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2025届新高三阶段性检测04（基础版）
（范围：检测范围1、2、3至复数、计数原理与统计概率）
（新课标卷）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．若复数z满足 (其中 是虚数单位， )，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由复数的运算结合模长公式求出 ，再由充分必要条件定义判断.
【详解】由 得，
，解得 或 .
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】先分别根据对数不等式及指数函数值域求集合，再结合交集计算即可.
【详解】因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ，则 ,
所以 .
故选：B.
3．已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 ，即 ，代入即可求解.
【详解】已知向量 ， ，若 ，则 ，
即 ，
所以 的值为 .
故选：C
4．已知数列 通项公式为 ，将数列 的公共项从小到大
排列得到数列 ，设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判断出数列 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
即
所以 的前 项和 .
故选：D.
5．甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为
0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，
以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575
【答案】D
【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分
甲先着子和乙先着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】由题意知，
一二局甲胜的概率为： ，
一三局甲胜的概率为： ，
二三局甲胜的概率为： ，
因此最终甲胜的概率为 ，
故选：D.
6．已知圆 ，点 在线段 （ ）上，过点 作圆 的两条切
线，切点分别为 ， ，以 为直径作圆 ，则圆 的面积的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题意得 ，进而分析得当 最大时，圆 的面积的最大，求
出 最大值，即可求解．
【详解】由题可知， ， ， ， ，
为锐角，
当圆 的面积取最大值时 最大，
而 ，
所以 ，
因为点 在线段 （ ）上，
所以 ，
故 ，即圆 半径的最大值为 ，
所以圆 的面积的最大值为 ，
故选：D．
7．如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，点 是线段 上
一点，且满足 ，动点 在以 为圆心的半径为 的圆上运动，则 的最大
值为（ ）
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点 在圆上，设点 ，计
算 得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值.
【详解】
如图，以 为原点，建立直角坐标系.
由题意，梯形 的高长为 ，则 .
因为以 为圆心的半径为 的圆的方程为： ，可设点 ， .
则
其中， ，
故当 时， .
故选：A.
8．已知函数 ，若不等式 的解集中佮有两个不同的正整数解，
则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】不等式 可化为 ，利用导数分析函数 的单调性，作
函数 ， 的图象，由条件结合图象列不等式求 的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，
不等式 化为： ．
令 ， ， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时，g(x)>0，当 时，g(x)=0，
当 时，g(x)<0，
当 时， ，当 ，且 时， ，
画出 及ℎ(x)的大致图象如下，
因为不等式 的解集中恰有两个不同的正整数解，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故正整数解为 ．
故 ，
即 ．
故 .
故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．已知向量 ．若 ，则（ ）
A． B．
C． 在 方向上的投影向量为 D．与 反向的单位向量是
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可.
【详解】 ．
．
，即 ．
，即 ，解得 ，则 ．
对于A， ，故A正确；
对于B，因为 ，故B正确；对于C， 在 方向上的投影向量为 ，故 正确；
对于D，与 反向的单位向量是 ，故D错误．
故选:ABC．
10．已知函数 则（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象关于 轴对称
C．函数 在区间 上有2个零点
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变换易得 ，采用代入检验法即可判断A项，利
用平移变换，求得函数解析式，易得其为奇函数，，故而排除B项，将 看成整体角，
求出其范围，利用余弦函数的图象观察分析，易对C,D两项进行判断.
【详解】
对于 当 时 ，而 ，故A正确；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于 将 向左平移 个单位后可得，
为奇函数，关于原点对称，故B错；
对于 当 时， ，
因 在 上仅有2个零点，故 在 上也仅有2个零点，故C正确；
对于 当 时，因 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，故D正确.
故选：ACD．
11．已知函数 的定义域为 ，满足 ，且 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为非奇非偶函数
C．若 ，则 D． 对任意 恒成立
【答案】ACD
【分析】先将条件化为 ，然
后直接在恒等式中取特殊值，即可验证A选项，并得到 ，
再由此验证C和D选项. 对于B选项，直接给出一个反例即可.
【详解】我们有恒等式： .
对于A，由恒等式可得 ，而 ，故 ，所以，即 ，故A正确；
对于B，由于 满足条件且是偶函数，所以 有可能是偶函数，故B错误；
对于C，由恒等式可得 ，故
.
若 ，则 ，故C正确；
对于D，由恒等式可得 .
而 ，故 和 同号（同为正数，或同为负数，或同为0），
从而再由 可知 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知二项式 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则其展开式中
的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式系数相等可求得 ，再由二项展开式的通项可求得结果.
【详解】根据展开式中第3项与第7项的二项式系数相等可得 ，解得 ；
不妨设第 项含有 项，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ；
所以含有 项为 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因此可得 的系数为 .
故答案为：
13．若 是 的极小值点，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据导函数的正负，对极值点条件转化，判断极值点，即可求解.
【详解】x=0是 的极小值点，
求导得 .
