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专题24.54 圆中的折叠问题（培优练）
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将 EBF沿
EF所在直线折叠得到 EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（ ） △
△
A．8 B．12 C． D．
2．如图，点 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经过圆心 ，则
阴影部分的面积是 面积的（ ）
A． B． C． D．
3．图1是一张圆形纸片，直径 ．现将点A折叠至圆心O形成折痕 ，再把点C，D都折叠至
圆心O处，最后将图形打开铺平（如图2所示），则 的长是（ ）
A． B． C． D．4．如图， 在⊙O 中，点 C 在优弧 AB 上， 将弧 BC 沿 BC 折叠后刚好经过 AB的中点 D． 若
⊙O的半径为 ，AB=4，则 BC 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
5．将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．135°
6．如图，矩形纸片 中， ，直 分别为 的中点， 分别为
上的点，将这张纸片沿 折叠，使点B与点G重合，则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF的长度m（
）
A．m＝4 B．m＝4 C．4≤m≤4 D．4 ≤m≤4
8．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18．将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处．连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．把边长为2+ 的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正
八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
10． 如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经过圆心O，则
阴影部分的面积是⊙O面积的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将半径为 的 折叠，弧 恰好经过与 垂直的半径 的中点D，已知弦 的
长为 ，则 ．12．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是 ．
13．如图，AB、CD 为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF 折叠，使 B 与圆心 M 重
合，折痕 EF 与 AB 相交于 N，连结 AE、AF，得到了以下结论：①四边形 MEBF 是菱形，②△AEF 为等
边三角形，③S△AEF：S 圆＝3 ：4π，其中正确的是 ．
14．如图，在正方形 中，将 分别沿 折叠，折叠后点D与点C重合于点G，作
的外接圆，若 ，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，以 为直径的半圆沿弦BC折叠后， 与 相交于点D．若 ，则
．16．如图，点A，B在圆O上，且 ，点P是射线 上一动点（不与点O重合），连接 ，
将 沿 折叠得到 ，当 的边所在的直线与圆O相切时， 的度数为 ．
17．如图，正方形 的边长是 ， 是 边的中点．将该正方形沿 折叠，点 落在点
处． 分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，则 的半径为 ．
18．如图，在 中，将劣弧 沿弦 折叠得弧 ，P是弧 上一动点，过点P作弧 的
切线与 交于C，D两点，若⊙O的半径为13， ，则 的长度最大值为 ．
三、解答题
19．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
（1）如图1， 的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心 ，
求AB长；（2）如图2， 弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过 的中点D， ，求
的半径．
20．如图，在 中， ．
（1）尺规作图：作出经过A，B，C三点的 .（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AO并延长，交 于点D，连接DB，DC．
①求证： ；
②将 沿AD折叠，点C的对应点为 ，当 ______°时，四边形 为菱形．
21．如图，D是 的 边上一点，连结 ，作 的外接圆O，将 沿直线 折叠，
点C的对应点E落在 上．（1）若 ，如图1．
①求 的度数．
②若 ，求 的度数．
（2）若 ，如图2．求 的长．
（3）
22．如图，在⊙O中，点C、D在 上，将 沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连
接AC、EC．
（1）证明：AC＝EC；
（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径．23．如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，
使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为___．
24．综合与探究
问题情境：如图，已知 为 的直径，点C为 上异于A，B的一点，过点C作 的切线 ，
过点A作 于点D，连接 ．
（1）探究发现：证明：无论点C在何处，将 沿 折叠，点D一定落在直径 上；
（2）探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若 是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，
与 存在数量关系，请写出结论并证明；
（3）探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当 为正三角形时， 与 存在
的数量关系是： ______ ．参考答案
1．D
【分析】由折叠可得，BE=B'E=AE，点B′在以E为圆心EA为半径的圆弧上运动．当D、B′、E共线时，
B′D的长度最小．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=4，即可求出B′D的最小值．
解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心EA为半径的圆弧，
∴当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．
根据折叠的性质，可得 EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，△
∵E是AB边的中点，AB＝8，
∴AE＝EB′＝4，
∵AD＝BC＝12，
∴DE＝ ＝4 ，
∴DB′＝DE﹣B'E＝4 ﹣4．
故选：D．【点拨】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的综合运用．折叠
是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，关键是抓住对应边和对应角相等．
2．B
【分析】作 于点 ，连接 ， ， ，根据题意可得 ，含30度角的直角三角
形的性质，即可求得 ，进而求得 ，根据圆的旋转对称性，即可求得 ．
阴影 扇形
解：如图，作 于点 ，连接 ， ， ，
∵折叠，
，
∴ ，
同理
∴ ，
∴ ，
扇形
∴由圆的对称性及旋转可得 ．
阴影 扇形
故选B
【点拨】本题考查了折叠的性质，圆的旋转对称性，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握圆的旋转对称性是解题的关键．
3．C
【分析】连接OC、OD、OE、OF，设AB与CD交于点H，根据折叠的性质可求 的度数，进而可求
的度数，然后根据弧长计算公式可求解．
解：连接OC、OD、OE、OF，设AB与CD交于点H，由题意得：
将点A折叠至圆心O形成折痕 ，
OA⊥CD， ，
∠HCO=30°，∠COA=60°，
∠COD=2∠COA=120°，
又由再把点C，D都折叠至圆心O处，
∠COE=∠DOF=60°，
∠EOF=120°，
AB=4，
半径OA=2，
的长为： ；
故选C．
【点拨】本题主要考查弧长计算、圆的基本性质及折叠的性质，关键是根据折叠及圆的性质得到弧的
度数，然后利用弧长计算公式求解即可．
4．B
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到
OD⊥AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到 ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着
证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 ．
解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD= AB=2，
在Rt△OBD中，
∵将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
∵CE⊥AB，OF⊥CE，OD⊥AB；AE=DE =OD=1
∴四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
∵BE=BD+DE=2+1=3，
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
5．B
解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，如图所示：
由折叠的性质可知，OD= OC= OA，
由此可得，在Rt AOD中，∠A=30°，
同理可得∠B=30°△，
在 AOB中，由内角和定理，
得△∠AOB=180°-∠A-∠B=120°.
