文档内容
专题05 整式的乘法与因式分解50道压轴题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 幂的运算压轴题
题型二 整式乘法压轴题
题型三 多项式乘法中规律性问题
题型四 多项式乘法与图形面积问题
题型五 乘法公式压轴题
题型六 乘法公式与几何图形
题型七 因式分解压轴题
题型八 十字相乘法
题型九 分组分解法
题型十 因式分解的应用
【经典例题一 幂的运算压轴题】
1．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算 的值，采
用以下方法：
设 ①
则 ②
② ①得， ．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1） ______；
（2）求 ______；
（3）求 的和；（请写出计算过程）
（4）求 的和（其中 且 ）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2- ；（3） ；（4） +
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝ ①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得
结果；
（2）设s＝ ①， s＝ ②，②−①即可得结果；（3）设s＝ ①，-2s＝ ②，②−①即可得结果；
（4）设s＝ ①，as＝ ②，②−①得as-s=-a-
，同理：求得- ，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝ ①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝ ①，
s＝ ②，
②−①得， s−s＝- s＝ -1，
∴s＝2- ，
故答案为：2- ；
（3）设s＝ ①
-2s＝ ②
②−①得，-2s−s＝-3s＝ +2
∴s＝ ；
（4）设s＝ ①，
as＝ ②，
②-①得：as-s=-a- ，设m=-a- ③，
am=- ④，
④-③得：am-m=a- ，
∴m= ，
∴as-s= + ，
∴s= + ．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读下面的文字,回答后面的问题：
求 的值.
解：令
将等式两边同时乘以5得到:
②-①得:
∴ 即
问题:(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.
【详解】解：（1）令
将等式两边同时乘以2得到:②-①得:
∴即
（2）
令
将等式两边同时乘以3得到:
②-①得:
【点睛】此题重点考查学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键.
3．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下列材料：
材料一：我们知道， 个相同的因数 相乘 ，记为 ．例如 ，此时，我们将指数3称作以2为
底8的对数，记为 （即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然， ）．一般地，若
（ 且 ， ），则n叫做以a为底b的对数，记为 （即 ，如 ，则4叫做以
3为底81的对数，记为 （即 ）．
材料二：由材料一可知，若 （ 且 ， ），则 ，对等式两边同时乘方，有
（ 为正整数），即 ，故 ．
(1)计算以下各对数的值： __________， __________， ___________；
(2)证明： （ 且 ， ， ），并求 ．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)0，3，6(2)证明见解析，2
(3)
【分析】本题考了整式的混合运算，有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，得出关系式是
解题的关键．
（1）根据对数的定义计算即可；
（2）设 ， ，根据对数定义，知 ， ，根据同底数幂相乘法则求出
，然后材料二可求 ，即可得证，然后利用
求解即可；
（3）利用（2）中 和材料二中 ，化简
，得出 ，然后利用对数
定义求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为：0，3，6；
（2）解：设 ， ，
根据对数定义，知 ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴；
（3）解：根据题意，得
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（23-24七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂 与 （
都是正数， 都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论：
①若 ，则 ．（底数相同，指数大的幂大）
②若 ，则 ．（指数相同，底数大的幂大）
尝试应用：试比较 与 的大小．
解：因为 ，，……（第1步）
又 ，
所以 ……（第2步）
问题解决：
(1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2
步的依据是_______．
(2)请比较下面各组中两个幂的大小：
① 与 ；
② 与 ．
【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大
(2)① ；②
【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键．
（1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数
大的幂大解答即可．
（2）①化成 ， ，根据底数相同，指数大的幂大解答即可；
② ， 根据指数相同，底数大的幂大解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指
数相同，底数大的幂大，
故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大．
（2）解：①∵ ， ，
根据底数相同，指数大的幂大
∴ ，
∴ ．
②解：∵ ，
根据指数相同，底数大的幂大，
∴ ，
∴ ．5．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么
．例如：因为 ，所以 ．
(1)根据上述规定，填空： ， ， ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征： ，
小明给出了如下的证明：
设 ，则 ，即
所以 ，即 ，
所以 ．
试解决下列问题：
①计算
②请尝试运用这种方法证明 ．
【答案】(1)2，0，3
(2)①0；②证明见解析
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，新定义运算，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键．
（1）根据新定义运算法则即可；
（2）①根据新定义运算法则，得 即可；②设
，再根据新定义运算法则即可．
【详解】（1）解： ，即 ；
，即 ；
，即 ；
故答案为：2，0，3；
（2）①解：
；②证明：设 ，
，
，
．
【经典例题二 整式乘法压轴题】
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如果 ，那么 为 的劳格数，记为 ，由定义可知：
与 所表示的 、 两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空： ， ．
那么： ，
(2)劳格数有如下运算性质：
若 、 为正数，则 ， ．
根据运算性质，填空：
（ 为正数）．
若 ，则 ， ；
(3)如表中与数 对应的劳格数 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
0.8 2 3.2 4 5 8
【答案】(1)3，(2)3，0.9542，
(3)见解析
【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的新定义解答问题．
（1）根据题意可以得到 和 的值；
（2）根据 ， ，可以解答本题；
（3）先假设 是正确的，可以得到 和 的值，然后和表格中的数据对照，从而可以解答本题．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
故答案为：3， ；
（2）解：由题意可得，
，
，
， ；
故答案为：3，0.9542， ；
（3）解： 和 对应的 错误，
理由：若 正确，
则 ，
，
故题目中的 和 正确，
表中与数 对应的劳格数 有且只有两个是错误的，
的假设是正确的，
