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2025届新高三阶段性检测02（基础版）
（范围：检测范围1至三角函数与解三角形、平面向量、数
列）
（新课标卷）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合 ，再根据交集运算即可.
【详解】由 ，得 ，所以 ,
所以 .
故选：D.
2． ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】由已知可得 ，利用基本不等式求 的最小值.【详解】 ，则 ，且 ,
整理得到 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时
取等号.
即 的最小值为 .
故选：C.
3．函数 的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 .
由函数图象可知： ；
又 ，所以 ，又 .
故选：B
4．如图，梯形 的腰 的中点为 ，且 ，记 ，则
（ ）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到 ，即可求解.
【详解】因为 ，又 ，所以
，
又 为腰 的中点，所以 ，
故选：A.
5．设 为等差数列 的前n项和，若 ， ，若 时， ，则 等于
（ ）
A．11 B．12 C．20 D．22
【答案】D
【详解】设公差为 ，
由 ，得 ，所以 ，
由 ，得
故 ，
则 ，因为 ，
所以 ，
化简得 ，解得 或 （舍去）.
故选：D.
6．正整数 的倒数的和 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然
没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 很大时，
.其中 称为欧拉-马歇罗尼常数， ，至今为
止都不确定 是有理数还是无理数.设 表示不超过 的最大整数，用上式计算
的值为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】设 ，分析可知数列 为递增数列，结合题中数据估
算可知 ，即可得结果.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，
可知数列 为递增数列，
且 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
可知 ，所以 .
故选：C.
7．已知平行四边形 中， ， ， 分别为边 ， 的中点，若
，则四边形 面积的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设 ，写出各个点的坐标，将
转换成条件等式 ，结合平行四边形面积公式以及基本不等式
即可求解.
【详解】以点 为原点， 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，从而 ，即 ，等号成立当且仅当 ，
四边形 面积的表达式为 ，
从而 ，等号成立当且仅当 ，
所以四边形 面积的最大值为 .
故选：D.
8．给出定义：若函数 在D上可导，即 存在，且导函数 在D上也可导，则
称 在D上存在二阶导数，记 .若 在D上恒成立，则称 在
D上为凸函数.以下四个函数在 上不是是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可.
【详解】对于A： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故A错误；
对于B： ， ， ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 在 上恒有 ，故B错误；
对于C： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故C错误；
对于D： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故D正确.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且
，则（ ）
A． ， ， 成等比数列 B． 为钝角三角形
C． ， ， 成等差数列 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】由正弦定理可判断A；利用正弦定理、三角形的性质可判断B；根据 ， ，
成等差数列求出 ，再由余弦定理可判断C；求出 可判断D.
【详解】对于A， ，由正弦定理可得 ，且 ，
则 ， ， 成等比数列，故A正确；
对于B，将 ，利用正弦定理化简得： ，
即 ， ，利用正弦定理化简得： ，， ， ，所以 角最大，
由 得 角为钝角，故B正确；
对于C，若 ， ， 成等差数列，则 ，且 ，可得 ，
则由余弦定理可得 ，故C错误；
对于D，若 ，可得 ， ，则 ，由 ，B∈(0,π)，
可得 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD．
10．已知向量 ， ， 为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．已知向量 ， ，则
C．若 ，则 和 在 上的投影向量相等
D．已知 ， ， ，则点A，B，D一定共线
【答案】CD
【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案.
【详解】对于A，若 ， ，则 与 可能平行，故A错误；
对于B，设 ，则 ，解得 ，所以 ，
故B错误；
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于C，若 ，则 ，所以 ，所以
和 在 上的投影向量相等，故C正确；
对于D，因为 ， ，所以 ,所以点A，B，D一
定共线，故D正确.
故选：CD.
11．已知函数 ，对于任意 ，有
，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上共有6个极值点
【答案】ACD
【分析】由题意推导出周期，求出 的值，再利用函数关于 对称，可求出 的值，再
利用三角函数的对称性和单调性逐一分析选项即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因此 ，
从而 ，注意到 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 的图象关于直线 对称，从而 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 的最小正周期为 ，故A正确；
因为 ，所以函数 的图象不关于点 对称，故B错误；
当 时， ，故函数 在 上单调递减，故C正确；
令 ，得 ，
令 ，得 ，故 ，
易知函数 在 单调递增，
在 单调递减，
故函数 在 上共有6个极值点，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知曲线 与直线 相切，则 ．
【答案】2
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组，消元构造函数，再利用导数及
零点存在性定理求解即得.