故选B．
6．A
【分析】根据翻折变换的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得 ，然后求出
，再根据直角三角形两锐角互余求出 ，再利用翻折的性质求出 ，解直角三角
形求出 的长度，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．
解：由翻折的性质得， ， ，
点 、 分别为 、 的中点，
，
，
，
，
，
在 中， cm，的外接圆的面积 cm2．
故选：A．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角
三角形两锐角互余的性质以及解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，求出 是解题的突破口．
7．D
【分析】根据题意作出图形，根据垂径定理可得 ,设 ，则 ，分情况讨论
求得最大值与最小值，即可解决问题
解：如图，
根据题意，折叠后的弧为 ， 为切点，设点 为 所在的圆心， 的半径相等，即
，连接 ，设 交于点 ，
根据折叠的性质可得 ，又 则四边形 是菱形，且
设 ，则
则当 取得最大值时， 取得最小值，即 取得最小值，
当 取得最小值时， 取得最大值，
根据题意，当点 于点 重合时，四边形 是正方形则
此时
当点 与点 重合时，此时 最小，
则
即
则
故选D
【点拨】本题考查了垂径定理，切线的性质，折叠的性质，勾股定理，分别求得 的最大值与最小
值是解题的关键．
8．B
【分析】连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，根据矩形的性质得到AH＝HD＝ AD＝9，OM＝
AD＝9，根据切线的性质得到OP⊥EM，根据勾股定理求出EM，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答
案．
解：连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，
∵点O是矩形对称中心，
∴AH＝HD＝ AD＝9，OM＝ AD＝9，DM= CD=6
∵以O为圆心的圆与EM相切，
∴OP⊥EM，由折叠的性质可知，EA＝EM，
在Rt△MDE中，EM2＝DE2＋DM2，即EM2＝（18−EM）2＋62，
解得，EM＝10，
∴DE＝8，
∴HE＝HD−DE＝1，
设MP＝x，则EP＝10−x，
∵OP2＝OE2−EP2＝OM2−MP2，
∴62＋12−（10−x）2＝92−x2，
解得，x＝ =7.2，
∴OP＝ ＝5.4，
故选B．
【点拨】本题考查的是切线的性质、折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直
于经过切点的半径是解题的关键．
9．C
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则 CGF、 B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则
△ △
GF= x，B'F=x，从而BC= x+x+x=2+ ，即可解决问题．
解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、 B'EF是全等的等腰直角三角形，
△
设CG=x，则GF= x，B'F=x，
∴BG=B'G= x+x，
∴BC= x+x+x=2+ ，
∴x=1，
∴GF= ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质
等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．
10．B
解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得
∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积= 得出阴影部分的面积是⊙O面积的 ．
故选B
考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算
11．8
【分析】延长 交 于E点，交 于点F，连接 ，由 与 垂直，根据垂径定理得到E为
的中点，然后利用D是 的中点和对称即可求出 的长，从而求出 ，然后由
的长，根据勾股定理求出 的长，进而得出半径 的长．
解：延长 交 于E点，交 于点F，连接 ，∵ ，
∴E为 的中点，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点， ，
∴ ， ，
根据对称的性质可得：
，
，
在 中，根据勾股定理可得： 即
∴ （负值舍去）
故答案为：8．
【点拨】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定
理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长 并连接
作辅助线是本题的突破点．
12．
【分析】作OH⊥AB，延长OH交 于E，反向延长OH交CD于G，交 于F，连接OA、OB、OC、
OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，由平
行四边形面积公式即可得解．
