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专题 1.5 一元一次方程全章知识典例详解
【人教版2024】
知识点1 从算式到方程
1．方程的概念
含有未知数的等式叫方程．
【注】方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数．
2．方程的解与解方程
①一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
②求方程的解的过程，叫做解方程.
3．一元一次方程的概念
方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方
程．【注】一元一次方程具有如下共同特点：
①只含有一个未知数．
②所含未知数的项的最高次数为1．
③方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数．
4．等式的性质
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即：如果 ，那么 ．
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即：如果 ，那么 ；
如果 ，那么 ．
【注】
①等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系．
②等式两边都除以同一个数时，这个除数不能是零．
【典例1】（2024春•嘉定区校级月考）已知式子：①3﹣4＝1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；
⑤3x2﹣2x+1＝0．其中是方程的有 ．（只填序号即可）
1 2 3
【典例2】（2023秋•禹城市校级月考）下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②(− ) + =1；③2x+3≤5；
2 4
2
④y2﹣1＝2y；⑤ x+7 y=36，其中是方程的是 ．（填序号）
5
4 x
【典例3】（2024春•吴忠期末）在方程：①3x﹣y＝2；②x+ =1；③ =1；④x＝0；⑤x2﹣2x﹣3
x 2
2x+1 1
＝0；⑥ = 中，是一元一次方程的是（填序号）
4 3
【典例4】（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为
．
【典例5】（2024秋•武昌区期中）若关于x的方程（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x是一元一次方程，则k＝
．
【典例6】（2024春•天水期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，
得方程的解为x＝3，则原方程的解为 ．
【典例7】（2023秋•句容市期末）已知x＝3是方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5的解，则k的值是 ．【典例8】（2024•船山区校级开学）若x＝0.5是关于x的方程2ax﹣3b﹣5＝0的解，则代数式3a﹣9b﹣10
＝ ．
【典例9】（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（ ）
a b a b
①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若 = ，则a＝b；④若a＝b，则 = ．
c c x2+1 x2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例10】（2023秋•邢台期末）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中，同一种物体的质量
都相等，将天平的左右托盘中都放上不同个数的物体，下列四个天平中只有一个天平状态不对，则该天
平是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例11】（2024春•洪洞县期末）下列变形正确的是（ ）
3
A．若3x＝2，则x=
2
B．若4x+y＝3，则y＝4x﹣3
1 1
C．若x＞y（x、y均不为0），则 ＜
x y
5x−1 1+2x
D．若 −2= ，则2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x）
3 2
知识点2 解一元一次方程
1．解一元一次方程——合并同类项
合并同类项法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变．2．解一元一次方程——移项
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
【注】
①移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项在方程的一
边，常数项在另一边．
②移项要变号．
③移项与加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律
中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号．
3．解一元一次方程——去括号
解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【注】
运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的任何一项．
4．解一元一次方程——去分母
根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化为整数．
【注】
①各项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项．
②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号．
5．解一元一次方程的一般步骤
①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为
整数，然后再去分母（依据：等式的性质2）
②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）
（依据：乘法分配律；去括号法则）
③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1）
④合并同类项：把方程化为 的形式（依据：合并同类项的法则）
⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 （依据：等式的性质2）
x−2 x+1
【典例1】（2024春•郸城县校级月考）将方程 − =1去分母得到方程2x﹣4﹣3x+3＝6，其错误
3 2
的原因是（ ）A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误
D．去分母时，分子未乘相应的数
1 2x−1 1 1−2x
【典例2】（2023秋•襄城县期末）下列是嘉淇同学解一元一次方程的过程 + = − ．
4 2 2 4
解：去分母，得1+2（2x﹣1）＝2﹣（1﹣2x），第一步
去括号，得1+4x﹣2＝2﹣1﹣2x，第二步
移项，得4x+2x＝2﹣1﹣1+2，第三步
合并同类项，得6x＝2，第四步
1
系数化为1，得x= ．
3
上述解法中，开始出现错误的是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
x 1.2−0.3x
【典例3】（2023秋•五莲县期末）将方程 =1+ 中分母化为整数，正确的是（ ）
0.3 0.2
10x 12−3x x 1.2−0.3x
A． =10+ B． =10+
3 2 3 0.2
10x 12−3x x 1.2−0.3x
C． =1+ D． =1+
3 2 3 2
【典例4】（2024秋•南岗区校级月考）解方程：
（1）8x﹣3（3x+2）＝6；
（2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）；
3 y−1 5 y−7
（3） −1= ；
4 6
x−1 2x+3 x+1
（4） −1= + ．
4 6 3
知识点3 实际问题与一元一次方程
1．列一元一次方程解应用题的步骤：
①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系．
②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）．
③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程．
④解：解所列出的方程，求出未知数的值．⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案．
2．常见问题中的等量关系：
①和差倍分问题：
和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．
（1）当较大量是较小量的几倍多几时， ；
（2）当较大量是较小量的几倍少几时， ．
②数字问题：
（1）多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数， ， ）则这个
两位数可以表示为 ．
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且 ，
， ）则这个三位数表示为： ．
（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为 （其中k表示整数）．
（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为 ．
③年龄问题：
“年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问
题的关键.
④日历问题：
（1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．
（2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数．
（3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是 31天，四、
六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围
的．
⑤行程问题：
基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间
（1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程
（2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程
（3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相
遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈.
（4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及
所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈.
⑥工程问题：
（1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间；
（2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1;
（3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.
⑦商品销售问题：
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基
本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
利润=售价－进价
利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率
⑧配套问题：
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件
数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程）一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如
何确定车间工人人数，使问题有整数解．
⑨积分问题：
比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分 负场扣分．
⑩利息问题：
（1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）
（2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数）
⑪方案决策问题：
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，
到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方
案．
⑫分段计费问题：
常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话
费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理
顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同.
【典例1】（2024秋•南岗区校级月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺
母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，
其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套．
【典例2】（2024秋•南岗区校级月考）某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，
商店准备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打 折．
【典例3】（2024秋•南岗区校级月考）一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天
后，余下的工作再由甲独做 天完成．
【典例4】（2024秋•江北区校级月考）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是 9，把十位上的数字
与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是 ．
【典例5】（2024秋•江北区校级月考）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，
答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分．
【典例6】（2024春•蒸湘区校级期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过
15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费
89元，则他家该月用水 m3．
【典例7】（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳
现在的年龄是 岁．【典例8】（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已
1
知甲的速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少 ，当两人相遇时，两车出发的时间为 小时．
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