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考点巩固卷 20 椭圆方程及其性质(十大考点)
考点01椭圆的定义
1．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P是椭圆C上的动点， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆定义得 ，再利用基本不等式求解最值即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为点P是椭圆 上的动点， ， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立.
故选：A.
2．已知点 满足方程 ，点 ．若 斜率为
斜率为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，根据题意分析可知点 在以 为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.
【详解】设 ，
则 ，可得 ，
即点 在以 为焦点的椭圆上，且 ，
所以点 的轨迹为 ，整理得 ，
由题意可知： ，
所以 .
故选：A.
3．已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若
，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先证明四边形 是平行四边形，再利用椭圆的定义求出 即得解.
【详解】因为 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
由椭圆的定义得 .
所以 .
故选：C
4．椭圆 上的一点 到左焦点 的距离为 是 的中点，则 等于 .
【答案】3
【分析】设椭圆的右焦点 ，则根据椭圆有定义可求出 ，再利用三角形的中位线定理可求得答案.
【详解】设椭圆的右焦点 ，连接 ，则由 ，知 .
又点 为 的中点，点 为 的中点，所以 .
故答案为：3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上任意一点， 为圆 ：
上任意一点，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得 ，再结合椭圆定义将 化为
，结合 以及图形的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意知 为椭圆 上任意一点， 为圆 ： 上任意一点，
故 ，
故 ，当且仅当 共线时取等号，
所以
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 共线时取等号，
而 ,
故 的最小值为 ，
故答案为：
6．椭圆 ， 是左、右焦点，点 ，点 为椭圆上一动点，则 的最大值为
，最小值为 ．
【答案】 / /
【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得 的取值范围，进而确定正确答案.
【详解】椭圆 ，∴ ，∴ .
如图所示，点 在椭圆内部，
∵点 为椭圆上的点，则 ，∴ ，
∵ ，
又 ，∴ ，
即 .
故答案为： ；
考点02椭圆的标准方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（多选）如果方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可.
【详解】焦点在x轴上，则标准方程中 ，解得 或 ．
又 ， ，得 ，所以 或 ．
故选:BC．
8．已知m、n均为实数，方程 表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是
.
【答案】
【分析】由椭圆的定义可得 ， ， ，再分 和
两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解.
【详解】由题意得 ， ， ，所以 ，
①若 ，即 时，则焦点在 轴上，
则 ，所以 ，
代入 ， ， ，
得 ，解得 ；
②若 ，即 时，则焦点在 轴上，
则 ，所以 ，
代入 ， ， ，
得 ，解得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，n的取值范围是 .
故答案为： .
9．已知椭圆的两焦点为 ，点 在椭圆上．若 的面积最大为12，则椭圆的标准方
程为 ．
【答案】
【分析】由题意可知当 在 轴上时 的面积最大，从而可求出 ，再结合 可求出 ，从而可求出
椭圆的标准方程.
【详解】如图，当 在 轴上时 的面积最大，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
故答案为：
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，一个焦点坐标为 ，短轴长为4；
(2)中心在原点，焦点在 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出 ，再由焦点位置得出椭圆方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由题意求出 ，根据焦点在x轴写出方程.
【详解】（1）由题意得： ， ，
故 ，
因为焦点在 轴上，故椭圆方程为 .
（2）如图，
由题意得： ， ，
所以 ， ，
结合焦点在 轴上，故椭圆方程为： .
11．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ；
(2)焦距为4，且经过点 ．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用待定系数法求出 可得结果；
（2）讨论焦点位置，求出 可得结果.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】依题意得 ，解得 ，
所以该椭圆的标准方程为 .
（2）当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
依题意得 ， ，则 ，
故椭圆的标准方程为 .
当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
依题意得 ， ，则 ，
故椭圆的标准方程为 .
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为 ，长轴长是短轴长的2倍；
(2)经过点 ，离心率为 ，焦点在x轴上；
(3)经过两点 ， .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；
(2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为 的形式，再把两点坐标代入求解
即可.
【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为： ，
所以由题设有： ，解得 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）根据题意可设椭圆的标准方程为： ，
所以由题设有： ，解得 ，
故椭圆的标准方程为： .
（3）根据题意可设椭圆的标准方程为： ，
所以由题设有： ，解得 ，
故椭圆的标准方程为： .
