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重难点 12 圆锥曲线中的弦长与面积问题（2 种考法）
【目录】
考法1：弦长问题
考法2：面积问题
二、命题规律与备考策略
一、圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
|AB|＝|x －x|
1 2
＝·
＝·|y －y|＝·.
1 2
二、三角形面积问题
直线 方程：
三、焦点三角形的面积
直线 过焦点 的面积为注意： 为联立消去 后关于 的一元二次方程的二次项系数
y
A
F 1 O F 2 x
B
四、平行四边形的面积
直线 为 ，直线 为
注意： 为直线与椭圆联立后消去 后的一元二次方程的系数.
y
C
A
H
O
x
D
B
三、题型方法
考法1：弦长问题
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知椭圆E： 的离心率为 ，
且过点 .(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点 且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B
两点，求AB的长度.
2．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的
右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
3．（2023·全国·模拟预测）已知点 在抛物线 上，记 为坐标原点，
，以 为圆心， 为半径的圆与抛物线 的准线相切．
(1)求抛物线 的方程；
(2)记抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与直线 垂直，交抛物线 于 ， 两点，求弦 的长．4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知抛物线 ，点 为其焦点，直线
与抛物线交于 两点， 为坐标原点， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 和 ，点
分别为 的中点，求 的最小值．
5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 的直线 交
于 ， 两点，其中 在第二象限．
(1)若 过点 ，求 的面积；
(2)设线段 交半径为1的圆 于点 ，直线 与 交于点 ，若直线 ， 的斜率之比为 ，
求 ．6．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆 过点 .
(1)若椭圆E的离心率 ，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率 ，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆 相切，
求线段 的最大值.
7．（2021·陕西西安·统考三模）已知点 在椭圆C： （ ）上，且椭圆的离
心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点 ， 是以 为底边的等腰三角形，求弦
的长度.8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 与抛物线 的图
象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且 ．
(1)求椭圆 的离心率．
(2)若椭圆 的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线 相交于不同的两点M、N，且 的面积为
24，求线段 的长度．
9．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知椭圆 的离心率为 ，它
的四个顶点构成的四边形的面积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 的直线 与圆 相切且与椭圆 交于 、 两点，求 的最大值．10．（2023·全国·模拟预测）已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为
2．
(1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程．
(2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为 （异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和
，求弦AB的长．
11．（2022·上海青浦·统考二模）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点.
(1)若直线 垂直于 轴，求线段 的长；
(2)若直线 与 轴不重合， 为坐标原点，求 面积的最大值；(3)若椭圆 上存在点 使得 ，且 的重心 在 轴上，求此时直线 的方程.
考法2：面积问题
1.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆 是圆 上任意一点，线段
的垂直平分线与半径 相交于点 ，当点 运动时，点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，过点 的另一条直线 与 相交于
两点，且 的面积是 面积的 倍，求直线 的方程．
2.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知 是椭圆 的左顶点， 是椭圆上不同
的两点．
(1)求椭圆 的焦距和离心率；
(2)设 ，若 ，且 、 、 和 、 、 分别共线，求证： 三点
共线；
(3)若 是椭圆 上的点，且 ，求 的面积．3.（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 分别交椭圆 于 、 两点，若线段 的中点 在直线 上，求 面积的最大值.
4.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆 是圆 上任意一点，线段
的垂直平分线与半径 相交于点 ，当点 运动时，点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，过点 的另一条直线 与 相交于
两点，且 的面积是 面积的 倍，求直线 的方程．
5.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知 是椭圆 的左顶点， 是椭圆上不同
的两点．(1)求椭圆 的焦距和离心率；
(2)设 ，若 ，且 、 、 和 、 、 分别共线，求证： 三点
共线；
(3)若 是椭圆 上的点，且 ，求 的面积．
6.（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，焦
距为 ．点 在第一象限的双曲线上，过点 作双曲线切线与直线 交于点 ．
(1)证明： ；
(2)已知斜率为 的直线 与双曲线左支交于 两点，若直线 ， 的斜率互为相反数，求 的
面积．
7.（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 与直线 垂直，A为
垂足且位于第一象限，直线 与直线 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 （O为原点）
的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 ， 的斜率之和为1，
，求 的面积.8.（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分
别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为 ，求 的值；
(2)记 的面积分别为 ，当 时，求 的取值范围．
9.（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T： 和椭圆C： ，过抛物线T
的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求 的值；
(2)若 ，且 恰好被 平分，求 的面积．10（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线 的焦点为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线 上的点，且 ， ，求
的面积.
