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专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型
圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的
圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用
于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
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模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）......................................................................................................2
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【知识储备】
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整
个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA
2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°
1）证明：如图，设折叠后的 所在的圆心是G，连接AC，CD.
由题意得（折叠）： ，即： ，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。
2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，
∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。
例1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在 中， 为直径，点 为圆上一点，将劣弧 沿弦
翻折交 于点 （不与 重合），连结 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
例2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图， 是 一条弦，将劣弧沿弦 翻折，连结 并延长
交翻折后的弧于点 ，连结 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·河南新乡·二模）如图， 是 的直径， ， °，将 沿 翻折，
与直径交于点 ，则图中阴影部分面积为
例4．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径 向上对折得到图②，
再沿弦 向下翻折得到图③，最后沿弦 向上翻折得到图④．若点 恰为弧 的中点，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
例5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将弧 沿弦 翻折过圆心 点，交弦 于 ，
， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．3
例6．（2023·江苏·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧
上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2
例7．（2023·江西萍乡·模拟预测）如图（1） 是 的直径，且 ，点 是半圆 的中点，点
是 上一动点，将 沿直线 折叠交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)当点 与点 重合时，如图（2），求 的长．
例8．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片．(1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则 的大小
是______；在 上任取一点C（异于A，B），则 的大小是______；
(2)如图（2），将纸片沿一条弦 翻折，使其劣弧 恰好经过圆心O，作出直径 ，则图中阴影部分
的面积是______；
(3)如图（3）， 是 的直径，将劣弧 沿弦 翻折，交 于点D，再将劣弧 沿直径 翻折，
交 于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧 的中点，求图中阴影部分的面积．
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图， 、 为 的两条弦， ， ，将 折叠
后刚好过弦 的中点D，则 的半径为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·河北唐山·统考二模）如图， 的直径 ， 是 上一点，将 沿直线 翻折，若
翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径， 是弦，沿 对折劣弧 ，交
于点D，E、F分别是 和 的中点，令 为 所在圆的圆心，若 ， ，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江宁波·九年级校考期末）如图， 是 的外接圆， ，把弧 沿弦 向
下折叠交 于点D，若点D为 中点，则 长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2023·广东广州·统考一模）如图， 为 的直径，点 为圆上一点， ，将劣弧 沿
弦 所在的直线翻折，交 于点 ，则 的度数等于( )．A． B． C． D．
6．（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图， 是 的直径，且 ， 是 上一点，将 沿直线
翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿BD翻
折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖北黄石·校考模拟预测）如图，在半圆 中，直径 ， 是半圆上一点，将弧 沿弦
折叠交 于 ，点 是弧 的中点．连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图1，已知 分别是圆形纸片的直径、弦，以弦 为折线
将弓形纸片 折叠至如图2所示的弓形纸片 的位置， 与直径 交于点D，若 ，则
（）
A． B． C． D．
10．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的 中， 为 的一条弦，将 所对的劣弧沿着
翻折后恰好经过圆心，连接 并反向延长交 于一点，则如图所示的阴影面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知 是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧
（虚线）沿弦 折叠后交弦 于点D，连接 ．若 ，则线段 的长为 ．12．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）图1为一圆形纸片， 、 、 为圆周上三点，其中
为直径，以 为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的 ，且 交 于点 ，如图2所示，若
为 ，则 的度数 ．
13．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知半圆 的直径 ，沿弦 翻折 ，翻折后
的 与直径 相切于点D，且 ，则折痕 的长度是 ；
14．（2023·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的
运动轨迹为 ，P是半径OB上一动点，Q是 上的一动点，连接PQ．
（1）当∠POQ＝ 时，PQ有最大值，最大值为 ；
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求 的长；
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．15．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1） 是 的直径，且 ，点 是半圆 的中点，
点 是 上一动点，将 沿直线 折叠交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)当点 与点 重合时，如图（2），求 的长．
16．（2023·陕西安康·九年级统考期末）在 中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB
于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合， 的半径r为2，则AC的长为______；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证： ；(3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的
圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同
颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径
AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段
走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本
26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用．17．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作
及问题：如图1， 的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心 ，则
AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2， ⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦
AB折叠后经过 C的中点D，AB=10cm，求 的半径；（3）如图3， 的半径为4cm，劣弧AB沿
弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．
18．（2022·四川宜宾·模拟预测）如图，将 沿弦 折叠，使折叠后的劣弧 恰好经过圆心O，连接
并延长交 于点C，点P是优弧 上的动点，连接 .（1）如图，用尺规面出折叠后的劣弧 所在圆的圆心 ，并求出 的度数；
（2）如图，若 是 的切线， ，求线段 的长；
（3）如图，连接 ，过点B作 的重线，交 的延长线于点D，求证： .
