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专题05 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、
婆罗摩笈多（定理）模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模
型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................5
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.阿基米德折弦模型.................................................................................................................................6
模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型................................................................................................................11
.......................................................................................................................................15
折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴
弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型。数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将
抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史
研究者津津乐道。
婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以7世纪印度数学家婆罗摩笈多 （Brahmagupta）命名，他是首个
系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千
年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的
音译差异。
（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线
是圆的一条折弦）， ，点M是 的中点，则从M向 所作垂线的垂足D是折弦 的
中点，即 ．下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，在 上截取 ，连接 、 、 和 ，∵M是 的中点， ，又
， ， ，
又 ， ， ，即
(1)【理解运用】如图1， 、 是 的两条弦， ，点M是 的中点， 于
点D，求 的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是 中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断
、 、 之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4， 是 的直径，点A是圆上
一定点，点D是圆上一动点，且满足 ，若 ， 的半径为10，求 长．（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆
罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名
的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形 的对角线 与 垂直相交于M，过点M
的直线与边 分别相交于点F、E．则有下两个结论：
如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．
数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究．
证明： ， ，即 ， ， ，
在 中， ， ……
请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为
4，A，B，C，D为圆上的点， ，连接 交于点F，过点F作 于E，延长
交 于G，则 的长度为______．
1）阿基米德折弦（定理）模型条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则
从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。
M C H M C M C M C
B D B D G B D G B D
F
A A A A
图1 图2 图3 图4
证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接 ，AC；
∵M是 的中点，∴ ．∵ ， ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ， ．∵ ，
，
∴ ．∴ ．∴ ．
法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC；
∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是 的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，
∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，
∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴ MBA≌ MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．
法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至△ F，使△BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC，
∵M是 的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，
∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF，
在△MBF和△MBA中， ， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC，
又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD；
2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型
条件：如图，四边形ABCD内接于 ，对角线 ，垂足为点M，直线 ，垂足为点E，并
且交直线AD于点F．结论： ．证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，
又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD
2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理
条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点
E，FA=FD．结论：FE⊥BC．
证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，
∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．
模型1.阿基米德折弦模型
例1（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如
图， 和 组成圆的折弦， ， 是 的中点， 于 ，则下列结论一定成立的是
（ ）A． B． C． D．
例2（2024·河南洛阳·校考二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高
斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ， 是
的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ，
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，延长 到点F，使得 ，连接DA，DB，DC和DF．
∵ 是 的中点∴ …
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边 内接于 ， ， 为 上一点， ． 于
点 ，则 的周长是______．例3（24-25九年级上·江苏连云港·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是 的中点，则从
M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA
的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是 的中点，∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG
又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：① ，② ，③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是 的中点，MD⊥BC于点D，
则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是 的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存
在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半
径为5，求AD长．
例4（2024·河南·校考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆
周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成
的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ．M是弧 的中点，则从M
向 所作垂线之垂足D是折弦 的中点，即 ．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从C点截取一段线段 ，连接
．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作 于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明： ．
模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型
例1（2024·河南·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多
定理”，也称“布拉美古塔定理”．
定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对
边”．
按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：________________________________________________________________________________，
求证：________________________________________________________________________________，
证明：________________________________________________________________________________．
例2（2024·河南周口·二模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、
四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定
理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于 ，对角线 ，垂足为点M，直线 ，垂
足为点E，并且交直线AD于点F．则 ．
证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．…
任务：(1)将上述证明过程补充完整；
(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于 ，对角线 ，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若 ，则 ．请证明该命题．
例3（24-25九年级·江苏·假期作业）阅读材料并完成相应任务：婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，
