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专题 21 尺规作图
考点 01 作等角
1．（2025·吉林·中考真题）如图，在 中， ．尺规作图操作如下：（1）
以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 于点M，N；（2）以点C为圆心， 长为半径画
弧，交边 于点 ；再以点 为圆心， 长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内
部的点 ；（3）过点 画射线 交边 于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，
由作图方法可得 ，则由三角形内角和定理和等边对等角得到 ， ，由
大角对大边得到 ，再由 可得 ．
【详解】解：由作图方法可得 ，故A结论正确，不符合题意；
∴ ， ，故B、C结论都正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
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2．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.
（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆
心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 .
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得 ，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
3．（2024·河南·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线， 交 的延长线于
点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 ，使 ，且射线 交 于点F（保留作图痕迹，不写
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作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形 是菱形
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先证明四边形 是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出 ，最
后根据菱形的判定即可得证．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵在 中， 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知 及 边上一点 ．
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(1)用无刻度直尺和圆规在射线 上求作点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点 为圆心，以 为半径的圆交射线 于点 ，用无刻度直尺和圆规在射线
上求作点 ，使点 到点 的距离与点 到射线 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得 是直径，结合锐角三角函数的定义可得 的值，根
据勾股定理可求出 的值，在直角 中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴ ；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心，以任意长为半径画弧交 于
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点 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，连接 并延长交 于点 ，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
根据作图可得 ，
∴ ，即 ， 是点 到 的距离，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得， ，连接 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
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∴在 中， ，
解得， （负值舍去），
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，
掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
考点 02 作角平分线
1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，连接 ，以点
为圆心，适当长为半径画弧．交射线 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于
的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在 的内部相交于点 ，画射线 交 于点 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关
键．由作图可知 ，结合 ，求出 ，再利用平行线的
性质即可求解，
【详解】解：由作图可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
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2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线 上，分别截取 ，使 ；再分别以
点M和点N为圆心、大于线段 一半的长为半径作圆弧，在 内，两弧交于点D，作射线 ；过
点D作 交 于点E．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求
，由角平分线的定义得 ，然后再根据平行线的性质可得
的度数．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
由作图可知， 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选C．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线 ，使扇形 的面积被直线 平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形 的圆心角为 ，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点 为圆心的弧 ，交
于点 ，交 于点 ，使扇形 的面积与扇形 的面积比为 ．
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【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析
【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键．
[初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形 的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线；
[拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形 的面积与扇
形 半径之比为 ，只要画出 或 的中点即可．方法一：作扇形 半径 的垂直平分线找
到中点 ，然后以 为半径作弧交半径 于点 ．方法二：扇形 的圆心角为 ，根据含 的
直角三角形是斜边的一半，过 点作出 的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以 为圆
心画弧即可．
【详解】解：[初步尝试]
作法一：如图所示
①连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点 ，标注出点
②画直线
③直线 即为所求
作法二：如图所示
①以 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，
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②分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，标注出点 .
③画直线 ，直线 即为所求
[拓展探究]
扇形 的面积与扇形 的面积比为 ，设扇形 的半径为 ，扇形 的半径为
扇形 的面积∶扇形 的面积
只要画出 或 的中点即可
作法一：
①作 的垂直平分线交 于点 ，标注出点
②以 为圆心 长为半径画弧，交 于点 ，标注出点
③弧 即为所求．（同理作 的垂直平分线也可得分）
作法二：
过 点作出 的垂线或者过 点作 的垂线，取垂线段的长度为半径，以 为圆心画弧即可．（依据：
含 的直角三角形是斜边的一半）
4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在 中， ， 是高，以点A为圆心，
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长为半径画弧，交 于点E，再分别以B、E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的
内部交于点F，作射线 ，则 ．
【答案】 /10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出 平分 ，然后利用三
角形内角和定理求解即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
根据题意得： 平分 ，
所以 ，
因为 为高，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
故答案为： ．
5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的角平分线，在角平分线上确定点 ，使得 ；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，则 的长是多少？（请直接写出 的值）
【答案】(1)见详解
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(2)
【分析】（1）作 的角平分线和线段 的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作 交 与点E，过点D作 交 与点F，先利用角平分线的性质定理证明
四边形 为正方形，设 ，则 ， ，以 为等量关系
利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）解：如下图： 即为所求．
（2）过点D作 交 与点E，过点D作 交 与点F，
