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2025届新高三阶段性检测01（基础版）
（范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数）
（新课标卷）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合 ，结合交集的概念即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B.
2．已知命题p：有些实数的相反数是正数，则 是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案.
【详解】已知命题 ：有些实数的相反数是正数，即 ，则 ，
故选：B.
3．下列函数最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断．
【详解】选项A， 时， ，最小值不是4，A错；
选项B，由基本不等式知 ，当且仅当 时等号成立，B正确；
选项CD中，当 时，函数最小值为0，CD均错．
故选：B．
4．若函数 在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，利用基本不等式可得.
【详解】 的定义域为(0,+∞)， ，
因为函数 在其定义域内单调递增，
所以 在(0,+∞)上恒成立，即 在(0,+∞)上恒成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 .
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：B
5．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
故选：D
6．大气压强 （单位： ）与海拔 （单位： ）之间的关系可以由 近似描述，
其中 为标准大气压强， 为常数.已知海拔为 两地的大气压强分别为
.若测得某地的大气压强为80 ，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到 ， ，两式相比得到 ，又由
和 ，得到 ，从而得到 ，即可求
解.
【详解】由题知 ①， ②，
① ②两式相比得到 ，
所以 ③，当 时，由 ④，② ④得到 ，
所以 ⑤，
由⑤ ④，得到 ，
解得 .
故选：C.
7．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：
， ， ，然后他们三人各用一句话来正
确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，
甲：此数为小于5的正整数；乙： 是 的必要不充分条件；丙： 是 的
充分不必要条件.则“ ”表示的数字是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
【答案】C
【分析】根据此数为小于5的正整数得到 ，再推出 是 的真子集， 是
的真子集，从而得到不等式，求出 ，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，所以 ，
.因为 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件，
所以 是 的真子集， 是 的真子集，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 且 ，解得 ，所以“ ”表示的数字是1或2，故 正确.
故选：C.
8．已知函数 不是常数函数，且满足对于任意的 ，
，则（ ）
A． B． 一定为周期函数
C． 不可能为奇函数 D． ，
【答案】C
【分析】令 ，和 ，可判定A错误；令 ， ，得到 ，
可判定C正确；令 ，得到 ，可判定D错误；结合函数 ，
可判定B错误．
【详解】由题意，函数 满足对于任意的 ， ，
令 ，解得 或 ．
若 ，令 ，则 ，
故 ， ，与题设不为常数函数矛盾，所以A错误；
所以 ，此时令 ， ，得 ，
即 ，所以 必然为偶函数，所以C正确；
再令 ，则 ，所以D错误；
例如，函数 符合题意，此时函数 在 上单调递增，且不为周期函数，所以B错误．
故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．已知集合 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． ， B．当 时，
C．当 时， D． ，使得
【答案】AB
【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：
根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.
【详解】对于选项A：因为 表示过定点 ，且斜率不为0的直线，
可知 表示直线 上所有的点，
所以 ，故A正确；
对于选项B：当 时，则 ， ，
联立方程 ，解得 ，所以 ，B正确；
对于选项C：当 时，则有：
若 ，则 ；
若 ，可知直线 与直线 平行，且 ，
可得 ，解得 ；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！综上所述： 或 ，故C错误；
对于选项D：若 ，由选项C可知 ，且 ，无解，故D错误．
故选：AB．
10．已知正数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.
【详解】对于A：∵ ， ， .
∴ ， .
当且仅当 ，即 ， ，取“ ”，∴A正确；
对于B： ，由（1）知 ，∴ .
∴ .∴B正确；
对于C： .
∴ ，∴C错误；
对于D： ，
当且仅当 ，即 ，取“ ”，∴D正确.
故选：ABD.11．已知函数 均为定义在 上的非常值函数，且 为 的导函数.对
且 ，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．
【答案】BCD
【分析】选项A，根据条件，令 ，即可求解；选项B，利用选项A中结果，令
，即可求解；选项C，令 ，得到 ，进而有
，再利用选项B中结果，得到 为奇函数，从而得出 的周期
为 的周期函数，即可求解；选项D，令 ，得到 ，用 代替
得到 ，利用C中结果，两式相加，即可求解.