【详解】由 ，求导得 ，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设直线 与曲线 的切点为 ，
则 ，整理得 ，
令 ，求导得 ，由 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ， ， ，
则函数 有唯一零点，该零点在 内，又 ，
于是方程 的解为 ，所以 .
故答案为：2
13．已知 ，则 .
【答案】
【分析】直接用和差角公式展开再用二倍角公式计算即可.
【详解】
.
故答案为： .
14．若实数 ， 满足 ，则 .【答案】
【分析】先利用对数的运算法则进行化简， ，右边使用不等式
，根据不等式的传递性， ，换元后
利用函数的单调性得 ，所以只能 ，再根据取等条件
求出 即可.
【详解】 ，
，即 ，
根据不等式得， ，
令 ，所以 ，
因为 ，所以 .
， ，
所以， 单调递增， 单调递减，
所以 ，即 ， ，
所以只能 ，即 ，
所以 ，当 成立，即 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！算步骤.
15．（13分）在 中，角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；
（2）由三角形的面积公式可得 ，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由余弦定理得 ，
因为B∈(0,π)，所以 .
（2）由（1）可知 ，
因为 的面积为 ，即 ，所以 ，
则 ，即 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
16．（15分）已知数列 ， 中， ， ， 是公差为1的等差数列，数列
是公比为2的等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列 的通项公式，再根据等比
数列的通项公式计算出数列 的通项公式，即可计算出数列 的通项公式；
（2）根据数列 的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公
式即可计算出前 项和 ．
【详解】（1）由题意，可得 ，
故 ， ，
数列 是公比为2的等比数列，且 ，
，
， ．
（2）由题意及（1），可得 ，
则
．
17．（15分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的值域．
(2)当 时，讨论 的单调区间．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1) (2)答案见解析
【分析】（1）当 时， ，求导分析单调性，极值，即可得出答案.
（2）求导得 ，分情况讨论 的符号， 的单调性.
【详解】（1）当 时， ，
，
令 ，得 或 ，所以在 上 单调递增，
在 上 单调递减，
所以 ，又 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 的值域为 .
（2） ，
当 时， ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时，令 ，得 或2，当 ，即 时，不符合题意，
当 ，即 时，在 上 单调递增，在 上 单调递减，
在 上 单调递增，
当 ，即 时，在 上 ， 单调递减，
在 上 单调递增，在 上 单调递减，
综上所述，当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递
减，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
18．（17分）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值域；
(2)若关于x的方程 有三个连续的实数根 ， ， ，且 ，
，求a的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将 看成整体角 ，由 求得 ，判断 的
单调性，求得函数 的值域，继而得 的值域；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）结合函数 的图象，得 和 ， ，求得
， ，由方程 即可求得 值.
【详解】（1）
因 ，令 ，则 ，
因 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，故 ．
则 ，∴f (x)的值域为 ．
（2）如图，因 的最小正周期为 ，
当 时，易得 ，不满足 ，故舍去，
当 时，依题意： ，代入 得： ．
由 ， ，可得 ， ．
由 ， ，代入 ，解得 ， ．
， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，故 的值为 ．
19．（17分）如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴， 分别是与 轴、
轴正方向同向的单位向量．若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标
系 中的坐标． 设 ，
(1)求 的模长；
(2)设 ，若 ，求实数 的值；
(3)若 ， ，有同学认为“ ”的充要条件是“
”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
【答案】(1) (2) (3)充要条件为
【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求 ；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）设 ，可得 ，可求实数 的值；
（3）由 ，可得 ，运算可知不正确.
【详解】（1）因为 ，
所以两边平方得 ，
故 ；
（2）因 ，由共线定理，存在唯一的实数 ，有
则 ，故 ，
所以 ；
（3）不正确
证明：因为 ，所以 ，即 ，
则有 ，
所以“ ”的充要条件是“ ”,
所以“ ”的充要条件是“ ”是不正确的.
