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专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字
模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.“8”字模型.............................................................................................................................................2
模型2.“A”字模型............................................................................................................................................8
模型3.三角板拼接模型.................................................................................................................................11
..................................................................................................................................................16模型1.“8”字模型
“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，线段 和 相交于点O， ， ，则
的度数是 度．
【答案】35
【分析】本题考查对顶角、邻补角，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理以及对顶角相等进行计算
即可．
【详解】解：∴ ，而 ，∴
，
∵ ，∴ ．故答案为：35．
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为
．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝
∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6
＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
例3．（2023·广东深圳·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数
量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；
（3）如果图2中， ， ， 与 分别是 和 的角平分线，试求 的度数；
（4）如果图2中 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 ， 之间存在着怎样的数量关系
（直接写出结论即可）．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可得出 、 、 、 的数量关系；
（2）分别以点 、 、 为交点，观察图形，即可得出答案；
（3）根据（1），得出 ， ，再两式相加，结合角平分线的定
义，可得 ，再把 ， 代入计算即可得到答案；
（4）根据（1），得出 ， ，然后整理，得出
， ，再结合角平分线的定义，得出
，即 ，然后等量代换，得出
，进而即可得出结论．
【详解】解：（1）结论为： ，理由如下：∵ ，
又∵ ，∴ ；
故答案为：
（2）交点有点 、 、 ，以 为交点有1个，为 与 ，
以 为交点有4个，为 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，
以 为交点有1个，为 与 ，
综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为：
（3）由（1）可知： ， ，
∵ 和 的平分线 和 相交于点 ，∴ ， ，
得： ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ；
（4）关系： ，
由（1）可知： ， ，
∴ ， ，
∵ 、 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，整理得， ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内
角和定理以及角平分线的性质是解题的关键．
例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．
求证：（1） ； （2） ．
（1）在 中， ，在 中， ，
两不等式相加得，∴ 即
（2）应用上题的结论： ， ，
∴ ．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者
能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律
为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决
问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论 ．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论 ．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2， 、 分别平分 、 ，说明： ．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ， ，
求 的度数．②在图4中， 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与
、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中， 平分 ， 平分 的外
角 ，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)① ；② ；③
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，再根据题干的结论列出
，相加得到 ，继
而得到 ，即可证明结论；
（2）①如图所示，分作 的角平分线交于H，根据（1）的结论得到 ，
再由角平分线的定义和平角的定义证明 ， ，再根据题干的结论可推出
；②如图所示，分作 的角平分线交于H，由（1）的结论可知
，，同理可得 ， ，则由四边形内角和定理可得
；③由题干的结论可得 ，由角平分线的定义得到
，再求出 ，由题干的结论可知
，由此可得 ．
【详解】（1）解：∵ 分别平分 ，∴ ，∴ ，
由题干的结论得： ，∠ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：①如图所示，分作 的角平分线交于H，由（1）的结论可知，
∵ 分别平分 ，∴ ，
∵ ∴ ，
∴ ，同理可得 ，由题干的结论可得 ，∴
；
②如图所示，分作 的角平分线交于H，
由（1）的结论可知 ，，同理可得 ， ，
∴ ；
③由题干的结论可得 ，
∵ 平分 ， 平分 的外角 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由题干的结论可知 ，∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”
字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2.“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据邻补角求得 ，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ，∴ ，故选：A．【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点
E，则 （ ）．
A． B． C．235 D．245
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出ADEAED，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：A65，ADEAED18065115，
BDECED360115245，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180是解题的关键．
例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ，
（都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.
【答案】(1)① ；② (2) ，理由见解析(3) .