【详解】因为 ，且f (1)=0，
对于选项A，令 ，得到 ，所以 或 ，
若 ，令 ，得到 ，得到 ，与题不合，
所以 ，故选项A错误，
对于选项B，由选项A知 ，令 ，得到 ，
即 ，又 的定义域为 ，所以选项B正确，
对于选项C，令 ，得到 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 关于点 中心对称，
即 ，所以 ，
又由选项B知， ，得到 ，即 ，
所以 为奇函数，令 ，由 ，得到 ，
则有 ，所以 ，
即 的周期为 的周期函数，所以
，故选项C正确，
对于D，令 ，得到则 ①，
用 代替 得到 ②，
由①+②得 ，
由选项C知 ，所以 ，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知集合 ， ，若 ，则a的值为
.
【答案】
【分析】求出 ，分类讨论 的值，根据集合元素的互异性进行检验是否符合 .
【详解】由 ， ，
则 ，又 ，即 ，
当 时， 变为 不满足集合元素的互异性，故不符合；
当 时，即 ，
当 时， ，故符合；
当 时， ，故符合；
因此 ，
故答案为： .
13．若 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意可借助 、 表示出 ，从而消去 ，再计算化简后结合基本不等式计算即
可得.
【详解】由 ，则 ，
即
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14．已知函数 有且只有一个零点，则ab的取值范围为
.
【答案】
【分析】由题意可得 只有一个解，从而可得 ， ，设
，利用导数求解即可．
【详解】依题意得 与 只有一个交点，即两曲线相切，
则 只有一个解，
，化简得 ，将其代入 得 ，
，即 ， .
，
则 ，
设 ，则 ，
在 单调递减， ，
的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）已知集合 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得
（2）先判断出 是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑
【详解】（1）由题意知 ，
因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，则实数 的取值范围是 ；
（2）因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 是A的真子集，
当 时， 解得 ；
当 时， （等号不能同时取得），解得 ，
综上， .
16．（15分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测
算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用 万元满足 ．
如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入
为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件
产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年
促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少?
【答案】该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万
元
【分析】首先将所获利润表示为 的函数，结合基本不等式即可求得最大值即取最大值时
的值.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】由题意将该厂家2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数为：
.
所以 ，
当且仅当 时“=”成立.
所以，该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万元.
17．（15分）已知函数 ， ．
(1)若 ，求使 的x的取值范围；
(2)当 时，设 ，求 在区间 上的最小值．
【答案】(1) (2)4
【分析】（1）解一元二次不等式可得结果.
（2）结合基本（均值）不等式求和的最小值.
【详解】（1）由题意可知： ．
所以，满足条件的x的取值范围是 ．
（2） ， ，
当 时， ，
（当且仅当 即 时取“ ”），
所以 ．
18．（17分）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；(2)求证：当 时， .
【答案】(1)极大值 ；极小值0.(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性、极值，计算即可；
（2）先利用导数计算函数的最小值 ，将问题等价变形，法一、构造
函数 ，利用导数求其单调性、最值即可；法二、构造函数 ，
利用二次求导判定其单调性计算即可.
【详解】（1）当 时，
令 得 或 ，当 变化时， 与 变化如下表：
-2
+ - 0 +
单调递增 单调递减 0 单调递增
故当 时， 取得极大值 ；
当 时， 取得极小值0.
（2）
令 ，则 ，当 变化时， 与 变化如下表：
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！- 0 +
单调递减 单调递增
故 .
要证当 时， .
法一：
只需证当 时， 即
令 ，则 在 上单调递减
故 ，即 式成立，原不等式成立.
法二：
只需证当 时， 即
令 ，则
令 ，则
在 上单调递减.
在 上单调递减，
即 式成立，原不等式成立.
19．（17分）已知实数集 ，定义 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求集合A；(3)若A中的元素个数为9，求 的元素个数的最小值．
【答案】(1) (2) 或者 .(3)13
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；
（2）根据 可得 ，然后分 中4个非零元素，符号为一
负三正或者一正三负进行讨论即可；
（3）分 中没有负数和 中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.
【详解】（1） ;
（2）首先， ；
其次 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记 ，不妨设 或者 --
①当 时， ，
相乘可知 ，从而 ，
从而 ，所以 ；
②当 时，与上面类似的方法可以得到
进而 ，从而
所以 或者 .
（3）估值+构造 需要分类讨论 中非负元素个数.
先证明 ．考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合 不变，故不妨设 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一： 中没有负数．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！不妨设 ，则
上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是 的元素，这表明
情况二： 中至少有一个负数．
设 是 中的全部负元素， 是 中的全部非负元素.
不妨设
其中 为正整数， ．
于是有
以上是 中的 个非正数元素：另外，注意到
它们是 中的5个正数．这表明
综上可知，总有 -
另一方面，当 时， 中恰有13
个元素. 综上所述， 中元素个数的最小值为13.
