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专题05 圆中的重要模型-圆中的翻折模型
知识储备：
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周
角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整
个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在
的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知点 ， ， 在 上， ，把劣弧 沿着直
线 折叠交弦 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【分析】取点D在 上的对应点E，连接 、 、 、 ，过C点作 于F点，根据四边
形 内接于 ，有 ，根据根据折叠的性质有： ，可证明 ，
即 是等腰三角形，则有 ，进而有 ，再根据含30°角的直角三角
形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】取点D在 上的对应点E，连接 、 、 、 ，过C点作 于F点，如图，
∵四边形 内接于 ，∴ ，
∵点D在 上的对应点为点E，∴根据折叠的性质有： ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ 是直角三角形，
∵ ，∴在 中， ，∵在 中， ，∴ ，
∴ ，（负值舍去），故选：C．
【点睛】本题考查圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的
判定与性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到 ，是解答本题
关键．
例2．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以 为直径的半圆沿弦BC折叠后， 与 相
交于点D．若 ，则 ．
【答案】
【分析】如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为 ，连接 ， ，由题意
得到 ，进而求得 ，再根据圆内接四边形对角互补得到 ，继而求得
的大小即可求得答案．
【详解】解：如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为 ，连接 ， ．则
， ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，翻折变换等知识，正确作出辅助线、熟练运用
相关知识是解题的关键．
例3．（2023·山东济宁·九年级统考期末）如图，将 沿弦 折叠交直径 于圆心O，则
度．
【答案】120
【分析】过O点作 交 于D，交 于E，连接 ， ．根据折叠可得 ，
，根据三角形中位线定理可得 ，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义
即可求解．
【详解】解：过O点作 交 于D，交 于E，连接 ， ．由折叠可得： ， ，则 为 的中位线，
∵ 是直径，∴ ， ，则 ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ．故答案为：120．
【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以
及邻补角的定义，综合性较强，构造辅助线是是解决问题的关键．
例4．（2023春·广西·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为 ，
， ，点 为圆上一点， ，将 沿弦 翻折，交 于点 ，图中阴影
部分的面积 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，将阴影部分沿 翻折，点 的对应点为 ，过点 作 于点 ，可
求出 的半径，由对称性可知， ， ，连接 ，根据特殊角的三角函数值即
可求解．
【详解】解：如图，连接 ，将阴影部分沿 翻折，点 的对应点为 ，过点 作 于点 ，为 的直径， ， ， ，
∵ ， ，垂足为 ， 设 的半径为 ，则 ，
∴ ，解得： 或 （舍去），
，即 的半径是 ，连接 ，则 ， ，
过点 作 于点 ，∴ ，
∴ ，即 ，
即图中阴影部分的面积是： ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，折叠知识的综合，理解圆的基础知识，直角
三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关键．
例5．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图， 是 的直径，且 ，点 是 上一点，连接 ，
过点 作 于点 ，将 沿直线 翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】如图，连接OC，BC．证明 OBC是等边三角形，利用分割法求解即可．
【详解】解：如图，连接OC，BC．△可得OB=OC=4，
∵∠CAO=∠CAB，∴ ，∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°，
∵ ，∴∠COD=60°，∴ ，
∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造特殊三角形解决问题．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧 上，将 沿BC折叠后刚好经过
AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③ + ＝ ；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延
长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．
【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；
∴ ，由折叠得： ，∴ ；故③正确；
延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
例7．（2022秋·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿
BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD
＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有 ， ， ，∴AC＝CD＝DE，
∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，
在Rt△OCH中，CH＝ ，
在Rt△ACH中，AC＝ ，
∴ ．故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数
解决问题．
例8．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，在 中，将劣弧 沿弦 折叠得弧 ，P是弧
上一动点，过点P作弧 的切线与 交于C，D两点，若⊙O的半径为13， ，则 的
长度最大值为 ．
【答案】
【分析】过点O作 于点M，交 于点N，交 于点P，此时过点P的切线 最长，连接 ，
，根据垂径定理得出 ，根据勾股定理求出 ，求出 ，根据勾股定理求出 ，即可得出答案．
【详解】解：过点O作 于点M，交 于点N，交 于点P，此时过点P的切线 最长，连
接 ， ，∵ ，∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
根据折叠可知， ，∴ ，
∵ 是弧 的切线，∴ ，∴ ， ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，解题的关键是找出使 最大时，点P的位
置．
例9．（2023·浙江温州·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，
∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证： ．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长；
②如图2，将 沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②9.