则 ，故表格中的 是错误的，，故表格中的 是错误的，
，故表格中的 是正确的，
由上可得，表格中的 ， 是错误的，正确的 ， ．
7．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）材料一：若一个自然数除以3余数为 ，则该自然数的各数位上的数
字之和除以3的余数也为 ．例如125除以3余数为2，则 除以3的余数也为2．
材料二：若一个自然数 可以表示为一个整数 的平方，那么该自然数 称为完全平方数．例如 ，
所以169是完全平方数．
(1)证明：完全平方数 除以8的余数为1．（其中 为整数）
(2)一个各位数字均不为0的四位自然数 ，去掉 的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉
的千位数字后形成的三位数除以3余2，由 的千位数字与百位数字构成的两位数记为 ，由 的十位数字
与个位数字构成的两位数记为 ， 为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数 ．
【答案】(1)见详解
(2)2326，2623，4338，4635，4932，1368，1665，1962，8239，8536，8833，5269，5566，5863，2299，
2596，2893，8386，8683
【分析】（1）将 展开为 ，即可求证，
（2）结合材料1可得到 ， ，根据 、 、 、 的范围，得到
，且是完全平方数，得到 ， ， ， ， ，
结合 与 的范围，分情况讨论，即可求解，
本题考查了，十进制整数表示方法，完全平方数，解题的关键是：根据条件列式，分情况讨论．
【详解】（1）证明： ，
∵ 为整数，
∴ 能被8整除，
∴完全平方数 除以8的余数为1；（2）解：∵ 余数为1， 余数为2，
∴ 余数为1， 余数为2，
设 ， ，其中 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为完全平方数且为奇数， 之间的奇数完全平方数有： ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
当 ， 时，
，b可取 ，
，c无值可取，
当 ， 时，
，b可取 ， ，
，c可取 ，
∴ ， 或 ，
∴ ， ，
当 ， 时，
，b可取 ， ， ，
，c可取 ， ，∴ 或 ， 或 或 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
当 ， 时，
，可取 ， ， ，
，可取 ， ， ，
∴ 或 或 ， 或 或 ，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ，
当 ， 时，
，可取 ， ，
，可取 ，
∴ ， 或 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，
若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，
例如 ，所以 和 与 和 都是“幸福数对”.
解决如下问题：
(1)请判断 与 是否是“幸福数对”？并说明理由：
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为 ，个位数字为 ，且 ；另
一个数的十位数字为 ，个位数字为 ，且 ，试说明 ， ， ， 之间满足怎样的数量关系，并写出
证明过程；
(3)若有一个两位数，十位数字为 ，个位数字为 ；另一个两位数，十位数字为，个位数字为 ．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．
【答案】(1) 与 是“幸福数对”，理由见解析
(2) ；证明见解析
(3) 和
【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
（1）根据定义即可得到答案；
（2）根据定义得： ，化简得 ；
（3）根据定义列等式，化简解方程可得 的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 与 是“幸福数对”
（2）解：
理由如下，依题意， ，
，
，
， ，
∴ ．
即
（3）解：由（2）可得
即
∴
解得： ，
则 ， ；
，
∴这两个两位数分别为： 和 ．9．（23-24七年级上·福建福州·期中）观察下列两个等式： ，给出定
义如下：我们称使等式 成立的一对有理数 为“同心有理数对”，记为 ，如：数对
，都是“同心有理数对”．
(1)判断数对 ， 是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由；
(2)若 是“同心有理数对”，
①则 _________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）；
②求 的值．
【答案】(1) 不是“同心有理数对” ， 是“同心有理数对”，理由见详解
(2)①是②
【分析】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可；
（2）①根据新定义，由 得 即可；②先化简，再代入求值即可．
【详解】（1）解： ， ，
故 不是“同心有理数对” ．
， ，
，
故 是“同心有理数对”；
（2）解：① 是“同心有理数对”，
．，
故 是“同心有理数对”，
故答案为：是；
②由 得： ，
，
当 时，
原式
【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题．
10．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式
，代数式 ，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：
x 0 1 2 3 4
2
0 3 8 15 35
4
1
0 3 8 24
5
观察表格发现：当 时， ，当 时， ，我们把这种现
象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．
(1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
(2)若代数式 参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；
(3)若代数式 参照代数式 取值延后，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)3；
(3) ．【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将 改为 ，化简即可；
（2）设延后值为k，将延后的代数式等于 ，使得各项系数相等，解方程即可；
（3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，
（2）解：设相应的延后值为k，得： ，
化简得： ，
，解得 ，
当 时， 成立，
∴相应的延后值是3．
（3）解：设相应的延后值为m，得： ，
化简得： ，
，
将 代入 ，可得
∴ ．
【点睛】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解
是解题的关键．
【经典例题三 多项式乘法中规律性问题】
11．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解
九章算术》中记载的“杨辉三角”．第一行
第二行 各项系数和为
第三行 各项系数和为
第四行 各项系数和为
…… …… …… ……
此图揭示了 （n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下
问题：
(1)多项式 展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______；
(2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记 ， ， ……请完成下列问题：
①计算 ；
②计算 ；
③请直接写出 的值．
【答案】(1)8，7，128
(2)①357；② ；③4051
【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法；
（1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将 展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可．
（2）①根据规律得出 ，进而将 代入进行计算即可求解；②将已知式子裂项为 ，即可求解；
③根据 进行计算即可求解．
【详解】（1）根据“杨辉三角”可知，
第2行， 展开后，各项的系数和为 ，
第3行， 展开后，各项的系数和为 ，
第4行， 展开后，各项的系数和为 ，
第5行， 展开后，各项的系数和为 ，
第6行， 展开后，各项的系数和为 ，