考点03椭圆的焦点三角形问题
13．已知椭圆C： 的左､右焦点分别是 ， ， 为椭圆C上一点，则下列结论不正确
的是（ ）
A． 的周长为6 B． 的面积为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． 的内切圆的半径为 D． 的外接圆的直径为
【答案】D
【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及
可求解D.
【详解】由题意知， ， ， ，
由椭圆的定义知， ， ，
∴ 的周长为 ，即A正确；
将 代入椭圆方程得 ，解得 ，
∴ 的面积为 ，即B正确；
设 的内切圆的半径为r，则 ，
即 ，∴ ，即C正确；
不妨取 ，则 ， ，
∴ 的面积为 ，
即 ，∴ ，
由正弦定理知， 的外接圆的直径 ，即D错误，
故选:D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（多选）若 是椭圆 上一点， ， 为其左右焦点，且 不可能为钝角，则实数
的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】根据椭圆的几何性质可判断 为椭圆的短轴端点时，此时 最大，即可列不等式求解.
【详解】由椭圆的性质可得当点 为椭圆的短轴端点时，此时 最大，
若 不可能为钝角，当点 为椭圆的短轴断点时，则 ，
则 ，即 ，
又焦点在 轴上 ，解得 ，
所以实数 的值可以是4，5，
故选：CD
15．已知 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的
面积为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 /
【分析】由向量的夹角公式可得 ，利用余弦定理、椭圆定义可得 ，再由三角形
面积公式可得答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，
若 ，因为 ，
则可得 ，
由余弦定理可得
，
所以 ，
则 .
故答案为： .
16．已知点 是椭圆 上的点，点 、 是椭圆的两个焦点．
(1)若 ，求 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 的面积为9，求 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可；
（2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】（1）设 ，设 ，
由 ，则 ，
所以有 ，
由余弦定理可知： ，
所以有 ，
即
（2）由（1）可知： ，
因为 ，所以 ，因此 ，即 .
17．已知点 在焦点为 的椭圆 上，若 ，求 的值．
【答案】
【分析】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果.
【详解】
由椭圆方程知： ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
由椭圆定义知： ，
，解得： .
考点04椭圆的简单几何性质
18．曲线 与曲线 的（ ）.
A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等
【答案】B
【分析】通过方程分别研究两曲线的相关性质，比较即可.
【详解】曲线 是焦点在 轴上的椭圆，
则 ，长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率 .
曲线 ，
由 得 ，且 ，
故曲线 也是焦点在 轴上的椭圆，
，
长轴长、离心率、短轴长均与 有关，不一定与曲线 的相同；
而其焦距为 ，与曲线 的焦距相同.
故选：B.
19．若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距离为 km，远地点离地
面的距离为 km，地球的半径为 km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据题意可得 ， ，从而得 ， ，再根据
求解即可.
【详解】解：由题意得 ， ，
可得 ， ，
则 = .
故选：A.
20．设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第二象限．若 为等腰三角形，则
点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据方程求 ，由题意分析可得 ，列方程求解即可.
【详解】由题意可知： ，
设 ，
因为 为 上一点且在第二象限，则 ， ，
又因为 为等腰三角形，且 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以点 的坐标为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： ,
21．若一椭圆以原点为中心，一个焦点坐标为 ，且长轴长是短轴长的 倍，求该椭圆的标准方程．
【答案】
【分析】根据题意可得 ， ，利用待定系数法即可求解.
【详解】由题可设椭圆的标准方程为 ,
因为椭圆一个焦点坐标为 ，且长轴长是短轴长的 倍，
则有 解得 ,
故椭圆的标准方程为 .
22．已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点 且与椭圆 有公共的焦点，求椭圆的标
准方程．
【答案】 ．
【分析】解法一：由题意设方程为 ，然后根据题意可得 和 ，求出
，从而可求得椭圆方程，解法二：由题意设 ，然后将 代入椭圆方程求出
，从而可求出椭圆方程.
【详解】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为 ，
由 ，得 ，所以 ，①
又 在椭圆上，则 ，②
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由①②解得： ，
即所求的方程是 ．
解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是： ，
则 ，
整理得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，
故所求的椭圆的标准方程是 ．
考点05求椭圆离心率
23． （2024届湖南省永州市高三一模数学试题）已知椭圆 的左、右焦点分别是
，点 是椭圆 上位于第一象限的一点，且 与 轴平行，直线 与 的另一个交点为 ，若
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 点坐标求得 点坐标，然后代入椭圆 的方程，化简求得椭圆 的离心率.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由 令 ，得 ，
由于 与 轴平行，且 在第一象限，所以 .