解：如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交 于E，反向延长OH交CD于G，交 于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，
∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=HE= ，OG=GF= ，即OH=OG，
又∵OB=OD，
∴Rt△OHB≌Rt△OGD，
∴HB=GD，
同理，可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△OHA中，由勾股定理得：
AH=
∴AB=
∴四边形ABCD的面积=AB×GH= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关
系证出四边形ABCD是矩形．
13．①②③
【分析】 根据垂径定理可得 BM 垂直平分 EF，再求出 BN＝MN，从而得到 BM、EF 互相垂直平
分，然后根据①对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF 是菱形，从而得到 正确； 连接
ME，根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN＝30°，然后求出∠①EMN＝60②°，根据
等边对等角求出∠AEM＝∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM＝30°，从而得到∠AEF＝60°，同理求出∠AFE＝60°，再根据三角形的内角和等于 180°求出∠EAF＝60°，
从而判定 AEF 是等边三角形， 正确； 设圆的半径为 r，求出 MN＝ r，EN＝ r， 然后求出
△ ② ③
AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到 正确．
解： 根据垂径定理，BM 垂直平分 EF， ③
又∵①纸片沿 EF 折叠，B、M 两点重合，
∴BN＝MN，
∴BM、EF 互相垂直平分，
∴四边形 MEBF 是菱形，故 正确；
如图，连接 ME，则 ME＝①MB＝2MN．
②∵∠ENM＝90°，
∴∠MEN＝30°，
∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，
又∵AM＝ME（都是半径），
∴∠AEM＝∠EAM，
∴∠AEM＝ ∠EMN＝ ×60°＝30°，
∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，
同理可求∠AFE＝60°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF 是等边三角形，故 正确；
②
设圆的半径为 r，则 MN＝ r，EN＝ r，
③
∴EF＝2EN＝ r，AN＝r+ r＝ r，
∴S AEF：S ＝（ × r× r）： r2＝3 ：4，故 正确；
圆
△
π ③
综上所述，结论正确的是 ．
①②③故答案 ．
【点拨①】本②题③圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，垂径定理，对角线互相垂直平分的四边形
是菱形，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．
14．
【分析】连接 ， ， ，根据正方形的性质得到 ，根据折叠的性质得到
， ，求得 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接 ， ， ，
在正方形 中，
，
将 、 分别沿 、 折叠，折叠后点 与点 重合于点 ．
， ，
，
是等边三角形，
，
，过O作OH⊥AG于H，
∴AH=3，
，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积
的计算，正确的识别图形是解题的关键．
15．
【分析】如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为 ，连接 ， ，由
题意得到 ，进而求得 ，再根据圆内接四边形对角互补得到 ，继而求
得 的大小即可求得答案．
解：如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为 ，连接 ， ．则
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，翻折变换等知识，正确作出辅助线、熟练
运用相关知识是解题的关键．
16． 或 或
【分析】根据折叠的性质和圆的性质，分三种情况讨论：当 所在直线与圆O相切于点A时，当
所在直线与圆O相切于点A时，当 所在直线与圆O相切时，不同情况进行解答即可.
解：由折叠的性质得 ，
① 当 所在直线与圆O相切于点A时，分两种情况讨论：
a、若点 在 上方，如图（1），
由折叠性质可得： ，
∴ ；
b. 若点 在 下方，如图（2），易得 ，
∴ ；
②当 所在直线与圆O相切于点A时，如图（3），
∵ ，
∴ ；
③当 所在直线与圆O相切时，设切点为C，如图（4），
易知此时点P的位置与图（3）中相同，故 ；
综上， 的度数为 ， 或 ；
【点拨】本题主要考查了圆的性质，掌握好圆的相关知识是解题的关键.
