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2025届新高三阶段性检测02（能力版）
（范围：检测范围1至三角函数与解三角形、平面向量、数
列）
（新课标卷）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意根据集合 中元素的特点，可得集合 中的元素 在集合 中，从而可
得答案.
【详解】由 ，集合 中的元素是被3整除余2的整数.
则集合 中的元素 在集合 中
所以 .
故选：C.
2．已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】将已知条件化简可得 ，将 展开后利用基
本不等式即可求解.
【详解】由 可得 ，即
所以 ，所以
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立取得最小值2．
故选：C.
3．如图为函数 的部分图象，则（ ）
A．函数 的周期为
B．对任意的 ，都有
C．函数 在区间[0,5π]上恰好有三个零点
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．函数 是偶函数
【答案】C
【分析】A选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A错误；
B选项，计算 ，B错误；
C选项，整体法得到 ，计算出 ，C正确；
D选项，计算出 为奇函数，D错误.
【详解】从图象可看出 的最小正周期为 ，
因为 ，所以 ，解得： ，
故A错误；
，代入 ，
，
因为 ，所以 ，
故 ，
，
故不满足对任意的 ，都有 ，B错误；
，则 ，
由 可得： ，可得： ，故函数 在区间[0,5π]上恰好有三个零点，C正确；
，为奇函数，D错误.
故选：C
4．若 = ， = ， 与 不共线，则∠AOB平分线上的向量 为
A． B． C． D． ， 由 确定
【答案】D
【分析】利用向量加法平行四边形法则以及菱形性质即可表示向量 .
【详解】解：因为菱形对角线平分对角，所以 与∠AOB平分线所在向量共线，
所以 ， 由 确定，
故选：D.
5．已知 为等差数列 的前 项和， ，则 （ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质和前 项和公式运算.
【详解】因为 ，根据等和性可得
，
则 ，
故选：B
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6．2021年诺贝尔物理学奖揭晓，获奖科学家真锅淑郎(Syukuro Manabe)、克劳斯·哈塞尔
曼(Klaus Hasselmann)的杰出贡献之一是建立了地球气候物理模型，该模型能够可靠地预测
全球变暖情况.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化
碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的
含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约(参考数据： )（ ）
A．1℃ B．2℃ C．3℃ D．4℃
【答案】C
【分析】设目前大气中二氧化碳的含量为a，解方程 即得解.
【详解】设目前大气中二氧化碳的含量为a.由题意，知当二氧化碳的含量为 时，地球
平均温度上升0.5℃，当二氧化碳的含量为 时，地球平均温度上升 ℃，依次
类推，当大气中二氧化碳的含量为 时，地球平均温度上升 ℃.
令 ，即 ，方程两边同时取常用对数，则 ，
所以到2050年，地球平均4温度将上升约 (℃).
故选：C.
7．在 中， 的面积为S， ， ，且满足
，则该三角形的外接圆的半径R为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】先利用三角形的面积公式和余弦定理得到 ，再根据向量的数量积的运算，
求得 ，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得 ，进而得到 ，再利用正
弦定理，即可求解球的半径.
【详解】由 ，
得 ，
利用余弦定理得： ，即 ，又 ，得 ；
由题意，因为 ，所以 ．
由余弦定理得： .又因为 ， 所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， 所以 ，
故选：B.
8．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 .若在
区间 上， 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”.已知实数 是常数，
.若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为
“凸函数”，则 的最大为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】B
【分析】根据题意，求出 ，问题转化为 恒成立，进而解得答案.
【详解】由题意， ， ，根据“凸函数”的定义，原
问题可以转化为： 即 对任意的 恒成立，将m视作
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！自变量，x视作参数，则 ，解得 ，解得 ，由
，故 .
故选：B.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．已知平面直角坐标系中三个点 ， ， ，点 为线段 上靠近
的三等分点，下列说法正确的是（ ）
A． 是钝角三角形 B． 在 上的投影向量为
C． D．若四边形 为平行四边形，则点 为
【答案】ACD
【分析】求出 ， ．可推得 ，从而得出A项；根据投影
向量的求解形式即可判断B项；可求出 ，根据数量积的坐标表示计算后，
可判断C项；由平行四边形可得 ，根据向量相等可得到点 坐标.
【详解】三点位置如图所示， ， ．
因为 不共线，所以 三点可构成三角形，
又 ，所以 为钝角，A项正确；因为 ，所以 在 上的投影向量为
，B项错误；
.因为，点 为线段 上靠近 的三等分点，
所以， ， ，
所以， ，
所以有 ，C项正确；
设 ，则 ，
因为若四边形 为平行四边形，所以 ，即 ，
即 ，解得 ，所以 .D项正确.
故选：ACD.
10．在 中，角 所对的边依次为 ，已知 ，则下
列结论中正确的是（ ）
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．
B． 为钝角三角形
C．若 的外接圆半径是 ，内切圆半径为r，则
D．若 ，则 的面积是
【答案】BC
【分析】根据条件，令 ，选项A，将 代入，
得 ，即可判断A错误；选项B，利用余弦定理得 ，
即可求解；选项C，利用正弦定理得 ，再利用等面积法得 ，即可求解；选
项D，根据条件得 ， ，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理知 ，
令 ，
对于选项A， ，所以选项A错误，
对于选项B，因为 ，所以角 为钝角，故选项
B正确，
对于选项C，由选项B知 ，由正弦定理得 ，
所以 ，得到 ，
又 ，得到 ，所以 ，故选项C正确，对于选项D， ，得到 ，所以 ，又 ，
所以 的面积为 ，故选项D错误，
故选：BC.