由于 ，
所以 ，
即 ，将 点坐标代入椭圆 的方程得 ，
，
，
所以离心率 .
故选：B
24．如图，A， 分别是椭圆 的左、右顶点，点 在以 为直径的圆 上（点
异于A， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆
的离心率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.
【详解】设 ，易知 ，
则 ， ，
又 ，
所以 .
故选：C
25．已知 是椭圆 的左焦点，若过 的直线 与圆 相切，且 的倾斜角为
，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造 的齐次方程，结合椭圆 关系可求得离心率 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意知： ，则直线 ，即 ，
与圆 相切， ，即 ，
， ， 椭圆的离心率 .
故选：A.
26．已知椭圆 为椭圆的对称中心， 为椭圆的一个焦点， 为椭圆上一点，
轴， 与椭圆的另一个交点为点 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意确定 ，进而可得 ，即可求椭圆的离心率.
【详解】
如图，不妨设 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，解得 ，
所以 ，
又因为 为等腰直角三角形，所以 ,
即 ，即 ，所以 ，
解得 或 （舍），
故选:B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】27．已知椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，焦距为 ，与坐标轴不垂直的直线
过 且与椭圆 交于 、 两点，点 为线段 的中点，若 ，则椭圆 的离心率为
．
【答案】 /
【分析】作出图形，分析可知 为等腰直角三角形，设 ，则 ，利用
椭圆的定义可得出 ， ，在 中，利用勾股定理可得出关于 、 的齐
次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为点 为线段 的中点， ，则 ，
所以， 为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，
所以， ，
所以， ，
由勾股定理可得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】整理可得 ，因此，该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
28． （2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知椭圆 的左､右焦点为 ，点 在椭圆上，
分别延长 ，交椭圆于点 ，且 ，则线段 的长为 ，椭
圆的离心率为 .
【答案】 /
【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、勾股定理、离心率等知识求得正确答案.
【详解】根据 ，以及椭圆定义，得 ，
设 ，则 ，
根据 ，由勾股定理，得 ；
在 中， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由勾股定理，得 .
，在 中，由余弦定理，
得 ，所以 ，离心率 .
故答案为： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点06求椭圆离心率的取值范围
29．已知圆 与椭圆 ，若在椭圆 上存在一点 ，使得由点 所作
的圆 的两条切线的夹角为 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆 上任意点 (与上下顶点不重合)作圆的切线 ， 且 ，根据题意
问题化为保证 时 ，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离
心率的取值范围.
【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆 上任意点 (与上下顶点不重合)作圆的切线 ，
如下图，
若 且 ，要 所作的圆 的两条切线的夹角最小，只需 最大，
所以，当 与左右顶点重合时 ，此时 最小； 靠近上下顶点时 无限接近 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在椭圆 上存在一点 ，使得 所作的圆 的两条切线的夹角为 ，
所以，保证 时 ，即 ，
由题意及图知： ，故 ，而 ，
所以椭圆 的离心率的取值范围是 .
故选：A
30．椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点P满足 ，
则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角 的范围，继而求出离心率的范围.
【详解】设椭圆的上顶点为 ,则令 ,
则 ,
且 ，
,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
故选：B.
31．若椭圆 上存在一点M，使得 （ ， 分别为椭圆的左、右焦点），
则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】
【分析】方法一：设点M的坐标是 ，则 ，由题意 ，即 ，结合点M
在椭圆上，可得 ，即可求出椭圆的离心率的取值范围；
方法二：设点M的坐标是 ，由已知可得出关于 、 的方程组，求出 ，可得出关于 、 、 的
不等式组，由此可解得椭圆的离心率的取值范围；
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，由题意 ，则 ，进而可求得椭圆的离心率的取值范
围.
【详解】方法一：设点M的坐标是 ，则 .
∵ ， ，∴ ， .
∵ ，∴ ，即 .
又点M在椭圆上，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故椭圆的离心率e的取值范围是 .
