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2025届新高三阶段性检测04（能力版）
（范围：检测范围1、2、3至复数、计数原理与统计概率）
（新课标卷）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用一元二次不等式的解法，求出集合 ，再利用集合的运算，即
可求解.
【详解】由 ，得到 ，即 ，
又 ，
所以
故选：D.
2．已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于
（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算法则可求 ，进而可得共轭复数 在复平面内对应的点所在
的象限.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，所以 .
所以复数 的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限.
故选：C.
3．若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D． 或
【答案】A
【分析】将已知等式经三角恒等变换，再两边同除以 可得关于 的方程，即可
得解.
【详解】由 ，可得
， ，
两边同时除以 并整理可得： ，解得： 或 ，
当 时， ， ，不符合题意，所以 .
故选：A
4．若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】D
【分析】利用放缩法可得 ，利用作商比较法可得
，进而可得 ，可得结论.
【详解】 ，
所以则 ，
又 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
5．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励
人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是 ；如果
每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 ，一年后“进步”的是“退
步”的 倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使
“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据： ，
）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
【答案】C
【分析】由题意列出相应不等式，结合对数运算，即可求得答案.
【详解】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则 ，即，
∴ （天）．
故最少要经过12天
故选：C
6．如图，在扇形OAB中，半径 ， ，C在半径OB上，D在半径OA上，
E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量 ，从而表达 ，再利用
正弦定理来表示边，来求得周长关于角 的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心
为原点的坐标系，同样设出动点坐标 ，用坐标法求出距离，然后同样把
周长转化为关于角 的函数，进而求出取值范围.
【详解】
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（法一）如图，连接 设 ，则 ， ，
故 ．在 中，由正弦定理可得 ，
则 ．
在 中，由正弦定理可得 ，则 ．
平行四边形 的周长为
．
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
即平行四边形BCDE的周长的取值范围是 ．
（法二）以O为原点， 所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系．设 ，则 ， ，
从而 ， ， ，
，
故平行四边形 的周长为 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，即平行四边形 的周长的取值范围是 ．
故选：A.
7．已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，
点 在 上且 轴，直线 ， 与 轴分别交于点 ， ，若 （
为坐标原点），则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】由题意求出直线 和直线 的方程，分别令 ，可求出 ，结合
代入化简即可得出答案.
【详解】由题意知 ，因为 轴，
所以令 ，可得 ，解得： ，设 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，
直线 的斜率为：
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，
由 可得 ，解得： ,
所以 ，解得： ，即
所以 的渐近线方程为 ，故选：C.
8．已知函数 ， ，若方程 有且仅有5个不
相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A． B．28 C． D．14
【答案】A
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
【详解】先作出 的大致图象，如下
令 ，则 ，
根据 的图象可知：要满足题意必须 有两个不等根 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！且 有两个整数根， 有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数 相切时符合题意，
因为 ，当且仅当 时取得等号，
又 ，易知其定义域内单调递减，
即 ，此时有两个整数根 或 ，
而要满足 有三个整数根，结合 图象知必有一根小于2，
显然只有 符合题意，当 时有 ，则 ，
解方程 得 的另一个正根为 ，
又 ，
此时五个整数根依次是 ，
显然最大的根和最小的根和为 .
故选：A
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．已知数据 ，满足： ，若去掉 后组成一
组新数据，则新数据的方差为21
B．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
C．一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则D．对于独立性检验，随机变量 的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越
小
【答案】ABD
【分析】根据方差计算判断A,应用正态分布概率计算求参判断B,根据回归直线过样本中心
点求解判断C,应用独立性检验判断D.
【详解】对于A选项，去掉 后的平均数为 ，
方差为 故A选项正确；
对于B选项，由于随机变量 服从正态分布 ，
则 ， 关于1对称，则 故B选项正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，又因为回归方程为 ，
所以 ，所以 ，故C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量 的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更
低，故 越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．
故选:ABD.
10．函数 的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数
列，向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则下列结论正确的是（ ）
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． 为奇函数
B． 的图象关于直线 对称
C． 在区间 上单调递增
D．函数 在区间 上的值域为
【答案】AC
【分析】由题意，根据三角函数图象的平移变换可得 ，结合正弦函数的图
象与性质依次判断选项即可.
【详解】由题意可知， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
A： ，
，所以该函数为奇函数，故A正确；
B： ，
∴直线 不是 图象的对称轴，故B错误；
C：由 ，得 ，
则 在 上单调递增，故C正确；
D： ，由 ，得 ，则 ，故D错误．
故选：AC．
11．在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，圆
，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B． 的面积最大值为1
C．若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D．若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数 的范围判断A，根据三角形面积结合正弦
函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积
坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点 的轨迹，然后利用圆的周长
公式求解判断D.
【详解】对于A，圆 的圆心为(1,0)，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
当圆 和圆 存在公共点时， ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ，正确；
对于B， 的面积为 ，
当 时， 的面积有最大值为1，正确；
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于C，当弦 垂直x轴时， ，所以 ，
当弦 不垂直x轴时，设弦 所在直线为 ，
与圆 联立得， ，
设 ，
则 ， ，
综上 ，恒为定值，错误；
对于D，设P(x ,y )，OP中点 ，该点也是AB中点，且 ，
0 0
又 ，所以 ，
化简得 ，所以点 的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为 的圆，
其周长为长度为 ，正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知点 ， ，O为坐标原点，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】先设点的坐标，再结合向量数量积的坐标运算，最后应用辅助角公式计算范围.
