一条折弦）， ，M是 的中点，则从M向 所作垂线的垂足D是折弦
的中点，即 ．下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程．
（1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 和 ．
∵M是 的中点，∴ …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：（2）如图3，已知 内接于 ， ，D是 的中点，依据阿基米德折弦
定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰 内接于 ， ，D为 上一点，连接 ， ，
于点E， 的周长为 ， ，请求出 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）4
【详解】（1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 和 ．
∵M是 的中点，∴ ．在 和 中， ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ；
（2）根据阿基米德折弦定理得， ，答案为： ；
（3）根据阿基米德折弦定理得， ，
∵ 的周长为 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 中， ，∴ ．
16．（2023·江苏宿迁·统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内
接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形 的对角线 互相垂直，垂足为点 ，过点 的直线垂直
于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ，由垂直关系得 ， ，所
以 ，由同弧所对的圆周角相等得 ，所以 ，则 ，同
理， ，故 ；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为
（填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2， 和 为共顶点的等腰直角三角形， ，过点 的直
线垂直于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ．证明：点 是 的中点；
（2）如图3， 和 为共顶点的等腰直角三角形 ，点 是 的中点，连接
交 于点 ，若 ，求 的长．【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4．
【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另
一边”为真命题．理由如下：如下图，
∵ ， 为 的中点，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．即： ．
∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命
题．
故答案为：真命题．
【探究】（1）如下图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ 为等腰直角三角形，∴ ．在 和 中，
∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．
在 和 中， ∴ ．∴ ．即 是 的中点．（2）如下图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，∴ ．
在 和 中， ∴ ．
∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．在 和 中，
∴ ．∴ ．
17.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端
点的线段组成的图形．如图1，线段 、 组成折线段 ．若点 在折线段 上，
，则称点 是折线段 的中点．
(1)如图2， 的半径为2， 是 的切线， 为切点，点 是折线段 的中点．若 ，则
；(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3， 和 是 的两条弦（即折线段 是圆的一条折弦），
，点 是 的中点，从 向 作垂线，垂足为 ，求证： 是折弦 的中点；
【变式探究】(3)如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则 、 、 之间
存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】(4)如图5， 是 的直径，点 为 上一定点，点 为 上一动点，且满足
，若 ， ，则 ．
【答案】(1)3(2)见解析(3) (4) 或
【详解】（1）解： 是 的切线， 为切点， ， ，
， ， ， ， 是折线段 的中点， ，故答案为：3；
（2）证明：在 上截取 ，连接 、 、 、 ，
点 是 的中点， ， ， （SAS）， ，
， ， ， 是折弦 的中点；
（3）解： ，理由如下：
如图，在 上截取 ，连接 、 、 、 ， 点 是 的中点， ，
， （SAS）， ， ，
， ， ；（4）解： 是 的直径， ，
， ， ，当 点在 上时，如图，
， ，过 点作 交于点 ，
， ， ；
当 点在 上时，如图， ，过点 作 交于 点，
， ， ；
综上所述： 的长为 或 ，故答案为： 或 ．