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等
知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；
（3）由（2）的结论可得 ，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】（1）解：①如图1，∵ ，∴
，
∵ ，∴ ；
②由①方法可得： ．
（2）解： ，理由如下：由（1）可得 ．
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： ，理由如下：由图2可得， ，
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
模型3.三角板拼接模型
由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、
60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：
例1．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中
的度数是 ．
【答案】 /90度
【分析】先根据三角形内角和定理得到 ，再由对顶角相等得到 ，
由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，由题意得， ， ，
， ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算、对顶角的性质及三角形内角和定理，将实际问题转化成数
学问题是解题的关键．
例2.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在 的延长线上，点
C、F分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】由 ，利用“两直线平行，内错角相等”可求出 ，再利用三角形的外角性质，
即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ，∴ ．
∵ 是 的外角，∴ ．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
例3．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①
；② 与 互为补角；③若 ，则 ；④ ．其中一定正确的
序号是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】由题意知， ，则 ，进而可判断①的正误；由 ，
可得 ，则 与 互为补角，进而可判断②的正误；由 ，
可得 ，则 ， ，进而可判断③的正误；由题意知，
，即 ，由 ，可得 ，则 ，
进而可判断④的正误．
【详解】解：由题意知， ，∴ ，①不一定正确，故不符合要求；
∵ ，∴ ，
∴ 与 互为补角，②一定正确，故符合要求；∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，③一定正确，故符合要求；
由题意知， ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，④一定正确，故符合要求；故选：B．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之
间的数量关系．
例4．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将三角板 与三角板 摆放在一起，其中
， ， ，如图②，固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺
时针方向旋转，记旋转角 ．
(1)当 为______ 时， ；
(2)当 的一过与 的某一边平行（不共线）时，写出旋转角 的所有可能的度数；
(3)当 时，连结 ，分别交 、 于点 、 ，利用图③探 值的大
小变化情况，并给出你的证明．
【答案】(1)15(2)旋转角 的所有可能的度数是： ， ， ， ，
(3) ，证明见解析
【分析】（1）当 时， ，则 ，即可解答．
（2）分五种情况考虑： ， ， ， ， ，即可分别求出旋转角；
（3）利用三角形的内外角的相等关系分别得出： 及 ，由
的内角和为 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，即旋转角 °故答案为：15
（2）解：当 的一边与 的某一边平行（不共线）时，有五种情况：
①当 时，如下图，由（1）知旋转角 ；②当 时，如下图， 与 重合，∴ ，即旋转角为 ；
③当 时，如下图，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即旋转角为 ；
④当 时，如下图，延长 交 于点M，
∵ ，∴ ，∴
∵ ，∴ ，∴ ， 在同一直线上，即点A，B，D共线，
∴ ，即旋转角为 ；
⑤当 时，如下图，
∵ ，∴ ，即旋转角为 ；
综上所述，旋转角 的所有可能的度数是： ， ， ， ， ．
（3）（3）当 ， ，保持不变；
理由如下：在 中， ，
， ， ，
， ， ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，综合运用相关
知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．1．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另一
个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意得： ， ，
， ， ．故选：D．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
2．（2023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为 的直角三角形，一
个锐角为 的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解： ， ，
， ， ，
， ，故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在
另一个三角板的上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之
和．利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意得： ， ，
， ， ．故选：C
4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板 和 ，其中
， ， ，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么 不
可能等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 ，用三角形的外角性质得到 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 是 的外角，∴ ，∴ ，观察四个选项，选项D符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，不等式的性质，掌握“三角形的一个外角大于与它不相邻的任一
内角”是解题的关键．
5．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据四边形内角和为 可得 ，再根据直角三角形的性质可得
，进而可得 的和．
【详解】解： 四边形的内角和为 ，直角三角形中两个锐角和为
．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为 和直角
三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．
6．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为C，
且 保持不变．为了舒适，需调整 大小，使 ，则 应调整为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】A
【分析】延长 交 于H，利用“8”字形求出 ，利用外角的性质得到 ，由此求出 的度数，进而得到答案．
【详解】解：延长 交 于H，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，选A．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．
7．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得 ，根据平角的定义和四边形内角和可得
，同理可得 ，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴
∵ ∴ ，
同理可得： ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于 是解题的关键．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用内外角之间的关系可得 ．
【详解】解：∵三角形的内角和等于 ，
∴可得 和 的邻补角之和等于 ，
∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于 ,解题的关键是理解题意，掌握
这些知识点．
9．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角