则 ，
又∵
∴四边形 为矩形，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∵
∴
∴
解得： ，
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∴ ．
【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理
的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知 ，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边
分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 内一点
P，连接 ，过点P作直线 ，交OB于点E，过点P作直线 ，交 于点F．若
， ，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过P作 于M，再判定四边形 为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后
求出面积．
【详解】解：过P作 于M，
由作图得： 平分 ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的
关键．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在 中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ，
于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于 长为半径画弧，交于 内一点F.连结 并延长，
交 于点G．连结 ， .添加下列条件，不能使 成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知 是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出 即可．
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【详解】根据题中所给的作图步骤可知，
是 的角平分线，即 ．
当 时，又 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故A选项不符合题意．
当 时，
，
又 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故B选项不符合题意．
当 时，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ．
又 ，
所以 ，
则方法同（2）可得出 ，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在 中， ， ，以 为圆心， 的长为半径画
弧交 于点 ，连接 ，分别以 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线
，交 于点 ，过点 作 交 于点 ．则 的长为 ．
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【答案】
【分析】由尺规作图可知，射线 是 的角平分线，由于 ，结合等腰三角形“三线合
一”得 是 边中点，再由 ，根据平行线分线段成比例定理得到 是边 中点，利用梯形中
位线的判定与性质得到 即可得到答案．
【详解】解：由题意可知 ，射线 是 的角平分线，
由等腰三角形“三线合一”得 是 边中点，
，
由平行线分线段成比例定理得到 ，即 是边 中点，
是梯形 的中位线，
，
在 中， ， ，则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分
线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性
质是解决问题的关键．
考点 03 作垂直平分线
1．（2025·四川广安·中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心， 的长为
半径画弧，交 于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点
F；（3）画射线 交 于点E．若 ， ， ，则 的长为 ．
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【答案】12
【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知
识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
易得 ，连接 ，如图，据题意可得： ， 垂直平分 ，可得 ，
，证明 ，再利用勾股定理即可求出答案.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ,
连接 ，如图，据题意可得： ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则在直角三角形 中，根据勾股定理可得 ；
故答案为：12.
2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 的平分线 与
相交于点 ．在线段 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，与射线 相交于点 和点 ，
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再分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 ，与 相交于
点 ，连接 ．则 的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知
，证明 ，得到 ， ，进而求出 的长，得到 垂直平分 ，得到
，进而推出 的周长等于 的长即可．
【详解】解：由作图可知， ，设 交于点 ，则： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ；
故选B
3．（2024·海南·中考真题）如图，在 中， ，以点D为圆心作弧，交 于点M、N，分别
以点M、N为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点F，作直线 交 于点E，若
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，则四边形 的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．
利用勾股定理求得 的长，再证明 ，作 于点 ，求得 ，利用
，求得 ，再利用勾股定理求得 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由作图知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
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则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长是 ，
故选：A．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图， 中， ．
(1)尺规作图：作 边上的中线 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．求证：四边形
是矩形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；
（1）作出线段 的垂直平分线EF，交 于点O，连接 ，则线段 即为所求；
（2）先证明四边形 为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所求；
（2）证明：如图，
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∵由作图可得： ，由旋转可得： ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为矩形．
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在 中，D是 中点．
(1)求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交 于点E，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边形
是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段 的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为 ， 的中点，根据中位线的性质，得到 ， ，结合
，得到 ，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：直线l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，
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由（1）作图知，E为 的中点，
∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
考点 0 4 作平行
1．（2025·陕西·中考真题）如图，已知 ，点 在边 上．请用尺规作图法，在 的内
部求作一点 ，使得 ，且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本
作图是解题的关键．先作 的平分线 ，再在 同侧作 ，使 ， 交
于P即可．
【详解】解：如图，点 即为所求；
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理由如下：
由作图可知： 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 即为所求．
2．（2024·山东德州·中考真题）已知 ，点P为 上一点，用尺规作图，过点P作 的平行线．
下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定
和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知， 是 的平分线，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故本选项不符合题意；
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B、由作图知， 是 的平分线，且 ，
∴ ， ，不能说明 与 相等，
∴ 与 不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，故本选项不符合题意；
D、由作图知， ，
∴ ，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形 ，E为 边上一点．
