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专题12 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学
生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解
决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称
变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解
让大家对这类问题有比较清晰的认识。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
................................................................................................................................................2
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）....................................................................2
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）..................................................................29
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）......................................................................53
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）......................................................................68
..............................................................................................................................................79模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m
B
B m
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
B
m
P
m
P
B A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最
小值即为：线段A’B的长度。
例1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古
从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图
中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题
转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得 最小．解决方法是：作点A关于直线的对称点 ，连接 ，则 ，所以 ，连接 ，
则线段 的长度即为 的最小值，这样做依据的基本事实是 ．
【答案】两点之间，线段最短．
【分析】本题考查了两点之间，线段最短，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点
之间线段最短得出答案．
【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．
例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边 中，E是 边的中点， 是 边上的中线，
是 上的动点，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
要求 的最小值，需考虑通过作辅助线转化 ， 的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，
是等边三角形， 是 边上的中线， ，
是 的垂直平分线， 点 关于 的对应点为点 ， 就是 的最小值．
是等边三角形， 是 边的中点， 是 的中点，
是 的中线， ，即 的最小值为6，故答案为6．例3.（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ，直线m是
中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据题意知这是动点最值问题中的“将军饮马”问题，
解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点A关于直线 的对称点为点 ，故当点 在 上时，
值的最小，求出 长度即可得到结论．
【详解】解：∵直线 垂直平分 ，∴ 、 关于直线 对称，
令直线 交 于 ，连接 ，如图所示：
∴当 和 重合时， 的值最小，最小值等于 的长，
，且 的最小值等于 ，
∴ 周长的最小值是 ，故选：B．
例4．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在锐角三角形 中， ， ． 的
平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】5
【分析】此题考查轴对称的性质， 的直角三角形的性质， 过 作 于 ，作 关于 的对称
点 ，连接 ，证明 在 上，当 ， ， 共线，且垂直 时， 最短，即 ， 在上，即 的长，进一步可得答案．
【详解】解：过 作 于 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，
∵ 平分 ，∴ 在 上，∴ ，
当 ， ， 共线，且垂直 时， 最短，即 ， 在 上，即 的长，
， ， ，∴ 的最小值是5．故答案为： 5
例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图， 中， ，点F、E分别是
上的动点，则 的最小值 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、含 度角的直角三角形等知识点，作点 关于 的对称点 ，连接
，作 交 于点 ，当 时， 有最小值 ，据此即可求解．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，作 交 于点 ，如图所示：
则 ， ∴ ，
∵点E别是 上的动点，∴ 时， 有最小值
∵ ，∴ 故答案为：模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
A
A
B m
m B
A
A
B'
B m
P' P
m
B
P P'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|
P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的
长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
例1．（2024·福建泉州·七年级期末）如图，在 网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格
点上．(1)画出 关于直线l对称的图形 ；(2)点P在直线l上，直接写出 的最大值．【答案】(1)见解析(2)2
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接即可；
（2）利用三角形三边关系得到 （当 、 、 共线时，取等号），从而得到 的最大
值为 的长即可．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）解： （当 、 、 共线时，取等号），
的最大值为 的长，即 的最大值为2．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换、三角形三边关系的应用，熟练掌握相关知识是解答的关键，属于中考
常考题型．
例2．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，
交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，又∵C ＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），
BMC
在MN △上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC
∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC
当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．
例3．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图， ， ， ， ，
是 内的一条射线，且 ，P为 上一动点，则 的最大值是 ．（结果
表示根据需要可以含a，b，c）
【答案】a
