专题1-7一文讲透圆的九大基本模型·母题溯源（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1-7 一文讲透圆的十大基本模型·母题溯源 目录 模型梳理 题型一 弦切角定理与切割线定理 湖北·黄石中考 湖北·十堰中考 2023·新疆·中考真题 题型二 中点弧模型 苏州·中考真题 深圳·中考真题 2023·山东枣庄·统考中考真题 2023·江苏无锡·统考中考真题 2023·四川遂宁·统考中考真题 题型三 内心模型 黑龙江绥化·中考真题 广东省卷·中考真题 湖北·孝感中考真题 题型四 线段和差问题（构造手拉手OR阿基米德折弦定理） 类型一：构造手拉手 2023·吉林长春·统考中考真题 类型二：折弦定理 山西中考 深圳·中考 题型五 平行弦与相交弦模型 2023·江苏苏州·统考中考真题 深圳·中考 2022·湖南张家界·中考真题 题型六 垂径图 四川绵阳·中考 题型七 等腰图 2023·四川成都·统考中考真题 四川宜宾·统考中考真题 2023·湖北黄冈·统考中考真题 2023·辽宁营口·统考中考真题 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 广西玉林·统考中考真题 2023·四川眉山·统考中考真题 湖北孝感·中考真题 2022·湖北十堰·统考中考真题 题型八 双切图 四川遂宁·统考中考真题 湖北武汉·中考真题 四川泸州·中考真题 四川乐山·中考真题 广东省卷·统考中考真题 四川·乐山中考 湖北武汉·中考真题 题型九 射影图 安徽·统考一模 四川成都·统考一模 2023·湖南永州·统考中考真题 2023·四川广安·统考中考真题 题型十 切割图 模型梳理 圆的基本模型（一）：弦切角定理与切割线定理 D 3 C C B B 2 2 O P O P 1 1 A A 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 PC 12 ① 是 切 线 ； ② （ 弦 切 角 定 理 ） ； ③ PC2 PA·PB 弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所 夹的弧所对的圆周角∠2 圆的基本模型（二）：中点弧模型 点P是优弧AB上一动点，则 【以下五个条件知一推四】  AB ① 点C是 的中点 P ② AC＝BC ③ OC⊥AB O ④ PC平分∠APB E A B CECP CB2 ⑤ ( 即 C △CPB ~△CBE ) 【简证】∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似 P P 2 O O E E A B A B 1 C C 【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，注意：⑥不能反推出前五项 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 P O E A B A=C APE PCB C 【例题】 如图，四边形 ABCD内接于O，对角线 AC 、BD交于点 P，且 AB AD，若 AC 7， AB3，则 BCCD ． A B D P O C 【简证】 9 40 AB2  ACAP AP  CP  7 7 CBCD CACP  40 易知 ，则 ， A A B D B D P P O O C C 圆的基本模型（三）：内心模型与等腰 【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰 如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A A 4 I I I 1 5  O C  O 2 3 C C O B B B D D 【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3 圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理） 一、中点弧与旋转 【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是 AB的中点 邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系. P P P O  O  O E E E A B A B A B C P' C P' C 由于对角互补，即 PBC＋PAC＝180 ，显然PAP'共线，且PC＝P'C ，通过导角不难得出相似. 常见结构（1）：圆内接等边三角形 结论：PB+PA=PC 【简析】 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 常见结构（2）：圆内接等腰直角三角形（正方形） 结论：PA PC  2PB 【简析】 补充：【托密勒定理】：秒杀！（选填可用） 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 二、阿基米德折弦定理 【模型解读】 【问题】：已知M为 AC 的中点，B为 AM 上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC M C B D A O 证法一：(补短法) AC  AM M C 如图：延长DB至F，使BF＝BA ∵M为 中点 ∴ ＝ ， ∴∠1＝∠2－－－① 又∵ ＝， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3－－－② 又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③ 由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④ 由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M C 2 3 D F B 1 A O 在△MBF与△MBA中； ∴△MBF≌△MBA (SAS) ∴MF＝MA， 又∵MC＝MA ∴MF＝MC 又∵MD⊥CF ∴DF＝DC ∴FB＋BD＝DC 又∵BF＝BA ∴AB＋BD＝DC (证毕) 证法二：(截长法——两种截取方式) 如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可 ∵＝ ∴∠1＝∠2－－－① 又∵M是中点， ∴MA＝MC－－－② 由①②可知，在△MBA与△MGC中 ABCG  12 ∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴BD＝GD 又∵MD⊥BG ∴BD＝DG ∴AB＋BD＝DC (证  MAMC  毕) M M 1 C C 2 B D G B D G 2 1 A O A O 图1 图2 如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可 简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型， 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴AB＝CG 常规证明：∵MD⊥BG ∴MB＝MG ∴∠2＝∠MGD－－－① 又∵ ＝， ∴∠1＝∠2－－－② ∵M是中点， ∴＝ ∴∠1＝∠MCA－－－③ 由①②③可得∠MGD＝∠MC， 而∠MGD＋∠MGC＝180°， ∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC ＝ ∠MBA B  M B  M MAB MCG 又∵ ＝ ， ∴ ＝ 在△MBA与△MGC中 MBMG  MBA MGC ∴△BMA≌△GMC (AAS) ∴AB＝GC  MAB MCG  ∴AB＋BD＝DC（证毕） 证法三：(翻折)——证共线 如图3：连接MB，MC，MA，AC，将△BAM沿BM翻折，使点A落至点E，连接ME，BE ∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌△MBA ∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－－① 又∵MA＝MC，∴ME＝MC， 又∵M，B，A，C四点共圆，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－－② 又∵MA＝MC（已证）∴∠MAC＝∠MCA 又∵＝，∴∠MBC＝∠MAC ∴∠MBC＝∠MCA－－－③ 由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三点共线。又∵ME＝MC，MD⊥CE ∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA ∴AB＝EB ∴AB＋BD＝DC（证毕） 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M H M C C D D E B B A O A O 图3 图4 证法四：两次全等 如图4，连接MB ， MA ， MC， AC ，延长AB，过点M作MH⊥AB于点H， ∵M为的中点 ∴AM＝MC， 又∵＝ ∴∠HAM＝∠DCM MHA MDC  HAM DCM 又∵∠MHA＝∠MDC＝90 ∴在△MHA与△MDC中  MC MA  ∴△MHA≌△MDC (AAS) ∴CD＝AH－－－① MD＝MH 在Rt△MHB与RtT△MDB中 MH MD  MB MB ∴△MDB≌△MHB (HL) ∴BD＝BH 又∵AH＝AB＋BH， ∴ AH＝AB＋BD－－－② 由①②可得DC＝AB＋BD(证毕) 证法五：补短法（2）——两次全等 如图4，延长AB至H，使BH＝BD，则AB＋BD＝AH， 先证△BHM≌△BDM (HL)，再证△MHA≌△MDC (HL) 圆的基本模型（五）：平行弦与相交弦，割线定理 一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴ 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于点G，则AG·CG=BG·DG 三、割线定理 PA·PDPB·PC 割线PD、PC相交于点P，则 D D D A A A φ P P P φ B B B C C C 圆的基本模型（六）：垂径图 一、弧中点与垂径图 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 知1推5 ① AD平分 ∠CAB C D CB ② D是 的 中点 E ③ DO⊥CB A B O CE  EB ④ AC / /OD ⑤ 1 OE  AC 2 ⑥ 二、垂径+相等的三段弧 AD 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是 的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交 CE、BC于点P、Q，连结BD。 (1)证CO∥BD D C (2) AD＝CE Q P (3)证：P是线段AQ的中点 A B H O (4)证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB CQ E (5)tan∠DBC＝ CB (6) 若AD＝8，BD＝6，求AH的值 (7) 若⊙O的半径为5，AQ＝ ，求弦CE的长. 【简证】 D D C C Q 2 Q G P P （1）A B A B H O H O E E 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C Q P （2）A B H O E (3) 先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP， ∴AP＝PQ＝CP D C Q α β β P α A B H O E （4）CP＝AP，CE＝AD CP•CE＝AP•AD，△APH △ABD AP•AD＝AH•AB ⇒ ∼ ⇒ D C Q 2 P A B H O E （5） D C Q 利用面积比等于相似比的平方， ACQ BCA P A B CQ S ACQ CQ2 CQ H O = = = =tanCAQ=tanDBC CB S AC2 AC ACB E 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C Q 利用子母相似对根式化简 CQ•CB=AC2 P A B CQ CQ•CB AC2 AC H O = = = =tanCBA=tanDBC CB CB•CB BC2 BC E （6）法一 D C Q 连接AC，连接CO交AD于G，OG∥ BD 易知GO是 ABD的中位线（平行线分线段成比例） G 4 P 3 1 1 可知OG= BD=3，AG= AD=4，则半径AO=5 A B 2 2 H O 易证 AOG COH（AAS） OH=OG=3，AH=r-3=2 E （6）法二 D C Q P 易知r=5，连接EO， A B H O 勾股可知HO=3，AH=5-3=2 4 r=5 E （7）找到对应相似三角形是关键 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C 3x D Q AQ 3 CQ 3 4x ACQ BCA =  = AB 4 AC 4 P 15 15 3 2 设CQ=3x，AC=4xAQ=5x= x= A B 2 2 H O 10 24 48 AC=6BC=8CH= CE= 5 5 E 补充拓展：垂径图导子母相似 如图弦CD⊥直径AB于点G，E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F，CF交直线AB 于点P （1）证OE•OPr2 ； （2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？ C C β F F α P α P A A G O E B G O E B β D D C P B A E G O F D 圆的基本模型（七）：等腰图（） 一、直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 结论 （1）BD=CD=ED （2）DO∥ AC A A ①DF  AC  ②F是EC中点  O O  ③DF是切线 E E （3）知1推3：   ④2DF BE F F B D C B D C 【补充】 E 知1推2 知1推2 A F AB=AC DFEC O BD=CD=ED F是EC中点 B D C OD∥ EC FD是 O的切线 二、圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有 A E O M N B D C 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 圆的基本模型（八）：双切图 A 3 O 1 P E F 2 D B C 补充：多切图 内切圆半径为r} ⇒r＝ a＋b−c 内切圆半径为r} ⟹(a＋b＋c)·r＝b·h(h可求) ∠C＝90° 2 ∠C≠90° B F D c h a C E b A ①BC＝BE＋CO { ②OB⊥OC,EF⊥FG BE，BC，GC与⊙O相 切} ③EF∥OC，OB∥GF ⟹ R为⊙O的半径 ④矩形OAFD OB·OC OB·OC ⑤R＝ ＝ ·2R＝√BC2−(CG−BE) 2 BC BG＋CG 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 E B A F O D C G 圆的基本模型（九）：射影图 A O D AB是直径   ∠ABC 90 DE是切线  E是BC中点  B E C 基本图形：AB是直径，ABC=90° A 其它结论 知1推4 OE是中位线 点E是BC中点 6个角相等 DE是 O切线 O D 射影定理（3个等积式） BE=BE OEBD 2r2=OE•AD B E C OE∥ AC 2DE2=CD•OE 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直） D E AB是直径 ①OC∥AD； F C CD是切线    ②AC平分BAD，CE CB，DCACBA； G   A B ADCD ③OF CDEGBGCH，BH DE CG，OGEF  AF OH； O H   OF  AE ④ADDE  AB；   CH  AB   ⑤AE AB2AH 2AD，AE AB2ACcosBAC.  D C E F A B O D C E M F A B O 题型一 弦切角定理与切割线定理 湖北·黄石中考 1．如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是O上的两点，CECB， BCDCAE，延长AE交BC的延长线于点F． 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F C E A O B D CD O BD1,CD 3 AC (1)求证： 是 的切线；(2)若 ，求弦 的长． 【答案】(1)见解析，(2)AC  3 【分析】（1）连接OC，由条件可证得BCDACO，得到BCDBCO90，即可得到结论； AD CD AC （2）先证明 ，得到   ，求出 ， ， △ACD∽△CBD CD BD BC AD3 AC 3BC ∴AB312，在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC2BC2  AB2，求出弦AC的长． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵AB是O的直径， ∴ACB90， ∴ACOBCO90， ∵CECB， ∴CAE CAB， ∵OAOC， ∴CABACO， ∴CAE CABACO， ∵BCDCAE， ∴BCDACO， ∴BCDBCO90， ∴OC CD, ∴CD是O的切线； （2）∵CADBCD，DD， 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴△ACD∽△CBD， AD CD AC ∴   ， CD BD BC AD 3 AC ∴   ， 3 1 BC ∴AD3，AC 3BC， ∴AB312， 在Rt△ABC中，AC2BC2  AB2，  2 ∴ 3BC BC2 22，∴ ， BC1 AC  3 湖北·十堰中考 2．如图，ABC中，AB AC，以AC为直径的O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且 1 CDE  BAC． 2 (1)求证：DE是O的切线； (2)若AB3BD，CE 2，求O的半径． A O C B D E 【答案】(1)见解析，(2)7 【详解】（1）如图，连接OD，AD， ， 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  AC是直径， ADC90， ADBC， ABAC， 1 CADBAD BAC， 2 1 CDE BAC， 2 CDECAD OAOD， CADADO， ADOODC 90， ODCCDE90， ODE 90， 又OD是O的半径， DE是O的切线； （2）解： AB AC，ADBC， BDCD，  AB3BD， AC 3DC， 设DC x，则AC 3x， AD AC2DC2 2 2x， CDECAD，DEC AED， △CDE∽△DAE， CE DC DE    ， DE AD AE 2 x DE 即   ， DE 2 2x 3x2 14 ，x ， DE 4 2 3 AC 3x14，O的半径为7 3．如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，F 是AD延长线上一点，连接CD，CF ，且 DCF CAD． (1)求证：CF是O的切线； 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 (2)若直径 AD10,cosB ，求 的长． 5 FD 90 【答案】(1)详见解析，(2) 7 【详解】（1）证明：连接OC， ∵AD是O的直径， ∴ACD90， ∴ADCCAD90， 又∵OC OD， ∴ADC OCD， 又∵DCF CAD， ∴DCFOCD90， 即OC FC， ∴FC是O的切线； 3 （2）解：∵BADC,cosB ， 5 3 ∴cosADC  ， 5 3 CD ∵在 中，cosADC   ,AD10, RtACD 5 AD 3 ∴CD ADcosADC 10 6, 5 ∴AC  AD2CD2 8， CD 3 ∴  ， AC 4 ∵FCDFAC，F F， ∴FCD∽FAC， CD FC FD 3 ∴    ， AC FA FC 4 设FD3x，则FC 4x，AF 3x10， 又∵FC2 FDFA， 即(4x)2 3x(3x10)， 30 解得x （取正值）， 7 90 ∴FD3x 7 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·新疆·中考真题 4．如图，AB是O的直径，点C，F 是O上的点，且CBF BAC，连接AF ，过点C作AF 的垂线， 交AF 的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F 作FGAB于点G，交AC于点H ． (1)求证：CE是O的切线； 3 (2)若 tanE ， ，求 的长． 4 BE 4 FH 18 【答案】(1)见解析。 (2) 5 【分析】（1）连接OC，根据OC OA，得出OAC OCA，由FC FC，得出FAC FBC，根据 已知条件得出FAC ACO，证明OC∥AD，结合已知条件可得OC DE，即可得证； OC 3 4 （2）连接 ，根据已知条件得出sinE  ，cosE ，得出 ，证明 ，得出 OC OE 5 5 OC6 △BCE∽△CAE BC 1 36 3 108 ， tanCAB  ， 进 而 求 得 AF  ， AG AF  ， 根 据 CE 8 AC 2 5 5 25 1 HG 1 54 tanCABtanHAG  ，求得HG AG ，进而即可求解． 2 AG 2 25 【详解】（1）证明：如图所示，连接OC， ∵OC OA， ∴OAC OCA， ∵FC FC， ∴FAC FBC ∵CBF BAC， ∴FAC CAB， ∴FAC ACO ∴OC∥AD ∵ADDE ∴OC DE 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵OC是半径， ∴CE是O的切线； （2）解：如图所示，连接OC， OC 3 ∵tanE  ， ， CE 4 BE 4 设OC 3a，则CE 4a ∴OE5a， OC 3 4 ∴sinE  ，cosE OE 5 5 3 OC 即  5 OC4 解得：OC6， ∵OC DE， ∴BCEOCB90 ∵OC OB ∴OCBOBC， ∴BCEOBC 90， ∵AB是直径， ∴ACB90， ∴CABABC 90， ∴BCECAE， 又EE， ∴△BCE∽△CAE， CE BE CB CE ∴  ,  ， AE CE CA AE ∴CE2 BEAE， ∴CE2 441264， 解得：CE 8， CB CE 8 1 ∴    CA AE 124 2 BC 1 ∴tanCAB  ， AC 2 ∵AB是O的直径， ∴BF  AF， 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵DEAD， ∴DC∥FB ∴�FBA� E， ∴tanFBAtanE， AF OC 6 3 ∴    ， FB CE 8 4 设AF 3k，则FB4k ， ∴AB5k ， ∵AB12, 12 k , 5 36 ∴AF  ， 5 ∵FGAB， ∴AFG90GFBFBAE 4 4 36 144 ∴FG AFcosE  AF    ， 5 5 5 25 3 108 ∴AG AF  ， 5 25 1 HG ∵tanCABtanHAG  ， 2 AG 1 54 ∴HG AG ， 2 25 144 54 90 18 ∴FH FGHG    25 25 25 5 5．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE＝DB： （2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径； （3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长 【答案】（1）见解析；（2）2 2 （3）9 【分析】（1）通过证明∠BED=∠DBE得到DB=DE； （2）连接CD，如图，证明△DBC为等腰直角三角形得到BC= 2BD=4 2，从而得到△ABC外接圆的半 径； （3）证明△DBF∽△ADB，然后利用相似比求AD的长． 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE， ∴DB=DE； （2）解：连接CD，如图， ∵∠BAC=90°， ∴BC为直径， ∴∠BDC=90°， ∵∠1=∠2， ∴DB=BC， ∴△DBC为等腰直角三角形， ∴BC= 2 BD=4 2 ， ∴△ABC外接圆的半径为2 2 ； （3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA， ∴△DBF∽△ADB， BD DF 6 4 ∴  ，即  ，∴AD=9 DA DB AD 6 题型二 中点弧模型 苏州·中考真题 6．如图， AB是O 的直径， D、 E为O 上位于 AB异侧的两点，连接 BD并延长至点C，使得 CDBD，连接AC 交O 于点F ，连接AE、DE 、DF ． （1）证明：E C； （2）设DE 交AB于点G ，若AB10，E是 AEB的中点，求EGED的值． 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解答】证明：（1） AB是O 的直径， ADB90，即ADBC， CDBD， AD垂直平分BC， AB AC ， BC， 又BE， E C； （2）连接OE，  AB10，  E 是AB的中点，AB是O 的直径， AOE90，  AOOE5， AE 5 2，  E 是AB的中点， ADE EAB， AEG∽DEA， AE DE  ，  EG AE 即EGED AE2 50． 深圳·中考真题 7．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后， 点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC （1）求CD的长； （2）求证：PC是⊙O的切线； （3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C不重合）．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，求FE·FG的值 【答案】（1）CD2 3；（2）证明见解析；（3）GEGF 8，理由见解析.（4）4 3 【详解】试题分析：（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可； （2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明 即可；（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应 AG FG 相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得  ，从而得到 GE AG GE•GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． （1）连接OC， (cid:19) ∵CD沿CD翻折后，A与D重合， 1 1 ∴OM  OA 21， 2 2 ∴CDOA， ∵OC2， ∴CD2CM 2 OC2OM2 2 2212 2 3． （2）∵PAOA2，AM OM 1， 1 ∵CM  CD 3， ， 2 CMPOMC 90  2 ∴PC  MC2PM2  3 32 2 3， 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵OC2，PO224，  2 ∵PC2OC2  2 3 22 16PO2， ∴PCO90， ∴PC是⊙O的切线． （3）GE，GF 为定值， 连接GA，AF ，GB， (cid:19) ∵点G为ADB的中点， (cid:19) (cid:19) ∴GAGB， ∴BAGAFG， 又∵AGEFGA， ∴AGE∽FGA， AG FG ∴  ， GE AG ∴GEGF  AG2， ∵AB为直径，AB4， ∴BAGABG45， ∴AG2 2， ∴GEGF 8． （4）简证：因为△FAE∽△FGB，所以FE·FGFB·FA4 3 2023·山东枣庄·统考中考真题 AB O  AD BD 8．如图， 为 的直径，点C是 的中点，过点C做射线 的垂线，垂足为E． 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证：CE是O切线； (2)若BE3，AB4，求BC的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）． 2 【答案】(1)见解析；(2) ；(3)  BC2 3 3 【分析】（1）连接OC，证明OC∥BE，即可得到结论； AB BC （2）连接AC，证明 ，从而可得  ，再代入求值即可； ACB∽CEB BC BE （2）连接OD，CD，证明CD∥AB，从而可得S S ，，求出扇形COD的面积即可得到阴影部分 COD CBD 的面积． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵点C是 AD的中点，， ∴AC DC， ∴ABC EBC， ∵OC OB， ∴ABC OCB， ∴EBCOCB， ∴OC∥BE， ∵BECE， ∴半径OC CE， ∴CE是O切线； （2）连接AC， ∵AB是O的直径， ∴ACB90， ∴ACBCEB90， ∵ABC EBC， 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ACB∽CEB， AB BC ∴  ， BC BE 4 BC ∴  ， BC 3 ∴BC2 3； （3）连接OD，CD， ∵AB4， ∴OC OB2， ∵在Rt△BCE中，BC 2 3,BE3， BE 3 3 ∴cosCBE   ， BC 2 3 2 ∴CBE30， ∴COD60， ∴AOC 60， ∵OC OD， ∴△COD是等边三角形， ∴CDO60， ∴CDOAOC， ∴CD∥AB， ∴S S ， COD CBD 6022 2 ∴    S S 阴 扇形COD 360 3 2023·江苏无锡·统考中考真题 9．如图，AB是O的直径，CD与AB相交于点E．过点D的圆O的切线DF∥AB，交CA的延长线于 点F ，CF CD． 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求F的度数； (2)若DEDC 8，求O的半径． 【答案】(1)67.5，(2)2 （2）证明DAE∽DCA，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解． 【详解】（1）如图，连接OD．  FD为O的切线， ODF 90．  DF∥AB， AOD90．  AD AD， 1 ACD AOD45．  2  CF CD， 1 F  (180ACD)67.5．  2 （2）如图，连接AD，  AOOD，AOD90， EAD45．  ACD45， ACD EAD，且ADECDA， DAE∽DCA， DE DA  ，即 ，  DA DC DA2 DEDC 8 DA2 2， 2 OAOD AD2，即半径为  2 2 2023·四川遂宁·统考中考真题 10．如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，ADCD，过点D的直线l交BA的延长线于点 M ，交BC的延长线于点N ，且ADM DAC． 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证：MN是O的切线； AD2  ABCN (2)求证： ； 3 sinDCA (3)当AB6， 3 时，求AM 的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）连接OD，OC，根据圆心角，弦，弧的关系可得AODDOC，根据直径所对的圆周角 是90度可得ACB90，半径相等可得OC OAOBOD，根据等腰的判定可得AOC是等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一的性质可得OD垂直平分AC，根据平行线的判定和性质可得ODMN ，即可证 明； （2）连接 BD，根据同弧所对的圆周角相等可得 ABDACD，根据平行线的性质可得 ACBMNB90， CDN ACD，推得 DCN BAD，根据相似三角形的判定和性质可得 ADCD ABCN，即可求证； （3）令OD与AC交于点 H ，根据正弦的定义可求得CD AD2 3， DH 2 ，根据勾股定理可求得 AC 2AH 4 2，BC2，根据矩形的判定和性质可得CN 2,BN 4，根据相似三角形的判定和性质 可求得BM 12,即可求得． 【详解】（1）连接OD，OC，如图： ∵ADCD， ∴AODDOC， ∵四边形ABCD内接于O，AB为O的直径， ∴ACB90， ∴OC OAOBOD， ∴AOC是等腰三角形， 又∵AODDOC， ∴OD垂直平分AC， ∵ADM DAC， 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ACMN ， ∴ODMN ， 即MN是O的切线； （2）连接BD，如图： ∵AD AD ∴ABDACD， ∵ACMN ， ∴ACBMNB90，CDN ACD， ∴CDN ABD， ∴DCN BAD， ∵CDN ABD，ADBDNC 90，DCN BAD， ∴ABD∽CDN， CN CD ∴  ， AD AB 即ADCD ABCN， 又∵ADCD， ∴AD2  ABCN ； （3）令OD与AC交于点H ，如图： ∵DCADBA， AD 3 ∴sinDCAsinDBA  ， AB 3 ∵AB6， ∴AD2 3， ∴CD AD2 3， ∵DAC DCA， DH 3 ∴sinDCAsinDAC   ， AD 3 ∴DH 2，  2 在 中，AH  AD2HD2  2 3 22 2 2， Rt△AHD 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AC 2AH 4 2，  2 在 中，BC  AB2AC2  62 4 2 2， Rt△ABC ∵ODMN ，BN MN ，ACBC， ∴四边形HCND为矩形， ∴CN DH 2, ∴BN BCCN 4 ∵ACMN ， ∴VBAC∽VBMN， BA BC ∴  BM BN 6 2 即  ， BM 4 ∴BM 12, ∴AM BM BA1266 题型三 内心模型 11．