11．设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 在区间 上为增函数 D．方程 仅有4个实数解
【答案】ACD
【分析】根据给出的函数的性质，做出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.
【详解】因为 为奇函数，所以 的图象关于点 中心对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称．
可画出 的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为 ）：
对于A，由图可知 的最小正周期为 ，所以 ，故A正确．
对于B， 的图象关于点 中心对称，故B错误．
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于C，由图可知 在区间 上单调递增，故C正确．
对于D， ， ， ， ，
由图可知，曲线 与 的图象有4个交点，所以方程 仅有4个实
数解，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知 ，则 ．
【答案】 /
【分析】借助分段函数的性质计算即可得.
【详解】 ，
则 .
故答案为： .
13． ．
【答案】
【分析】根据两两角和差的正切公式，化简求值，即可得答案.
【详解】 ，
又 ，
所以 ，
所以，
故答案为：
14．已知f′(x)是定义域为 的函数 的导函数，且 ，则
不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】由已知，设 ，可得函数 单调递减，则由 ，可
得 ，即为不等式 的解集.
【详解】设 ， ，
所以函数 在 上单调递减，
，
即 ，得 ，
所以 ，所以不等式的解集为 ．
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1) 或 (2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果；
（2）根据条件得到 ，再利用 的图象与性质，即可求出结
果.
【详解】（1）因为 ，由 ，得到 ，
解得 或 ，
即 或 ，又 ，
所以 或 .
（2）因为
，令 ，因为 ，得到 ，
由 的图象与性质知， ，所以 ，
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
16．（15分）已知数列 满足 ．
(1)证明：数列 是等差数列．
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析.(2) .
【分析】（1）通过构造 证明即可；
（2）采用裂项相消法求解出 即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以 为等差数列.
（2）由 ，则 为首项为 ，公差为 的等差数列；
所以 ，即 ， ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 .
17．（15分） 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的角平分线与 交于点 ，求 .
【答案】(1) .(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.
【详解】（1）依题意，由正弦定理可得
所以 ，
又
所以 ，
因为B∈(0,π)，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）解法一：如图，由题意得， ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
解法二：如图， 中，因为 ，
由余弦定理得， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
18．（17分）已知函数 ， 为 的导函数.
(1)若 ，求证： ；
(2)若对任意 ， ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由 可求得 ，再根据基本不等式即可得出证明；
（2）对函数求导并对参数 进行分类讨论得出 在 上的单调性，得出其在 上
的最小值解不等式即可求得 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
此时 ，所以 ， ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
当且仅当 时，等号成立；
即
（2）易知 ,
①因为 ，若 或 ，则 ， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 或 ；
②若 ，则由 ，得 ，列表：
f′(x) 0
所以 ，所以 ；
③若 ，则 ， ，所以 在 上递减，
所以 ，此时无解；
综上， 的取值范围 .
19．（17分）对于向量 ，若 ， ， 三数互不相等，令向量
，其中 ， ， ， .
(1)当 时，试写出向量 ；
(2)证明：对于任意的 ，向量 中的三个数 ， ， 至多有一个为0；
(3)若 ，证明：存在正整数 ，使得 .【答案】(1) (2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义依次写出 ，根据周期写出 ；
（2）反证法，假设 中 ， ， 有不止1个为0，结合分类讨论及已知推出矛盾即可；
（3）令 并根据 在 上的性质必存在 使 ，再结合
分类讨论确定必存在 中有一项为0，而另两项相等，即可得结论.
【详解】（1） ， ， ，即 ；
， ， ，即 ；
， ， ，即 ；
， ， ，即 ；
， ， ，即 ；
， ， ，即 ；
， ， ，即 ；
......
由上，从 开始，每3个向量出现重复一个向量，而 .
（2）假设 中 ， ， 有不止1个为0，
若 且 ，则 ，故 ，
此时 矛盾；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！若 且 ， ，
所以 为定值，而 ， ， 三数互不相等，
当 ，则 ，
不妨令 ，则 ，显然
，即 ，
所以 ，
以此类推得： ，......， ，与 ， ， 三数互不相等矛盾；
综上，对于任意的 ，向量 中的三个数 ， ， 至多有一个为0；
（3）令 ，又 ， ， 且 ，
所以 ，且 ，
由题意， ，且 ，故 在 上不可能单调递减，即必存在 使
，
根据 的定义， 中 必有一个0，
由（2）知： 中有且仅有一个为0，令 ，
若 ，不妨设 ，则 ，
则 ，
所以 ，同理 ，
所以 ，又 ，故此情况不可能一直出现（至多有 次），所以一定能找到 ，使得 ；
若 ，则 ， ， ， ，...
所以存在正整数 ，使得 ；
综上，存在正整数 ，使得 .
20
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