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专题 15.2 分式的基本性质【八大题型】
【人教版】
【题型1 判断分式变形正误】..................................................................................................................................1
【题型2 分式成立的条件】......................................................................................................................................2
【题型3 由分式的基本性质判断分式值的变化】.................................................................................................2
【题型4 将分式的分子分母系数化成正数】.........................................................................................................3
【题型5 约分】..........................................................................................................................................................4
【题型6 最简分式的判断】......................................................................................................................................4
【题型7 求最简公分母】..........................................................................................................................................5
【题型8 通分】..........................................................................................................................................................5
知识点1：分式的基本性质
1.分式的性质的基本内容：
分 式 的 分 子 与 分 母 乘 （ 或 除 以 ） 同 一 个 不 等 于 0 的 整 式 ， 分 式 的 值 不 变 。 即 ：
A A×C A A÷C
= ， =
B B×C B B÷C（A、B、C均是整式且C≠0）
2.分式的符号改变法则：
分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。即：
A −A −A A
= =− =−
B −B B −B
【题型1 判断分式变形正误】
【例1】（23-24八年级·四川凉山·期末）下列等式成立的是（ ）
−x+ y x+ y x−3 1
A． = B． =
2 2 x2−9 x−3
x2−2xy+ y2 xy x
C． =x−y D． =
x−y x2−xy x−y
m 2
【变式1-1】（23-24八年级·山东烟台·期末）已知 = ，则下列式子正确的是（ ）
n 3
m−n 1 m+2 2 m 4
A． = B． = C． = D．3n=2m
n 3 n+3 3 2n 3【变式1-2】（23-24八年级·天津河东·期末）下列各等式变形不正确的是（ ）
① a ac ；②2(3x−2y) 2；③x+ y2 x2+x y2；④ b−2a 2a−b；⑤
= (c≠0) =− = − = am+an=am−n
2b 2bc 3(2y−3x) 3 x x2 a−b b−a
（m，n都是正整数，并且m>n）．
A．② B．③ C．④⑤ D．⑤
【变式1-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
x2−4
A．分式 的值为零，则x的值为±2
x−2
B．根据分式的基本性质，等式m mx2
=
n nx2
5
0.6a− b
3 18a−50b
C．把分式 的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
2 21a−12b
0.7a− b
5
34(x−y)
D．分式 是最简分式
85(x+ y)
【题型2 分式成立的条件】
5 5(x−2)
【例2】（23-24八年级·河北邯郸·期末）若 = ，则x应满足的条件是（ ）
x x(x−2)
A．x≠0 B．x≠2 C．x≠0且x≠2 D．x≠0或x≠2
1 a
【变式2-1】（23-24八年级·河南平顶山·期末）等式 = 成立的条件是 ．
2 2a
3(x−y) 3
【变式2-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如果 = 成立，那么x,y应满足关系式
5(x−y) 5
.
|a−3| 1
【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）已知 = ，则a的取值范围是 ．
a2−6a+9 3−a
【题型3 由分式的基本性质判断分式值的变化】
【例3】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值
不变的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3x
【变式3-1】（23-24八年级·北京昌平·期中）若将分式 中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
x+2y
1
A．不改变 B．缩小为原来的
10
1
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
100
0.2x+3
【变式3-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）不改变分式 的值，把它的分子与分母中的系数化为
0.5x−1
整数，下列式子正确的是（ ）
2x+30 2x+3 2x+30 2x+3
A． B． C． D．
5x−10 5x−1 5x−1 5x−10
1
【变式3-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）不改变分式的值，把分式 1 的分子与分母中各项的
x+ y
2
系数都化为整数，结果为 ．
【题型4 将分式的分子分母系数化成正数】
1−2x