第7行， 展开后，各项的系数依次为 、 、 、 、 、 、 ，各项的系数和为
第8行， 展开后，各项的系数依次为 、 、 、 、 、 、 、
各项的系数和为
展开后，各项的系数和为 ，
∴多项式 展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为128；
故答案为：8，7，128．
（2）①由题意得： 、 、
∴
∴
②由题意得： 、 、
∴∴
③
12．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是
他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了 （ 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)请在图中括号内的数为______；
(2) 展开式共有______项，第19项系数为______；
(3)根据上面的规律，写出 的展开式：______；
(4)利用上面的规律计算： ；
(5)假如今天是星期五，那么再过 天是星期几？（写过程）【答案】(1)
(2) ；
(3)
(4)
(5)四
【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键．
（1）根据表中数据特点解题即可；
（2）罗列后按照规律 展开式中共有 项, 当 时，倒数第三项的系数是 ，代入数
据计算即可；
（3）根据图示顺推即可得到 展开式；
（4）根据 展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值；
（5）将 变形为 展开后前21项和是 的倍数，所以 除 结果的余数为 ，则有假如今天是星
期五，那么再过 天是星期四．
【详解】（1）解：图中括号内的数为 ，
故答案为： ；
（2） ，展开式有 项；
，展开式有 项，倒数第三项系数为 ；
，展开式有 项，倒数第三项系数为 ；
，展开式有 项，倒数第三项系数为 ；
展开式有 项，倒数第三项系数为 ；
……；
以此类推， 展开式中共有 项, 当 时，倒数第三项的系数 ；展开式共有21项，第19项系数为 ；
故答案为： ； ；
（3）根据图示，
故答案为： ；
（4）
∴当 时， ，
；
（5）
( 、 、 、 、 是一列常数) ,
，
刚好是 的整数倍，
∴ 除 结果的余数为 ，
∴假如今天是星期五，那么再过 天是星期四.
故答案为：四．
13．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）阅读：在计算 的过程中，
我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一
类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】
【归纳】 ；
【应用】计算
解：令 ， ，则
结合上述材料，完成下列问题：
(1)证明等式： ；
(2)应用（1）中所证明等式，计算 ；
(3)若多项式 ， 满足 ， ，用一个含 ， 的式子表示出 ，
之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探究；
（1）观察等式找到规律，根据规律即可求解；
（2）根据（1）的结论，令 ， ， 代入，即可求解；
（3）分别表示出 ，观察式子，即可求解．
【详解】（1）解：
……
∴
（2）计算
解：令 ， ，
则（3）解：∵
∴
当 时，
∵
∴
当 时，
∵ ，
∴
∴
14．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简
单到特殊的情况入手，例如：求 的值．分别计算下列各式的
值：
(1)填空：
；
；
；
由此可得 ；
(2)计算： ；(3)根据以上结论，计算：
【答案】(1) ， ， ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可；
（ ）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（ ）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．
【详解】（1） ，
，
，
由此可得： ，
故答案为： ， ， ， ；
（2） ，
故答案为： ；
（3） ，
,
，
．
【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与
乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键．
15．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题：小明遇到这样一个问题：求计算 所得多项式的一次项系数．小明想通过计算
所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的
方法．
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用 中的一次项系数1乘以 中的常数项3，再用 中的常数项2乘以 中的
一次项系数2，两个积相加 ，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数．可以先用 的一次项系数
1， 的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项系数2， 的常数项2，
的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项系数3， 的常数项2， 的常数项3，相乘
得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算 所得多项式的一次项系数为______．
(2)计算 所得多项式的一次项系数为______．
(3)若计算 所得多项式的一次项系数为0，则 ______．
(4)计算 所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
(5)计算 所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
【答案】(1)7
(2)
(3)
(4)5，10
(5)10，【分析】（1）结合已知可得 所得多项式的一次项系数 ，即可求解；
（2）结合已知可得 所得多项式的一次项系数 ，即可求解；
（3）由 所得多项式中不含一次项，可得
，即可求解；
（4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为：7；
（2） ，
故答案为： ；
（3）由题意得， ，
也就是， ，
所以， ；
故答案为： ；
（4）
一次项系数为： ；
二次项系数为： ．
故答案为：5，10；
（5） ．
．
一次项系数为： ，
二次项系数为： ．
故答案为：10； ．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关
键．【经典例题四 多项式乘法与图形面积问题】
16．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方
形卡片如图1依次记 、 、 三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
(2)请直接写出三个代数式： , , 之间的一个等量关系 .
(3)若要拼出一个面积为 的矩形，则需要 类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张.
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 , ，求 和 的值.
②已知 ，求 .
【答案】(1) ，
(2)
(3)1，3，2
(4)① ， ；②
【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键.
（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可；（2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案；
（3）先画长方形，长为 ，宽为 ，观察图形可得答案；
（4）①利用 和 计算即可；
②设 ， ，利用 求出 ，再利用
求出 ，最后把 还原后求解即可.
【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为： ，
方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即 ，
故答案为： ， ；
（2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，
∴ ，
故答案为：
（3）拼图如下：
观察图形可得：需要 类卡片1张， 类卡片3张， 类卡片2张.