【分析】（1）连接OC交AE于M，由DC与⊙C相切于点C可得∠OCD＝90°，又因为
AB是⊙O的直径，所以∠CDB＝90°，易得OC⊥AE，可证弧AC=弧CE
（2）①由（1）易得四边形CMED是矩形，所以CD＝ME＝AM＝ AE＝6，由勾股定理求出BD的长，由
cos∠DBC= cos∠CAM可求出AC的长，即可求出答案
②由勾股定理可求出BE的长，由折叠知BF＝BE，根据AF＝AB﹣BF即可求出答案
【详解】解：（1）如图1，连接OC交AE于M，
∵DC与⊙C相切于点C，∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∵∠CDB＝90°，∴CD∥AE，∴OC⊥AE，∴弧AC=弧CE；
（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，
∴四边形CMED是矩形，∴CD＝ME＝AM＝ AE＝6，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝ ＝8，∴cos∠DBC＝ ，
∵∠CAM＝∠DBC，∴cos∠CAM＝ ＝ ，∴AC＝ ，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝ ；
②如图2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝ ＝
连接EF，∵弧AC=弧CE，∴∠ABC＝∠DBC，
由折叠知，BF＝BE，∴AF＝AB﹣BF＝ ﹣ ＝9，故答案为9．
【点睛】此题主要考查圆的综合运用课后专项训练
1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的 如图折叠，折痕 长为8，C为折叠后 的中点，则
长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】延长 交 于点D，交 于点E，连接 、 、 、 ，根据圆心角、弧、弦、的关
系由 得到 ，可以判断 是 的垂直平分线，则 ，再利用勾股定理求出
，所以 ，然后利用点C和点D关于 对称得出 ，最后计算 即可得出答案．
【详解】解：延长 交 于点D，交 于点E，连接 、 、 、 ，如图，∵C为折叠后 的中点，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是 的垂直平分线，∴ ，
在 中， ,∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ， ，∴点C和点D关于 对称，
∴ ，∴ ，故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定
理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧 沿AC折叠后刚好经过
弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O′，则⊙O与⊙O′设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得
AB＝AD，过A作AM⊥BC于M，则M为BD的中点，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM
的长度，由于D是BC中点，可以证明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定
理求出AB的长度，连接OA，OB，由于△AOB是顶角为120°的等腰三角形，过O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB＝3OA，由此圆O半径可求．
【详解】解：如图1，设折叠后的 所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D，
∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，连接OA，OB，同理，∠AOB＝120°，∴∠AOB＝∠AO′D，
∵⊙O与⊙O′是等圆，∴AB＝AD，设⊙O的半径为R，过O作OG⊥AB于G，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，
∴OG＝ OA＝ R，∴AG＝ ＝ R，∴AB＝2AG＝ R，
如图2，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x，
∵D为BC的中点，∴CD＝BD＝2x，∴MC＝DM+CD＝3x，
∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，∴∠MAC＝30°，
在Rt△AMC中，MC＝ AC＝3，∴3x＝3，∴x＝1，
∴AM＝ ＝3 ，BM＝x＝1，在Rt△ABM中，AB＝ ＝2 ，
∵AB＝ R，∴R＝ ，故⊙O的半径长为 ，故选：A．【点睛】本题是圆的一道综合题型，考查圆中的折叠变换，注意等圆中的公共角，公共弦、公共弧，这些
都是相等的，利用这些等量关系是解决本题的关键．
3．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形纸片 中，点M，N在 上，将纸片沿
折叠，折叠后使点A和点D重合于点I， 的外接圆分别交 于点P，Q．若 ，
则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先证明 是等边三角形，得到 ，再根据折叠的性质推出 ，
根据内心的性质得到 ， ，过点 作 ，则OH平分BC，利用勾股定理求
出OB，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
由折叠知： ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵圆 是 的外接圆，∴点 是 的内心，
∴OB平分 ，OC平分 ，∴ ， ，
过点 作 ，则OH平分BC．则： ，在 中： ，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ， （舍），∴ ．故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公
式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．
4．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， 为直径，点 为图上一点，将劣弧 沿弦
