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第11 讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题
【知识点总结】
一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 为自然对数的底数，
曲线 在 处切线的倾斜角的正切值为 ．
（1）求 的值；
（2）证明： ．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的函数
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 .（1）求函数 的极值；
（2）若对任意的 都有 成立，求c的取值范围.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当 时，求曲线在 处的切线方程；
（2）若 ，且 在 上的最小值为0，求 的取值范围.
例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数 （ ）
（1）求 在 处的切线方程；
（2）当 有3个零点时，求 的取值范围．
例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处切线的方程；
（2）求 的单调区间；
（3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范
围.例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知 ，函数
.（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处的切线互相垂直, 求 的值；
（2）设 ,若对任意的 ,且 ,都有 ，求 的
取值范围．
【技能提升训练】
1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数 在 处的极值为2，其中
．
（1）求 ， 的值；
（2）对任意的 ，证明恒有 ．
2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数 ， ，曲线
与曲线 在 处的切线互相平行．
（1）求 的值；
（2）求证： 在 上恒成立．
3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数 .（1）若函数 在定义域内为增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 且 ，求证： .4．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知 ， ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，证明： ．
5．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数 （a是常数）.
（1）当 时，求 的单调区间与极值；
（2）若 ，求a的取值范围；
6．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数 在 与 处都
取得极值．
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
7．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 时，证明： 时，当 恒成立.8．（2019·山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知 .
（1）求 的单调区间；
（2）若存在 使 成立，求实数 的取值范围.
9．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））已知函数 在 处取得极值.
（1）求 在 上的最小值；
（2）若函数 有且只有一个零点，求b的取值范围.
10．（2021·安徽安庆·一模（理））函数 .
（1）讨论函数的极值；
（2）当 时，求函数 的零点个数.
11．（2019·山东日照·高三期中（理））已知函数 ．(1)证明：当 恒成立；
(2)若函数 恰有一个零点，求实数 的取值范围．12．（2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数 ， ，
曲线 与曲线 在 处的切线互相垂直，记 .
（1）求实数k的值；
（2）若方程 有两个不相等实根，求 的取值范围；
（3）讨论函数 的单调性.
13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数 在点 处的切线方程为
.
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点 可做曲线 的三条切线，求实数m的取值范围.
14．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知函数 .
（1）若 在 上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）记 的两个极值点为 ， ，求证： .
15．（2022·全国·高三专题练习（文））证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 .若函数在定义域上单调递增，求实数 的取值范围.
17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数 （ 是正常数）.
（1）当 时，求 的单调区间与极值；
（2）若 ， ，求 的取值范围；
18．（2021·福建省龙岩第一中学高三期中）已知函数 的图像在点 处的切
线方程为 .
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，证明： 对 恒成立.