方法二：设点M的坐标是 ，
由方法一可得 消去 ，得 ，
∵ ，∴ ，
由②得 ，此式恒成立.
由①得 ，即 ，∴ ，则 .
又 ，∴ .
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是 .
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使 ，
∴ ，则 ，（ 最大时，M为短轴端点）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
故椭圆的离心率e的取值范围为 .
故答案为： .
32． （2021·陕西西安·统考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，半焦距为 ，
是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以 为半径的圆内切于 （ 的面积满足
），则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】因 在以 为半径的内切圆，由三角形面积公式可得 的关系，进而可得椭圆离心率
的范围.
【详解】
如图， ，
因为 的内切圆半径为 ，
所以 ，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
因 ，得 ，得 ，
因 ，故 ，
故答案为：
33．已知椭圆 的一个焦点为 ，椭圆 上存在点 ，使得 ，则椭圆 的离
心率取值范围是 ．
【答案】
【分析】不妨设 ，设 ，表示出 ， ，依题意可得 有解，根据数量积的坐
标表示得到方程 在 上有解，由二次方程根的分布知识得到关于 的不等式，
解得即可．
【详解】依题意不妨设 为椭圆的左焦点，则 ，
设 ，则 ， ， ，则 ，
若存在点 使得 ，则存在点 使得 ，
即 在 上有解，
即 在 上有解，
令 ，显然 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 且 ，
由 ，即 ，解得 或 ，
由 ，即 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
34．已知点 是椭圆 ： 的右焦点，点 关于直线 的对称点 在 上，其中
，则 的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出点 关于直线 的对称点 的坐标，代入椭圆 的方程中，整理可得 ，求
出 的范围则可求得离心率的取值范围.
【详解】过点 且与直线 垂直的直线 为 ，
两直线的交点 ，从而点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 在椭圆 上，
则 ，即
则 .
由于 ，则 ， ，
故答案为：
考点07直线与椭圆的位置关系
35．在椭圆 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大时，点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，当点 在第三象限且椭圆在点 处的切线与直线 平行时，点 到
直线 的距离取得最大值，可设切线方程为 ，将切线方程与椭圆方程联立，
求出 的值，利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】如下图所示：
根据题意可知，当点 在第三象限且椭圆在点 处的切线与直线 平行时，
点 到直线 的距离取得最大值，可设切线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，消去 整理可得 ，
，因为 ，解得 ，
所以，椭圆 在点 处的切线方程为 ，
因此，点 到直线 的距离的最大值为 ,
联立 ，
可得点 的坐标为 .
故选：B.
36．已知直线 与椭圆 ，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和
没有公共点时m的取值范围．
【答案】答案见解析
【分析】联立直线l的方程与椭圆C的方程，消去y，得到一元二次方程，根据该一元二次方程根的判别式
进行求解即可.
【详解】联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组
消去y，整理得 ， ①
因为①的判别式为
，
所以：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 即 时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直
线l与椭圆C有两个公共点；
当 即 时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l
与椭圆C有且只有一个公共点；
当 即 或 时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没
有公共点．
37．如图，已知直线 和椭圆 ．m为何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
【答案】(1)
(2) ，
(3) ，或
【分析】（1）直线 与椭圆 的公共点的个数与方程组 ，得到 ，
根据 求解即可.
（2）直线 与椭圆 的公共点的个数与方程组 ，得到 ，根据
求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）直线 与椭圆 的公共点的个数与方程组 ，得到 ，根据
求解即可.
【详解】（1）由方程组 消去y，得 ，
．
由 ，得 ．
此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
（2）由 ，得 ， ．此时方程①有两个相等的实数根，
直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
（3）由 ，得 ，或 ．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．
38．已知直线 与椭圆 相交于不同两点，求实数 的取值范围．
【答案】 或
【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式大于 ，解不等式可得结果.
【详解】联立 ，消去 并整理得 ，
依题意得 ，即 ，
解得 或 .
考点08椭圆的弦长问题
39．（多选）已知过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，则弦长 可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先设直线，再联立方程组得韦达定理，求出弦长,最后确定范围即可.
【详解】当直线斜率存在时，设过 斜率存在的直线方程为： ，
联立方程组 消去 ，并整理得 ，易得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
，
当斜率不存在时 ，故 ．
故选:BC．
40．过椭圆 的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且 ，则直线方程为 ．
【答案】 或
【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后求出 ，从而可求出左焦点的坐标，设直线 为
，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程可求出 ，从而可求出直线
方程.