翻折交 于点 ，连接 ，如果 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，然后
根据 所对的圆周角为 ， 所对的圆周角为 ，可得 ，结合
即可得出结论．
【详解】解：∵ 是直径，∴ ，
∵ ，∴ ，
根据翻折的性质， 所对的圆周角为 ， 所对的圆周角为 ，
∴ ，∵ ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质以及圆周角定理的应用，掌握圆周角定理及翻折的性质是解题的关键．5．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，将 沿弦 折叠，点 ， 分别是两条弧的中点，
与 的度数之比为 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 与 的度数之比为 ，点C，D分别是两条弧的中点，可知 的度数，进一步可知
优弧 的度数，根据圆周角定理可得 的度数．
【详解】解：∵ 与 的度数之比为 ，点C，D分别是两条弧的中点，
∴ 的度数为 ，根据折叠，优弧 的度数为 ，
∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 内接于圆，D是 上一点，将 沿 翻折，B点正好
落在圆上的点E处，若 ，则 （ ）
A．40° B．50° C．55° D．65°
【答案】B【分析】首先连接 ，由折叠的性质可得： ，结合已知 ，由三角形内角和定理得出
的度数，再由同弧上圆周角相等求得 的度数．
【详解】连接 ，如图所示：由折叠的性质可得： ，
∴ ，
∵ （同弧所对的圆周角相等）∴ ．故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，
注意数形结合思想的应用．
7．（2023·湖北黄石·校联考模拟预测）如图， ， 是 的弦，劣弧 沿弦 翻折恰好经过点
O，交 于点D，连接 ，若 ， ，则 的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ， ， ，过点B作 于点E，过点O作 于点F，求出 ，
根据圆周角定理求出 ，证明 为等边三角形，得出 ，根据
，得出 ，根据勾股定理求出 ，，根据 ，求出结果即可．
【详解】解：连接 ， ， ，过点B作 于点E，过点O作 于点F，如图所示：
则 ，∵劣弧 沿弦 翻折恰好经过点O，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∵ ，且 由翻折而成，
∴ ∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ，
解得： ，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，
解题的关键是作出辅助线，证明 为等边三角形．
8．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为 的中点，D、E为圆上
动点，且D、E关于AB对称，将 沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点 处，若⊙O的周长为10，则 的长为（ ）
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
【答案】B
【分析】连接 再利用轴对称的性质求解
设 的圆心为 ,则 与 关于 对称，求解
从而可得答案.
【详解】解：连接 为圆 的直径，点C为 的中点，
将 沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点 处， 是 的垂直平分线，
D、E关于AB对称， 垂直平分
设 的圆心为 ,则 与 关于 对称，连接 则 在 上，
而
的周长为10， 的半径为： 的长为： 故选B
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，圆的基本性质，圆周角定理，弧长的计算，熟练的运用轴对称的性
质得出 是解本题的关键.
9．（2023·浙江温州·九年级统考期末）如图，将⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿
BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D． +1
【答案】B
【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到
，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计
算出CF，接着再计算出CD即可．
【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图，∵⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿BD翻折交BC于点E，
∴ 为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为∠ABC，∴ ，
∴AC＝CD＝DE，∴AF＝DF＝2，在Rt△OCF中，CF＝ ＝4，
在Rt△CDF中，CD＝ ＝ ， ．故选：B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，
圆心角之间的关系是解题的关键．
10．（2023·浙江宁波·九年级统考期末）如图， 是 的直径，且 ， 是 上一点，将弧
沿直线 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点 ，取 ， ， ，那么由线段 、
和弧 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）
A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2
【答案】C
【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，连接CO，根据折叠的性质得到OE＝ OF，根据直角三角形的
性质求出∠CAB，再得到∠COB，再分别求出S 与S 即可求解.．
ACO 扇形BCO
△
【详解】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，
由折叠的性质可知，EF＝OE＝ OF，∴OE＝ OA，
在Rt△AOE中，OE＝ OA，∴∠CAB＝30°，
连接CO，故∠BOC=60°∵ ∴r=2，OE=1,AC=2AE=2× =2
∴线段 、 和弧 所围成的曲边三角形的面积为S +S
ACO 扇形BCO
△= = = ≈3.8故选C.