故答案为：1，3，2；
（4）①根据（2）题可得 ，
∵ , ，
∴∴ ，
；
②设 ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∵
∴ ，
∴ ，
由 ，得
∴ ，
即 ，
整理，得 ，即
∴ .
17．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式
除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大
到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为
0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算 ，可依照 的计算方法用竖式进行计算.因此
.(1) 的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式 能被 整除，求 值.
(3)已知一个长为 ，宽为 的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此
时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为 ，若长方形B的面积比C的
面积大76，求长方形C的另一边长.
【答案】(1) ， ．
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）通过面积关系求长方形的边长．
【详解】（1）解： 用竖式计算如下，
的商是 ，余式是 ．∴答案为： ， ．
（2）多项式 能被 整除，则
∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0．
∴a=-6，b=2．
∴ab=（-6）2=36．
（3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x．
长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴4x+2a+12=8x．
∴a=2x-6．
∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8）
=3x2+16x-64．
∴长方形C的面积为：3x2+16x-140．
∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14．
∴长方形C的另一边长为：3x-14．
【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键．
18．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：代数式 的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式 ，所以 ，即 ．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知 的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在
大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为 ，左下角的
面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）根据含 项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出 的值，再根据含 项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设 ，先求出 ，从而可得 ，再根据“当 的长变化时， 的值始终保持不变”可知 的值与 的值无关，由此即可得．
【详解】（1）解：
，
关于 的多项式 的值与 的取值无关，
，
解得 ；
（2）令
，
原式=
，
的值与 无关，
，
解得 ；
（3）解：设 ，
由图可知， ， ，
则
，
当 的长变化时， 的值始终保持不变，
的值与 的值无关，，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加
减乘法的运算法则是解题关键．
19．（2022·重庆渝中·二模）阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积
法”直观地推导出了完全平方和公式： （如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方
法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为 的正方形，其面积为
．从局部看由四部分组成，即：一个边长为 的正方形，一个边长为 的正方形，两个长、宽分别
为 ， 的长方形．这四部分的面积和为 ．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个
代数式应该相等，即 ．
同理，图2可以得到一个等式： ．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若 ， ， ，且 ， ，求 的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过
这个几何图形得到一个含有 ， ， 的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求 的值．【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
(3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可；
（2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可；
（3）①根据题意画出图形即可；
②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可．
【详解】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2，
大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2，
所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2，
故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
（2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b），
大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2，
所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2，
故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
（3）①所画图形如下：
②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键．20．（23-24七年级下·浙江·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学
等式．例如图1可以得到 ，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ，则 _____；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为 的长方形纸
片拼出一个面积为 长方形图形，则 _______．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起， 三点在同一直线上，连接 和
，若两正方形的边长满足 ，你能求出阴影部分的面积吗？
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42
【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和；
（2）将所求式子转化为 ，代入已知条件即可；
（3）将式子化简为 ，即可确定 、 、 的值；
（4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积．
【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为 ，大正方形由9个长方形组成，则有
；
故答案为 ；（2）由（1）可得 ，
， ，
；
故答案为155；
（3） ，
， ， ，
；
故答案为9；
（4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，
即 ，
， ，
．
【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不
规则图形面积是解题的关键．
【经典例题五 乘法公式压轴题】
21．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数
为智慧数．例如， ， ， ，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．
小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢?
某数学兴趣小组的研究过程如下：
【阶段一】
特殊情况探讨： ， ， ， ， ， ……
【阶段二】一般性探究：同学们想到设 是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵ ① ，
∴除4外，所有能被② 整除的偶数都是智慧数．
∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数．
如果 是智慧数，那么必有两个正整数 和 ，使得 ，即
……
【阶段三】
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③ 个智慧数外，其余各组都有
④ 个智慧数，而且每组中第⑤ 个不是智慧数．
请你完成以下任务：
（1）下列偶数中是智慧数的是 ；
A．2018 B．2022 C．2024 D．2026
（2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整；
（3）请完成【阶段二】“……”部分的研究；
（4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
【答案】（1）C；（2）① ；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701
【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
（2）根据平方差公式即可求解；
（3）根据平方差公式即可求解；
（4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧
数．
【详解】解：（1）A、 ，
B、 ，
C、 ，
D、 ，
是智慧数的是C．
故答案为：C；
（2）一般性探究：同学们想到设 是正整数，，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵ ，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智
慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
故答案为：① ；②4；③1；④3；⑤二；
（3）如果 是智慧数，那么必有两个正整数 和 ，使得 ，即 ．
因为 和 这两个数的奇偶性相同，
所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，
而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，
可见等式左、右两边不相等，
所以 不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
（4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而
且每组中第二个不是智慧数，
又 ，
第2022个智慧数在 （组），并且是第1个数，即 ．
故答案为：2701．
【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘
素材，得到方法，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．
22．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读理解学习；
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的
代数式叫做对称式．例如：代数式 中任意两个字母交换位置，可得到代数 ， ， ，因为
，所以 是对称式：而代数式 中字母 ， 交换位置，得到代数式 ，因为
与 不一定相等，所以 不是对称式．
【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）；
① ② ③ ④
【能力提升】已知 ．
①若 ， ，求对称式 的值；
②若 ，求对称式 的最小值．
【答案】理解判断：①②④；能力提升：①18；②
【分析】本题主要考查的是整式的乘法，同时考查了完全平方公式．
（理解判断）对称式的新定义，进行计算确定是否相等即可；
（能力提升）① 得到 和 的式子，把 ， 代入求值即
可；
②把 值代入，然后转化成二次函数求出最值即可．
【详解】（理解判断）① ，是对称式；
② ，是对称式；
③ ，不是对称式；
④ ，是对称式；
故答案是：①②④；
（能力提升）① ，
， ．
①∵ ， ，
；
② ，
∴ ，
∴∴当 时，对称式 的最小值是 ．
故答案是：①②④，18， ．
23．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为
“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如 与 互为“对消多项
式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式 与 互为“对消多项
式”，“对消值”为t．若 ，求代数式 的最小值．
【答案】43
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式值等知识点，准确理解新定义是解题的关键．
先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得 、 ， ，进然后再
对所求代数式进行配方变形求解即可．
【详解】解∵ 和 ，
∴ ，
∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴．
答：代数式 的最小值是43．
24．（23-24八年级上·北京西城·期末）阅读材料：
如果整数 ， 满足 ， ，其中 ， ， ， 都是整数，那么一定存在整数 ， ，使
得 ．例如， ， ， 或 ，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知 ， ， 或 ，……若 ，则 ；
(2)已知 ， （ ， 为整数）， ．若 ，求 （用含 ， 的式
子表示）；
(3)一般地，上述材料中的 ， 可以用含 ， ， ， 的式子表示，请直接写出一组满足条件的 ，
（用含 ， ， ， 的式子表示）．
【答案】(1)9
(2) 或
(3) ，
【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）结合 ， ，求解即可；
（2）将 ， 代入 ，整理可得 ，即可获得答案；
（3）根据题意，可得 ，结合 ，可令， ，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：9；
（2）解：根据题意， ， ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 或 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
令 ， ，
此时可有一组解 ， ，
即 ， ．
25．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式 与 的和为常数，则称 与 互为
“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如 与 互为“对消多项
式”，它们的“对消值”为 ．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与 ； 与 ； 与(2)多项式 与多项式 （ ， 为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消
值”；
(3)关于 的多项式 与 互为“对消多项式”，“对消值”为 ．若
， ，求代数式 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)它们的“对消值”为 ；
(3)代数式 的最小值是 ．
【分析】此题考查了求代数式值的能力，
( )运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
( )先运用题目中的定义求得 ， 的值，再代入求解；
( )先求得 ，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．
【详解】（1）∵ ，
,
，
∴ 组多项式不是互为“对消多项式”， 组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为： ；
（2） ， ，
∵ 与 互为“对消多项式”，
， ，
， ，
∴它们的“对消值”为 ；
（3） ， ，
，∵ 与 互为“对消多项式”且“对消值”为 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
∴代数式 的最小值是 ．
【经典例题六 乘法公式与几何图形】
26．（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到
，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若 ， ，求 的值；【类比应用】（2）填空：①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板 如图2所示放置，其中 ， ， 在一
直线上，连接 ， ．若 ， ，求一块直角三角板的面积．
【答案】（1） ；（2）①7；②3；（3）30．
【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案；
（2）①设 ， ，则 ， ，由 进行计算即可；
②设 ， ，则 ， ，由 进行计
算即可；
（3）设 ， ，由题意可得， ， ，由 求出 的值
即可．
【详解】解：（1） ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
答： ；（2）①设 ， ，则 ， ，
，
故答案为：7；
②设 ， ，则 ， ，
，
故答案为：3；
（3）设 ， ，
， ，
， ，
即 ， ，
，
即 ，
，
答：一块直角三角板的面积为30．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答
的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．
27．（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两
种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的
面积．(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的大正方形，试用不同形
式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知 ， ，求 的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若
， ，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)21
(4)36
【分析】（1）根据大正方形的边长为 ，而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽
为a的长方形组成即可得出答案；
（2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长
方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案；
（3）由（2）得结论可得 ，然后将 代
入进行计算即可得出结论；
（4）分别求出 ， ， ，再根据又
得 ，然后由（1）可知： ，从而得，再将 进行计算即可得出答案．
【详解】（1）依题意得： ；
故答案为： ．
（2）依题意得： ；
故答案为： ．
（3）由（2）可知： ，
∴ ，
即： ，
又∵
∴ ；
（4）
．
当 ， 时，
原式 ．
【点睛】此题主要考查了集合背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方
公式的结构特征是解答此题的关键．
28．（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一
个数学等式．(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足 ，可设 ， ，则
， ．则 ______．
(3)若x满足 ，则 的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为 的大长方形，则
______；
(5)如图3，已知正方形 的边长为x，E，F分别是 、 上的点，且 ， ，长方形
的面积是24，分别以 、 为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面
积，即可得到等式；
（2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果；
（3）根据（2）中的方法可得到结果；
（4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，
计算其和即可；
（5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果．
