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专题13 等腰三角形中的分类讨论模型
等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能
较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解
问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，
希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面
的了解与掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论..............................................................................2
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论..............................................................................3
模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论..............................................................................5
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【知识储备】
1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三
角形三边关系解题即可。
2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简；
3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论
若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与
底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰
的原理相同。
例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）等腰三角形中，一个角为 ，则这个等腰三角形的顶角的度
数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
例2．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末） 是等腰三角形， ，则 的周长为
（ ）
A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19
例3．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它
的腰长为（ ）
A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对
例4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知 的三边长分别为 ，5，6，当 为等腰
三角形时，a的值为（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论
若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高
与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。
例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
，则等腰三角形的顶角度数为 ．例2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为
和 的两部分，则该三角形的腰长为 ．
模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论
1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
等腰三角形的两种分类讨论方法
方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。
如图：已知A， O 两点是定点，在坐标轴上找一点P构成等腰△OAP 。
OA
①以已知线段 为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）；
OA O
②以已知线段 为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以 为圆心的有4个，
以A为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。
方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。
若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用
“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。例1．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行 列的长方形网格
中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，则满足条件的
格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2．（24-25八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知 ， ，若在坐标轴上取点
C，使 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始
绕点C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射
线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
例4．（2023·安徽阜阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点 ， ，则 .请在
轴上找一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，点 的坐标为 .
例5．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边 中， ，动点 以每秒 个单位长度的速度
从点 出发在射线 上运动，设点 的运动时间为 秒．
(1)用含 的代数式表示线段 的长；(2)连结 ，当 时，求 的值；(3)若在线段 上存在一
点 ，且 ．在点 运动的同时有一动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发在线段 上运动，
当点 运动到点 时，立即以原速度返回至终点 ，当 为等腰三角形时，直接写出 的值．1．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（
）
A．10 B．11 C．6 或8 D．10 或11
2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点
上的等腰三角形可以作出( )
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
3．（2023春·河北衡水·九年级统考期中）“如图， 是等腰三角形， ， 平分
． 是射线 上一点，如果点 满足 是等腰三角形，求 的度数．”对于其答案，甲
答： ，乙答： ，丙答： ，则下列判断正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整
4．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使
△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 ，则底角度数为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）等腰三角形中一个角为 ，则它的底角为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
7．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习） 中， ， 为 上的高，且 为等腰
三角形，则 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
8．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，
∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF
绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形
时，α的大小为___．
9．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）等腰三角形有两边的长分别是5cm，2cm，则其周长是
cm．
10．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，在直线 或直线
上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有_______个．11．（2023·江西上饶·八年级校考期中）如图， ， 是 延长线上的一点， ，动
点 从点 出发沿 以 的速度移动，动点 从点 出发沿 以 的速度移动，如果点 、 同
时出发，用 表示移动的时间，当 时， 是等腰三角形．
12．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）在锐角 中， ，将 沿 翻折得到 ，
直线 与直线 相交于点E，若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
13．（2024八年级上·绵阳市·专题练习）如图， ， 是边 上一点， 是边 上一动点．若
为等腰三角形，求 的度数．
14．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰
三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．
如图， 中， ．(1)如图（1），若O为 的中点，则直线 _____ 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）
(2)如图（2）已知 的一条等腰分割线 交边 于点P，且 ，若 ，请求出
的度数．(3)如图（3），若 ，AB=5，点M是边 上的一点，如果直线 是 的等
腰分割线，这样的点M共有______个．
15．（2023·陕西渭南·八年级统考期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于
饲养鸡，已知第一条边长为 米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少10米．
(1)用含 的式子表示第三条边长；(2)第一条边长能否为8米？为什么？
(3)若该三角形是等腰三角形，求 的值．
16．（2023·上海静安·八年级校考期中）如图，已知在 中， ．过三角形顶点的一
条直线将 分割为两个等腰三角形．求 的度数．
17．（2024·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 为 上任意一
点，若 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数．18．（2024·北京·八年级校考阶段练习）（1）操作实践： 中， ，请画出一条
直线把 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分
割方法）
（2）分类探究： 中，最小内角 ，若 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示
意图并写出 最大内角的所有可能值； 以下为备用图
（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？ 请你至少写出两种
不同情况的条件,无需证明
19．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线
段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫
做这个三角形的“三分线”．
(1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
(2)图2是一个顶角为 的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；(3)
在 中，其最小的内角 ，过顶点B的一条线段是 的“二分线”，请直接写出
的度数．20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图， 中， cm，现有两点M、N分别
从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 ，点N的速度为 ．当点N第
一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形 ？
(3)当点M、N在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时M、N
运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形 ．