【分析】本题考查了线段之差的最小值问题，作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 、B'P．则
， ， 是等边三角形，在 中， ，当 、 、 在同一直线
上时， 取最大值 ，即可求解．正确作出点B的对称点是解题的关键．
【详解】解：如图，
作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 ， ．则 ， ， ， ．
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
在 中， ，当 、 、 在同一直线上时， 取最大值 ，即为a．
∴ 的最大值是a．故答案为：a．
例4．（2024·湖北·八年级期中）如图， ， 为 上一动点， ，过 作
交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，则
________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，
根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画
出相应图形是解决问题的关键．模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
n
A'
n
A
Q
A
m
P
m A"
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
例1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图， ， 为 内部一条射线，点P为射线
上一点， ，点M、N分别为 、 边上动点，则 周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N
的位置．作点P关于 的对称点 ，点P关于 的对称点 ，连接 ，与 的交点即为点M，与的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段 的长即可．
【详解】解：作点P关于 的对称点 ，点P关于 的对称点 ，连接 ，与 的交点即为点M，
与 的交点即为点N，
的最小周长为 ，
连接 ，则 ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，即 的周长的最小值是6．故选：A．
例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP
＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为
PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，
通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
例3．（2024·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、
CD上分别取一点M、N，使 AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
△
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A、A，根据轴对称确定最短路线问题，连接A、A 分别交BC、
1 2 1 2
DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A+∠A，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得
1 2
∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A、A，连接A、A 分别交BC、DC于点M、N，连接AM、
1 2 1 2
AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A+∠A＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A、A，∴NA＝NA ，MA＝MA ，
1 2 1 2 2 1
∴∠A＝∠NAD，∠A＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A+∠A＝50°，
2 1 1 2
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是
解决本题的关键．
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）
A
m
A m
m A
n
B
B
B n n
图1-1 图1-1 图1-1
A
m
A
A'
m
P' P m
A
P P
B
n
Q' Q B
n Q
Q n
B B' B'图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（ 1-2）， 作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’,连结 AB’,根据对称 得到： QB=QB’，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，
0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值
是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点 、 ，连接BP、CQ、 、 ，PQ，得出BP＋PQ＋
CQ的最小值为 ，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得 和 即可
求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点 、 ，连接BP、CQ、 、 ，PQ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH， 、 关于y轴对称，
∴当 、 ，P、Q在同一条直线上时， 最小，此时 轴，
∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵ 轴，B、 关于AG对称，∴ , ，
∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴ ，
∴ ，同理可得 ,即 ．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确
变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
例3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， ， ， 分别为 ， 上的点，
， ， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查轴对称 最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键．
作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接
、 ， ，根据轴对称的性质，得到 的最小值为 ，推出△ 为等边三角
形，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 、 ， ，
则 ， ， ，
的最小值为 的长．
， ， ， ， ， ，
， △ 为等边三角形， ，
即 的值最小为3；故答案为：3
例3．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向
左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
△
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定即可得证；
（2）连接 ，先根据等边三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得
垂直平分 ，然后根据线段垂直平分线的性质可得 ，同样的方法可得 ，从而可得
，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1） 在 中， ， ，
点 是 斜边 的中点， ， 是等边三角形；
（2）如图，连接 ，和 都是等边三角形， ， ，
， 垂直平分 ， ，
同理可得： 垂直平分 ， ， ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值 ，
故 的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角
形的性质是解题关键．
1．（2023·河南·九年级专题练习）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交
于点M， ， 的周长是 ，若点 在直线 上，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件 垂直平分 ，可知 ，即可将 的周长转换为AB+BC，即可求
出 ，再通过作辅助线（见详解），可得到 ，则 中 ，当
共线时（ ）有最大值即可得到 最大值，得到答案．
【详解】解：∵ 垂直平分 ∴
又∵ ∴
在 上取点 ∵ 垂直平分
1
连接 、 、 ∴ ∴ 在 中
当 运动 位置时，即 共线时（ ）有最大值，此时 .