板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋
∠ACD的度数．
【详解】解：在 ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在 DBC中，∠△BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴△∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则．
【答案】 /250度
【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出 ， ，
， ，再根据 ，进行求解即可得出
最后结果．
【详解】解：如图，进行标注，
是 的一个外角， ，
是 的一个外角， ，即 ，
是 的一个外角， ，
，
是 的一个外角，
，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键．
11．（2023春·广东·七年级专题练习）如图所示，已知 ， 平分 ， 平分 ，求
证：【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知
∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，即∠E＋ ∠C＝∠C＋ ∠A，∴∠E＝ （∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的
关键．
12．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ，
．
【答案】 /240度
【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】连接 ， ，
∴
又 ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质
以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
13．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在 中，D、E分别是 上的点，点F在
的延长线上， ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质可得 ，然后根据三角形的外角性质可得 ，最后代
入计算即可．
【详解】解：∵ ，∴ 由三角形的外角性质可得 ． ∴
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解答
本题的关键．
14．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算
每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补
充完整．(1)解：∵ ， ．
∴ ．
∵ ________ ，
∴ ________ ，
∴ ________ ．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求 ， ，
， ， 的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点 落在 上，点 落在 上，若 ，则
________ ．
【答案】(1) ， ， (2) (3)
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1） ， ． ．
， ， ；
（2） ， ． ．
， ；
（3） ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于 和三角形的一
个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
15．（2024·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知 ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中
虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ △
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知 ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据△（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析
【分析】（1）先求出∠B+∠A的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°，即可得到结论；
（4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，结合平角的定义和三角形内角和定理，即可得到结
论．
【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，
∴∠B+∠A=180°-90°=90°，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．故选：C；
（2）∵△ABC中，∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．故答案是：220°；
（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：如图：
∵△EFP是由 EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠△AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，四边形内角和等于360°以及折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
16．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图 ，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其
中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方
向旋转，记旋转角 ．
(1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ．
(2)当 时，连接 ，利用图 探究 值的大小变化情况，并说明理由．
【答案】(1) ， (2)不变，理由见解析
【分析】（1）如图 ，记 与 的交点为点 ， 与 的交点为点 ，由 ，可得
，再利用角的和差关系可得答案；如图 ，记 与 的交点为 ，求解
，由角的和差关系可得答案；
（2）如图3，设 分别交 、 于点 、 ，在 中，可得 ，
结合 ， ，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图 ，记 与 的交点为点 ， 与 的交点为点 ，
， ， ， ，即 ，
如图 ，记 与 的交点为 ，
， ， ，
，即 ，
（2）当 ， ，保持不变，理由如下：
如图3，设 分别交 、 于点 、 ，在 中， ，
， ，， ， ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利
用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键．
17．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
(2)【简单应用】如图2， 、 分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ，
，请猜想 的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设 ， ， ， ，试问 与
、 之间的数量关系为：___．（用 、 表示 ，不必说明理由）
【答案】(1)见解析(2) (3) ；理由见解析(4)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4)同法即可解决问题．
（1）证明：在 AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180° ∠AOB=∠COD ∠A+∠B=∠C+∠D
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD ∠1=∠2，∠3=∠4
由(1)的结论得
2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC ∠P= (∠ABC+∠ADC)∵∠ABC=35°，∠ADC=15° ∠P=25°
（3）解：如图3∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE
∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3)∠P+∠1=∠ABC+∠4
2∠P=∠ABC+∠ADC ∠ABC=35°，∠ADC=29° ∠P=(∠B+∠D)= ×(35°+29°)=32°
（4）解:同法可得，∠P= 故答案为：∠P=
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方
程组的思想思考问题，属于中考常见题型．