已知：如图，在ABC中，E是内心，延长AE交ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F． 1 DEDB 求证： ； 2 DE2 DF  y ADx 当点A在优弧BC上运动时，若 ， ， ，求y与x之间的函数关系． 4 【答案】（1）见解析；（2） 与x之间的关系式y ． y x 【分析】 1 首先连接BE，由E是内心，易证得BEDEBCEAC，EBDEBCCBD，又由 同弧所对的圆周角相等，证得EAC CBD，则可得EBDBED，即可证得DEBD； 2 首先根据有两角对应相等的三角形相似，证得 BDF ∽ ADB ，则可证得：BD2  ADDF ，将已知线 段的长代入即可求得x与y的关系式． 【详解】 1 连接BE， 【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  E为内心， AE，BE分别为BAC，ABC的角平分线， BEDBAEEBA，EBAEBC，BAEEAC， BEDEBCEAC，EBDEBCCBD， 弧DC 弧DC， EAC CBD， EBDBED， DEBD； 2 由 1 得DBC DAC，BADCAD， DBC BAD， BDA为共公角， BDF∽ADB， BD DF   ， AD BD BD2  ADDF，  DF  y，ADx，DE2， xy4， 4 与x之间的关系式y ． y x 黑龙江绥化·中考真题 12．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D （1）求证：△BFD∽△ABD； （2）求证：DE=DB． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】试题分析：（1）由内心的性质和圆周角定理可证得结论； （2）连接BE，由内心的性质及三角形外角的性质可证得∠DBE=∠DEB，可证得DE=DB． 【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 试题解析：（1）∵E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∵∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD； （2）连接BF，如图， ∵E是△ABC的内心，∴∠ABE=∠EBF，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠EBF+∠CBD， 且∠BAD=∠CBD，∴∠BED=∠DBE，∴DE=DB． 广东省卷·中考真题 13．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点 C作∠BCD＝∠ACB交 ⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长． 【分析】 （1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得 证； （2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD ＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证； （3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD＋∠DAG， ∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB得 ∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5． 【解答】 解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， 【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠BCD＝∠ADC， ∴ED＝EC； （2）如图，连接OA， A B F E C O D ∵AB＝AC， ∴AB AC ， ∴OA⊥BC， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， ∴∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF， ∵∠ACB＝∠BCD， ∴∠ACD＝2∠ACB， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴AF∥BC， ∴OA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线； （3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB， ∴△ABE∽△CBA， AB BE ∴  ， BC AB ∴AB2＝BC•BE， ∵BC•BE＝25， ∴AB＝5， 如图，连接AG， A B F E G C O D ∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB， ∵点G为内心， ∴∠DAG＝∠GAC， 又∵∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB， 【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠BAG＝∠BGA， ∴BG＝AB＝5． 湖北·孝感中考真题 14．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点 E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG∥CA； （2）求证：AD＝ID； （3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长． C D O E I B A G F 【分析】 （1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝∠ABC，则∠1＝∠2， 从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC； （2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI； （3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，然后计算BD－DI即可． 【解答】 （1）证明：∵点I是△ABC的内心， C D O 1 E I 4 2 6 3 7 5 B A G F ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF， ∴∠1＝ ∵∠ADF＝∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， 【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠1＝∠3， ∴DG∥AC； （2）证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠5＝∠6， ∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6， 即∠4＝∠DAI， ∴DA＝DI； （3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA， ∴△DAE∽△DBA， ∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD， ∴AD＝6， ∴DI＝6， ∴BI＝BD－DI＝9－6＝3． 题型四 线段和差问题（构造手拉手or阿基米德折弦定理） 类型一：构造手拉手 15．在O 的内接四边形ABCD中，AB6，AD10，BAD60，点C为弧BD的中点，则AC 的长 是 ． A O B D C 【解答】 解法一、 A、B、C、D四点共圆，BAD60， BCD18060120， A BAD60，AC 平分BAD， CADCAB30， 如图，将ACD绕点C逆时针旋转120得CBE ， O 则ECAD30，BE  AD10，AC CE， B ABCEBC (180CABACB)(180EBCE)180， M D A、B、E三点共线， C 过C作CM  AE于M ，  AC CE ， 【41淘宝店铺：向阳百分百】 E关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 AM EM  (610)8， 2 AM 8 16 AC    3 在 中， cos30 3 3 ； RtAMC 2 解法二、如图，过C作CE  AB于E，CF  AD于F ， A B O F D E C 则ECFDCFA90， 点C为弧BD的中点， BC CD， BAC DAC ，BC CD， CE  AB，CF  AD， CE CF ，  A、B、C、D四点共圆， DCBE， 在CBE 和CDF 中 CBED  ECFD，  CECF CBECDF， BE DF ， 在AEC 和AFC 中， EAFC  EAC FAC ，  AC  AC AEC AFC ， AE  AF ， 设BE DF x，  AB6，AD10， AE AF x3， 10x6x， 解得：x2， 即AE 8， 【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AE 16 AC   3， cos30 3 16 故答案为 3 ． 3 16．如图，已知AB是O 的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的 延长线交于O 点E，连接AE、BE ，过点A作AF BC ，垂足为F ，ABC 30． （1）求证：AF 是O 的切线； （2）若BC 6，CD3，求DE 的长； CE （3）当点D在弦AB上运动时， AEBE 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变， 请求出其值． F A C D O B E 【分析】 （1）证切线一般先导角 （2）通过弧中点所对应的相似模型可以口算CA2 CDCE CE 12 DE 9 F F A A 60° 6 C C D D 3 60° 30° O O B 30° E B E （3）可以考虑通过旋转构造出分母的AEBE所对应的线段，再通过相似或三角函数得出比值. 【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F F A A C C D D 120° O O E' B E E' 30° B 30° E 当然，（3）还有很多方法，比如利用角平分线作垂线 法2：角平分线作垂线 CN CM  BM  AN ① 易证 (全等) BE  AE  2ME  2 3MC  3C ② F N A C D O B E M 求数量关系的话，截长补短也是常见方法，得到的图形与之前旋转法类似，不过辅助线做法不一样 F A 法3：延长EB至点E'，使E'B  AE C BC  AC D  ∠ CBE'=∠ CAE  E'B  AE  由 ，可得全等， O E' B E 故 △ E'EB三 边 之 比 为 1:1：3 ， 即 CE 3 = 除此之外，构造旋转相似也是一种处理方式，这里就不细讲了可以结合图形自行体会 AEBE 3 【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F F A A 法4：【简证】 C C D D FE 3 CF BF 3 F F  =  ∵ BE 3 , AE BE 3 O O CE 3 B E B E = ∴ AEBE 3 F F A A C C D D  G G O O B E B E 【解答】 （1）证明：如图，连接AC ，OA，OC ，OC 交AB于H ， F A 60° C D 60° 30° O B 30° E AOC 2ABC 60，OAOC ， AOC是等边三角形， CAOACO60， 点C是弧AB的中点， BC  AC ， ABC BAC 30， CHA180OCACAB180603090， ABOC ， 1 OAD OAC 30， 2 ABC 30， ABC OAD， 【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 OA//BF ，  AF BF ， OA AF ， AF 是O 的切线； （2）解： BC  AC ， CBDBEC， BCDBCE， BCD∽ECB， BC CD  ，  EC CB 6 3  ，  EC 6 EC 12， DEECCD1239； CE 3 CE （3）结论：  ， 的值不变． AEBE 3 AEBE 理由：如图，连接AC ，OC ，OC 交AB于H ，作AN //EC 交BE 的延长线于N， F A C D H O B E N  BC  AC ， CBCA， 由（1）得，OC  AB， 1 BH  AH  AB， 2 ABC 30， ABC BACBEC AEC30， 3 BH BCcos30 BC， 2 1 3 AB AC ，  2 2 CE//AN ， N CEB30，EAN AEC 30， EAN N ， 【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 N AEC，AE EN ， ACEABN ， ACE∽ABN ， CE AC 3   ，  BN AB 3 CE CE 3   ，  EN BE AEBE 3 CE 的值不变．  AEBE 2023·吉林长春·统考中考真题 17．【感知】如图①，点A、B、P均在O上，AOB90，则锐角APB的大小为__________度． O ABC AC 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不与点 A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：PBPAPC．小明发现，延长PA至点E，使AEPC，连 结BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长PA至点E，使AEPC，连结BE， 四边形ABCP是O的内接四边形， BAPBCP180． BAPBAE180， BCPBAE． ABC是等边三角形． BABC， PBC≌EBA(SAS) 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，O是ABC的外接圆，ABC 90，ABBC ，点P在O上，且点P与点B在AC的 PB 两侧，连结 、 、 ．若 ，则 的值为__________． PA PB PC PB2 2PA PC 【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2 2 【答案】感知： ；探究：见解析；应用： ． 45 3 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； 探究：延长PA至点E，使AEPC，连结BE，通过证明PBC≌EBA(SAS)，可推得PBE是等边三角形， 进而得证； 应用：延长PA至点E，使AEPC，连结BE，通过证明PBC≌EBA(SAS)得，可推得PBE是等腰直角 PB 三角形，结合 与 可得 ，代入 即可求解． PEPAPC PE 2PB PC 3PA PC 【详解】感知： 1 由圆周角定理可得APB AOB45， 2 故答案为：45； 探究： 证明：延长PA至点E，使AEPC，连结BE， 四边形ABCP是O的内接四边形， BAPBCP180． BAPBAE180， BCPBAE． ABC是等边三角形． BABC， PBC≌EBA(SAS)， ∴PBEB，PBC EBA， EBAABPPBCABPABC60， PBE是等边三角形， PBPE， PBPEPAAEPAPC， 即PBPAPC； 应用： 延长PA至点E，使AEPC，连结BE， 四边形ABCP是O的内接四边形， BAPBCP180． BAPBAE180， BCPBAE．  ABCB， PBC≌EBA(SAS)， ∴PBEB，PBC EBA， EBAABPPBCABPABC90， PBE是等腰直角三角形， PB2BE2 PE2， 2PB2 PE2， 即PE 2PB， 【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  PEPAAEPAPC， PAPC  2PB，  PB2 2PA， PAPC  22 2PA4PA， PC3PA， PB 2 2PA 2 2    ， PC 3PA 3 2 2 故答案为： ． 3 类型二：折弦定理 18．