文档内容
第 10 讲 拓展三：通过求二阶导函数解决
导数问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 10 讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 （精
练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、函数极值的第二判定定理：
若 在 附近有连续的导函数 ，且 ，
（1）若 则 在点 处取极大值；
（2）若 则 在点 处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数f '(x)，无法判断导函数正负；
（2）对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有 或
3、解题步骤：
设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调性，得到函数
的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ，对于任意的 ， ，且
都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设 ， ， ，则a，
b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对
和 ，都有 ，那么称f（x）为I上的凹函数，
若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹
麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为 ，其二阶
导数为 （即对函数 再求导，记为 ），若 ，那么函数f（x）是严格的凹函数（
， 均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数 在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.
4．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））设函数 在区间I上有定义，若对I上的任
意两个数 ， 和任意的 ，都有 ，那么称 为I上的
凹函数，若等号不成立，即“ ”号成立，则称 在I上为严格的凹函数，对于上述不等式的证明，19
世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在 上的函数 ，其一阶导数为 ，其二
阶导数为 （即对函数 再求导，记为 ），若 ， ，那么函数 是严
格的凹函数（ ， 均可导），试根据以上信息解决如下问题：若函数 在定
义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
1．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 在 上无极值点
B．函数 在 上存在唯一极值点
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数a的最大值为
D．若 ，则 的最大值为
2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 .
(1)若函数 在区间 （其中 ）上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数
(1)若 ，证明：当 时， ，当 时， ；
(2)记函数 ，若 是 的极小值点，求实数 的值．
4．（2022·新疆·模拟预测（理））设函数 ，其中(1)当 时，讨论 单调性；
(2)证明： 有唯一极值点 ，且 .
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，且 .
(1)求实数a的值；
(2)求证： 存在唯一的极小值点 ，且 ；
(3)设 ， .对 ， 恒成立，求实数b的取
值范围.
（参考结论： ， ）
6．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数 在（ ， ）上极值点的个数；
(2)当 时， .其中 为 的导函数，求实数m的取值范围.7．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数 ．
(1)若 为 的极小值点，求a的取值范围；
(2)若 有唯一的极值 ，证明： ， ．
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
1．（多选）（2022·辽宁丹东·一模）设 为函数 的导函数，已知
为偶函数，则（ ）
A． 的最小值为2 B． 为奇函数
C． 在 内为增函数 D． 在 内为增函数
2．（2022·江苏·金陵中学高二期末）函数 ．
(1)求 在 上的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底
数）．
(1)若 在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，求证： ．4．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数 ， .
(1)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若 ，且 ，试比较 与 的大小，并说明理由.
5．（2022·北京朝阳·一模）已知 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴重合，求 的值；
(2)若函数 在区间 上存在极值，求 的取值范围；
(3)设 ，在（2）的条件下，试判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由.
6．（2022·全国·模拟预测（文））已知 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)设 在 上恒成立，求实数 的取值范围.高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 恒成立，
求实数m的取值范围．
2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知函数 的图象在点 (
为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ．
(1)求实数 的值;
(2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值．
3．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)令 是函数 图像上任意两点，且满足 ，
求实数 的取值范围；
(3)若 ，使 成立，求实数 的最大值.
4．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数 .
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的 ，都有 ，求整数 的最大值.高频考点四：利用二阶导数证明不等式
1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数 ， ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（2022·山东·聊城民慧实验高级中学高二阶段练习）已知函数
(1)若x≥0时， ≥0，求实数a的取值范围．
(2)当 时，求证： ．
3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证：
4．（2022·江西上饶·一模（理））已知函数 ， ，其中 …为
自然对数的底数.
(1)当 时，若过点 与函数 相切的直线有两条，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a的值；
(2)若 ，证明： .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
2．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．第五部分：第 10 讲 拓展三：通过求二阶导函数解决
导数问题（精练）
一、填空题
1．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数 ， 有且只有一个零点，则实数
的取值范围是_______.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数 有两个不同的零点，则实数k的取值范围为
___________.
3．（2022·福建厦门·高三阶段练习）若函数 和 的图象有且仅有一个公共点
P，则g(x)在P处的切线方程是_________.
4．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知关于 的方程 有三个实数根，则 的取
值范围是______
5．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）已知函数 ． 为函数 的导函数，若
对任意 恒成立，则整数k的最大值为________．
二、解答题
6．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)证明： ，直线 都不是曲线 的切线；
(2)若 ，使 恒成立，求实数 的取值范围．7．（2022·安徽省桐城中学高三阶段练习（理））已知函数 ，函数 在
处取得最大值.
(1)求a的取值范围；
(2)当 时，求证： .
8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
9．（2022·四川达州·二模（理））已知： .
(1)当 时，求曲线 的斜率为 的切线方程；
(2)当 时， 成立，求实数m的范围
10．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数 .
(1)若 ， 的一个零点为 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