【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即 ；方法二：阴影部分也可以看作边长为 的面积减去两个长为 ，宽为 的长方形面积，即
，
两种方法可得出： ；
（2）解：由（1）可得 ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）解：设 ， ，
∵x满足 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（4）解： ，
A纸片的面积为 ，B纸片面积为 ，C纸片面积为 ，
根据 可知要拼出一个面积为 的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C
纸片，
则 ；
（5）解：由图知 ， ，
∴ ，
∵长方形 的面积是24，
∴ ，设 ， ，
则 ， ，
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟
练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键．
29．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式
的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（ 的正方形A， 的正方形B，
的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出
的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片( 的正方形A， 的正方形B，
的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示
意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式
子，使等式成立；
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知 ，求 的最大值，请认真思考，
并完成解答．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)10
【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的关系，完全平方公式的应用，掌握多项式的乘法是解题
的关键．
（1）根据图形用两种方法表示面积即可；
（2）根据（1）种方法画图，并表示面积即可；
（3）根据图形的拼接得到等式即可；
（4）先化简得到 ，然后设 ，则有 ，代入配方得到 ，
根据完全平方式的非负性得到 ，解题即可．
【详解】（1）解： ；
（2）如图，式子为： ；
故答案为： ， ；
（3）如图，根据面积可得 ，
故答案为： ， ；
（4）解：∵ ，
∴
∴ ，即 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的最大值为10．
30．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积
最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．（1）【方法理解】
已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是 ，则相邻一边长是 ．
①当 时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形 的一边长是 ，相邻一边长是
______．如图3，将长方形 割补到长方形 的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，
均用含 的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，
所以代数式 、 、 满足的等量关系是______；
②当 时，类似上述过程进行割补；
③当 时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______；
（2）【方法迁移】
当 时，仿照上述割补过程，求代数式 的最大值．
【答案】（1） ； ； ；9；（2）见解析，32
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的
关键．
（1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案；
（2）先将代数式 化为 ，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出
的最大值，进而求出 的最大值．
【详解】（1）解：如图2，长方形 的一边长是 ，相邻一边长为 ，
如图3，阴影部分是一个边长为 的正方形，长方形 、 和阴影部分组成一个边长为3的正方形，- ，
当 时，用类似上述过程进行割补，可以得到 - ，
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9．
故答案为： ； ； ；9；
（2）解：依题意有 ，
当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，
，
当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，
，
当 时，该长方形为边长是4的正方形，
边长是 和 的长方形的最大面积是16，
的最大值为 ．【经典例题七 因式分解压轴题】
31．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，
使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当 时， （满足条件②）
4是 的下确界．
又例如：
，由于 ，所以 ，（不满足条件②）
故4不是 的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求 的下确界．
(2)若代数式 的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式 的下确界．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解，
（1）根据题干示例的方法计算即可作答；
（2）根据题意设 ，根据 可得 ，解方程即可求解；
（3）先分组得到 ，进而得到 ，则可得
到原式 ，据此仿照题意求解即可．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ （满足条件①），
当 时， （满足条件②），
∴ 是 的下确界；
（2）解：∵代数式 的下确界是1，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即： ；
（3）解：
，∵ ，
∴ （满足条件①），
当 ，即 时， （满足
条件②），
∴6是 的下确界
32．（23-24八年级上·四川内江·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方
式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求
值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解： ．
原式 ．
例2 若 ，利用配方法求 的最小值；
；
， ，
当 时， 有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： ；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)已知 是 的三边长，且满足 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)12
【分析】（1）原式常数项35化为 ，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可；（2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可；
（3）分别对 用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定 的值即可求出结果．
【详解】（1）解：
．
（2）
，
当 时， 有最小值 ．
（3） ，
，
即 ，
，
，
，
的周长为12．
【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌
握运算法则及公式．
33．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若两个正整数 ，满足 为自然数，则称 为 的“ 级”数．例如， ，则2为3的“11级”数．
(1)4是5的“______”级数；正整数 为1的“______”级数（用关于 的代数式表示）；
(2)是否存在 的值，使得 为 的“ 级”数？若存在，请举出一组 的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知 均为小于100的正整数，且 为 的“100”级数，直接写出所有满足条件的 的值．
【答案】(1)19，
(2)不存在，理由见解析
(3) 或 或
【分析】本题考查完全平方公式，因式分解的应用：
（1）根据新定义，进行求解即可；
（2）根据新定义，分别求出 ，以及 ，进行判断即可；
（3）根据题意，得到 ，进而得到 ，即两个连续的正整数的积是99
的倍数，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ 为自然数，
当 时， ，解得： ，
∴4是5的19级数；
当 时， ，
∴ ，
∴正整数 为1的 级数；
故答案为：18， ；
（2）不存在，
∵ ，
，∵ ， 为正整数，
∴ ，
∴ ，
故不存在 的值，使得 为 的“ 级”数；
（3）由题意，得：
∴ ，
∴ ，即两个连续的正整数的积是99的倍数，
∵ 均为小于100的正整数，
∴①当 时， ，此时 ；
②当 时， ，此时 ；
③当 时， ，此时 ；
综上： 或 或 ．
34．（23-24八年级下·四川达州·期中）阅读下列文字与例题，并解答：
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以
下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
原式
．
(1)试用“分组分解法”因式分解： ．
(2)已知四个实数 ，满足 ， ，并且 ， ， ，
，同时成立．
①当 时，求 的值；②当 时，用含 的代数式分别表示 ．
【答案】(1) ；
(2)① ；② ， ．
【分析】（ ）根据因式分解分组分解法分解即可；
（ ）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可；
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①当k=1时，得 ， ，
∵
，
，
∴ ，
∴ ；
②∵当 时,
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ，
∴ ．
35．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若一个四位数m千位数字与百位数字的差等于十位数字与个