如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，过点 M 作 MD⊥ BC 垂 足 为 D ， 求 证 ： CD=AB+BD. （ 阿 基 米 德 折 弦 定 理 ） M O B D C A 【解析】如图,截取AB=CG,=，∴AM=CM，∠A=∠C，∴△ABM≌△CBM(SAS) ∴BM=GM， 又∵MD⊥BG，∴BD=GD 【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M O B D G C A 19．如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D为弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于E， 求△BDC的周长。 A D O E B C 【解析】如图,截取BG=DC A D O E G B C 【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 20．己知:如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于E,易证得:AE=BE,从圆上任意 一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。 (1) 如图2，PA、 PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于E, 求证: AE=PE+PB (2)如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,则AE、PE、PB 之间存在怎样的数量关系?写出结论，并证明。 C C P P D A E B B B E E A A O O O D D C 图1 图2 图3 【解析】(1)连接AC,BC,PC,截取AG=PB,易证△AGC≌△BPC（SAS），∴CG=CP ∴GE=PE ∴AE=PB+PE （2）法一：连接AC,BC,PC,截取PG=PB，易证△CGP≌△CBP（SAS）, ∴CB=CG=CA ∴AE=AG ∴PE=PB+AE 法二：易知CP平分∠EPB，作角两边的垂线得到全等（HL），∴PE=PB+AE C P P P D D G B B B E E G E A A A O O O G O O D C C 图2 图3.1 图3.2 【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 21．如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC， ∠BAC=120° （1）若AC=4，求⊙O的半径 （2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。 D D 4 O C C O M 60° M 4 4 A B A B 【解析】 方法一:如图1,截取DF=DB,作AG⊥DC，易知△黄≌△蓝→CG=FG, ∴DC+DB=2DG=2 3AG= 3AD 方法二:如图2，作AG⊥DG,AH⊥DB,易知△黄≌△蓝(HL)→GC=BH ∴DC+ DB=2DG=2 3AG= 3AD D D 30° 30° 30° G F O G O C M C M B B A A H 图1 图2 方法三:如图3,DC至点G，使AG=AD,易证△黄≌△蓝(SAS)→GC=BD ∴DC+ DB=DG = 3AD D 30° O C M G 30° 2 1 3 B A 图3 【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 22．如图，△ABC内接于⊙O，AC＜BC,点D为的中点，求证AD²=AC·BC+CD² B O D C A 【解析】如图1所示，截取BG=AC,DH⊥BC,易证HG=HC，∵CD²=CH·BC, AD²=BD²=BH·BC， ∴AC·BC+CD² = AC·BC+CH·BC=BH·BC=BD²（证毕） B O D G H A C 23．已知⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，求证PA+PB≤AC+BC C P O B A 【解析】如图所示，截取BG=PA,CH⊥PB→, ∴PA+PB=BG+PB=2BH BH≤BC 【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C P H G O B A 山西中考 24．古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图 1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点， 即CD=AB+BD． （1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 证明：如图2，在CB上截取CG=AB， 连接MA,MB,MC和MG． ∵M是的中点， ∴= ∴MA=MC． （2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运 用“折弦定理”求△BDC的周长． 【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】（1）∵ 又 ， ． ． 又 ， ． ． （2） 如图，截取 ，连接 ， ， . 由题意得 ， . 在 和 中， . . ， ，则 . ， . 的周长是 深圳·中考 25．如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为上的动点，且cos∠ABC=． （1）求AB的长度； （2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变， 请求出AD﹒AE的值；若变化，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH． （4）求DA,DB,DC之间的数量关系 【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A D D H O H O B C B C E 备用图 【解析】（1）AB= 10 ；（2）如图2,∠1=∠2=∠3→AD·AE=AC²=10； （3）如图3，截取BG=DC，易知△ABG≌△ACD→GH=DH，∴BH=BG+GH=DC+HD 10 （4）DB=DC+ DA 5 A A D D 1 H H G O O 2 3 B C E B C 图2 图3 A P O G B C 【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A 10 10 AG= PB=PA+PG=PA+ PC 2 2 P 10 PB=PC+ PA 5 O 旋转相似一转成双 G B C 10 CG= PC 2 延长AP至点G，使PG=CG 易知 PGC BAC BC PC 2 10 BCP=ACG, = = = (或直接证2个角相等) AC GC 10 5  PCB GCA 26．已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接 圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径． M O C D A B N 【解析】如图，延长DC，使CG=BC，易得∠5=∠4，∠1=∠2=∠3 ∴BM=GM=AM ∴MN⊥AB ∴MN是△ABC外接圆直径（逆定理） 【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M 3 G C O 4 D 2 5 1 A B N 27．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接AD、CD。作 AE⊥BD与点E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面积 A A 10 D D E E O O G 10 10 B C B C 3 10 【解析】如图2，截取BG=DC，易证△ACD≌△ABG（SAS） ∴BG=DC=AD= ∴S ACD= 10 2 △ 1 28．如图，△ABC 内接于⊙O，AB=AC=3，cos∠ABC=4，D 是劣弧 AC 上一点，且 AD=2CD，求BD的长为. 【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A O D B C 【 解 析 】 如 图 1, 截 取 BG=DC, 作 AH⊥ BD, 易 证 △ ACD≌ △ ABG （ SAS ） →GH=HD→∠ADH=∠ACB=∠ABC A A 4a 3 4a O D D H H a a G G 2a B C B 6 如图2，设HD=a，则BG=2a,AH= , ∴15a²+9a²=9→a= ∴BD= 15a 4 6 29．如图， PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，点C是线段PB延长线上的 一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）证明：AD=AC （2）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理 的解释． 【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y P B x A O O C D 【解析】 【详解】（1）t2-8t+12=0， 解得：t=2或6， 即OA=6，OB=2，即点A、B的坐标为（-6，0）、（0，2）， k 设点P（-6， ）， 6 k k 由PA=PB得：36+（2+ ）2=（ ）2， 6 6 解得：k=-60， 故点P（-6，10）， 故答案为：6，2，-60； 【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值， ∵AM2=AO2+OM2， ∴AM2=36+（AM-2）2， ∴AM=10=BM ∴点M坐标为（0，-8） 设直线PM的解析式为：y=kx-8 ∴10=-6k-8 ∴k=-3 ∴直线PM的解析式为：y=-3x-8 ∴设点Q（a，-3a-8）（a＞0） ∵MQ=10= a2(3a88)2 ∴a= 10 ∴点Q坐标为（ 10 ，-3 10 -8） 故答案为：（ 10 ，-3 10 -8） （3）是定值，理由： 连接CD，过点P作PH⊥y轴， PH 3 4 ∵tan∠PBH= = =tan∠DBC，则cos∠DBC= ， PB 4 5 4 ∴BD-BC=2r-2rcos∠DBC=2r（1- ）=4 5 【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型五 平行弦与相交弦模型 30．如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE•ED=3，BE=1，则⊙O的直径是（ ） 5 5 A．2 B． C．2 D．5 【答案】C 【详解】解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA， 由相交弦定理得，CE•ED=EA•BE，即EA×1=3， 解得，AE=3， ∴AB=4， ∵OH⊥AB， ∴AH=HB=2， ∵AB=CD，CE•ED=3， ∴CD=4， ∵OG⊥CD， ∴EG=1， 由题意得，四边形HEGO是矩形， ∴OH=EG=1， 由勾股定理得，OA= AH2OH2  5， ∴⊙O的直径为2 5， 故选C． 31．如图，半圆O的直径BC7，延长CB到A，直线AD交半圆于点E，D，且AEED3，求AB的长． 【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】2 【详解】解：连接CE,BD，则：ADBACE， ∵AA， ∴△ABD∽△AEC， AB AD ∴  ， AE AC ∴ABAC  ADAE， ∵AEED3， ∴AD6， 设ABx，则：AC  ABBC x7， ∴xx736， 整理得x27x180， 解得x2,x9（不合题意，舍去）． ∴AB2． 2023·江苏苏州·统考中考真题 ABC O AB O AC  5,BC 2 5 F AB CF 32．如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ，点 在 上，连接 并延长，交O于点D，连接BD，作BECD，垂足为E． (1)求证：△DBE∽△ABC； (2)若AF 2，求ED的长． 3 5 【答案】(1)证明见解析；(2) 5 【分析】（1）分别证明ACB90BED，CABCDB，从而可得结论； AC 1 （ 2 ） 求 解 ， tanABC   ， 可 得 ， 证 明 AB AC2BC2 5 BC 2 BF 3 AC AF CF DE 1 【63淘ta宝n店A铺B：C向阳ta百n分D百B】E    BE 2 DEx BE2x BD 5x ACF∽DBF BD DF BF DF 2x EF xDE BDBF 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DE 1 tanABC tanDBE  ， 设 ， 则 ， ， 证 明 ， 可 得 BE 2 DEx BE2x BD 5x ACF∽DBF AC AF CF   ，可得 ， ， ，从而可得答案． BD DF BF DF 2x EF xDE BDBF 3 【详解】（1）证明：∵AB是O的直径，BECD， ∴ACB90BED， ∵CABCDB， ∴△DBE∽△ABC． （2）∵AC  5,BC 2 5，ACB90， AC 1 ∴ ，tanABC   ， AB AC2BC2 5 BC 2 ∵AF 2， ∴BF 3， ∵△DBE∽△ABC， ∴ABC DBE， DE 1 ∴tanABC tanDBE  ， BE 2 设DEx，则BE2x，BD 5x， ∵AFC BFD，CABCDB， ∴ACF∽DBF ， AC AF CF ∴   ， BD DF BF 5 2 ∴  ，则 ， 5x DF DF 2x ∴EF xDE， 3 5 ∴ ，∴DE BDBF 3 5 OA OB O OAOB P OA BP O Q 33．如图， 和 是 的半径，并且 ， 是 上任意一点， 的延长线交 于点 ，点 R在OA的延长线上，且RPRQ． 【64淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 RQ O （1）求证： 是 的切线； （2）当RA≤OA时，试确定B的取值范围； OB2 PBPQOP2 （3）求证： 【答案】（1）证明过程见详解；（2）15°≤∠B＜45°；（3）证明过程见详解 【分析】（1）连接OQ．欲证明RQ是⊙O的切线，只要证明∠OQR＝90°． （2）分别考虑当AR＝OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围． （3）如图2先证明BMP∽AQP，从而得到PBPQPMPA，整理即可得到OB2 PBPQOP2； 【详解】解：（1）证明：连接OQ． ∵OA⊥OB， ∴∠2+∠B＝90°， ∵OB＝OQ， ∴∠B＝∠4， ∵RP＝RQ， ∴∠1＝∠3＝∠2， ∴∠3+∠4＝90°， ∴OQ⊥RQ， ∴RQ是⊙O的切线． （2）如图1中， ①当点R与A重合时，易知∠B＝45°． 【65淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②当AR＝OA时，在Rt ORQ中，∵∠OQR＝90°，OR＝2OQ， ∴∠R＝30°， △ ∵RQ＝RP， ∴∠RPQ＝∠RQP＝75°， ∴∠OPB＝75°， ∴∠B＝90°﹣∠OPB＝15°， 综上所述，15°≤∠B＜45°． （3）如图2中， 延长AO交O于点M，连接BM，AQ BPM QPA，BMPAQP， BMP∽AQP， PM PB   ， PQ PA PBPQPMPA(OM OP)(OAOP)(OBOP)(OBOP)OB2OP2， OB2 PBPQOP2． 深圳·中考 34．如图，线段AB是O的直径，弦CD AB于点H，点M 是弧BC上任意一点（不与B，C重合）， AH 1，CH 2．延长线段BM 交DC的延长线于点E，直线MH 交O于点N，连结BN 交CE于点 F，则OC  ，HEHF  ． 【答案】 2.5 4 【66淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】连接OC，设OCr，在 RtCOH 中，利用勾股定理求出 OC；由EHM ∽NHF，推出 HE HM  ，推出 ，又 ，推出 ，由此即可解决 HN HF HE•HF HM •HN HM •HN  AH•HB HE•HF  AH•HB 问题． 【详解】解：连接OC． ∵CD AB， ∴CHO90， 设OCr，则OH r1， 在RtCOH 中，∵CH 2， ∴r2 22r12 ， ∴r2.5，即OC2.5； 连接AM ． ∵AB是直径， ∴AMB90， MABABM 90， EABM 90， EMAB， MABMNBE， EHM NHF ， EHM ∽NHF， HE HM   ， HN HF HE•HF HM •HN，  HM •HN  AH•HB， HE•HF  AH•HB1514， 故答案为：2.5，4 【67淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·湖南张家界·中考真题 ABCD O AB C BD AD BC E 35．