文档文本内容
保密★启用前
2025届新高三阶段性检测01（能力版）
（范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数）
（新课标卷）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．如图，已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.
【详解】依题意，集合 ，而 ，则 ，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为 .
故选：B2．已知函数 ，则“ 是函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.
【详解】当 时， ，故函数 为偶函数，即充分性成
立；
当 为偶函数时， ，此时 不一定成立，即必要性不成立；
所以“ 是函数 为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D.
【详解】对A，当 时，则 ，故A错误；
对B，当 时，则 ，则 ，故B错误；
对C，当 时，根据对数函数单调性知 ，故C错误；
对D，若 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故D正确.
故选：D.
4．遗忘曲线（如图）由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以
利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了
小时，那么记忆率 近似的满足 .则记忆率为 时，所经过的时间约为
（ ）
(参考数据: )
A．2小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
【答案】C
【分析】令 ，代入函数，结合指数对数的运算求解即可.
【详解】由题意，当 时， ， ，
.
故选：C.
{log x,0<x≤2
5．已知函数f (x)= 2 ，若f (a+1)−f (2a−1)≥0，则实数a的取值范围是
2x−3,x>2
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解函数 的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解.
【详解】因为当x∈(0,2]时，f (x)=log x是单调递增函数，此时f (x)≤f (2)=1，
2当x∈(2,+∞)时，f (x)=2x−3是单调递增函数，此时f (x)>f (2)=1，
{log x,0<x≤2
所以f (x)= 2 是定义在(0,+∞)上的单调递增函数，
2x−3,x>2
所以若f (a+1)−f (2a−1)≥0即f (a+1)≥f (2a−1)，
1
则a+1≥2a−1>0，⇒ <a≤2，
2
故选：D.
6．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由给定的函数的图象，结合函数的单调性与奇偶性性质，结合排除法，
即可求解.
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】对于A中，函数 ，当 时，可得 ，
所以 ，不满足图象，所以A错误；
对于C中，函数 的定义域为 ，
又由 ，所以函数 为偶函数，
此时函数 的图象关于 轴对称，所以C错误；
对于D中，函数 ，当 时，可得 ，
由反比例函数的性质，可得函数 在 上为单调递减函数，所以D错误，
经检验，选项B中函数 满足图中的性质，所以B正确.
故选：B.
7．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连
接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要
的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．
时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健
康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与
现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后
沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，
仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆
锥，测得圆锥底面圆的直径为 ，沙漏的高（下底面圆心的距离）为 ，通过圆锥的
顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（ ）A． B．41cm2 C． D．43cm2
【答案】B
【分析】法一，根据条件得到S=√16+x2 ⋅√25−x2，再利用基本不等式，即可求出结果；
41
法二，设∠APB=θ，根据条件得到S = sinθ，即可求出结果.
△PAB 2
【详解】由沙漏的对称性，通过圆锥顶点作沙漏的截面，上下两部分截面为全等的三角形，
只需要讨论通过顶点作圆锥的截面的最大值，
如图，在圆锥 中，过顶点 作截面为 ，作 于 ，延长 交底面圆交于
点 ，连接PM,OA,OB,|PO|=4cm,|OA|=5cm，
设|OM|=xcm，
|PM|=√|PO|2+|OM|2=√16+x2,|AB|=2√|OB|2−|OM|2=2√25−x2，
1 16+x2+25−x2 41
S = |AB||PM|=√16+x2 ⋅√25−x2≤ = ，
△PAB 2 2 2
3
当且仅当16+x2=25−x2时，“=”号成立，解得x= √2cm，所以沙漏截面面积最大值为
2
41cm2，
故选：B．
方法二：设∠APB=θ,|PA|=√|PO|2+|OA|2=√16+25=√41，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 41
所以S = |PB‖PB|sinθ= sinθ，
△PAB 2 2
41+41−100 9
当 为底面圆直径时， 取得最大，此时cosθ= =− ， 最大为钝角，
2.41 41
41
所以当 时，S = ，沙漏截面面积最大值为41cm2，
△PPB 2
故选：B．
8．已知函数 及其导函数 在定义域均为 且 是偶函数，其函
数图象为不间断曲线且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意得函数 在 上单调递增，因为 ，所以
，得 ，求解即可．
【详解】由 ，得 ，
则当 时，得 ，
，
则当 时， ，得函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，由于 是偶函数，则 ，
而函数 在 上单调递增，得 ，
得 ，
得 ，
故选：C
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若 ，则
B．命题 的否定是：
C．若 且 ，则
D．若 ，则实数
【答案】AB
【分析】对A，根据不等式的性质推导即可；对B，根据特称命题的否定为全称命题判断
即可；对C，利用作差法判断即可；对D，举反例判断即可.