位数字的差，则称这个四位数为“等差数”．将等差数m千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字
对调得到新数 ，并记 ，例如：在1234中， ， 是“等差数”，此时
；在1235中， ， 不是“等差数”．
(1)判断2569，8431是否是“等差数”，并说明理由；如果是，求出对应的 的值；(2)若四位数 ，且 ，记 ， ，
当 与 均为整数时，求出所有满足条件的“等差数”m．
【答案】(1)1235不是“等差数”，见解析
(2) 或
【分析】本题考查了因式分解的应用，理解整除的意义是解题的关键．
（1）根据题干中的新定义判断求解；
（2）先分别求出 ， ， ，再根据 ， ， ， 的取值范围和整除的意义求解．
【详解】（1）解： ，
是“等差数”，
；
，
不是“等差数”；
（2）解：由题意得： ，
，
，
，
， ， ， ， 都是1到9之间的整数， 与 均为整数，
， 都为 的倍数，
， 或 ， ，或 ．
【经典例题八 十字相乘法】
36．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 分解因式呢？我们已经知道：
．反过来，就得到：
．我们发现，二次三项式 的二次项的系数
分解成 ，常数项 分解成 ，并且把 ， ， ， ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，
就得到 ，如果 的值正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解为
，其中 ， 位于图的上一行， ， 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，
从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即 ，
把常数项 也分解为两个因数的积，即 ；然后把1，1，2， 按图2所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到 ，恰好等于一次项的系数 ，于是 就可以分解为
．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
__________．(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如 的关于 ， 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图
4．将 分解成 乘积作为一列， 分解成 乘积作为第二列， 分解成 乘积作为第三列，如果
， ， ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原
式 ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式 __________；
② 若关于 ， 的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积，求 的值．
【答案】(1)
(2) ；
(3) ；43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即 ，把常数项 也分解为两个因数的
积，即 ，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成 ，常数项写成 ，满足 ，写出分解结果即可．②把 项系数6写成 ，把 项系数2写成 ，满足 ，写出分解结果
即可．
（3）①把 项系数3写成 ，把 项系数-2写成 ，常数项-4写成 满足条件，
写出分解结果即可．
②把 项系数1写成 ，把 项系数-18写成 ，常数项-24写成 或
满足条件，写出分解结果，计算即可．
【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即 ，把常数项 也分解为两个因数的
积，即 ，所以 ．
故答案为： ．
（2）①把二次项系数2写成 ， ，满足 ，所以 ．
故答案为： ．
②把 项系数6写成 ，把 项系数2写成 ，满足 ，
所以 ．
故答案为： ．
（3）①把 项系数3写成 ，把 项系数-2写成 ，常数项-4写成 满足条件，
所以 ．
故答案为： ．
②把 项系数1写成 ，把 项系数-18写成 ，常数项-24写成 或
满足条件，
所以m= 或m= ，
故m的值为43或-78．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
37．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】先把式子化成 ，再运用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．
38．（23-24八年级·湖南长沙·开学考试）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十
字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问
题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+ ）（x﹣ ）（x+ ）（x﹣ ）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题
的关键．
39．（23-24八年级下·重庆云阳·期中）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2
的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．．
（1）“十字点”为7的“十字数”为 ：130的“十字点”为 ；
（2）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．
【答案】（1）40，12；（2）10或19．
【分析】（1）根据“十字点”的定义计算可得；
（2）根据已知可得 为大于2的正整数）， 为大于2的正整数），再根据
，分来讨论即可解答．
【详解】解：（1）“十字点”为7的“十字数”为 ，
，
的“十字点”为12，
故答案为：40，12；
（2） 的“十字点”为 ， 的“十字点”为 ，
为大于2的正整数）， 为大于2的正整数），
，
，
整理得， ，
， 为大于2的正整数， 为大于2的正整数，
， ；
，
，
或 或 ，（不合题意，舍去）， ， ；
或 ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，能够理解题意，根据题中所给条件将数进行正确的拆解是解题的关
键．
40．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 进行因式分解呢？我们已经知道，
ax cax c aax2 acx acx cc aa x2ac ac x cc．
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2
反过来，就得到： ．
我们发现，二次项的系数a分解成 ，常数项c分解成 ，并且把a， a， c， c 如图①所示摆放，
1 2 1 2
按对角线交叉相乘再相加，就得到 ，如果 的值正好等于ax+bx+c的一次项系数b，那么
2
就可以分解为ax ca x c ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a ， c 位于下一行．
1 1 2 2 2 2
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘
法”．
例如，将式子 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，
把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是 就可以分解
为(x 2)(x 3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
= ．
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1） = ；
（2） = ．
【探究与拓展】
对于形如 的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图
④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq
np b ， pk qj e ，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则
原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式 = ；
（2）若关于x，y的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足 ，请写出一组符合题意的x，y的值．
【答案】阅读与思考：图见解析， x- 3 x 2；理解与应用：（1） x 12x 7；（2）2x y3x
2y；探究与拓展：（1）x 2y 13x y 4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0．
【分析】【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；
（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；
（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．
【阅读与思考】画十字交叉图：
∴ = x -3 x 2．
故答案是： x- 3 x 2；
【理解与应用】（1）画十字交叉图：∴2x2 5x 7 = x 12x 7，
故答案是： x 12x 7；
（2）画十字交叉图：
∴6x2 7xy 2y2 = 2x y3x 2y，
故答案是：2x y3x 2y；
【探究与拓展】（1）画十字交叉图：
∴3x2 5xy 2y2 x 9y 4 x 2y 13x y 4，
故答案是：x 2y 13x y 4；
（2）如图，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3，
∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78．
∴m的值为：43或－78；
（3）∵ ，
∴ ，
画十字交叉图：∴ ，
∴ 或 ，
∵x，y为整数，
∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式以及应用，理解并掌握阅读材料中的“画十字交叉图”，是解
题的关键．
【经典例题九 分组分解法】
41．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在有理数范围分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）把 看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可；
（3）设 ，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可；
（4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）设 ，
则原式 ，
，
∴原式
（4）
，.