如图，四边形 内接于圆 ， 是直径，点 是 的中点，延长 交 的延长线于点 ． (1)求证：CECD； AB3 BC  3 AD (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析；(2)1 【分析】（1）连接 AC，根据圆周角推论得 ACBACE90，根据点 C是 BD的中点得 CAE CAB，CDCB，用ASA证明ACE≌ACB，即可得； （2）根据题意和全等三角形的性质得 AE AB3，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得 DE CD ，即可得 ，根据相似三角形的性质得  ，即可得 CDE ABE ΔEDC∽ΔEBA BE AB 【详解】（1）证明：如图所示，连接AC，  AB为直径， ACBACE90， 又点C是BD的中点 CAECAB，CDCB， 在△ACE和△ACB中， ACEACB   AB AC  CAECAB ΔACEΔACBASA ， CECB， CECD； 【68淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）解：ΔACEΔACB，AB3， AEAB3， 又四边形ABCD内接于圆O， ADCABC 180， 又ADCCDE180， CDE ABE， 又E E， ΔEDC∽ΔEBA， DE CD  ，  BE AB DE 3 即：  ， 2 3 3 解得：DE2，AD AEDE1 题型六 垂径图 36．如图，AB为O 的直径，C，D为圆上的两点，OC//BD，弦AD，BC相交于点E． （1）求证：AC CD； （2）若CE 2，EB6，求O 的半径． D C E B A O 【解答】 （1）证明：OC OB， OBCOCB， OC//BD， OCBCBD， OBCCBD，  AC CD； （2）连接AC ， 【69淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C E B A O CE 2，EB6， BC 8，  AC CD， CADABC， ACBACB， ACE∽BCA， AC CB AC 8  ，即  ，  CE AC 2 AC 解得，AC 4，  AB是直径， ACB90， AB AC2 BC2 4 5， O的半径为2 5． 37．如图，AB是O 的直径，G 为弦AE的中点，连接OG并延长交O 于点D，连接BD交AE于点F ， 延长AE至点C，使得FC BC，连接BC． （1）求证：BC是O 的切线； （2）若O 的半径为5，AE 8，求GF 的长． C E D F G A B O 【解答】 解：（1）G为弦AE的中点，OD是半径， OD AE， 即DGF 90， DFGGDF 90， 【70淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又 BC FC ， CBF CFB， 又CFBDFG， ODOB， OBDODB， OBDCBF 90， 即OBBC ， OB是半径， BC 是O 的切线； （2）G为弦AE的中点， 1 AGGE  AE 4， 2 OD是半径， OD AE， 在RtAOG中， OG OA2 AG2 3， 又OGACBA90，OAGCAB， AOG∽ABC， AG OG OA   ，  AB BC AC 4 3 5 即   ， 10 BC AC 15 25 解得BC  CF，AC  ， 2 2 GF  ACAGFC 25 15  4 2 2 1． 四川绵阳·中考 38．如图， AB是O 的直径，点C为BD的中点，CF 为O 的弦，且CF  AB，垂足为E，连接BD 交CF 于点G ，连接CD，AD，BF ． （1）求证：BFGCDG； （2）若ADBE 2，求BF 的长． 【71淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C D G B A E O F 【解答】 证明：（1）C 是BD的中点， CDBC，  AB是O 的直径，且CF  AB， BC BF ， CDBF ， CDBF ， 在BFG和CDG中， F CDG  FGBDGC，   BF CD BFGCDG(AAS)； （2）解法一：如图，连接OF ，设O 的半径为r ， C D G B A E O F RtADB中，BD2  AB2 AD2，即BD2 (2r)2 22， RtOEF中，OF2 OE2 EF2，即EF2 r2 (r2)2，  CDBC BF ， BDCF ， BDCF ， BD2 CF2 (2EF)2 4EF2， 即(2r)2 22 4[r2 (r2)2]， 解得：r1（舍)或3， BF2 EF2 BE2 32 (32)2 22 12， 【72淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BF 2 3； 解法二：如图，过C作CH  AD于H ，连接AC 、BC， H C D G B A E O F  CDBC， HAC BAC ， CE  AB， CH CE，  AC  AC ， RtAHCRtAEC(HL)， AE AH ， CH CE，CDCB， RtCDHRtCBE(HL)， DH BE 2， AE  AH 224， AB426，  AB是O 的直径， ACB90， ACBBEC 90， EBC ABC ， BEC∽BCA， BC BE  ，  AB BC BC2  ABBE6212， BF BC 2 3． 解法三：如图，连接OC ，交BD于H ， C D H G A B O E F 【73淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C 是BD的中点， OC BD， DH BH ， OAOB， 1 OH  AD1， 2 OC OB，COEBOH ，OHBOEC 90， COEBOH(AAS)， OH OE 1， CEEF  32 12 2 2， BF  BE2 EF2  22 (2 2)2 2 3． 39．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为＝． （1）求证：AF＝CF； （2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长． 【分析】（1）连接BC、AC，先由等弧所对的圆周角相等得出∠B＝∠CAE，再根据同角的余角相等证明 ∠B＝∠ACD，进而得到∠CAE＝∠ACD，最后利用等角对等边得到结论AF＝CF； （2）连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，先由垂径定理的推论得出OC⊥AE，EG＝AG＝＝ 4，再利用AAS证明△EGO≌△CDO，得出OG＝OD，在△OEG中根据勾股定理求出OG＝3，则OD＝ 3，CG＝AD＝2．设GF＝x，则CF＝AF＝4－x，然后在△CGF中利用勾股定理列出方程＝解方程求出x 的值，进而得到EF的长． 【解答】(1)证明：如图，连接BC、AC， ∵＝ ∴∠B＝∠CAE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 即∠ACD＋∠BCD＝90°， 【74淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵CD⊥AB， ∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴∠CAE＝∠ACD， ∴AF＝CF； (2)解：连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，则OC⊥AE，EG＝AG＝＝4． ∵＝ ∴∠COE＝∠COA，即∠GOE＝∠DOC， 又∠OGE＝∠ODC＝90°，OE＝OC， ∴△EGO≌△CDO(AAS)， ∴OG＝OD． 在△OEG中，∵∠OGE＝90°，OE＝5，EG＝4， ∴OG＝＝3， ∴OD＝OG＝3，CG＝AD＝2． 设GF＝x，则CF＝AF＝4－x， 在△CGF中，∵∠CGF＝90°， ∴＝即＝ 解得x＝1.5， ∴EF＝EG＋GF＝4＋1.5＝5.5． 题型七 等腰图 2023·四川成都·统考中考真题 40．如图，以ABC的边AC为直径作O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交O于点E，连接 AD，DE，BADE． (1)求证：AC BC； (2)若tanB2，CD3，求AB和DE的长． 【75淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1)见解析，(2)AB2 5，DE2 5 【分析】（1）根据 CE∥AB，得到 ACEBAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到 ACEADEB，可证明ABC是等腰三角形，即可解答； AD （2）根据直径所对的圆周角为直角，得到tanB2 ，设 ，根据勾股定理列方程，解得x的值， BD BDx 即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明BECF，求出EF,DF 的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据 对应边成比例即可解出DE的长． 【详解】（1）证明：QCE∥AB， BAC ACE， BAC ACEADE， Q�B� ADE， BBAC， AC BC； （2）解：设BDx，  AC是O的直径， ADC ADB90，  tanB2， AD  2，即 ， BD AD2x 根据（1）中的结论，可得AC BC BDDC x3， 根据勾股定理，可得AD2DC2  AC2，即2x232 x32 ， 解得x 2，x 0（舍去）， 1 2 BD2，AD4, 根据勾股定理，可得AB AD2BD2 2 5； 解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F， CEAB， ECF B，  EF CF， EF ，即 2， tanECF tanB2 CF BBAD90，ADEEDF 90，BADE， BADEDF ， DEF 90EDF 90BADB， 【76淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DF  2， EF 设CF a，则DF DCCF a3， EF 2a， a3 可得方程 2，解得 ， 2a a1 EF 2，DF 4， 根据勾股定理，可得DE DF2EF2 2 5． 解法二：如图，连接AE,  BADE，ACBAED， △ABC∽△ADE， AB BC  ，  AD DE 又 BC5，AD4，AB2 5， 2 5 5  ，  4 DE DE2 5． 四川宜宾·统考中考真题 41．如图，线段AB经过O的圆心O，交O于A、C两点，BC1，AD为O的弦，连接BD， BADABD30 DO O BE O ，连接 并延长交 于点E，连接 交 于点M． （1）求证：直线BD是O的切线； （2）求O的半径OD的长； （3）求线段BM 的长． 【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 7 【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3） . 7 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AADO30，求出DOB60，求出ODB90，根据 切线的判定推出即可； 1 （2）根据直角三角形的性质得到OD OB，于是得到结论； 2 （3）连接DM ，根据OD为直径，得DME90，由（2）得到DE2，BD 3，根据三角形等面积 求出DM ，根据勾股定理得到BM  BD2DM2 ，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵OAOD，AB30， ∴AADO30， ∴DOBAADO60， ∴ODB180DOBB90， ∵OD是半径， ∴BD是O的切线； （2）∵ODB90，DBC 30， 1 ∴OD OB， 2 ∵OC OD， ∴BC OC 1， ∴O的半径OD的长为1； （3）如图，连接DM ， ∵OE为直径， DME90， 由（2）知O的半径OD1 DE2，BD 3， ∴BE  BD2DE2  7， 1 1 ∵S  DE·BD BE·DM BED 2 2 ∴DE·BDDM·BE， DE·BD 2 3 2 21 ∴DM    BE 7 7 【78淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  BM  BD2DM2 12 3 7 BM  3  ． 7 7 2023·湖北黄冈·统考中考真题 42．如图，ABC中，以AB为直径的O交BC于点D，DE是O的切线，且DEAC，垂足为E，延 长CA交O于点F ． (1)求证：AB AC； (2)若AE3,DE6，求AF 的长． 【答案】(1)见解析，(2)AF 9 【分析】（1）连接 AD，根据已知可得OD∥AC，则C ODB，又BODB，等量代换得出 C B，即可证明AB AC； AE 1 DE （ 2 ） 连 接 ， 证 明 ， 在 中 ， tanADE  tanC  ， 求 得 BF ADEC Rt△ADE ED 2 EC 1 ，根据 得出 ，进而可得BF  FC 12，根据 ，即可求 EC 2DE12 DE∥BF EF EC 12 2 AF EFAE 解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接AD， ∵以AB为直径的O交BC于点D，DE是O的切线， ∴ODDE， ∵DEAC， ∴OD∥AC， ∴C ODB， 又OBOD， ∴BODB， ∴C B， ∴AB AC； （2）解：连接BF，AD，如图， 【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则ADBC，BDCD， ∴ADC ADBAED90， ∴DAEADEDACC， ∴ADEC， 在Rt△ADE中，AE3,DE6， AE 1 DE ∴tanADE  tanC  ， ED 2 EC ∴EC 2DE12， 又∵AB是直径， ∴BF CF ， ∴DE∥BF ， EC CD ∴  ， EF DB ∴EF EC 12， BF 1 ∴tanC  ， FC 2 1 ∴BF  FC 12， 2 ∴AF EFAE1239． 2023·辽宁营口·统考中考真题 43．如图，在ABC中，ABBC，以BC为直径作O与AC交于点D，过点D作DEAB，交CB延长 线于点F，垂足为点E． (1)求证：DF为O的切线； 4 cosC (2)若 ， ，求 的长． BE 3 5 BF 【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 75 【答案】(1)见详解，(2)BF  7 【分析】（1）连接DO，DB，根据圆周角定理证明BD AC，再根据“三线合一”证明BD平分BAC， 1 即有ABDDBC BAC，进而可得 ，根据 ，可得 ，问 2 BDODBA DEAB EDBODB90 题得证； 4 （2）先证明 ， ，即有cosEDBcosAcosACB ，在 中结合勾 AACB EDBACB 5 RtDBE 25 25 1 25 股定理，可求出 ，即同理在 中，可得AB ，进而有BC AB ， BO CB ， BD5 RtDBE 3 3 2 6 25 BE BF BE BF 即DOBO ，证明 ，即有  ，即  ，问题即可得解． 6 DOF∽EBF DO FO DO BFBO 【详解】（1）连接DO，DB， ∵BC为O的直径， ∴BDC=90， ∴BD AC， ∵在ABC中，ABBC， ∴BD平分BAC， 1 ∴ABDDBC BAC， 2 ∵BOOD， ∴BDODBC， ∴BDODBA， ∵DEAB， ∴EDBDBA90， ∴EDBODB90， ∴半径ODDF ， ∴DF为O的切线； （2）∵在ABC中，ABBC， ∴AACB， 在（1）中，EDBDBA90ACBDBC，ABDDBC， ∴EDBACB， 4 ∵cosC ， 5 【81淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4 ∴cosEDBcosAcosACB ， 5 4 ∵在 中， ，cosEDB ， RtDBE BE 3 5 4 ∴DE BD， 5 4  2 ∴BD2  BD 32，解得： （负值舍去）， 5  BD5 25 即同理在 中，可得AB ， RtDBE 3 25 ∴BC AB ， 3 1 25 25 ∴BO CB ，即DOBO ， 2 6 6 ∵ABDF ，DODF ， ∴DO∥AB， ∴DOF∽EBF ， BE BF BE BF ∴  ，即  ， DO FO DO BFBO 3 BF  ∴ 25 25 ， BF 6 6 75 解得：BF  （经检验，符合题意）， 7 75 即BF  ． 7 44．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图所示，在ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点 D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F． (1)求证：EF是⊙O的切线． 