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，扇形的面积求解，解题的关键是熟知折叠是一种对
称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为 上一动点，将
△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：
①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是 （写出所
有正确结论的序号）．
【答案】
【分析】 根据折叠的性质得出 ， ，结合圆周角定理可得出 进而推出
正确； 假设 ，推出 是等边三角形，进而推出 ，为定值，这与
是变角相矛盾； 作 于M，并延长交 于G，连接FM、OC、AF，先根据垂径定理求
出OM的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出FM长，最后根据三角形三边关系得出
，则可解决问题．
【详解】解： 折叠得到 ， ， ，
又 在 中， 和 所对的弦分别是AB和AE，
又 ， ，在 中， ， ，故 正确；
由 可得 ，假设 ，
，，∴ 是等边三角形，
， ，是定值，
而B是动点，A、C两点固定，则 是变化的， 两者矛盾，故 错误；
如图，作 于M，并延长交 于G，连接FM、OC、AF，
， ，
由 得 ，F为ED的中点， ， ，
，当O、F、M三点共线时，OF最小，这时OF=1，故 错误；
综上所述，正确的是 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及图形的翻着的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾
股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上性质，灵活运用是解题的关键．
12．（2023·河南周口·统考二模）如图①， 为半圆 的直径，点 在 上从点 向点 运动，将
沿弦 ，翻折，翻折后 的中点为 ，设点 ， 间的距离为 ，点 ， 间的距离为 ，图②是点
运动时 随 变化的关系图象，则 的长为 ．
【答案】8
【分析】由图 可知，当 时， ，此时， ， 点与 点重合，由此即可解题．【详解】解：由图 可知，当 时， ，
此时， ， 点与 点重合，如图，
取 的中点 ，连接 、 ，
，根据对称性，得 ， ，
， 是等边三角形， ， ，
为直径， ，在 中， ， ，
， 长为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、圆周角定理及含 角的直角三角形的性质，解答本题的关键
是根据图2得到 时， 点与 点重合，此题难度一般．
13．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形 中，点C，D在 上，将 沿弦 折叠后恰
好与 ， 相切于点E，F．已知 ， ，则 的度数为 ；折痕 的长为
．
【答案】 60°/60度
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再
结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N∵将 沿弦 折叠∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将 沿弦 折叠后恰好与 ， 相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB∴
∵ ∴四边形MEOF中
即 的度数为60°；∵ ，
∴ （HL）∴
∴ ∴
∵MO⊥DC∴
∴ 故答案为：60°；
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是
解题的关键．
14．（2023·广西·统考一模）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB
上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点 E．若∠OCD＝45°，OC＝
+1，则扇形AOB的半径长是 ．【答案】2+
【分析】作 关于 的对称点 ，连接 、 ，则 为扇形 的半径，由折叠的性质得：
， ，得出 是等腰直角三角形，得出 ，
， ，由切线的性质得出 ，得出 ，由三角
函数即可得出结果．
【详解】解：作 关于 的对称点 ，连接 、 ，如图1所示：
则 为扇形 的半径，由折叠的性质得： ， ，
， 是等腰直角三角形，
， ， ，
折叠后的图形恰好与半径 相切于点 ， ， ，
，如图2所示：
；故答案为： ．【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握折叠
的性质，证出 是等腰直角三角形是解题的关键．
15．（2023·河北·九年级校联考专题练习）已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，连接AC，沿AC折叠劣
弧 ，记折叠后的劣弧为 ．（1）如图1，当 经过圆心O时，求 的长．（2）如图2，当
与AB相切于A时．①画出 所在的圆的圆心P．②求出阴影部分弓形 的面积．
【答案】（1） 的长= ；（2）①P点为所求，见解析； ②S =π-2．
阴
【分析】（1）只要证明 EAO是等边三角形即可解决问题；
（2）①过A点作AP⊥AB△，再截取AP=2，则P点为所求，如图2；
②只要证明四边形AOCP是正方形即可解决问题；
【详解】（1）作半径OE⊥AC于F，连接AE，如图1，
∵沿AC折叠劣弧 ，记折叠后的劣弧为 ，∴OF= OE=OF，
∵OE⊥AC，∴AE=AO，∵OA=OE，∴AE=AO=OE，
∴△AOE是等边三角形，∴∠AEO=60°，∴ 的长= ．
（2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2，②连接PC、OC，∵AP=OA=OC=PC=2，∴四边形PAOC为菱形，而∠PAO=90°，
∴四边形PAOC为正方形，∴S = ×2×2=π-2．
阴
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似
比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质.