他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔
定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形 内接于 ，对角线 于点 ， 于点 ，延长 交
于点 ．求证： ．
证明： ， ， ， ， ．……
任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知
中， ， ， ， 分别交 于点 ， ，连接 ， 交于点 ．过点 作
，分别交 ， 于点 ， ．若 ，求 的长．
1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图， 和 组成圆的折弦， ， 是 的中点， 于 ，则下列结论一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互
相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在 中，四边形 是“婆
氏四边形”，对角线 相交于点E，过点E作 于点H，延长 交 于点F，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024山东·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一
条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即
．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边 内接于 ， ， 为
上一点， ， 于点 ，则 的周长是 ．4．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂
直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形 是 的内接四
边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若 ，则 的半径为 ．
5．（24-25·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前 ～公元前 年，
古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛
顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（ 年～ 年）的译文中保存了
阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题
就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如图1， 和 是 的两条弦（即折线
是固的一条折弦）， ， 是弧 的中
点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦
的中点，即 ．
这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”
证明 的部分证明过程．
证明：如图2．作 射线 ，垂足为 ，连
接 ， ， ．
∵ 是弧 的中点，
∴ ．…
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图3，已知等边 内接于 ，
为 上一点， ， 于点 ， ，则折弦 的长是______．6．（2024·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知 内接于 ，点P在 上（不与点A，B，C重合），过点P分别作 ， ，
的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）：
如图（1），连接 ， ， ， ，取 的中点Q，连接 ， ，则
，（依据1）
∴点E，F，P，C四点共圆，∴ ．（依据2）
又∵ ，∴ ．
同上可得点B，D，P，E四点共圆，……
任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是 的中点时， ，请你利用图（2）
证明该结论的正确性．7．（24-25·湖南长沙九年级月考）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、
零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这
类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）
①矩形；②菱形；③正方形
（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，
AB=6， ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．
（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知
∠BOC+∠AOD=180°．
①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．
8．（2024·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问
题，其中有这样一个问题：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦），， 是 的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．其部分证
明过程如下：证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
∵ 是 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，……
任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在 中， ， ，若 ， ， ，则
到 的距离是____________， 到 的距离是____________， 的半径是____________．
9．（24-25··福建泉州·九年级校考期中）材料：如图①， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一
条折弦）， 点 是弧 的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即
。（1）如图②，已知等边 内接于 为弧 上--点，
于点 ，求 的周长；（2）求证： ．
10．（2024·山东临沂·统考一模）（1）如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），
BC>AB，点M是 的中点，MD⊥BC，垂足为D．求证：CD＝DB+BA．（2）如图2，BC是半⊙O的直径，点A是半圆上一定点，点D是半圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若
AB＝5，⊙O的半径为6.5，①请在图2上作出D点，说明理由；②结合（1）的结论，求AD的长．
11．（24-25··浙江·九年级专题练习）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是 的中点，
DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）
__________．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
12．（24-25·江苏·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在 中，C是劣弧 的中点，直线 于
点E，则 ．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．
如图2， ， 组成 的一条折弦．C是劣弧 的中点，直线 于点E，则 ．可
以通过延长 、 相交于点F，再连接 证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3， ， 组成 的一条折弦．C是优弧 的中点，直线 于点E，则 ， 与
之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．13．（2024·山西大同·三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学
家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之
父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：
如图1，以 为直径作半圆O，弦 是一个内接正五边形的一条边（即： ），点D是
的中点，连接 并延长与直径 的延长线交于点E，连接 交于点F，过点F作 于点
M．求证： 是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：证明：如图2，过点D作 于点H．
∵ ，∴ ．（依据1）
∵点D是 的中点，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．（依据2）
∵以 为直径作半圆O，∴ ．（依据3）
∴ ．∵四边形 是半圆O的内接四边形，
∴ ．（依据4）
∵ ，∴ ．
∵ 于点M，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ．∵ ．
∴ ．∴ ．……
通过上面的阅读，完成下列任务：(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出 的度数，再根据等腰三角
形的性质或判定完成该题的证明过程）
14．（2024·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学
家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定
理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对
边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________ 证明：
（2）如图（2），在 中，弦 于M，连接 分别是 上的点，于 于H，当M是 中点时，直接写出四边形 是怎样的特殊四边形：
__________．
15．（24-25··江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦
（即折线 是圆的一条折弦）， ，M是 的中点，则从M向 所作垂线的垂足D是折弦
的中点，即 ．下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程．
（1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 和 ．
∵M是 的中点，∴ …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：（2）如图3，已知 内接于 ， ，D是 的中点，依据阿基米德折弦
定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰 内接于 ， ，D为 上一点，连接 ， ，
于点E， 的周长为 ， ，请求出 的长．
16．（2023·江苏宿迁·统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形 的对角线 互相垂直，垂足为点 ，过点 的直线垂直
于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ，由垂直关系得 ， ，所
以 ，由同弧所对的圆周角相等得 ，所以 ，则 ，同
理， ，故 ；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为
（填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2， 和 为共顶点的等腰直角三角形， ，过点 的直
线垂直于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ．证明：点 是 的中点；
（2）如图3， 和 为共顶点的等腰直角三角形 ，点 是 的中点，连接
交 于点 ，若 ，求 的长．
17.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端
点的线段组成的图形．如图1，线段 、 组成折线段 ．若点 在折线段 上，
，则称点 是折线段 的中点．(1)如图2， 的半径为2， 是 的切线， 为切点，点 是折线段 的中点．若 ，则
；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3， 和 是 的两条弦（即折线段 是圆的一条折弦），
，点 是 的中点，从 向 作垂线，垂足为 ，求证： 是折弦 的中点；
【变式探究】(3)如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则 、 、 之间
存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】(4)如图5， 是 的直径，点 为 上一定点，点 为 上一动点，且满足
，若 ， ，则 ．
