文档内容
课时跟踪检测（四十七） 直线与圆锥曲线的位置关
系
一、综合练——练思维敏锐度
1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个
交点．
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之
和为，则|AB|＝( )
A. B．
C．5 D．
解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x＋x.∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝.
1 2
3．(2021·佛山模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有
且只有一个交点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．
C. D．
解析：选D ∵过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只
有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝
1，由e＝＝＝.
4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l
的方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
解析：选D 设A(x，y)，B(x，y)，则有①－②得y－y＝4(x－x)，由题可知x≠x.∴＝
1 1 2 2 1 2 1 2
＝＝2，即k ＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
AB
5．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B
两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
解析：选BD 对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k ·k ＝－＝
AB OM
－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据k ·k ＝－2，所以k ＝－2，
AB OM AB
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M，则k ·k ＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；
AB OM
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整
理得：3x2＋4x＝0，解得x＝0，x＝－，所以|AB|＝＝，所以D项正确．
1 2
6.如图，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭
圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若0，即－3b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|
＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3OC＝OF，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的
圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得
a2＝18.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线
CP的斜率均存在．
设直线AB的方程为y＝kx－3.
联立消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为，
所以点P的坐标为.
由3OC＝OF，得点C的坐标为(1,0)，
故直线CP的斜率为＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.二、自选练——练高考区分度
1.(多选)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分
别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线
AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是( )
A．C，D两点的纵坐标之积为－4
B．点Q在定直线x＝－2上
C．点P与抛物线上各点的连线中，PA最短
D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP
解析：选AB 设点C(x，y)，D(x，y)，将直线l的方程x＝my＋2代入抛物线方程y2＝
1 1 2 2
2x得：y2－2my－4＝0.
则yy＝－4，故A正确；
1 2
由题得A(2,2)，B(2，－2)，
直线AC的方程为y－2＝(x－2)，
直线BD的方程为y＋2＝(x－2)，
消去y得x＝，
将yy＝－4代入上式得x＝－2，故点Q在直线x＝－2上，故B正确；
1 2
设抛物线y2＝2x的任一点M的坐标为，
则MP＝ ＝ .
当a2＝2时，MP取得最小值，又PA＝2>，故C错误；
因为PA＝PB，但QA≠QB，所以D错误．
2．过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点F作斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直
径的圆与准线l有公共点M，若|MF|＝，则|AB|＝________.
解析：不妨设A在x轴上方，根据抛物线的性质可得，以AB为直径
的圆与准线l有公共点M，∴MA⊥MB，
取AB中点C，连接MC，如图．
根据抛物线性质，
∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，
∴|MF|2＝|AF|·|BF|，
∵直线AB过抛物线y2＝mx(m＞0)的焦点F且斜率为2，
根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得|AF|＝2|BF|，
∵|MF|＝，∴()2＝2|BF|2，
∴|BF|＝1，|AF|＝2，∴|AB|＝3.
答案：33．(2020·北京高考)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，
Q，求的值．
解：(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为＋＝1，
又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有＋＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意知直线MN的斜率存在．
当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－2，0)，N(2，0)，
则直线MA：y＝(x＋2)，
直线NA：y＝(x－2)，
则y ＝，y ＝－，＝1.
P Q
当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，
化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0，
Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)>0，解得m2>4.
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则yy＝，y＋y＝.
1 2 1 2
直线MA的方程为y＋1＝(x＋2)，
则P，即P.
直线NA的方程为y＋1＝(x＋2)，
则Q，即Q.
所以＝＝
＝＝＝1.
综上，＝1.