【详解】椭圆 ，即 ，则 ， ， ，左焦点为 ，
设直线 为 ， ，
由 ，得 ，
整理得 ，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，
，解得 ，
所以直线 为 ，
即 或 ．
故答案为： 或
41．已知椭圆 的左焦点为 ，直线l： 与椭圆C交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把直线方程代入椭圆方程，求得交点坐标，可求线段AB的长；
（2）结合（1）的结论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）联立 ，或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
当 时， ，不妨设 ，
；
（2）由 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 .
42．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不
同的交点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知离心率 且焦距为 ，结合焦距为 即可得解.
（2）由题意已知 ，所以设出直线方程（只含有一个参数即截距，不妨设为 ），将其与椭圆方程联
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】立后，再结合韦达定理可将 表示成 的函数，进一步求其最大值即可.
【详解】（1）由题意得 ,
解得 , ， ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）因为 ，所以设直线 的方程为 ， ， .
联立得 得 ，
又直线 与椭圆 有两个不同的交点，
所以 ，∴
∴ ，
∴
故当 ，即直线 过原点时， 最大，最大值为 .
43．已知椭圆 的下焦点 、上焦点为 ，离心率为 .过焦点 且与 轴不垂直的直
线 交椭圆 于 ， 两点.
(1)求 的值；
(2)求 （ 为坐标原点）面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据离心率列式计算即可；
（2）直线 ，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、面积公式写出 面积关于k的表达式，
进而利用基本不等式求最大值.
【详解】（1）由题意可得， ，因为离心率 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ；
（2）由（1）知，椭圆 的上焦点为 ，
设 ，直线 ，
联立 ，整理得： ，
则 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】44．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上一动点，
，椭圆 的离心率为 ，直线 过点 交椭圆 于不同的两点 ， .
(1)求椭圆 的方程：
(2)若三角形 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) ，或 .
【分析】（1）根据题意转化为关于 的方程组，即可求解；（2）首先设直线 的方程为 ，
，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示三角形 的面积，即可求解.
【详解】（1）设椭圆 的半焦距为 ，由已知有 ，解得
故椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为 ， ，
联立 消去 ，整理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
且 ，即 或 .
所以 的面积为
，
令 ，得 ，
解得 或 ，
从而 或 .
故直线 的方程为 ，或 ，
即 ，或 .
考点09椭圆的中点弦问题
45．已知椭圆方程为 ，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．
若AB的中点坐标为 ，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用点差法求解即可．
【详解】设 ，代入椭圆的方程可得 ， ．
两式相减可得： ．
由 ， ，代入上式可得：
＝0，化为 ．
又 ， ，联立解得 ．
∴椭圆的方程为： ．
故选：C．
46．若椭圆 的弦 被点 平分，则 所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法求出直线 的斜率，再利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】若直线 轴，则点 、 关于 轴对称，则直线 的中点在 轴，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设点 、 ，则 ，
所以， ，两式作差可得 ，
即 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
47．已知椭圆 ，直线 依次交 轴、椭圆 轴于点 四点．若
，且直线 斜率 ．则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可知： 的中点即为弦 的中点，利用点差法运算求解.
【详解】设直线 ： ，可得 ，
设 的中点为 ，连接OM，则 ， ，
因为 ，则 ，即 为弦 的中点，
设 ，则 ，
因为 ，
可得 ，两式相减得 ，
整理得 ，可得 ，
即 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以椭圆 的离心率为 .
故选：D.
48．已知椭圆 的长轴长为 ，且与 轴的一个交点是 ，过点 的
直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 ，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则
的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题意可求得椭圆方程为 ，由 ，得点 为线段 的中点，然后利用点差
法可求出直线 的方程，则 的最小值为点 到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出
结果.
【详解】由题意得 ，则 ， ，
所以椭圆方程为 ，
因为 ，所以 在椭圆内，所以直线 与椭圆总有两个交点，
因为 ，所以点 为线段 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ，
，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以直线 为 ，即 ，
因为M为直线 上任意一点，
所以 的最小值为点 到直线 的距离 ，
故选：B
49．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的
轨迹为曲线
(1)求 的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，该直线方程为
【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得 ，结合椭圆的定义可求出结果；
（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】（1）设动圆 的半径为 ，
依题意得 ，所以 为定值，且 ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
， ， ， ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）假设存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，
设 ， ，
则 ，两式相减得 ，
得 ，即 ，
由点斜式得直线 方程为 ，即 .
