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课时跟踪检测（四十六） 抛物线
一、基础练——练手感熟练度
1．(2021·武汉模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴
的距离大，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B 由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离
大，根据抛物线的定义可得＝，所以p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(，0) B．(0，)
C．(2，0) D．(0,2)
解析：选A 抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，就是顶点到焦点的距离
是，即＝，则抛物线的焦点坐标为(，0)．故选A.
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一
点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D 依题意，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于OF的垂
直平分线x＝上，圆心到准线x＝－的距离为6，即＋＝6，解得p＝8，故选D.
4．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4，则抛物线的焦点到
直线AB的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A 由|AB|＝4及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y2＝4x得点A的横
坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线
AB的距离为2－1＝1，故选A.
5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|
PF|－|PE|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的准线方程为x＝－2，因为P在y轴上的
投影为点E，所以|PE|即为点P到x＝－2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，
故点P到x＝－2的距离等于|PF|，
所以|PE|＝|PF|－2，故|PF|－|PE|＝2，故选B.
6．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物
线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
二、综合练——练思维敏锐度
1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
0
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
解析：选C ∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－.
∵点P(2，y)到其准线的距离为4，∴＝4.
0
∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x，y)是C上一点，|AF|＝x，则x＝( )
0 0 0 0
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A 由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x，根据抛物线的定义可得x
0 0
＋＝|AF|＝x，解得x＝1.故选A.
0 0
3．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn
的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A ∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，又e＝2，∴＝2，∴m＝，
∴n＝，∴mn＝.
4．已知点A(0,2)，抛物线C ：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，
1
与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值为( )
A. B．
C．1 D．4
解析：选D 依题意，点F的坐标为，如图，设点M在准线上的射
影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶，则|KN|∶|
KM|＝2∶1.∵k ＝＝－，k ＝－＝－2，∴＝2，解得a＝4.
FN FN
5．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是
抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(
)
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
解析：选B 连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．
若△AOB的面积为4，则|AB|＝( )
A．6 B．8
C．12 D．16
解析：选D 设A，B，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S ＝|OF|·|AB|＝2，不成立，所
△AOB
以＝⇒yy＝－4.由△AOB的面积为4，得|y－y|×1＝4，所以y＋y＝56，因此|AB|＝x＋x＋
1 2 1 2 1 2
p＝＋2＝16.
7．(2021年1月新高考八省联考卷)已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，
AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析：选B 把A(2,2)代入y2＝2px得p＝1，
又直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，
易得AB方程为y－2＝(x－2)，
AC方程为y－2＝－(x－2)，
联立AB方程和抛物线方程得B，
同理：C，
由B，C两点坐标可得直线BC的方程为3x＋6y＋4＝0，所以选B.
8．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|
FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的
是( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
解析：选ACD ∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物
线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.
∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该
抛物线的方程为y2＝6x.
9．(2021·海口调研)若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝
______.
解析：由题意得，抛物线的准线方程为x＝－2，
又点P(m，n) 到焦点的距离为8m，
所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝.
答案：10．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋
25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是________．
解析：由题得A，B，
∵M在直线3x＋4y＋25＝0上，设点M，
∴ AM＝，BM＝.
又∠AMB＝90°，
∴AM·BM＝·＋2＝0，
即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，
即1502－4×25×(625－4p2)≥0，
解得p≥10，或p≤－10，
又p>0，∴p的取值范围是[10，＋∞)．
答案：[10，＋∞)
11．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x，y)，B(x，y)
1 1 2 2
(x0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N
两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)当直线l的倾斜角为45°时，l的斜率为1，
∵F，∴l的方程为y＝x－.
由得x2－3px＋＝0.
设M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝3p，
1 1 2 2 1 2∴|MN|＝x＋x＋p＝4p＝16，p＝4，
1 2
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)假设满足题意的点P存在．
设P(a,0)，由(1)知F(2,0)，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则x＋x＝，xx＝4.
1 2 1 2
Δ＝[－(4k2＋8)]2－4·k2·4k2＝64k2＋64>0，
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴k ＋k ＝0，
PM PN
又k ＝，k ＝，
PM PN
∴k(x－2)(x－a)＋k(x－2)(x－a)＝k[2xx －(a＋2)(x＋x )＋4a]＝－＝0，
1 2 2 1 1 2 1 2
∴a＝－2，此时P(－2,0)．
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P
与焦点F不重合即可．
综上，存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．
三、自选练——练高考区分度
1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的
对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再
经过抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A.＋ B．9＋
C.＋ D．9＋
解析：选D 对于y2＝4x，令y＝1，得x＝，即A，结合抛物线的光学性质，得AB经过焦
点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得，k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此
可得x x ＝1，∴x ＝＝4.
A B B
∴|AB|＝x ＋x ＋p＝.
A B
将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，
∴|MB|＝＝.
∴△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝＋＋＝9＋.故选D.
2．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，
O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A．|AB|≥4
B．|OA|＋|OB|>8
C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3D．△OAB的面积的最小值是2
解析：选ACD F(1,0)，如图，不妨设A在第一象限．
(1)若直线l斜率不存在，则A(1,2)，B(1，－2)，则|AB|＝4，|OA|＋|OB|
＝2|OA|＝2，S ＝×4×1＝2，显然B错误；
△OAB
(2)若直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x
－1)，显然k≠0，
联立方程组消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝＝2＋，∴|
1 1 2 2 1 2
AB|＝x＋x＋2＝4＋>4，原点O到直线l的距离d＝，∴S ＝×|AB|×d＝××＝2>2.
1 2 △OAB
综上，|AB|≥4，S ≥2，故A正确，D正确．过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|＋|
△OAB
AF|＝|PA|＋|AN|，又P(2,2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值
3，故C正确．故选A、C、D.
3．(多选)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x
＝0于M，N两点，其中P, M位于第一象限，则＋的值可能为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选BCD 如图所示，可设＝m，＝n，则＝m－1，＝n－1，
∵y2＝4x，∴p＝2，根据抛物线的常用结论，有＋＝＝1，∴＝1，则m＋
n＝mn，
∴＋＝＋＝＝4m＋n－5，
又∵(4m＋n)·1＝(4m＋n)·＝4＋＋＋1≥5＋2 ＝9，得4m＋n≥9，
∴4m＋n－5≥4，则＋的值不可能为3.