3 (2)若EB＝6，且sin∠CFD＝ ，求⊙O的半径与线段AE的长． 5 【答案】(1)见解析，(2)半径为15，AE=24 【详解】（1）解：连接OD，如图所示： 【82淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD， ∵OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠B=∠ODC， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线． OD 3 （2）解：在Rt ODF中，sin∠OFD=  ， OF 5 设OD=3x，则O△F=5x， ∴AB=AC=6x，AF=8x， AE 3 在Rt AEF中，∵sin∠AFE=  ， AF 5 △3 24 ∴AE= 8x x， 5 5 24 6 ∵BE=AB－AE=6x x x， 5 5 6 ∴BE= x=6，解得： ， 5 x5 24 ∴AE=5 24，OD=3×5=15， 5 ∴AE=24，半径为15． 广西玉林·统考中考真题 45．如图，在ABC中，AB AC 5，BC6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E 作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD． （1）求证：EF是 CDB的中位线； （2）求EF的长．△ 【83淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12 【答案】（1）见解析；（2）EF  . 5 【分析】（1）连接AE，根据切线的性质求出OE是ABC的中位线，即可进行证明； （2）根据勾股定理与中位线的性质即可求解. 【详解】（1）证明：连接AE，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴ADBAEB90， ∴AEBC，BD AC， ∵AB AC， ∴BECE3， ∵EF是⊙O的切线， ∴OEEF ， ∵OAOB， ∴OE是ABC的中位线， ∴OEAC， ∴OE BD， ∴BD∥EF ， ∵BECE， ∴CF DF ， ∴EF是CDB的中位线； （2）解：∵AEB90， ∴AE AB2BE2  5232 4， 1 1 ∵ 的面积 ACBD BCAE， ABC 2 2 BCAE 64 24 ∴BD   ， AC 5 5 ∵EF是CDB的中位线， 1 12 ∴EF  BD ． 2 5 2023·四川眉山·统考中考真题 46．如图，ABC中，以AB为直径的O交BC于点E．AE平分BAC，过点E作ED AC于点D，延 【84淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 长DE交AB的延长线于点P． (1)求证：PE是O的切线； 1 (2)若sinP ,BP4，求 的长． 3 CD 4 【答案】(1)见解析，(2) 3 【详解】（1）证明：如图，连接OE， OEOA， OAEOEA，  AE平分BAC， DAEOAE， OEADAE， AD∥OE，  ADDE, OEPADE90, PE是O的切线； （2）解：设OEx，则OPOBBPOEBPx4， 1 sinP 3 OE x 1    ，解得 ， OP x4 3 x2 OP6,AP AOOP8， 1 8 AD AP ， 3 3 【85淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 16 2 根据勾股定理可得 ，DP AP2AD2  , EP OP2OE2 4 2 3 4 DEDPEP 2， 3  AB是直径， AEB90， CEDAED90， CEDC90， DEAC， △CDE∽△EDA， DE AD   ， DC DE DE2 4 DC   ． AD 3 湖北孝感·中考真题 47．如图，ABC中，AB AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF  AC 于点F ，交AB的延长线于点G. （1）求证：DF是O的切线； BD2 5 CF 2 AE BG （2）已知 ， ，求 和 的长. 10 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 【详解】分析：（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再 根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证； 【86淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AB AE （2）连接BE．BE∥GF，推出 AEB∽△AFG，可得  ，由此构建方程即可解决问题； AG AF 详解：（1）如图，连接OD，A△D， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD， 又∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DG⊥AC， ∴OD⊥FG， ∴直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线； （2）如图，连接BE．∵BD=2 5， ∴CD＝BD＝2 5， ∵CF=2， ∴DF= (2 5)222 =4， ∴BE=2DF=8， ∵cos∠C=cos∠ABC， CF BD ∴  ， CD AB 2 2 5 ∴  ， 2 5 AB ∴AB=10， ∴AE= 10282 6， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥GF， ∴△AEB∽△AFG， AB AE ∴  ， AG AF 10 6 ∴  ， 10BG 26 10 ∴BG= ． 3 48．（2023·湖南娄底·一模）如图，在ABC中，AD平分CAB，交BC于点D．AB是O的直径，连 【87淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 接AD、过点D作DEAC，交AC于点E，交AB的延长线于点F ． (1)求证：DE是O的切线； (2)求证：DADF BDAF ； 4 tanABD (3)若 的半径为5， ，求 的长． O 3 BF 【答案】(1)见解析 (2)见解析 90 (3) 7 【分析】（1）连接OD，AB为O的直径得ADB90，由AB AC，根据等腰三角形性质得AD平分 BC，即DBDC，则OD为ABC的中位线，所以OD∥AC，而DEAC，则ODDE，然后根据切 线的判定方法即可得到结论； （2）利用两角对应相等的两三角形相似证明△ FDB∽△ FAD，由相似三角形的性质可得出答案； （3）由DAC DAB，根据等角的余角相等得ADEABD，在RtADB中，利用解直角三角形的方 32 法可计算出 ，在 中可计算出AE ，然后由 ，得 ，再利用相似 AD8 Rt△ADE 5 OD∥AE FDO∽FEA 比可计算出BF． 【详解】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为O的直径， ∴ADB90， ∴ADBC， ADBADC 90 ∵AD平分BAC， 【88淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 CADBAD  AD AD ADC≌ADBASA ∴DBDC， ∵OAOB， ∴OD为ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DEAC， ∴ODDE， 又∵OD是半径， ∴ED是O的切线 （2）证明：∵EF是O的切线， ∴ODBBDF 90， ∵ODOB， OBDODB， OBDBDF 90， ∵AB是O的直径， ∴ADB90， DABOBD90， DABBDF， BFDDFA,， FDB∽FAD， DF DB ∴ = ， AF DA DADF BDAF； （3）解：∠DAC ∠DAB， ∠ADE∠ABD， 4  tanABD ， 3 设AD4x,BD3x 在RtADB中，AB10 ∴4x23x2 102 解得：x 2,x 2（舍去） 1 2 AD8， AD AE 4 在 中，   ， Rt△ADE sinADEsinABD AB AD 5 32 ， AE 5 ∵OD∥AE， △FDO∽△FEA， 【89淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5 BF5  ∴OD FO，即32 BF10，  AE FA 5 90 ． BF  7 2022·湖北十堰·统考中考真题 49．如图，ABC中，AB AC，D为AC上一点，以CD为直径的O与AB相切于点E，交BC于点F ， FGAB，垂足为G． (1)求证：FG是O的切线； (2)若BG1，BF 3，求CF的长． 4 2 【答案】(1)见解析(2) 3 【分析】（1）连接DF,OF ，设ODF OFD ，OFC ，根据已知条件以及直径所对的圆周角 相等，证明90，进而求得DFG,DFO，即可证明FG是O的切线； （2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形 GEOF 是正方形，进而求得 DC的长，根据 GB FC ，sin  ，即可求解． BFGFDC  BF DC 【详解】（1）如图，连接DF,OF ， OF OD， 则ODF OFD， 设ODF OFD ，OFC ， OF OC， OFC OCF ， 【90淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  DC为O的直径， DFC 90， DFOOFC DFC 90， 即90， ABAC， BACB，  FG AB， GFB90B90， DFBDFC 90， DFG90GFB90， GFOGFDDFO90， OF为O的半径， FG是O的切线； （2）如图，连接OE，  AB是O的切线，则OE AB，又OF FG,FG AB， 四边形GEOF 是矩形， OEOF， 四边形GEOF 是正方形， 1 GF OF  DC， 2 在Rt△GFB中，BG1，BF 3， FG BF2GB2 2 2， DC 4 2， 由（1）可得BFGFDC ，  FG AB,DF FC， GB FC sin  ， BF DC 1 FC 4 2  ，解得FC  ． 3 4 2 3 50．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，OE∥BC交AC于点E，连接DE. 【91淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证：DE平分∠BDC； (2)若OE＝1，tan∠ODE＝ ，求AB的长. A D O E B C 【解析】(1)连接AO，证AO平分∠BAC，AO⊥BC.延长OE交CD于点H， A D O H E B M C ∵OE∥BC，∴∠OHD＝∠BCD＝90°，∴OH 垂直平分CD，∴EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC＝∠CAO＝ ∠BAC＝ ∠BDC，∴DE平分∠BDC； (2)延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∵tan∠ODE＝tan∠EDC＝tan∠OAE＝ ＝ ，∴OA＝2OE＝ 2＝OB，∵tan∠BAM＝ ＝tan∠OAE＝ ，设BM＝x，则AM＝2x，OM＝2x－2，∴在Rt△BOM中， x2＋(2x－2)2＝22，∴x＝ (x＝0已舍)，∴AB＝ ＝ x＝ . 51．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，分别过A，C两点作⊙O的切线相交于点P，连接BP交AC于点 D. (1)求证：PA∥BC； (2)若sin∠BAC＝ ，求 的值. A P O D B C 【解析】(1)连接 AO 并延长交 BC 于点 H，连接 OB，OC，则△AOB≌△AOC，∴∠BAO＝∠CAO， ∴AH⊥BC，∵PA为切线，∴∠OAP＝90°，∴PA∥BC； 【92淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A P O D B H C (2)证∠BOH＝∠BAC，设OB＝5x，BH＝4x，OH＝3x，BC＝8x，tan∠BAH＝ ＝ ＝tan∠CAH＝ tan∠APO＝ .∴PA＝10x，∴ ＝ ＝ ＝ . 52．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D. (1)求证：AO平分∠BAC； (2)若BC＝6，sin∠BAC＝ ，求AC和CD的长. A A D D O O B C B C 解：(1)方法一：连接BO，∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在线段BC的中垂线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝ AC，∴AO平分∠BAC； A A E D D O O B C B H C 方法二：证△AOB≌△AOC(SSS)即可； (2)延长CD交⊙O于点E，连接BE，延长AO交BC于点H，∵sin∠BOH＝sin∠BAC＝ ，∴ ＝ ， ∴易求出AO＝OE＝5，BE＝8，易证BE∥OA，得 ＝ ＝ ，可求出OD＝ ，∴CD＝ ，BH＝ 3，AH＝9，容易求出AB＝AC＝3 . 53．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，过点C作CD⊥AC交过点A的切线于点D. (1)求证：2AC2＝AD·BC； (2)连接BD交AC于点P，若 ＝ ，求sin∠BAC的值. 【93淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D P O B C 解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，AE⊥AD，∴AD∥BC，CE＝ BC， A D P O B E C ∴△ACE∽△DAC，∴ ＝ ，∴AC2＝CE·AD，∴2AC2＝AD·BC； (2)由(1)知：AD∥BC，∴ ＝ ＝ ，∴可设AD＝3，BC＝2，∵2AC2＝AD·BC，∴AC＝AB＝ ，∴AE＝ ＝2，连接OC，设OA＝OC＝r，则OE＝ －r， ∴在Rt△COE 中，r2＝( －r)2＋12，∴r＝ ，∴sin∠BAC＝sin∠COE＝ ＝ . 54．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，连接BO并延长交AC于点D. (1)求⊙O的半径长； (2)求CD的长. A D O B C 解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，∴BE＝ BC＝6，∴AE＝ ＝8. 【94淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D F O B E C 设OA＝OB＝r，则OE＝8－r，∴在Rt△BOE中，r2＝62＋(8－r)2，∴r＝ ； (2)由(1)知OE＝ ，延长BD交⊙O于点F，连接CF，则CF＝2OF＝ . ∵AO∥CF，∴△AOD∽△CFD，∴ ＝ ＝ ，∴CD＝ AC＝ . 题型八 双切图 四川遂宁·统考中考真题 55．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC 于点F，过点△C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直 径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线． （1）求证：BC是⊙O的切线．  � EF ED （2）求证： ＝ ． 3 （3）若sin∠ABC═ ，AC＝15，求四边形CHQE的面积． 