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专题 04 三角形的性质与判定
目 录
题型01 三角形的三边关系
题型02 与三角形有关线段的综合问题
题型03 三角形内角和定理与外角和定理综合问题
题型04 三角形内角和与外角和定理的实际应用
题型05 线段垂直平分线和角平分线综合
题型06 特殊三角形的性质与判定
题型07 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题
题型08 与三角形有关的折叠问题
题型09 赵爽弦图
题型10 利用勾股定理解决实际问题
题型11 求最短距离
题型12 勾股定理逆定理的拓展问题
题型13 判断图形中与已知两点构成等腰三角形的点的位置
题型14 判断图形中与已知两点构成直角三角形的点的位置
（时间：60分钟）
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题型 01 三角形的三边关系
1．（2023·广东广州·广州市越秀区明德实验学校校考模拟预测）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是
关于x的方程x2−10x+k=0的两个根，则k的值为（ ）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
2．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a−b
(1)求第三条边长m的取值范围；（用含a，b的式子表示）
(2)若a，b满足|a−5|+(b−2) 2=0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值
4．（2023·广东江门·二模）已知关于x的方程x2+(3k−2)x−6k=0．
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
题型 02 与三角形有关线段的综合问题
1．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
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(1)若∠C=32°，求∠A的度数．
(2)画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AB=3，BC=4，求DE的长．
（画图工具不限）
2．（2023·陕西西安·一模）（1）请在图中过点A画一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）如图，在平行四边形ABCD中，请过顶点A画两条直线将平行四边形ABCD的面积三等分，并说明
理由；
（3）如图，农博园有一块四边形ABCD空地，其中AB=60m，BC=80m，CD=100m，AD=120m，
∠B=90°，点P为边AD的中点．春天到了，百花齐放，农博园设计部门想在这片空地上种三种不同的花
卉，要求三种花卉的种植面积相等，现规划，从入口P处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便
游客赏花，两条小路将这块地的面积三等分，请通过计算、画图说明设计部门能否实现规划，若能，请确
定小路尽头的位置；若不能，请说明理由．
3．（2023·湖北武汉·校考一模）如图，已知△ABC，M为边AC上一动点，AM=mMC，D为边BC上一
动点，BD=nDC，BM交AD于点N．
(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，
请大家探究以下问题
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BN
若m=n=1，则 = ______（直接写出结果）
MN
BN
(2)【问题探究】若m=1，猜想 与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论
MN
S
(3)【问题拓展】若m=1，n=2，则 △ANM =______（直接写出结果）
S
四边形CDNM
题型 03 三角形内角和定理与外角和定理综合问题
1．（2022·安徽·一模）将两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，
∠A=30°，BC与DE交于点P，AC与DF交于点Q．若AB∥EF，则∠DPC−∠DQC=（ ）
A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°
2．（2022·安徽合肥·二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，则
∠2的大小是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
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3．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发
现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．
4．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且
∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将
∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
5．（2022·江西吉安·统考二模）如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．
△
1
(1)求证：∠BOC= ∠A+90°．
2
(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．
(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．
①求证：BC−BE−CD=2OF．
②延长FO交BC于点G，若OF=2， DEO的面积为10，直接写出OG的长．
6．（2023·山东青岛·统考一模）【阅△读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得
∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角
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等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=______°；
（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=______°；
（3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=______°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=______°；
1
（5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO= ∠CBD，
3
1
∠BCO= ∠BCE，则∠BOC=______°；
3
1
（6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO= ∠CBD，
n
1
∠BCO= ∠BCE，则∠BOC=______°．
n
题型 04 三角形内角和与外角和定理的实际应用
1．（2023·江西吉安·模拟预测）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，
发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了
一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（ ）
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A．130° B．120° C．110° D．60°
2．（2023·山西太原·模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共
享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平
行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（ ）
图1 图2
A．70° B．68° C．60° D．50°
3．（2024·陕西西安·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心
O的光线相交于点P，点F为焦点． 若∠1=155°，∠2=30°，则 ∠3的大小为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．65°