，
因为0是极小值点，所以 单调递减， 单
调递增，
设 ，
当a≥1时， 在R上单调递增, ,满足
在 上单调递减，
在 上单调递增，符合题意；
当 时， 在R上单调递减, ， 在
上单调递增，
单调递减，0是极大值点，不合题意；
当0<a<1时， ,有两个根 设
在 上单调递减, ,
在 上单调递增，
在 上单调递减，0是极大值点，不合题意；
故a≥1.
故答案为： .
14．某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球
型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与
半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为 ，求这个蛋壳型的半球的
容积为 .
【答案】
【分析】根据相切得到 ， ，然后利用勾股定理计算长度得
到半径，最后求体积即可.
【详解】
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！取半球的球心为 ，三个小球的球心分别为 ，
则有 ，取 的重心 ，则可有 ，
在 中易求得 ，
则有 ，
则半球的半径 ，
半球的容积 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）如图，已知在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求 的值；
(2)若 为边 上一点，且 ，求 的长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理可得 ，从而可得 ，即
，即可求解；（2）利用余弦定理及向量的数量积求出 ，利用平面向量基本定理表示出
，再平方求解．
【详解】（1）由题意知， ，
故 ．
又 ，故 ，而 ，则 ．
（2）在 中， ，
故 ．
，
故
故 ．
16．（15分）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中
只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项
有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一
套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为 ，有3个选项正确的概率
为 .在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作
为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；
(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③
从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若 ，以最后得分的数学期望为决策依
据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1) (2)②
【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可，
（2）分别求解三种情况下的期望，即可比较期望大小求解.
【详解】（1）根据题意可知， ，
若该题有2个选项正确，则 ，
若该题有3个选项正确，则 ，
则分布列如下：
X 0 4 6
P
所以 ，
解之得 ；
（2）不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件 ，
“有3个选项正确”为事件 ，
若小明选择方案①，
记小明该题得分为 ，则 的可能取值为2，3，对应概率为：
，
故 ；
若小明选择方案②，
记小明该题得分为 ，则 的可能取值为 ，对应概率为：，
，
故 ，
若小明选择方案③，
记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为 ，对应概率为：
，
.
故 ，
，
故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.
17．（15分）已知四棱锥 的底面 是直角梯形，
， ，平面 平面 ，点 在
上， ．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求 的值；
(2)若四棱锥 的体积是 ，求二面角 的余弦值
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先证 ，再在直角梯形 中，根据已知条件，分别求出 ，
的长度，可求 的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法求二面角的余弦.
【详解】（1）过点 作直线 于点 ，因为平面 平面 ，所以 平
面 ， 平面 ，所以 ，所以 ．
由四边形 是直角梯形，且 ．
在直角 中， ，可得 ，从而 是等边三
角形， ，所以 ．
从而 ，
所以
（2）因为 ，所以 是 的中点，连接 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
，所以 ．以 为原点，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，在等边
中， ，如图，
，可得
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
解得 ，法向量 ，
令 得， ，
而 是平面 的一个法向量，
所以二面角 的余弦值 ．
18．（17分）已知函数 ，
(1)已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 x=−1对称，试求 ；
(2)证明 ；
(3)设 是 的根，则证明：曲线 在点 处的切线也是曲线
的切线.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1) .(2)证明见解析(3)证明见解析
【详解】（1）因为 的图象与 的图象关于直线 x=−1对称，所以
.
又因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
因此 .
（2）证明：
解法1：当 时， 且 ，此时 ；
当 时， 且 ，此时 ，
故综上 .
解法2： ，令 ， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
因此当 时， ； 当 ；
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
（3）证明：不妨取曲线 上的一点 ，设 在 处的切线即是在 处的切线，
则 ，得 ，则 的坐标 ，
由于 ，所以 ，
则有 ，
综上可知，直线 的斜率等于 在 处的切线斜率和 在 处的切线斜率，
所以直线AB既是曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.
19．（17分）给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为 的圆为
椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F( ，0)，其短轴上的一个端点到F的距离
为 .
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l，l 交“准圆”于点
1 2
M，N.证明：l⊥l，且线段MN的长为定值．
1 2
【答案】（1）椭圆方程为 ，“准圆”方程为x2＋y2＝4；（2）证明见解析.
【详解】（1）∵椭圆C的一个焦点为
其短轴上的一个端点到F的距离为 .
∴ ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ，
∴椭圆方程为 ，
∴“准圆”方程为x2＋y2＝4.
（2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x
＝± ，
当l1：x＝ 时，l1与“准圆”交于点( ，1)，( ，－1)，
此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；
同理可证当l1：x＝－ 时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2斜率存在时，
设点P(x0，y0)，其中 .
设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为
y＝t(x－x0)＋y0，
∴由
得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.
由Δ＝0化简整理，得(3－ )t2＋2x0y0t＋1－ ＝0，
∵ ，∴有(3－ )t2＋2x0y0t＋( －3)＝0.
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，
∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程(3－ )t2＋2x0y0t＋( －3)＝0，
∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．
综合①②知，l1⊥l2.
∵l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直．
∴线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，|MN|＝4，
∴线段MN的长为定值．22
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