5 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45 【分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到 【95淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论． （2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论． （3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形 的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝ AC2AG2 ＝12，根据勾股定 理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OE，OP， ∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点， ∴AB垂直平分EP， ∴PB＝BE， ∵OE＝OP，OB＝OB， ∴△BEO≌△BPO（SSS）， ∴∠BEO＝∠BPO， ∵BP为⊙O的切线， ∴∠BPO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∴EF ED． （3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点， ∴EP⊥AB， ∵CG⊥AB， ∴CG∥EP， ∵∠ACB＝∠BEO＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠EAQ＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AQE（AAS）， ∴CE＝QE， ∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°， ∴∠CEH＝∠AHG， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CHE＝∠CEH， ∴CH＝CE， ∴CH＝EQ， 【96淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴四边形CHQE是平行四边形， ∵CH＝CE， ∴四边形CHQE是菱形， AG 3 ∵sin∠ABC═sin∠ACG═ ＝ ， AC 5 ∵AC＝15， ∴AG＝9， ∴CG＝ AC2AG2 ＝12， ∵△ACE≌△AQE， ∴AQ＝AC＝15， ∴QG＝6， ∵HQ2＝HG2+QG2， ∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62， 15 解得：HQ＝ ， 2 15 ∴CH＝HQ＝ ， 2 15 ∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝ ×6＝45． 2 湖北武汉·中考真题 56．如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与 ⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E. 1 (1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE= ，求sinE的值. 2 【97淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 【答案】（1）证明见解析；（2）sinE= . 5 【分析】（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可； EA AD （ 2 ） 连 接 AD ， 证 明 △ ADE∽ △ POE ， 得 到  ， 设 OC=t ， 则 BC=2t ， AD=2t ， 由 EP OP △PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值． 【详解】(1)连接OA， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO=90°， ∵OA＝OB，OP⊥AB于C， ∴BC＝CA，PB＝PA， ∴△PBO≌△PAO， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB为⊙O的切线； （2）连接AD， ∵BD为直径，∠BAD=90°，由（1）知∠BCO=90°， ∴AD∥OP， ∴△ADE∽△POE， EA AD ∴  ， EP OP 由AD∥OC得AD=2OC， 1 ∵tan∠ABE= ， 2 OC 1 ∴  ， BC 2 设OC=t，则BC=2t，AD=2t， ∵∠OBC+∠CBP=∠OBP=90°，∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠BOC=∠PBC， 又∵∠BCO=∠PCB=90°， ∴△PBC∽△BOC， PC BC ∴  ， BC OC ∴PC=2BC=4t，∴OP=PC+OC=5t， 【98淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 EA AD 2 ∴   ， EP OP 5 可设EA=2a，EP=5a，则PA=3a， ∵PA=PB，∴PB=3a， PB 3 ∴sin∠E= = . EP 5 57．如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； 2 （2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA= 3 ，求BE的长 5 【答案】（1）见解析；（2）BE的长为 ． 2 【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于 是∠CDA+∠ADO=90°； OB 2 （2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA= tanOEB  BE 3 CD OD OB 2 ，易证Rt CDO∽Rt CBE，得到    ，求得CD，然后在Rt CBE中，运用勾股定理可计 CB BE BE 3 算出BE的△长． △ △ 【详解】解：（1）证明：连OD，OE，如图， 【99淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°， 又∵∠CDA=∠CBD， 而∠CBD=∠1， ∴∠1=∠CDA， ∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：由（1）得CD是O的切线， 又 EB为O的切线， EDEB，OEDB， ABDDBEOEBDBE90， ABDOEB． 又CDA1ABD， CDAOEB． 2  tanCDA ， 3 OB 2 tanOEB  ， BE 3 DCOBCE，CDOCBE90． RtCDO∽ RtCBE， CD DO OB 2     ， CB BE BE 3 2 CD 64． 3 在RtCBE中，设BEx，则DEx，CEx4， 由勾股定理得x42 x262， 5 解得x ． 2 5 即BE的长为 ． 2 四川泸州·中考真题 58．如图，⊙O与Rt ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD 相交于点E，连接△FE并延长交AC边于点G． 【10淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求证：DF∥AO； （2）若AC=6，AB=10，求CG的长． 【答案】见解析 【详解】（1）证明：连接OD． ∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点， ∴AC=AD，∵OC=OD， ∴OA⊥CD， ∴CD⊥OA， ∵CF是直径， ∴∠CDF=90°， ∴DF⊥CD， ∴DF∥AO． （2）过点作EM⊥OC于M， ∵AC=6，AB=10， ∴BC= AB2AC2 =8， ∴AD=AC=6， ∴BD=AB-AD=4， ∵BD2=BF•BC， ∴BF=2， 1 ∴CF=BC-BF=6．OC= CF=3， 2 ∴OA= AC2OC2 =3 5， ∵OC2=OE•OA， 3 5 ∴OE= ， 5 ∵EM∥AC， 【10淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 EM OM OE 1 ∴    ， AC OC OA 5 3 6 18 ∴OM= ，EM= ，FM=OF+OM= ， 5 5 5 EM FM 3.6 3 ∴    ， CG FC 6 5 5 ∴CG= EM=2． 3 四川乐山·中考真题 59．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； AD 2  （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6， ．求BE的长． BD 3 5 【答案】（1）证明见解析；（2）BE . 2 【详解】(1)连接OD. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵∠CDA＝∠CBD， ∴∠CDA＝∠ODB. 又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO＋∠ODB＝90°， ∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°， ∴OD⊥CD. ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； 【10淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD， CD AD  . BD BD AD 2   .BC＝6，∴CD＝4. BD 3 ∵CE，BE是⊙O的切线， ∴BE＝DE，BE⊥BC， ∴BE2＋BC2＝EC2， 即BE2＋62＝(4＋BE)2， 5 解得BE＝ 2 广东省卷·统考中考真题 60．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E． （1）证明：OD∥BC； （2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切； （3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长． 2 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 2 【详解】【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由 AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC； 1 （2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB= AC2BC2  5a，证OE为中位线知OE= a、 2 1 AE=CE= 2 AC=a，进一步求得DE= AD2AE2 =2a，在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可 得； （3）先证△AFD∽△BAD 得 DF•BD=AD2①，再证△AED∽△OAD 得 OD•DE=AD2②，由①②得 DF DE EF DE DF•BD=OD•DE，即  ，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得  ，结合（2） OD BD OB BD 可得相关线段的长，代入计算可得． 【10淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】（1）如图，连接OC， 在△OAD和△OCD中， OAOC  ADCD，  ODOD ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO=∠CDO， 又AD=CD， ∴DE⊥AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∴OD∥BC； AC （2）∵tan∠ABC= =2， BC ∴设BC=a、则AC=2a， ∴AD=AB= AC2BC2  5a， ∵OE∥BC，且AO=BO， 1 1 1 ∴OE= BC= a，AE=CE= AC=a， 2 2 2 在△AED中，DE= AD2AE2 =2a， 5a 25 在△AOD中，AO2+AD2=（ ）2+（ a）2= a2， 2 5 4 25 OD2=（OF+DF）2=（1 a+2a）2= a2， 2 4 ∴AO2+AD2=OD2， ∴∠OAD=90°， 则DA与⊙O相切； （3）如图，连接AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA， ∴△AFD∽△BAD， DF AD ∴  ，即DF•BD=AD2①， AD BD 又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， AD DE ∴  ，即OD•DE=AD2②， OD AD DF DE 由①②可得DF•BD=OD•DE，即  ， OD BD 又∵∠EDF=∠BDO， 【10淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴△EDF∽△BDO， EF DE ∴  ， OB BD ∵BC=1， 5 5 ∴AB=AD= 、OD= 、ED=2、BD= 、OB= ， 5 2 10 2 EF 2  ∴ 5 10 ， 2 2 ∴EF= . 2 四川·乐山中考 61．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O 于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO； AE BE （2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求 的值． B D F O P E C A Q 【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。（2）在Rt△OQA中， 6 5 由勾股定理得QA＝4，在Rt△PBQ中，由勾股定理得PA＝＝PB＝6，因此FD＝3，BF＝AF＝ 又由 5 中位线定理FD∥AP得， FE：EA＝3：4，因此设AE＝4t,则EF＝3t，BF＝10t，所以AE：BE＝2：5. （1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∴PA＝PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB． 【10淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 B D F O P E C A Q ∵BC是直径，∴∠CAB＝90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO； （2）解：连结OA、DF，如图， ∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ∴∠OAQ＝∠PBQ＝90°． 在Rt△OAQ中，OA＝OC＝3，∴OQ＝5． 由QA2＋OA2＝OQ2，得QA＝4． 在Rt△PBQ中，PA＝PB，QB＝OQ＋OB＝8，由QB2＋PB2＝PQ2， 得82＋PB2＝（PB＋4）2，解得PB＝6，∴PA＝PB＝6． 1 ∵OP⊥AB，∴BF＝AF＝ AB． 2 1 又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF＝ PA＝3，∴△DFE∽△QEA， 2 AE AQ 4 ∴   ，设AE＝4t，FE＝3t，则AF＝AE＋FE＝7t， FE DF 3 AE 4t 2 ∴BE＝BF＋FE＝AF＋FE＝7t＋3t＝10t，∴   BE 10t 5 ． 湖北武汉·中考真题 62．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且 PA=PB， （1）求证：PB是⊙O的切线； PE （2）若∠APC=3∠BPC，求 的值． CE 【10淘6 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 171 【答案】（1）证明见解析；（2） 4 【详解】（1）如图，连接OP、OB， ∵PA是⊙O的切线， ∴PA⊥OA， ∴∠PAO=90°， ∵PA=PB，PO=PO，OA=OB， ∴△PAO≌△PBO． ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）如图，连接BC，设OP交AB于K， ∵AB是直径， ∴∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， ∵PA、PB都是切线， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO， ∵OA=OB， ∴OP垂直平分线段AB， ∴OK∥BC， ∵AO=OC， ∴AK=BK， ∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a， ∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB， ∴∠OPC=∠BPC=∠PCB， ∴BC=PB=PA=2a， ∵△PAK∽△POA， ∴PA2=PK•PO，设PK=x， 则有：x2+ax﹣4a2=0， 171 解得x= a（负根已经舍弃）， 2 171 ∴PK= a， 2 ∵PK∥BC， PE PK 171 ∴   . EC BC 4 【10淘7 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型九 射影图 63．如图，已知，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过圆心O作AC的平行 线OE，交BC于点△E，连接DE并延长交AB的延长线于点F． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半径； (3)若DC＝DE＝1，求AD的长． 