即 最大值是8cm,故答案选B.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
2．（2024·上浙江八年级月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA
和射线OB上的动点，若 PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
△A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、
OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，
∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出 OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
△
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=
∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即 OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的性质，△最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证
明三角形是等边三角形是解题的关键．
3．（23-24广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是
AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D．
4．（2024·湖北恩施·一模）如图，在等边三角形 中， ，在 ， 上分别取点M，N，且
， ，在 上有一动点 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于 的对称点 ，连接
交 于P，连接 ， ，此时 的值最小，最小值 ，求出结果即可．
【详解】解：如图，∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ 为 的平分线，∴ ， ，作点N关于 的对称点 ，连接 交 于P，连接 ，
根据轴对称可知： ，∴ ，
∵两点之间线段最短，∴此时 最小，即 最小，即 的最小值为 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ．故选：C．
5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， ，点M是 上一点， ，
， ，若点 和点M关于 对称，点 和点M关于 对称． 则点 ， 之间的距离
最小值是（ ）
A．6 B．2.4 C．4.8 D．4
【答案】C
【分析】本题考查成轴对称的性质，垂线段最短．连接 ，根据对称性得到，
， 三点共线，进而得到 ，根据垂线段最短，得到
时， 最小，利用等积法进行求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵点 和点M关于 对称，点 和点M关于 对称，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 三点共线，∴ ，∴当 最小时， 最小，
∵点M是 上一点，∴ 时， 最小，
此时： ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，故选C．
6．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边三角形 中， 为 的中点， 为
的中点，过点 作 交 于 ，交 于 ， 是线段 上一个动点，连接 ， ，则
的周长的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称 最短路线问题，熟练掌握
将军饮马基本模型是解题的关键．连接 ，首先证明 是 的垂直平分线，得 ，则 的
周长为 ，当 、 、 共线时， 的最小值为2，从而得出答案．
【详解】解：连接 ，点 是 的中点， 是等边三角形， ， ， ，
点 为 的中点， 是 的垂直平分线， ，
的周长为 ，当 、 、 共线时， 的最小值为2，
的周长最小值为3，故答案为：3
7．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在 中， ， 分别平
分 和 ， P是 上一点， ，已知 ．当 取最小值时，
．（用含m，n的式子表示）
【答案】
【分析】由题意知， ， ，如图，作 关于
的对称点 ，连接 ， ， ，则 ，当 三点共线时，
和最小， 如图，过 作 于 ，交 于 ，则 是 和的最小值，证明 是等
边三角形，则 ， ， 是等边三角形， ，由 ，可得
，然后作答即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，∵ 分别平分 和 ，
∴ ， ，
如图，作 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，∴ ， ，
∴当 三点共线时， 和最小，
如图，过 作 于 ，交 于 ，则 是 和的最小值，
由对称的性质可得， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线，等边三角形的判定与性质，含 的直角三角形，轴对称的性质，三角形
内角和定理．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键．
8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形 的边长为4，过点 的直线 ，且
与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】8
【分析】连接 ，由轴对称的性质可得 也是边长为4的等边三角形，从而得到 ，
，从而得到 ，证明 得到 ，从而得到
，由“两点之间，线段最短”可知，当 与点 重合，即点 ， 共线时，
取得最小值，即可得到答案．【详解】解：如图，连接 ，
，
等边三角形 的边长为4， ， ，
与 关于直线 对称， 也是边长为4的等边三角形，
， ， ，
在 和 中， ， ， ，
， ， ，
由“两点之间，线段最短”可知，当 与点 重合，即点 ， 共线时， 取得最小值，
， 的最小值为8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短
等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．
9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四边形 中， ， 平分 ，
， ，P，Q分别是 ， 上的动点，当 取得最小值时， 的长是
．
【答案】
【分析】本题考查轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，属于中考
常考题型．作点 关于 的对称点 ，则 ， ， ，当 三点
在同一直线上，且 时， 为最短．
【详解】如图，作点 关于 的对称点 ，则 ， ，∴ ，∴当 三点在同一直线上，且 时， 为最短，
∵ ，∴ ， ，∴ ，故答案为： ．
10．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，已知 ，点M在边 上，且 ，点N和
点P分别是 和 上的一个动点，则 的最小值为 ．
【答案】 /6厘米
【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形 角所对直角边等于斜边一半，作M关于
的对称点 ，过 作 交 于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形 角所对直角
边等于斜边一半求解即可得到答案；
【详解】解：作M关于 的对称点 ，过 作 交 于一点，如图所示，
∵ 是M关于 的对称点， ， ，
∴ ， ， ,
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，故答案为：6cm．
11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在等边 中， 为 中点，点 ， 分别为 ，