题型 05 线段垂直平分线和角平分线综合问题
1．（2023·浙江杭州·二模）如图，△ABC中，∠BAC=70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于
点O，则∠ABO的度数为（ ）
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A．35° B．30° C．25° D．20°
2．（2023·山东枣庄·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB．边
AB的垂直平分线DE分别交CD，AB于点D，E．下列结论中正确的有（ ）个
1
①∠BAC=60°；②CD<2BE；③DE=AC；④√2CD=BC+ AB．
2
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·山西吕梁·模拟预测）如图：在△ABC中，
(1)实践与操作：利用尺规作∠BAC的角平分线交BC于点D，作线段AD的垂直平分线EF，交边AB于点
E，交边AC于点F，交AD于点O（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：连接DE．试猜想线段DE与AF的数量及位置关系，并加以证明．
4．（2023·江苏连云港·二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很
多……
【问题提出】
PA AC
(1)如图①，PC是△PAB的角平分线，求证： = ．
PB BC
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小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相
似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作
CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【理解应用】
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，
使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC=1，AB=2，则DE的长为___________．
【深度思考】
(3)如图③，△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于
点F，连接AF，当BD=3时，AF的长为___________．
【拓展升华】
(4)如图④，PC是△PAB的角平分线，若AC=3，BC=1，则△PAB的面积最大值是___________．
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5．（2022·浙江温州·模拟预测）已知：如图，∠MAN为锐角，AD平分∠MAN，点B，点C分别在射线
AM和AN上，AB=AC．
(1)若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD于点G，求证：
∠EBF=∠CAG；
(2)若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想∠EBF与∠CAG的数量
关系并证明你的结论．
题型 06 特殊三角形的性质与判定
AB
1．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，则 的值为
AC
（ ）
√2 1 √3 2
A． B． C． D．
2 2 2 3
2．（2024·上海普陀·一模）如图，△ABC和△DCB都是直角三角形，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，
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AC、BD相交于点O，如果∠DBC=30°，那么OC:AC的值是( )
√3 √3−1
A． B．2−√3 C． D．√3−1
3 2
3．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=8，
k
AB经过原点O，点C在y轴的正半轴上，AC交x轴于点D，且CD:AD=4:3，反比例函数y= 的图象
x
经过A、B两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为直线AC上一动点，求BP+OP的最小值．
4．（2023·山西·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且
CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的 CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1△）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S ADF的取值范围．
△
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5．（2021·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）如图，ΔABC、ΔADE均为等边三角形，BC=6，
AD=4．将ΔADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．
(1)在图①中证明ΔADB≅ΔAEC；
(2)如图②，当∠EAC=90°时，连接CD，求ΔDBC的面积；
(3)在ΔADE的旋转过程中，直接写出ΔDBC的面积S的取值范围．
6．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各
边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内
接 ．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或等边三角形
D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，
不写作法）
（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？
如果存在，如何作出这个等边三角形？
①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶
点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重
合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果
存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由： 是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边
三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
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③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出
△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）
题型 07 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题
1．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
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√10 3√10
A． B．√10 C． D．3√10
2 2
2．（2021·北京门头沟·统考二模）图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么
∠ECD+∠EDC= ° ．
3．（2022·江苏南通·统考二模）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上．
(1)∠ABC+∠ACB=______．
(2)利用正方形网格，证明（1）中的结论．
4.（2022·吉林长春·统考模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，
每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，
以AB为边画三角形．按下列要求作图：
(1)在图①中，画一个等腰△ABC，使其面积为3．
10
(2)在图②中，画一个直角三角形△ABD，使其面积为 ．
3
15
(3)在图③中，画一个△ABE，使其面积为 ，且∠BAE＝45°．
4
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题型 08 与三角形有关的折叠问题