【详解】设点 , ,
所以 ,即 ,
所以 ,因为 ，
所以 .
故答案为：
13．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已
有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙
在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2
位，则甲和乙不在同一个小组的概率为 .
【答案】
【分析】首先求分组的方法，再利用古典概型概率公式求解.
【详解】5人分成2个小组，一组3位，一组2位，共有 种方法，
甲和乙不在同一个小组，则甲所在组有2人或3人，则有 种方法，
所以甲和乙不在同一个小组的概率 .
故答案为：
14．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，且 ，若
关于 的不等式 仅有 个整数解，则实数 的取值范围是
【答案】
【分析】依题意可得 ，从而得到 （ 为常数），
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！再根据 求出 ，即可得到 解析式，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极
值，结合图象即可得解.
【详解】因为 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 （ 为常数），所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，从而 ，
则 ，
当 时f′(x)>0，此时 单调递增，
当 或 时f′(x)<0，此时 单调递减，
所以 时， 取得极大值为 ，当 时 ，
当 时， 取得极小值 ， ．
又因为 ， ，结合图象可知 仅有 个整数解，
实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.15．（13分）在 中，角 的对边分别为 ，已知
△
(1)求 ;
(2)若 分别为边 上的中点， 为 的重心，求 的余
弦值.
【答案】(1) (2)
【分析】(1)根据二倍角公式将已知条件变形转化，再根据正弦定理边角互化，带入到余弦
定理即可求得；
(2)根据已知设 ，表达出 ，再根据余弦定理可求得结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
即
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，因为
（2）设 ，
依题意可得
所以
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 .
16．（15分）在 中， ， ，D为边 上一点， ，E
为 上一点， ，将 沿 翻折，使A到 处， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）题意先证明 平面 ，得到 ，根据线面垂直判定定理得证；
（2）作 ，垂直为Q，由（1）得 ，证得 平面 ，以B为原点，
， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得 和平面
的一个法向量 ，根据 与平面 所成角正弦值为 ，解得参数的
值；
【详解】（1）证明：由题意知 ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面
（2）作 ，垂直为Q，由（1）知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面
故以B为原点， ， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
，
又 ，
所以 ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则
设 与平面 所成角为θ，
则 ，
解得 或 ，
由题意知 ，故 .
17．（15分）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！个层级，分别对应如下五组质量指标值： .根据长期
检测结果，得到芯片的质量指标值 服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80
的产品称为 等品，其它产品称为 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作
为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为
的近似值，用样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片
为 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布
，则 ，
. )
(2)（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标
值在[85，95]的芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知
一件 等品芯片的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)
的计算结果，试求 的值，使得每箱产品的利润最大.
【答案】(1) (2)（i）分布列见解析， ；（ii）
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i）先求出 的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解
即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出 ，然后构造函数
，利用导数求出最大值时的 即可.
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即 ， ，所以 ，
因为质量指标值 近似服从正态分布 ，
所以
，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 等品的概率约为 .
（2）（i） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
， ，
， ，
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 的数学期望 .
（ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中 等品有 件，
设每箱产品的利润为 元，
由题意知： ，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为 ，
所以 ，所以 ，
所以
.
令 ，由 得， ，
又 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值.
所以当 时，每箱产品利润最大.
18．（17分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶
点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 面积的最大值．
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii） .
【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.（2）（i）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即
得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.
【详解】（1）令椭圆 的半焦距为c，由离心率为 ，得 ，解得
，
由三角形面积为 ，得 ，则 ， ，
所以 的方程是 .
（2）（i）由（1）知，点 ，设直线 的方程为 ，设 ，
由 消去x得： ，
则 ，
直线 与 的斜率分别为 ， ，
于是
，整理得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不符合题意，因此 ，
直线 ： 恒过定点 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（ii）由（i）知， ，
则 ，
因此 的面积
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
19．（17分）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，
在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，…，
.其中 ， ，…，
.已知 在 处的 阶帕德近似为.
(1)求实数a，b的值；
(2)设 ，证明： ；
(3)已知 是方程 的三个不等实根，求实数 的取值范围，并证明：
.
【答案】(1) ， (2)证明见解析(3) ，证明见解析
【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得；
（2）由题意可得 ，借助导数研究其单调性即其正负即可得解；
（3）设 ，借助导数，分 及 进行讨论，结合函数单调性与零点的存在
性定理计算可得当且仅当 时， 存在三个不等实根，且满足
，且 ，结合（2）中所得，代入计算并化简即可得解.
【详解】（1）依题意可知， ，因为 ，所以 ，
此时， ，因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）依题意， ，
，
故 在 单调递增，
由 ，故 ， ， ， ，
综上， ， ；
（3）不妨设 ，令 ，
，
当 时， ，此时 单调递增， 不存在三个不等实根；
当 时，令 ，其判别式 ，
若 ，即 ， 恒成立，即 ，
此时 单调递减， 不存在三个不等实根；
若 ，即 ， 存在两个不等正实根 ，
此时有当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，且 ，故 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以存在 ，满足 ，
又因为 ，
故存在 ，满足 ，
故当且仅当 时， 存在三个不等实根，
且满足 ，且 ，
由（2）可知，当 时， ，
因此， ，
故 ，
化简可得： ，
因此 ，命题得证.
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