【详解】对A， ，则 ，又 ，则 ， ，故A
正确；
对B，命题 的否定是： ，故B正确；
对C， ，因为 且 ，故 ，即
，故C错误；
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对D，当 ， 时， 不成立，故D错误；
故选：AB
10．下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.
【详解】选项A：当 时， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故选项A正确；
选项B：由 得 ，所以 ，故选项B正确；
选项C：令 ，满足 ，但 不成立，故选项C
错误；
选项D：由 得 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选项D正确．
故选：ABD.
11．已知定义在实数集R上的函数 ，其导函数为 ，且满足
， ，则（ ）
A． 的图像关于点 成中心对称
B．
C．
D．【答案】BCD
【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质
进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.
【详解】对A：令 ，则有 ，即 ，
令 ，则有 ，又f (1)=0，故 ， 不关于(1,0)对称，
故A错误；
对于B，令 ，则有 ，
两边同时求导，得 ，
令 ，则有 ，故B正确；
对C：令 ，则有 ，即 ，
则
，故C正确；
对D：令 ，则有 ，即 ，
则 ，即 ，
又 ，故 ，
则 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．设集合 .若 且 ，则 .
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】6
【分析】根据集合间的关系可知 ，可得 ，再由 求得 ，即可得解.
【详解】因为集合 ，
若 ，则 且 ，可得 ，解得 ，
即有 ，又 ，所以 ，所以 .
故答案为：6
13．已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可.
【详解】因为 且 ，所以
，当且仅当 时取等号．
因为不等式 恒成立，
所以 ，解得 ．
故答案为： .
14．设函数 在 上存在导数 ，对于任意的实数 ，有 ，当
时， .若 ，则实数 的取值范围是
.
【答案】【分析】构造函数 ，根据题意和导数求得函数 在 上单调递
减，再由 ，得到 为偶函数，结合对称性得到 在 上单调递增，
把不等式 ，转化为 ，即可求解.
【详解】令函数 ，
因为 ，时 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
又因为 ，
所以函数 ，所以 为偶函数，
根据偶函数的对称性，可得 在 上单调递增，
若
则 ，
整理得 ，所以 ，
两边平方可得 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）已知 ： ， ： .
(1)若 是真命题，求对应 的取值范围；
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；
（2）由 是 的必要不充分条件，可得 ，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）∵ ： 是真命题，∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围是 .
（2）由（1）知： ： ， ： 即
因为 是 的必要不充分条件，所以 ，解得： .
综上所述 的取值范围是 .
16．（15分）已知函数f (x)=lnx−ax2+ax.
(1)当 时，求曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程.
(2)若函数g(x)=f (x)−ax有两个零点，求实数 的取值范围.
( 1 )
【答案】(1) (2) 0,
2e
【分析】（1）求出f′(1)、f (1)，利用直线的点斜式方程可得答案；
lnx lnx
（2）转化为
y=a,y=
x2
的图象有2个交点，令ℎ(x)=
x2
(x>0)，利用导数求出ℎ(x)
值域，结合图象可得答案.