1．（2022·重庆大足·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动
点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的
长为（ ）．
3 3
A．5 B．3 C． D．
2 4
2．（2022·广东汕头·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且
CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为
．
3．（2023·广东深圳·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=12，点D是边BC上一
点（不含B、C两个端点），将△ADC沿AD折叠得到△ADC'，当DC'所在的直线与△ABC的一边垂直
时，点D到边AC的距离是 ．
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4．（2023·安徽亳州·三模）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在
边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CDF，CF与边AB交于点E，当DF⊥AB时，BD的长是
．
5．（2023·河南商丘·一模）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】对折△ABC(AB>AC)，使点C落在边AB上的点E处，得到折痕AD，把纸片展平，如
图1．小明根据以上操作发现：四边形AEDC满足AE=AC，DE=DC．查阅相关资料得知，像这样的有
两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形AEDC的一条性质____．
(2)【探究证明】如图2，连接EC，设筝形AEDC的面积为S．若AD+EC=12，求S的最大值；
(3)【迁移应用】在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，点D，E分别在BC，AB上，当四边形
AEDC是筝形时，请直接写出四边形AEDC的面积．
6．（2023·河南周口·三模）综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形ABCD 按如图①所示方式折叠，使点A与点C重合，点B的对应点为B'，折痕
为EF，若△CEF为等边三角形．
(1)请解答老师提出的问题：
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试猜想AB与AD的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
(2)小明受到此问题启发，将△ABC纸片按如图②所示方式折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若
∠A=45°,AC=2，
①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由；
②若点D为EF的中点，连接CD，求CD的长；
【问题解决】
(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将△ABC折叠，
使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若AB=AC=√5，BC=2，∠ACD=45°，请直接写出
线段BD的长．
题型 09 赵爽弦图
1．（2023·山东济南·统考三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽
弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形
MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S ，S (S >S )，则下列四个判断：①
1 2 1 2
1
S +S = S ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S =3S ；④若点A是线段GF的中点，则
1 2 4 四边形MNPQ 1 2
3S =4S ，其中正确的序号是
1 2
2．（2023·浙江丽水·统考一模）公元3世纪，我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦
图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和
一个小正方形EFGH组成的大正方形．连结BG、DE，设S =S ，S =S ，
正方形ABCD 1 正方形EFGH 2
S =S ．
四边形BEDG 3
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（1）若BE=2DH，则tan∠EDH= ．
BE
（2）若S =S +S ，则 的值是 ．
1 2 3 DE
3．（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了
一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角
形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ，如果
1 2 3
S +S +S =96，那么S 的值是 ．
1 2 3 2
4．（2023·广东深圳·校联考三模）中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时
给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图
制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定
理．
问题发现：
如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=______，连接BD，
△ABD的面积为______．
知识迁移：
如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=√10时，△PAB的面积
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为______．
拓展延伸：
如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．
（1）已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使
EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理
由．
（2）在（1）的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接
写出线段DE的长．
5．（2023·山东济宁·统考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯
定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明
勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如
果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足S +S =S 的有______个；
1 2 3
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(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为S ，S ，直角三角形面积为S ，请判断S ，S ，S 的关系并证明；
1 2 3 1 2 3
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的
边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当
∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2= ______；
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
题型 10 利用勾股定理解决实际问题
1．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的点
A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、
60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（
）
A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时