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求作：四边形内一点P，使 ，且点P到 的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角
的尺规作图方法．作 的平分线 ，以E为顶点， 为一边作 ， 交 于P，点
P即为所求．
【详解】解：作 的平分线 ，以E为顶点， 为一边作 ， 交 于P，如图，
点P即为所求．
4．（2023·四川成都·中考真题）如图，在 中， 是边 上一点，按以下步骤作图：①以点 为圆
心，以适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②以点 为圆心，以 长为半径作弧，交
于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点 ：④过点 作
射线 交 于点 ．若 与四边形 的面积比为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据作图可得 ，然后得出 ，可证明 ，进而根据相似三角形
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的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与四边形 的面积比为 ，
∴
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
考点 0 5 作圆
1．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片 的四个角向内折叠，恰好拼成一
个无缝隙、无重叠的四边形 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图②，已知 能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形 ，其中，点M
在 上，点N在 上，点P在 上，点Q在 上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，
保留作图痕迹）
【答案】（1）四边形 是矩形，理由见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，圆周角定理，解题的关键是掌握平行四
边形的性质．
（1）四边形 是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；
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（2）分别作 的中垂线，得到点 ，连接 ，作 的中垂线，得到 的中点 ，以 为圆
心， 的长为半径画圆， 与 的交点即为点 ；
【详解】解：（1）四边形 是矩形，理由如下：
由折叠的性质可知， ， ，
，
，
，即 ，
同理可得： ，
∴四边形 是矩形；
（2）由（1）可知： ，
故 分别为 的中点，点 在以 为直径的圆上，
同理：点 分别为 的中点，点 在以 为直径的圆上，
如图， 即为所求．
2．（2025·河南·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
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（1）运用尺规作直径 的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到 ， ，即 ，由一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵ 是直径，
∴运用尺规作直径 的垂直平分线角 于点 ，
∴点 即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
3．（2025·江苏连云港·中考真题）已知 是 的高， 是 的外接圆．
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(1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2，若 的半径为 ，求证： ；
(3)如图3，延长 交 于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 ， ，
，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌
握以上知识是解题的关键；
（1）分别作 的垂直平分线交于点 ，以 为半径作圆，即可求解．
（2）作 的直径 ，连接 ，证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）连接 ，根据 为 的切线，得出 ，进而证明 是等边三角形，得出
，在 ， 中分别求得 ，根据（2）的结论求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
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（2）解：如图2，作 的直径 ，连接 ，
∴ ， ，
∵ 是 的高，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
（3）如图3，连接 ，
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∵ 为 的切线，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
代入 ，得 ，
即 ．
4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月
洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法
式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞
门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 表示，点O是 所在圆的圆心， 是月洞门的横跨， 是月
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洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为 ，拱高
的长度为a．作法如下：
①作线段 的垂直平分线 ，垂足为 ；
②在射线 上截取 ；
③连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点O；
④以点O为圆心， 的长为半径作 ．
则 就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键．
根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下，即为所求：
5．（2024·广东·中考真题）如图，在 中， ．
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(1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线 交 于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心， 长为半径作 ．求证： 与 相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的
关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作 于 ，由角平分线的性质定理可得 ，由 是半径， ，可证
与 相切．
【详解】（1）解：如图1， 即为所作；
（2）证明：如图2，作 于 ，
∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ，
∵ 是半径， ，
∴ 与 相切．
6．（2023·江苏·中考真题）如图，在 中， ．
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(1)尺规作图：作 ，使得圆心 在边 上， 过点 且与边 相切于点 （请保留作图痕迹，标明
相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 与 重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 的角平分线交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，以 为圆心，
为半径作 ，即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设 交 于点 ，连接 ，可得 是
等边三角形，进而根据 与 重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：∵ ， 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
则 ，
解得： ，
如图所示，设 交 于点 ，连接 ，
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∵ ，
∴ 是等边三角形，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴
∴
在 中， ,
∴ ,
∴ ，则 ，
∴ 与 重叠部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．
7．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．
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（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；
（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明： 即可．
【详解】解：作直线 （两点确定一条直线），
连接 ，
∵由作图， ，
∴ 且 （与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵ ，
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∴ （直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ，
∴A，B，C三点在以O为圆心， 为直径的圆上．
∴ 为 的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的
关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点 是 外一点．
(1)尺规作图：如图，过点 作出 的两条切线 ， ，切点分别为点 、点 ．（保留作图痕迹，不
要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ．求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）①连接 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画圆，两圆交于点 两点，作