上的点， ， ，在 上有一动点 ，则 的最小值为 ．【答案】7
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最短问题．
作点Q关于 的对称点 ，连接 交 于E，连接 ，此时 的值最小．最小值
，求出 即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，∴ ，∵ 为 中点，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
如图，作点Q关于 的对称点 ，连接 交 于E，连接 ，
当点 共线时， 的值最小．最小值为 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ 的最小值为7．故答案为：7．
12．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）如图，等边 和等腰 ， ，点 ， 分别为边
， 的中点，若 的面积为16， ，点 是 上的动点，则 的周长的最小值为
.【答案】10
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，以及利用轴对称解决三角形的周长问题．
连接 交 于点 ，根据三线合一，得到 关于 对称，根据 的周长等于
，当 三点共线时， 的周长最短，再根据
的面积为16，求出 的长，进而求出 的周长的最小值即可．
【详解】解：连接 交 于点 ，连接
∵ 是等边三角形，点E为边 的中点，
∴ 关于 对称，∴ ，∴ ，
即：当 三点共线时， 的周长最短，
∵ 是等腰三角形，F为边 的中点，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ；故答案为：10．
13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
点 是 上的一个动点（点 与点 不重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 在
的下方时，连接 、 ，则 面积的最大值为 ．【答案】16
【分析】连接 交 于 ，利用对称性质可得 ，根据垂线段最短，当 时， 最小，
则 最大，即点 到 的距离最大，此时 面积最大，利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：连接 交 于 ，如图，
∵点B关于直线 的对称点是E， ∴ ，
当 时， 最小，则 最大，即点 到 的距离最大，此时 面积最大，
由 得 ，∴ ，
∴ 面积的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当 时 面积最大
是解答的关键．
14．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在 中 ， 平分 ， ， 的面积为
78，M、N分别是 、 上的点，则 的最小值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确找出
取得最小值时的位置是解题关键．
在 上取一点E，使得 ，连接 ，证明 ，可得 ，则
，进而可得当点B，M，E共线且 时， 取最小值即 ，再利用三
角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，在 上取一点E，使得 ，连接 ，过点 作 于点F.
∵ 是 的平分线，∴ ，
在 和 中， ，∴
∴ ，∴ ，
∴当点B，M，E共线且 时， 取最小值即 ，
∵ ， 的面积为78，∴ ，∴ ，
即 的最小值是12．故答案为：12．
15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， 为 内一点， ，
分别为 ， 上的动点，连接 ， ， ，且 ，则 的周长的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，如图，作点 分别关于 ， 的对称
点 ， ，连接 ，交 ， 于点 ， ，连接 ， ．此时， 的周长最小，最小值为
线段 的长．证明 是等边三角形，从而可得结论．
【详解】解：如图，作点 分别关于 ， 的对称点 ， ，连接 ，交 ， 于点 ， ，
连接 ， ．此时， 的周长最小，最小值为线段 的长．∵ ，∴ ．
∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ 的周长的最小值为2．
16．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图， ，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q
分别是边OB，OA上的动点，记 ， ，当 最小时，则 ______．
【答案】60°##60度
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则
MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和
平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于
P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝ （180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β），
∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关
键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题．
17．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图， 为坐标原点， 中的两个顶点为 ，
，点 在边 上，点 在边 上，且 ，点 为边 上的动点，则 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 交 轴于点 ，交 于点 ，得矩形 ，正方形 ，点E是点C关
于 对称的对称点，此时 的值最小．
【详解】∵ ， ，∴ ， 轴，∴ ， ，∴
如图，过点 作 交 轴于点 ，交 于点 ，连接 ，
则 ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， 轴，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴四边形 是矩形，同理可得四边形 是矩形，∵ ，∴ ,∴四边形 是正方形，
∴点E是点C关于 对称的对称点， 的值最小，
∵ ,∴ ,∴ ，此时 的值最小，为 ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了轴对称一最短路线问题，坐标与图形性质，解题的关键是掌握轴对称的性质.
18．（2024·江苏·仪征市八年级阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，
ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与 ABC关于直线 成轴对称的 ；
△ △
（2）在直线 上找出一点P，使得 的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在正方形网格中存在____________个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4
【分析】（1）分别作出△ABC的顶点关于直线l的对称点，顺次连接可得；
（2）作射线AC，与直线l的交点即为点P；（3）作线段BC的中垂线，从而得出符合条件的格点．
1
【详解】解：（1）如图所示，△ABC 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，点P即为所求，此时|PA-PC |的值最大；
1
（3）如图，在正方形网格中存在4个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是作图 轴对称变换，熟知关于直线 对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