16．（2023·江苏徐州·九年级阶段练习）小明在研究由矩形纸片折叠等边三角形之后，经过探究，他用圆
形纸片也折叠出了等边三角形，以下是他的折叠过程：第一步：将圆形纸片沿直径AM对折，然后打开；
第二步：将纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，然后打开，连接AB、AC．
（1）在图③中BC与IM的位置关系是 ；
（2）小明折叠出的△ABC是等边三角形吗？请你说明理由．
【答案】（1）互相垂直平分；（2）△ABC为等边三角形．
【详解】试题分析：（1）利用折叠的性质易得IM垂直平分BC，BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平
分；（2）连结IB、BM、MC，如图，由BC和IM互相垂直平分可判断四边形BMCI为菱形，易得△IBM和
△TMC为等边三角形，则∠BIM=∠CIM=60°，然后根据圆周角定理得到∠BAC= ∠BIC=60°，加上AB=AC，于
是可判断△ABC为等边三角形．
解：（1）∵圆形纸片沿直径AM对折，∴IM垂直平分BC，
∵纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，∴BC垂直平分IM，
即BC和IM互相垂直平分；故答案为互相垂直平分；
（2）△ABC为等边三角形．理由如下：连结IB、BM、MC，如图，∵BC和IM互相垂直平分，∴四边形BMCI为菱形，
∴IB=BM=MC=IC，∴IB=BM=MC=IC=IM，
∴△IBM和△TMC为等边三角形，∴∠BIM=∠CIM=60°，
∴∠BAC= ∠BIC=60°，而AM垂直平分BC，∴AB=AC，∴△ABC为等边三角形．
考点：翻折变换（折叠问题）．
17．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1） 是 的直径，且 ，点 是半
圆 的中点，点 是 上一动点，将 沿直线 折叠交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)当点 与点 重合时，如图（2），求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，由折叠的性质可知
， ，根据圆周角定理可知 ， ，可得
，继而得到 ，即 ；
（2）证明 是等边三角形，可知 所对圆心角为 ，利用弧长公式可求 的长．
【详解】（1）证明：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，由折叠的性质可
知 ， ，又∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）解：由（1）知 ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ 所对圆心角为 ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答
本题的关键．
18．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作
及问题：如图1， 的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心 ，则
AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2， ⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦
AB折叠后经过 C的中点D，AB=10cm，求 的半径；（3）如图3， 的半径为4cm，劣弧AB沿
弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．
【答案】（1） cm；（2） cm；（3） cm【分析】（1）过点O 作OF⊥AB于F，得出OF＝ OF，再根据勾股定理，即可得出结论；
1 1 1 1
（2）同（1）的方法先判断出OC＝2r cm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
2
（3）先求出OO ，进而求出OE，进而利用勾股定理求出AH，即可得出结论．
3 3
【详解】（1）如图1，过点O 作OF⊥AB于F，并延长OF交虚线劣弧AB于E，
1 1 1
∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝OF＝ OE＝ ×4＝2（cm），
1 1
连接OA，在Rt△OFA中，OA＝4，
1 1 1
根据勾股定理得，AF＝ （cm），
∴AB＝2AF＝ （cm），故答案为： ；
（2）如图2，延长OC交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD，
2
∵D是OC的中点，∴CD＝OD，∴CG＝CD＝OD，
2 2 2
设⊙O 的半径为3r cm，则OC＝2r（cm），
2 2
∵OC⊥弦AB，∴AC＝ AB＝5（cm），连接OA，
2 2
在Rt△ACO 中，根据勾股定理得，（3r）2−（2r）2＝25，
2∴r＝ （舍去负值），∴OA＝3r＝ （cm），即⊙O 的半径为 cm；
2 2
（3）如图3，记实线劣弧AB所在的圆心为O，连接OE，OA，OA，OO ，
3 3
则OA＝OA＝OE＝4（cm），
3
∵折叠后与直径CD相切，∴∠OEO ＝90°，
3
∵⊙O 的半径为4cm，∴OA＝OD＝4（cm），
3 3 3
∵DE＝2cm，∴OE＝OD−DE＝2（cm），
3 3
在Rt△OEO 中，根据勾股定理得，OO ＝ （cm），
3 3
∵AB是⊙O和⊙O 的公共弦，∴OO ⊥AB，∴AB＝2AH，OH＝ OO ＝ （cm），
3 3 3 3
在Rt△OHA中，根据勾股定理得，AH＝ （cm），
3
∴AB＝2AH＝2 （cm）．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，相交两圆的连心线垂直于勾股弦，构造出
直角三角形是解本题的关键．