直线 交 于点 ，②以点 为圆心， 为半径画圆，与 交于 两点，作直线 ，
（2）根据切线的性质得出 ，根据四边形内角和得出 ，进而根据圆周角
定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
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①连接 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 两点，作直线 交
于点 ，
②以点 为圆心， 为半径画圆，与 交于 两点，作直线 ，
则直线 即为所求；
（2）如图所示，点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
当点 在优弧 上时， ，
当点 在劣弧 上时， ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点 0 6 作四边形
1．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形 ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，
不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
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(1)在图1中作出以 为对角线的一个菱形 ；
(2)在图2中作出以 为边的一个菱形 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质对角线互相垂直平分即可作出图形．
（2）根据菱形的性质四条边平行且相等即可作出图形．
【详解】（1）解：如图，菱形 即为所求（点 ， 可以对调位置）：
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（2）解：如图，菱形 即为所求．
是菱形，且要求 为边，
①当 为上底边的时候，作 ，且 ， 向右下偏移，如图所示，
②当 为上底边的时候，作 ，且 ， 向左下偏移如图所示，
③当 为下底边的时候，作 ，且 ， 向左上偏移如图所示，
④当 为下底边的时候，作 ，且 ， 向右上偏移如图所示，
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【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识
点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成
基本作图．
2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，四边形 中， ， ， 为对角线．
(1)证明：四边形 是平行四边形．
(2)已知 ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形 ，顶点E，F分别在边 ， 上（保留作图痕
迹，不要求写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明 ，再证明 ，即
，从而可得结论；
（2）作对角线 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，从而可得菱形 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
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（2）如图，
四边形 就是所求作的菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的
判定进行作图是解本题的关键．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图， 与 相交于点 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形 ，使得点M在 上，点N在 上．（不写作法，保留
作图痕迹，标明字母）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，结合 ，利用 即可证明
；
（2）作 的垂直平分线，分别交 于点 ，连接 即可．
【详解】（1）证明： ，
， ．
在 和 中， ，
；
（2）解： 是 的垂直平分线，
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，
由（1）的结论可知， ,
又∵ ,
则 ,
∴
，
是 的垂直平分线，
，
，
四边形 是菱形，
如图所示，菱形 为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直
平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．（2025·福建·中考真题）如图，矩形 中， ．
(1)求作正方形 ，使得点E，G分别落在边 上，点F，H落在 上；（要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)见解析
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(2)
【分析】（1）作 的中垂线交 于点 ，交 于点 ，以 为直径画圆，交 于点 ，即可
得到正方形 ；
（2）勾股定理求出 的长，进而求出 的长，证明 ，求出 的长，再根据正方形的
性质，结合勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形 就是所求作的正方形．
由作图可知， ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知， ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形；
（2）由（1）知： ， ，
四边形 是矩形，
，
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在 中， ，
，
．
，
．
又 ，
，
，即 ，
．
在 中， ，
，
∴正方形EFGH的边长为 ．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相
似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、
函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
5．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻
的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平
行四边形”．
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(1)如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ________；
________；
(2)如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以 为边的垂
中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ，连
接 ，请直接写出 的值．
【答案】(1) ，
(2) ，理由见解析
(3)①见解析；② 或 ．
【分析】（1）根据题意可推出 ，得到 ，从而推出 ，再根据勾股定理可求得
，再求得 ；
（2）根据题意可推出 ，得到 ，设 ，则 ， ，
再利用勾股定理得到 ，从而推出 、 ，即可求得答案；
（3）①分情况讨论，第一种情况，作 的平行线 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 ；
第二种情况，作 的平分线，取 交 的平分线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，
在射线 上取 ，连接 ；第三种情况，作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，作
的垂直平分线；
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在 延长线上取点F，使 ，连接 ；
②根据①中的三种情况讨论：
第一种情况，根据题意可证得 是等腰三角形，作 ，则 ，可推出 ，
从而推出 ，计算可得 ，最后利用勾股定理即可求得 ；
第二种情况，延长 、 交于点 ，同理可得 是等腰三角形，连接 ，可由 ，结
合三线合一推出 ，从而推出 ，同第一种情况即可求得 ；
第三种情况无交点，不符合题意．
【详解】（1）解： ， 为 的中点， ， ， ，
， ，
，即 ，解得 ，
，
；
故答案为：1； ；
（2）解： ，理由如下：
根据题意，在垂中四边形 中， ，且 为 的中点，
， ；
又 ，
，
；
设 ，则 ，
，
，
， ，
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，
，
，
；
（3）解：①第一种情况：
作 的平行线 ，使 ，连接 ，
则四边形 为平行四边形；
延长 交 于点 ，
，
，
，
， ，
，即 ，
为 的中点；
故如图1所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作 的平分线，取 交 的平分线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，在射线
上取 ，连接 ，
故 为 的中点；
同理可证明： ，
则 ，
则四边形 是平行四边形；
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故如图2所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：
作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，作 的垂直平分线；
在 延长线上取点F，使 ，连接 ，
则 为 的中点，
同理可证明 ，从而 ，
故四边形 是平行四边形；
故如图3所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图，
由题意可知， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
过P作 于H，则 ，
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， ，
， ，
，
；
, ，
，
，即
∴
若按照图2作图，
延长 、 交于点 ，
同理可得： 是等腰三角形，
连接 ，
，
，
，
，
；
同理， ，
， ， ，
，即 ，
，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
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故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股
定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解
题的关键．
50