17．1
【分析】如图所示，延长 交 于M，连接 ，先证明 得到 ，
设设 ，则 ， ，利用勾股定理建立方程，解方程求出 ，如图所示，连接 ，
利用等面积法求出半径即可．
解：如图所示，延长 交 于M，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
如图所示，连接
∵ 分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
故答案为；1．【点拨】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等
等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．
【分析】过点O作 于点M，交 于点N，交 于点P，此时过点P的切线 最长，连
接 ， ，根据垂径定理得出 ，根据勾股定理求出
，求出 ，根据勾股定理求出 ，即可得出答案．
解：过点O作 于点M，交 于点N，交 于点P，此时过点P的切线 最长，连接 ，
，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∵ 是弧 的切线，∴ ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，解题的关键是找出使 最大时，点P
的位置．
19．（1） cm；（2） cm
【分析】（1）如图1，作 交 于 ，交 于 ，连接 ，由题意知，
， ，在 中，由勾股定理得 求出 的
值，进而可求 的值；
（2）如图2，延长 交 于 ，连接 ，设半径为 ，由题意知 ，由折
叠和中点的性质可知 ，在 中，由勾股定理得 ，即
，求出满足要求的解即可．
（1）解：如图1，作 交 于 ，交 于 ，连接由题意知， ，
在 中，由勾股定理得
∴
∴ 的长为 ．
（2）解：如图2，延长 交 于 ，连接 ，设半径为
由题意知 ，由折叠和中点的性质可知 ，
在 中，由勾股定理得 ，即
解得： ， （不合题意，舍去）
∴半径的长为 ．
【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与
灵活运用．
20．（1）见分析；（2）①见分析；②60．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作图确定斜边的中点即可；
（2）①根据平行四边形的性质得出对应边相等，再利用 证明 ；
②根据菱形的性质即圆的性质，可得到 所在的三角形 为等边三角形，即可得出结论．
解：（1）如图所示， 即为所求．
其过程为：分别以 为圆心，超过 一半的长为半径画弧会相交两点，连接两点的直线与 相交
的点为点 ，即为过A，B，C三点的 的圆心，以 为半径画圆．（2）证明：①∵ ，
四边形ABDC是平行四边形.
∴ ，
在 和 中
∴
②如图：
若四边形 为菱形，则 ，
同时又有 ，
为等边三角形，
四边形 为菱形，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了作直角三角形的外接圆、三角形全等的判定定理、折叠、菱形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关的性质定理．
21．（1）①30 ，②60 ；（2）
【分析】（1）①根据折叠的性质可得 ，根据等弧所对的圆周角即可求解；
②根据等边对等角可得 ，根据（1）的结论可得 ，进而根据折叠的性质
求得 ，进而根据 即可求得 ，
（2）根据 ，可得 ， ，根据折叠的性质可得 ，进而
即可求解．
解：（1）① ， ，
，
将 沿直线 折叠，点C的对应点E落在 上，
；
② ，
，
，
，
将 沿直线 折叠，点C的对应点E落在 上，
，
中， ，则 ，
，
，
，
（2）
折叠【点拨】本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理
的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
22．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）先由折叠的性质得： ，BC垂直平分DE，再由圆周角定理得∠CBD＝∠CBE，则
，得 ，即可得出结论；
（2）连接OC交AD于H，连接OA，设⊙O的半径为r，由（1）得： ，AC＝CE＝5，则
OC⊥AD，由垂径定理得AH＝ AD＝4，再由勾股定理求出CH＝3，则OH＝OC﹣CH＝r﹣3，然后在
Rt△AOH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：（1）证明：由折叠的性质得： ，BC垂直平分DE，
∴∠CBD＝∠CBE，
∴ ，
∴ ，
∴AC＝EC；
（2）解：连接OC交AD于H，连接OA，如图：
设⊙O的半径为r，
由（1）得： ，AC＝CE＝5，
∴OC⊥AD，∴AH＝ AD＝4，∠AHC＝∠AHO＝90°，
∴CH＝ ＝ ＝3，
∴OH＝OC﹣CH＝r﹣3，
在Rt△AOH中，由勾股定理得： ，
解得：r＝ ，
即⊙O的半径为 ．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换
的性质和勾股定理、圆周角定理是解题的关键．
23．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）如图，连接OF，OC ，由题意知 ， ，由折叠可知 ，则
，证明 ，则 ，进而结论得证；
（2）由题意知 ， ，由 ， 可得
，则 三点共线，设 ，则 ， ，在
中，由勾股定理得 即 ，计算求解即可．
解：（1）证明：如图，连接OF，OC
由题意知 ，
由折叠可知∴
在 和 中
∴
∴ ，
又∵ 是⊙O的半径
∴CF与⊙O相切．
（2）解：由题意知，四边形 是正方形，
∴
∵ ，
∴
∴ 三点共线
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 即
解得
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（1）见分析；（2） ，证明见分析；（3）
【分析】（1）先根据切线的性质得到 ，再证明 得到 ，加上
，所以 ，然后根据折叠的性质可判断将 沿 折叠，点 一定落在
直径 上；
（2）由于 是等腰三角形且对称轴经过点 ，则根据折叠的性质得到 ，再证明
，接着根据切线的性质得到 ，则可计算出 ，然后证明四边形 为矩形，则 ，从而得到 ；
（3）先根据正三角形的性质得到 ， ，再计算 ，则利用含30度角的直
角三角形三边的关系得到 ， ，则 ，从而得到 ．
解：（1）证明： 为 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
无论点 在何处，将 沿 折叠，点 一定落在直径 上；
（2）解： ．
理由如下： 是等腰三角形且对称轴经过点 ，
，
，
为 的切线，
，
，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
；
（3）解： 为正三角形，
， ，，
，
， ，
，
，
而 ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性
质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质．