2．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2m到
4
A'时，梯脚B滑到B'，AB'与地面的夹角为β，若tanα= ，BB'=2m，则cosβ=（ ）
3
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4 3 3 4
A． B． C． D．
3 4 5 5
3．（2023·湖北十堰·统考一模）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该
杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有（ ）
A．5cm B．7cm C．8cm D．11cm
4．（2023·陕西西安·校考二模）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为
10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm
的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．
5．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，
∠B=90°，求此木板的面积 ．
题型 11 求最短距离
1．（2023·湖北十堰·一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体
去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘
的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为
（ ）
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A．28m B．24m C．20m D．18m
2．（2021·山东临沂·模拟预测）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，点D是
ΔABC内的一点，连接AD，CD，BD，满足∠ADC=90°，则BD的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．13
3．（2023·湖北十堰·模拟预测）如图，动点P在矩形ABCD内运动，AB=7，BC=5，且满足
S =10.5，PA+PB的最小值是 ．
△ABP
4．（2023·山东德州·一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，
如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为 米．
5．（2022·广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称
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点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A'B．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动
点，则PB+PE的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使
BM+MN的值最小，求这个最小值 ；
（3）代数应用：求代数式√x2+1+√(4−x) 2+4(0≤x≤4)的最小值 ．
题型 12 勾股定理逆定理的拓展问题
2 1
1．（2022·江苏无锡·二模）已知反比例函数y= 和正比例函数y= x的图像交于点M，N，动点P(m，0)在
x 2
x轴上.若 PMN为锐角三角形，则m的取值为( )
A．-2＜m△＜√5且m≠0 B．-√5＜m＜√5且m≠0
5 5
C．- ＜m＜-√5或√5＜m＜ D．-2＜m＜-√5或√5＜m＜2
2 2
2．（2020·贵州安顺·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶
点分别按下列要求画三角形．
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（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
3．（2020·山西·二模）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中
产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片ABCD，先对折得到对角线BD，接着折叠使点C落到BD上的
点C'处，再展开，得到折痕BE，连接CE．
观察计算
DE
（1）在图1中， 的值是________________；
BC'
操作探究
（2）如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点A,D分别落到AB,DC边上的点A',E处，再展开，
折痕为GH，则点C'在折痕GH上吗？若在，请加以证明；若不在，请说明理由；
（3）如图3，在图2（隐去点A'和A'E）的基础上，折叠正方形纸片，使点A,B分别落到点A',E处，再
展开，折痕为MN，折痕与GH交于点P，连接，PB，PE，则PB和PE之间有何位置关系？并加以证明；
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操作拓展
（4）如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法(图3中产生折痕MN的方
法除外)，找出与图3中点Р位置相同的点，该点命名为P'，要求只有一条折痕．请在图4中画出折痕和必
要线段，标出点P'，并简要说明折叠方法．(不需要说明理由）
4．（2020·内蒙古鄂尔多斯·一模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、
MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的
勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN ＝ ．
（1）【类比探究】如图2，DE是 ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接
CM、CN分别交DE于点G、H．求△证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP， 连
结PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
2
（3）【拓展应用】如图4，点P（a，b）是反比例函数y= （x＞0）上的动点，直线y=−x+2与坐标轴
x
分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是
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线段AB的勾股点．
题型 13 判断图形中与已知两点构成等腰三角形的点的位置
问题 分情况 找点 画图 解法
分别以点 A，B
为圆心，以 AB
以AB 长为半径画圆，
B
为腰 与已知直线的交 A 分别表示出点A，B，P
点 P ，P ，P ， l 的坐标，再表示出线段
1 2 3 P P P P
1 2 3 4
已知点A，B和直 P 4 即为所求 AB，BP，AP的长度，
线 l，在 l 上求点 由① AB＝AP；② AB
P，使△PAB为等
作线段 AB 的垂 ＝BP；③BP＝AP列方
以AB 直平分线，与已 程解出坐标
腰三角形
B
为底 知直线的交点P A
5 P
5
l
即为所求
1．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一
个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中， AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点F在DC
上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021·广东深圳·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝﹣
x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为 ．
4．（2022·江苏南京·统考一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM
＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．
题型 14 判断图形中与已知两点构成直角三角形的点的位置
问题 分情况 找点 画图 解法
分别过点A，B B
以AB 作 AB 的 垂
A
分别表示出点 A，
为直角 线，与已知直
B，P 的坐标，再表
边 线的交点 P ， l