1
【详解】（1）当 时，f (x)=lnx−2x2+2x，所以f′(x)= −4x+2,
x
f′(1)=1−4+2=−1，f (1)=ln1−2+2=0，所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y=−(x−1)，
即 ；
（2）g(x)=f (x)−ax=lnx−ax2(x>0)，
由g(x)=0得 ，
lnx
y=a,y=
的图象有2个交点，
x2
lnx
令ℎ(x)= (x>0)，
x2
1−2lnx
ℎ ′(x)=
x3
，当 时，ℎ ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
1
当 时，ℎ ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(√e)= ，
2e
且 时，ℎ(x)>0，ℎ(1)=0，
所以0<x<1时，ℎ(x)<0，所以ℎ(x)的大致图象如下，
所以若函数g(x)=f (x)−ax有两个零点，
1
则0<a< ，
2e
( 1 )
所以实数 的取值范围为 0, .
2e
17．（15分）已知 ，且 ．
(1)求 的最小值；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数c的取值范围．
【答案】(1)2(2)
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）解法一利用换元法结合二次函数求出最值；解法二由柯西不等式求出最值；
（2）解法一应用绝对值三角不等式和基本不等式；解法二应用绝对值三角不等式和柯西不
等式证明即可.
【详解】（1）解法一
因为 ， ，且 ，所以 ， ，
所以 ，
当 时， 取得最小值2．
解法二
由柯西不等式得 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 ， 时取等号，故 的最小值为2．
（2）解法一
，
当且仅当 时等号成立，
故不等式 恒成立，
即 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 ，所以 ，解得 或 ，
故实数c的取值范围是 ．
解法二
，当且仅当 时等号成立，
故不等式 恒成立，
即 ，
由柯西不等式得 ，
即 ，
当且仅当 ， 时取等号，所以 ，解得 或 ，
故实数c的取值范围是 ．
18．（17分）已知函数 .
(1)求 ;
(2)探究 的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论;
(3)若 奇函数，求满足 的 的取值范围.
【答案】(1) (2) 在R上单调递增，证明见解析(3)
【分析】（1）根据函数 的解析式，代入运算，即可求解.
（2）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）由 为奇函数，列出方程求得 ，把不等式转化为 ，结合函数
的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 .
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）解：函数 在 上单调递增；
证明如下：因为函数 的定义域为 ，任取 ，且 ，
则 ，
因为函数 在 上为单调递增函数，且 ，
所以 ，且 ，所以 ，即 ，
所以，函数 在 上单调递增.
（3）解：因为函数 为奇函数，所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
又由 ，即为 ，
又因为函数 为单调递增函数，所以 ，所以 的取值范围为 .
19．（17分）已知集合 ， ， ，若 ， ， 或
，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合 和集合 是否具有“包容”性；
(2)若集合 具有“包容”性，求 的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个， ，试确定集合C．
【答案】(1)集合 不具有“包容”性，集合 具有“包容”性
(2)1
(3) ， ， ， 或．
【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；
（2）根据“包容”性的定义，能得到 ，分类讨论，得出a和b的值，即可得出
结果；
（3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且 ，再由条件 ，推
出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求
出结果.
【详解】（1）（Ⅰ）集合 中的 ， ，
所以集合 不具有“包容”性．
集合 中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属
于集合 ，所以集合 具有“包容”性．
（2）（Ⅱ）已知集合 具有“包容”性，记 ，则 ，
易得 ，从而必有 ，
不妨令 ，则 ， 且 ，
则 ，
且 ，
①当 时，若 ，得 ，此时 具有包容性；
若 ，得 ，舍去；若 ，无解；
②当 时，则 ，由 且 ，可知b无解，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 ．
综上， ．
（3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且 ，又 ，
且C中既有正数也有负数，
不妨设 ，
其中 ， ， ，
根据题意 ，
且 ，
从而 或 ．
①当 时， ，
并且由 ，得 ，由 ，得 ，
由上可得 ，并且 ，
综上可知 ；
②当 时，同理可得 ．
综上，C中有6个元素，且 时，符合条件的集合C有5个，
分别是 ， ， ，
或 ．