【例4】（23-24八年级·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式 的分子、分母中的最高次
−x2+3x−3
项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
2x−1 2x−1 2x+1 2x+1
A． B． C． D．
x2+3x−3 x2−3x+3 x2+3x−3 x2+3x+3
【变式4-1】（23-24八年级·山东烟台·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则
−x+ y
= ．
−2x−y
−3x+1
【变式4-2】（23-24八年级·河南新乡·阶段练习）不改变分式 的值，使分式的分子、分母中x
−x2+7x−2
的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）3x+1 3x+1
A． B．
x2−7x+2 x2+7x+2
3x−1 3x−1
C． D．
x2−7x+2 x2−7x−2
【变式4-3】（23-24八年级·北京·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不
含 “－” 号．
−2x 2x−1
① = ； ② = ；
−3 y −x+1
③−x2+xy= ；④ −x−1 = ．
x2 −x2−3x+1
知识点2：约分
公因式：
①公因式的概念：一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。
②公因式的求法：对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次幂。他们的
乘积为公因式。
最简分式的概念：
分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。
约分：
①约分的概念：根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。
②约分的步骤：
Ⅰ.对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。
Ⅱ.约去分子分母的公因式即可。
【题型5 约分】
【例5】（23-24八年级·山东青岛·单元测试）下列约分正确的是（ ）
A．x6 B．(x−1)(x−5)
=x2 =1
x3 (1−x)(5−x)
C．x2+4 y2 D．c2+b2 c2
=x+2y =
x+2y a2+b2 a2
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）先化简，再求值： −a2+4b2 ，其中 3， 3．
a= b=−
−4b2−a2+4ab 4 2【变式5-2】（23-24八年级·山东·课后作业）分式(2a−a2 )(a2+4a+3)的最简形式是（
）．
(a2−a)(a2+a−6)
1 a a+1 a+1
A． B． C． D．
a−1 a−1 a−1 1−a
【变式5-3】（23-24八年级·广西来宾·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，
那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）
4x+2y x+ y
A． B．
x2−9 y2 x2−xy+ y2
x2−y2 x2−2xy+ y2
C． D．
x−y 2x−2y
【题型6 最简分式的判断】
【例6】（23-24八年级·河北石家庄·期末）有分别写有x，x+1，x−1的三张卡片，若从中任选一个作为
()
分式 的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．
x2−1
【变式6-1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）下列分式中 最简分式是（ ）
1−a a−b 2b+4a a2−4b2
A． B． C． D．
1−2a a2−2ab+b2 b2−4a2 a+2b
【变式6-2】（23-24八年级·江苏·期中）已知三张卡片上面分别写有6，x−1，x2−1，从中任选两张卡片，
组成一个最简分式为 ．（写出一个分式即可）
a−3 x−y m
【变式6-3】（23-24八年级·山东青岛·单元测试）下列4个分式中：① ；② ；③ ；④
a2+3 x2−y2 2m2n
2
，最简分式有 个．
m+1
【题型7 求最简公分母】
x+1 x x−1
【例7】（23-24八年级·山东济宁·期中）写出下列各组分式的最简公分母： , ,
x 6−2x x2−9
．
b c a
【变式7-1】（23-24八年级·湖北孝感·期末）分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
ax 3bx 5x3
A．15abx3 B．15abx5 C．15abx D．5abx
2 1 3
【变式7-2】（23-24八年级·全国·单元测试） 、 、 的公分母是 .
3x2(x−y) 2x−2y 4xyx+5 x−2
【变式7-3】（23-24八年级·上海闵行·阶段练习）分式 与 的最简公分母
2(x−3) 2 (x+2) 6(x+2) 3 (x−3)
是 .
知识点3：通分
①通分的概念：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过程叫做通
分。这个相同的分母叫做最简公分母。
②最简公分母的求法：
最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，
在确定所含有的因式。
③通分的步骤：
Ⅰ.将所有能分解因式的分母分解因式。
Ⅱ.求出最简公分母。
Ⅲ.利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母。
【题型8 通分】
a−1 1 a−1
【例8】（2024八年级·全国·专题练习）把 与 通分后， 的分母为(1−a)(a+1) 2，
a2+2a+1 1−a2 a2+2a+1
1
则 的分子变为（）
1−a2
A．1−a B．1＋a C．−1−a D．−1+a
x y 2
【变式8-1】（23-24八年级·山东·课后作业）把分式 ， ， 的分母化为x2-y2后，各分式的
x−y x+ y x2−y2
分子之和是( )
A．x2＋y2＋2 B．x2＋y2-x＋y＋2
C．x2＋2xy-y2＋2 D．x2-2xy＋y2＋2
1 1 2
【变式8-2】（23-24八年级·全国·课后作业）把分式 ， ， 通分，下列结论不正确
x−2 (x−2)(x+3) (x+3) 2
的是（ ）
A．最简公分母是 B． 1 (x+3) 2
(x−2)(x+3) 2 =
x−2 (x−2)(x+3) 2
1 x+3 2 2x−2
C． = D． =
(x−2)(x+3) (x−2)(x+3) 2 (x+3) 2 (x−2)(x+3) 2
【变式8-3】（23-24八年级·全国·单元测试）通分：4a 3c 5b
(1) ， ， ；
5b2c 10a2b −2ac2
1 3
(2) ， ；
x2−4 4−2x
(3)，，．