1 P P 示出线段AB，BP，
已知点A，B和直线 P 4 即为所求 1 4 AP 的 长 度 ， 由
l，在l上求点P，使 以 AB 的中点 Q
①AB2＝BP2＋AP2；
B
△PAB 为直角三角 为圆心，QA 为
②BP2＝AB2＋AP2；
形 以AB 半径作圆，与
A
③AP2＝AB2＋BP2列
为斜边 已知直线的交
方程解出坐标
l
点P2，P3即为
P P
2 3
所求
1．（2022·河北承德·统考二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．
若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的
个数是（ ）
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A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2019·福建·校联考一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若
ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
△A．4 B．2 C．1 D．0
3．（2023·辽宁沈阳·校联考一模）在平面直角坐标系中，已知点A(−6,0)，B(2,0)，若点C在一次函数
1
y=− x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有 个．
2
4．（2023·浙江温州·校考二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点
的三角形称为整点三角形．如图，已知整点A(0,1)，B(4,0)，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要
求的整点三角形．
(1)在图1中画一个Rt△ABC．
(2)在图2中画一个△ABQ，使点Q的横纵坐标相等，且△ABQ的面积等于3．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2023·山西太原·二模）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在A处测得建筑物
C在南偏西60°的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上．在建筑物C处测得A，B两处的视
角∠C的度数为（ ）
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A．30° B．40° C．60° D．80°
2．（2023·安徽·模拟预测）有一内角是30°的直角三角尺CDE与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于
点F．若∠CDE的平分线DG平行于直尺的短边AB，则∠AFC的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．（2023·陕西西安·模拟预测）图1为红斑钟螺，壳型为圆锥形．多分布在菲律宾、以及我国台湾垦丁等
区域．现有一个“钟螺”小摆件，可近似看成圆锥形，图2为其主视图，其中AB=13cm，摆件的高度为
12cm．现要在AB上选取一个位置P安装挂钩，在该点与C之间布设导线，线路上安装微型小彩灯，若挂
钩以及导线连接处等长度损耗忽略不计，则最短线路，即CP的最小值为（ ）
120 60
A．10cm B． cm C． cm D．6√3cm
13 13
4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，∠A=30°，AB=6，点E，F在线段AB上，且满足
AE=EF=FB=2，点P在射线AC上，且PE+PF=5，则满足上述条件的点P有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
二、填空题
5．（2023·吉林松原·二模）如图，在△ABC中，BC=10，AC=8， ∠C=30°．若将△ABC沿EF折叠，
点A与边BC的点D恰好重合，点H，G分别在BD，CD上．将△ABC沿EH折叠，点B与点D恰好重合．
将△ABC沿FG折叠，点C与点D恰好重合，则四边形EFGH的周长为 ．
6．（2023·陕西西安·模拟预测）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特
的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了的一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正
方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则矩形
的周长是 ．
7．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知△ABC的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，
△APC的面积为 ．
三、解答题
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8．（2023·陕西渭南·一模）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在李老师的引导下，利用正方形网格和勾
股定理，运用构图法进行了探究活动：如图，在5×5正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、
B、C均在格点上，已知△ABC的三边长分别为2√5、2√2、2，李老师在图中已经画出了其中一边AB．
请你补全△ABC，并根据图形比较2√5与2√2+2的大小．
9．（2023·山西太原·二模）如图，在凹四边形ABCD中，∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，求
∠BCD的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．
10．（2023·山东青岛·一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角
形．如图①，AD是△ABC的中线，F是AD的中点，则△FBC是中原三角形．
(1)求中原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）．
(2)如图②，AD是△ABC的中线，E是边AC上的点，AC=3AE，BE与AD相交于点F，连接CF．求证：
△FBC是中原三角形．
(3)如图③，在（2）的条件下，延长CF交AB于点M，连接ME，求△FEM与△ABC的面积之比．
11．（2023·山东泰安·三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图1，点C在AB的延长线上，
且∠A=∠DBE=∠C，若求证：△DAB∽△BCE；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】
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3 CE
如图2，点C在AB的延长线上，且∠DAB=∠DBE，若CE∥AD，∠C=60°，AD= AB，则 的值
2 BC
为______；（直接写出）
【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一
点.若∠≝=∠B.求证：AB⋅FE=BE⋅DE．
12．（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足为
B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．
①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC与
AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，
CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
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（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；
为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若
∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD．
【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，
100 121 3
AD= ,CD= ,sinD= ,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积．
3 3 5
33
