文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题08 极值点偏移问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·全国·高考真题（理））已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层
次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明
不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调
性有机结合，设计综合题.
2.对于某些涉及函数零点的不等式证明问题，有时可以根据极值点的情况，采取特定处理方式，老师们称为
“极值点偏移问题”.所谓极值点偏移是指：对于函数 在区间 内只有一个极值点 ，方程 的
解分别为 ，且 ，（1）若 ，则称函数 在区间 上极值点 偏移；
（2）若 ，则函数 在区间 上极值点 左偏，简称极值点 左偏；（3）若 ，
则函数 在区间 上极值点 右偏，简称极值点 右偏．（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 结论x ＋x >2x 型不等式证明问题
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【核心知识】
对称化构造法：对结论x＋x>2x 型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)．
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【典例分析】
典例1.【多选题】（2021·江苏·淮阴中学高三阶段练习）已知关于 的方程 有两个不等的正根 ，
且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
典例2.（2021·辽宁丹东·高三阶段练习）已知 ， ，
(1)若 恒成立，求 的最大值
(2)若 ， 是 的两个零点，且 求证：
典例3.（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求函数 在 最大值；
（2）当 时，设函数 的两个零点为 ，试证明： ．
典例4.（2022•汕头一模）已知函数 有两个相异零点 ， ．
（1）求 的取值范围；（2）求证： ．
【规律方法】
对称法解决极值点偏移的基本原理是利用函数的单调性，把要证明的 （ 是极值点）转化为证
明 ，再转化为 ，又根据 ，可以转化为证明
，而 是固定的， 是变量，这样就把一个双变量不等式转化为了单变量不等式，从
而以 为未知量来构造函数证明不等式即可.
考向二 结论 型不等式证明问题
【核心知识】
对称化构造法：对结论 型，构造函数 ，通过研究F(x)的单调性获得不等式.
【典例分析】
典例5.（2021·全国·高三阶段练习（理））有同学在研究指数函数 和幂函数 的图像时，发现它们
在第一象限有两个交点 和 ．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同
学的猜想．
(1)函数 与函数 的图像在第一象限有且只有一个公共点；
(2)设 ， ，且 ，若 ，则 ．其中 为自然对数的底，
典例5. （2022·广东深圳·高二期末）设函数 ，已知直线 是曲线 的一条切线.
(1)求 的值，并讨论函数 的单调性；
(2)若 ，其中 ，证明： .典例6.（2021·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）求证 且 ；
（3）当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，求证
考向三 双变量不等式不等式证明问题
【核心知识】
比值代换法：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证
明．
【典例分析】
典例7.（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（文））已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x、x，试证明xx＞e2．
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典例8.（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 在 上有两个极值点 、 ．
①求实数 的取值范围；
②求证： ．
典例9. （2021·江苏·高二专题练习）已知函数 ， .
(1)若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)若函数 在定义域内有两个不同的极值点 ， .
（i）求实数a的取值范围；（ii）当 时，证明： .
典例10.（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)讨论 极值点的个数．
(2)若 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
典例11.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 上有两个不相等的零点 ，求证： .
典例12. 已知函数f(x)＝xe－x.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若x≠x 且f(x)＝f(x)，求证：x＋x>2.
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