42．（23-24七年级下·浙江·期中）把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；
（4）利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
=
=
= ；
（3）
==
=
= ；
（4）
=
=
=
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．
43．（2021九年级·全国·专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式
法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：
．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写
在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．
这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为 与
例如：
分析：解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③ ________．
（2）已知： 、 、 为 的三条边， ，求 的周长．
【答案】（1）① ，② ，③ ；（2）7
【分析】（1）①将原式化为 ，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化
为 ，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式 的左边变形，再根据偶次方的非负性可
得出 ， ， 的值，然后求和即可得出答案．
【详解】解：（1）①
；
②
；
③ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ．
∴ 的周长为7．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘
法公式是解题的关键．
44．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解
题的关键．
（1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解；
（2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解；
（3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运
用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式；
（2）解： ，前两项为一组，后一项为一组，
∴原式 ，
，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组，
∴原式 ，
故答案为： ， ．
（3）解：
．
45．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解：
（分成两组）
（直接提公因式）我们发现，要将多项式 分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：
．这种分解因式的方法称为分
组分解法．根据以上方法回答下列问题：
(1)尝试填空： ；
(2)解决问题：已知 ，求 的值；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为 ，且满足 ，试判断这个三角形的形状，并
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)三角形是等腰三角形，理由见解析
【分析】此题考查了用分组分解法分解因式，熟练掌握分组分解法是解题的关键．
（1）利用分组分解法解答即可；
（2）利用分组分解法得到 ，再整体代入即可；
（3）利用分组分解法得到 ，则 或 ，即可得到结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：
（2） ，
∵ ，
∴原式 ；（3）三角形是等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ 或 ，
∴三角形是等腰三角形．
【经典例题十 因式分解的应用】
46．（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称
这个正整数为“和谐数”．如∶ ， ， ，因此8，16，24都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为 和 ，其中k是正整数，那么“和谐
数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n为正整数，且 ，若 和 都是“和谐数”．判断 是
否为“和谐数”，说明理由．
【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析
(2)“和谐数”能被8整除，理由见解析
(3) 是 “和谐数”，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是：
（1）设 ，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；
（2）利用平方差公式计算 ，然后由计算结果可得出答案；
（3）根据 是“和谐数”，求出 ，则 ，可设 ，其中k为正整数，则 ，故 ，代入 ，整理 ．由k为
正整数，得出 和 为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明 为
“和谐数”．
【详解】（1）解：设 ，
解得 ，
∴40是“和谐数”；
（2）解：“和谐数”能被8整除，
理由：
，
∵k是正整数，
∴ 能被8整除，
∴ 能被8整除，
∴“和谐数”能被8整除；
（3）解：∵ 是“和谐数”，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是“和谐数”，即 是“和谐数”，
∴可设 ，其中k为正整数，
∴ ，
∴ ，
∴．
∵k为正整数，
∴ 和 为两个连续正奇数，
∴ 为“和谐数”．
47．（23-24八年级上·云南红河·期末）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，
可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示
的是棱长为 的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为
；
拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的
方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ，
丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为
．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足 ，
，其中 ，求 的值．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）用两种方法表示图 1 中的大正方形的面积即可得解．
（2）用两种方法表示图 2中正方体的体积即可得解．
（3）将 和 用含有 ， 的式子表示出来即可得解．
【详解】解：（1）图 1 中的大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，
因此可得 ．
故答案为： ．
（2）图 2中正方体的体积可以表示为 ，也可以表示为 ，
因此可得 ．
故答案为： ．
（3） ， ，
，
，
，
又 ，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
48．（23-24八年级下·广东佛山·期中）材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以
得到一个数学等式．
(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个
关于a，b的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到
等式： __________，将等式右边因式分解，即 __________；
(3)根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形 ，其边长为19，求阴影部分的面积．
②计算：
【答案】(1)
(2)
(3)① ②
【分析】（1）利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论；
（2）利用两种方法求剩余的立方体的面积，即可得出结论；
（3）①根据整个阴影部分的面积等于各部分小阴影部分的面积之和，结合（1）中结论，进行求解即可；
②根据（2）中结论，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴关于a，b的等式为： ，
故答案为： ．
（2）解：由题意，得：
；
故答案为： ；
（3）解：①.
②
．
【点睛】本题考查因式分解的应用．正确的识图，利用两种方法表示面积和体积，是解题的关键．
49．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，
3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用
含 ， 的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
(2)若 ，求 的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技
图形的面积关系，因式分解： ______．
【答案】(1) ，
(2)20(3)
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；
（2）根据非负数的定义可得 ，再根据 进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
【详解】（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为 ，因此面积为 ，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为 的正方形减去4个长为 ，宽为 的长方形面积，因此有
；
故答案为： ，
（2）∵ ， ， ，
∵ ， ，即 ， ，
∴ ．
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为 ，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为 ，宽为 的长方形，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是关键．
50．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：把形如 的二次三项式 或其一部分 配成完
全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．例如： 、 、 是 的三种不同形式的配方 即“余项”分别是常
数项、一次项、二次项 ．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出 三种不同形式的配方；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)当 ， 何值时，代数式 取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)第一种： ；第二种： ；第三种：
(2)
(3)16
【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
（2）将 配方，根据平方的非负性可得 和 的值，可解答；
（3）首先把已知等式变为 ，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非
负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：第一种： ；
第二种： ；
第三种： ；
（2） ， ，，
，
，
， ，
；
（3） ，
，
，
，
，
解得 ．
当 ， 时，代数式 的最小值是 ．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形
式，然后利用非负数的性质解决问题．