【答案】(1)见解析； (2)⊙O的半径为4； (3)AD3 【分析】（1）连接OD，BD，由圆周角定理及平行线的性质证出∠ODE＝∠OBE＝90°，则可得出结论； （2）设OB＝OD＝x，则OF＝1+x，由勾股定理得出方程x2+32＝（1+x）2，则可得出答案； （3）求出∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OD，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∵OE∥AC，OA＝OB， 【10淘8 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴BE＝CE， ∴DE＝BE＝CE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODE＝∠OBE＝90°， ∵点D在⊙O上， ∴DF是⊙O的切线； （2）设OB＝OD＝x，则OF＝1+x， ∵OD2+DF2＝OF2， ∴x2+32＝（1+x）2， ∴x＝4， ∴⊙O的半径为4． （3）由（1）知DE＝CE＝BE＝1， ∵DC＝1， 1 ∴DC BC， 2 ∴∠CBD＝30°， ∴BD 3， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝60°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BD＝2 3， ∴AD AB2BD2  1233． 安徽·统考一模 RtABC ABC 90 AB O AC BC DE,OE 64．如图， 中， ，以 为直径的 交 于点D，E是 的中点，连接 ． （1）求证：DE与O相切； BC2 2CDOE （2）求证： ； 2 （3）若cosC  ,DE 4，求 的长． 3 AD 【10淘9 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 20 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AD 3 【分析】（1）连接BD,OD，首先根据圆周角定理的推论得出ADB90，然后利用直角三角形斜边中 线的性质及等量代换即可得出ODE90，进而结论可证； BC CD （2）首先证明 ，得出  ，则 ，然后利用三角形中位线的性质得出 △BCD∽△ACB AC CB BC2  ACCD AC 2OE，进而结论可证； （3）首先根据 DE的长度求出 BC的长度，然后利用三角函数分别求出 CD，AC的长度，最后利用 AD ACCD求解即可． 【详解】（1）证明：如解图，连接BD,OD， ∵AB为O的直径， ∴ADB90， ∴BDC=90． 在RtBDC中，E是BC的中点， 1 ∴DECEBE BC， 2 ∴3=4． ∵ODOB， ∴12， ∴ODE 132490． ∵OD为O的半径， ∴DE与O相切； （2）证明：在RtABC中，�C��A 90 ， 在RtBDC中，C490， ∴A4． 又∵CC， ∴△BCD∽△ACB． BC CD ∴  ． AC CB ∴BC2  ACCD． ∵O是AB的中点，E是BC的中点， ∴AC 2OE． ∴BC2 2CDOE； 1 （3）解：由（1）知，DE BC， 2 【110淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵DE4， ∴BC8， CD 2 在 中，cosC   ， RtBDC BC 3 16 ∴CD ． 3 BC 2 在 中，cosC   ， RtABC AC 3 ∴AC 12， 20 ∴AD ACCD ． 3 四川成都·统考一模 65．如图，在RtABC中，ABBC，以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE. （1）求证：DE是O的切线； 1 （2）设 的半径为r，证明r2  ADOE； O 2 3 （3）若DE 4, sinC  ，求AD之长. 5 18 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD . 5 【分析】（1）由E为BC的中点，O为AB的中点，得到OE是△ABC的中位线，进而得到OE∥AC．再由 平行线的性质及等腰三角形的性质可证∠1=∠2，即可得到△ODE≌△OBE，根据全等三角形对应角相等 即可得到结论； （2）证明△ADB∽△OBE，由相似三角形对应边成比例即可得到结论； （3）根据切线长定理得到BE=DE=4． 3 由OE∥AC，得到∠4=∠C，则sin4sinC ，解直角三角形OBE可得OB，OE的长，代入（2）中 5 结论，即可得出AD的长． 【详解】（1）∵AB⊥BC，∴∠OBC=90°． ∵E为BC的中点，O为AB的中点， 【111淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 OE//AC， ∴∠1=∠ODA，∠2=∠A． ∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠1=∠2． ∵OD=OB，∠1=∠2，OE=OE， ∴△ODE≌△OBE， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∴DE为O的切线； （2）∵∠2=∠A，ADBOBE90， ADB∽OBE， AD OB   ， AB DE ADOE ABOB2rr， 1 因此，r2  ADOE； 2 （3）∵DE、BE是⊙O的切线，∴BE=DE=4． 又∵OE//AC， 4C， 3 sin4sinC  ， 5 OB 3 ∴  ． OE 5 设OB=3x，则OE=5x，BE=4x． ∵BE=4，∴x=1，∴OB=3，OE=5． 1 又由（2）得：r2  ADOE， 2 1 即：32  AD5， 2 18 AD ． 5 66．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，在RtABC中，ABC 90，以AB为直径的O交AC于点 【112淘宝店铺D：向E阳百B分C百】 DE关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D，E是BC的中点，连接DE． (1)求证：DE是O的切线； (2)连接OE，若AB4，AD3，求OE的长． 【答案】(1)见解析 8 (2) OE 3 【分析】（1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角 形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CEDE，利用等边对等角得到一对 角相等，再由OAOD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的 余角相等得到ADO与CDE互余，可得出ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的 切线； （2）连接OE，由E为BC的中点，O为AB的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得出OE等于AC 的一半，接下来求出AC，在直角三角形ABD中，由AB与AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由一对 角为公共角，一对直角相等，得到三角形 ADB与三角形ABC相似，由相似得比例将AB，AD，及BD的 长代入求出BC的长，在直角三角形 ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出 AC的长，即可得出 OE的长． 【详解】（1）证明：连接OD，BD，  AB为圆O的直径， ADB90， 在RtBDC中，E为斜边BC的中点， 1 CE DE BE  BC， 2 C CDE， ∵OAOD，AADO， ABC90，即CA90， ADOCDE90，即ODE90， DEOD，又OD为圆的半径， DE为圆O的切线； 【113淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）解：连接OE，在RtABD中，AB4，AD3， 根据勾股定理得：BD AB2AD2  7 ， DABBAC，ADBCBA90， ADB∽ABC， AD DB 3 7 ∴  ,即  ， AB BC 4 BC 4 7 解得：BC  ， 3 16 在 中，根据勾股定理得：AC AB2BC2  ， RtABC 3  E为BC的中点，O为AB的中点， OE为ABC的中位线， 1 8 则OE AC  ． 2 3 2023·湖南永州·统考中考真题 67．如图，以AB为直径的O是ABC的外接圆，延长BC到点D．使得BACBDA，点E在DA的延 长线上，点A在线段AC上，CE交BM 于N，CE交AB于G． 【114淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证：ED是O的切线； AC  6,BD5,AC CD BC (2)若 ，求 的长； (3)若DEAM  ACAD，求证：BM CE． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）由 AB是O的直径得到ACB90，则BACABC90，由BACBDA得到 BDAABC 90，则BAD90，结论得证； BC AC AC BC 6 （2）证明 ，则   ，可得  ，解得 或3，由 即 ACB∽DCA AC DC BDBC 6 5BC BC2 AC CD 可得到BC的长； AC AB （ 3 ） 先 证 明 ， 则  ， 得 到 ， 由 得 到 △ABC∽△DAC DC AD ACADCDAB DEAM  ACAD AM AB ，则  ，由同角的余角相等得到 ，则 ，得 DEAM CDAB DC DE BAM CDE AMB∽DCE EABM ，进一步得到EGAEABM BGN 90，则BNG90，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB是O的直径， ∴ACB90， ∴BACABC90， ∵BACBDA， ∴BDAABC 90， ∴BAD90， ∴ED是O的切线； （2）∵BACBDA，ACBDCA90， ∴ACB∽DCA， BC AC AC ∴   ， AC DC BDBC BC 6 ∴  ， 6 5BC 解得BC2或3， 当BC2时，CDBDBC 3， 当BC 3时，CDBDBC2， ∵AC CD，即 6 CD， ∴BC 3； （3）证明：∵AB是O的直径， ∴ACBDCA90， ∵BACBDA， ∴△ABC∽△DAC， 【115淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AC AB ∴  ， DC AD ∴ACADCDAB， ∵DEAM  ACAD， ∴DEAM CDAB， AM AB ∴  ， DC DE ∵BAM CDE， ∴AMB∽DCE， ∴EABM ， ∵EGABGN， ∴EGAEABM BGN 90， ∴BNG90， ∴BM CE． 2023·四川广安·统考中考真题 68．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE ． (1)求证：DE是O的切线． 4 (2)若sinC  ,DE 5，求 的长． 5 AD 2DE2 CDOE (3)求证： ． 【答案】(1)见详解 32 (2) 3 (3)见详解 【分析】（1）连接BD,OD，先根据直角三角形的性质，证明BEDE，再证明OBE≌ODE(SSS)即可； （2）由（1）中结论，得 BC 2DE 10，先根据三角函数及勾股定理求出 BD,CD的长，再证明 △ADB∽△BDC即可； （3）证明OBE∽BDC即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接BD,OD， 【116淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在Rt△ABC中，ABC 90，  AB是O的直径， ADB90,即BD AC， 在RtBDC中，点E是BC的中点， 1 BEDE BC， 2 又OBOD,OEOE， OBE≌ODE(SSS)， OBEODE90， D在O上 DE是O的切线． （2）解：由（1）中结论，得BC 2DE 10， BD BD 4 在 中，sinC    ， RtBDC BC 10 5 BD8,CD BC2BD2 6， AC 90,AABD90， C ABD， ADBBDC 90， △ADB∽△BDC， AD BD BD2 82 32   ,AD   ； BD CD CD 6 3 （3）证明：OAOB,BECE， OE∥AC， OEBC， OBEBDC 90， OBE∽BDC， OE BE   ， BC CD 由（1）中结论VOBE≌VODE，得BEDE， BC2DE， OE DE   ， 2DE CD 即2DE2 CDOE ． 【117淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型十 切割图 69．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线乖直，垂足为点D，AD交⊙O于点E. (1)求证：AC平分∠DAB； (2)直线BE交AC于点F，若cos∠CAD＝ ，求 的值. D C E F A B O 【解析】(1)略； (2)∵cos∠CAD＝ ＝ ，设AD＝4，AC＝5，则CD＝3，设OC交BE于点M， D C E M F A B O 易证矩形DCME，设AE＝x，则DE＝4－x＝CM，CD＝3＝EM＝BM，易证OM＝ AE＝ x，∴OC＝ x ＋4－x＝4－ x，∴AB＝2CO＝8－x，在△ABE 中，(8－x)2＝62＋x2，∴x＝ ，∵AD∥OC， ∴△AEF∽△CMF，∴ ＝ ＝ . 70．如图1，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，点D在⊙O上，过点C的切线CE⊥BD于点E，直径DF 交AC于点M. (1)求证： ＝ ； (2)如图2，若 ＝ ，求tan∠BAC的值. C C F E F E M M B A B A O O D D 【解析】(1)连接OC，BF.∵DF是直径， 【118淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C E F M B A O D ∴∠DBF＝90°＝∠E，∴EC∥BF.∵CE与⊙O相切于点C，∴OC⊥EC，∴OC⊥BF，∴ ＝ ； (2)连接AF，设OC与BF相交于点H.易证AF∥BD∥OC， C F E M H B A O D ∴△AMF∽△CMO，∴ ＝ ＝ ，∴可设AF＝6a，则OC＝OB＝5a，OH＝ AF＝3a，∴CH＝ OC－OH＝2a，BH＝ ＝4a.∵ ＝ ，∴∠BAC＝∠CBF，∴在Rt△BCH 中，tan∠BAC ＝tan∠CBH＝ ＝ ＝ . 71．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的 ⊙O经过点D，与AB交于点E. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若cos∠ABC＝ ，AE＝4，求CD的长. C D A O E B 解：(1)连接OD，证OD∥AC； C D F A O E B 【119淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)过点O作OG⊥AC于点G，则四边形ODCG是矩形，∠B＝∠AOG，在Rt△AOG中，cos∠AOG＝cosB ＝ ＝ ，∴OG＝ OA＝ ，∴CD＝OG＝ . 72．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接 BD. (1)求证： ＝ ； (2)若cos∠CAD＝ ，求tan∠BDC的值. D C E A B O 解：(1)略； (2)连接BE，OC，BE交OC于点M， D C E M A B O 设AD＝4，AC＝5，则CD＝3＝EM＝BM，设OM＝x，则AE＝2x，∴DE＝CM＝4－2x.∴OC＝OB＝4－ x，∴在 Rt△OMB 中，(4－x)2＝x2＋32，∴x＝OM＝ ，AE＝2OM＝ ，∴DE＝AD－AE＝ ， ∴tan∠BDC＝tan∠DBE＝ ＝ . 73．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上的一点，AD垂直于经过点C的切线，垂足为D，AB 的延长线交直线CD于点E，AC与OD相交于点G. (1)求证： ＝ ； (2)若 ＝ ，求tan∠ODE的值. 【12淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C G A O B E 解：(1)连接OC，则OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，△GOC∽△GDA，∴ ＝ ＝ ； D C H G A O B E (2)过点O作OH⊥AD于点H，由(1)知： ＝ ＝ .设OC＝OA＝3a，则AD＝4a，∵四边形OCDH 是矩形，∴OC＝DH＝3a，OH＝CD，∴AH＝AD－DH＝a，∴OH＝CD＝ ＝2 a，∴在 Rt△OCD中，tan∠ODE＝ ＝ ＝ . 【12淘1 宝店铺：向阳百分百】