所以存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，且该直线方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】50．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭
圆的长半轴长与短半轴长的乘积 已知椭圆 的右焦点为 ，过 作直线 交椭圆
于 两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆右焦点坐标可知 ，由弦 中点坐标为 可利用点差法求得 ，
联立即可解得 ，再由椭圆面积公式即可求得结果.
【详解】设 的中点为 ，即 ，如下图所示：
易知 ，即 ；
设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 中点坐标为 ，所以
则 ；
又 两点在椭圆 上可得 ，
两式相减可得 ，整理得 ，
解得 ，联立 可解得 ；
即
所以椭圆的面积为 .
故选：A
考点10直线与椭圆的综合问题
51．已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求 的方程；
(2)过椭圆 外一动点 作椭圆 的两条切线 ， ，斜率分别为 ， ，若 恒成立，证明：存
在两个定点，使得点 到这两定点的距离之和为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，联立 的方程即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而得到 ， 为关于 的方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的两根，利用韦达定理可得 ，进而得点 在椭圆
上运动，由椭圆的定义即可求解.
【详解】（1）设 的半焦距为 ，
则由离心率 ，得 ，所以 ，
因为 经过点 ，所以 ，即 ，
得 ， ．
所以 的方程为 ．
（2）设 ，直线 的方程为 ，即 ，
记 ，则 的方程为 ，
代入椭圆 的方程，消去 ，得 ．
因为直线 ，与椭圆 相切，
所以 ，即 ，
将 代入上式，整理得 ，
同理可得 ，
所以 ， 为关于 的方程 的两根，
从而 ，
整理可得 ，所以点 在椭圆 上运动，
所以存在两个定点 ， ，使得 ，为定值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】52．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为2.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆上顶点，点 是椭圆 上异于顶点的任意一点，直线 交 轴于点 ，点 与点 关于
轴对称，直线 交 轴于点 .问：在 轴的正半轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ; (2) .
【分析】(1)利用椭圆的几何性质建立方程组求解基本量得椭圆的标准方程；(2)设出点B的坐标，写出直线
的方程，求出N点坐标，同理求出M点坐标，利用直角三角形中正切函数的定义建立方程，结合椭圆
方程即可求解．
【详解】解：(1)由题意知， ，则 ，因为 ，所以 ，
则 ，解得 或 (舍去)，所以椭圆方程为 .
(2) 由（1）知， ，设 ，
则直线 的方程为 ．令 ，得 ，即 ．
因为点B与点A关于x轴对称，所以 ．则直线 的方程为 ．
令 ，得 ，即 ．假设存在点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】使得 ．由 ，得 ，
即 ．因为 ，
所以 ．又 ，所以 ．
经验证，当 时， ．所以在y轴的正半轴上存在点 ，
使得 ．
【点睛】关键点睛:
第二问的关键是将角相等的已知条件，结合正切函数，转化为边长之比相等，从而列出方程.
53．已知椭圆 ： 的焦点为 ， ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的上顶点为 ，过点 作直线交椭圆于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ，
，试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为1，理由见解析.
【解析】（1）由题意，得出关于 的方程组，求得 的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组 ，利用根与系数的关系，得到
，结合斜率公式进行计算，即可求得 是为定值.
【详解】（1）椭圆 ： 的焦点为 ， ，且过点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，解得 ，所以椭圆的方程为 .
（2）由（1）可得点 ，
设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，
则
，
所以 是为定值 .
【点睛】有关直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元
二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考
查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
54．已知圆 上有一动点 ，点 的坐标为 ，四边形 为平行四边形，线段
的垂直平分线交 于点 .
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作直线与曲线 交于 两点，点 的坐标为 ，直线 与 轴分别交于
两点，求证：线段 的中点为定点，并求出 面积的最大值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）4.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得 为一定值，
，故可确定点 轨迹为椭圆（ ），进而求解；
（Ⅱ）设直线方程为 ，点 坐标分别为 ，联立直线与椭圆方程得
， ，分别由点斜式求得直线KA的方程为 ，令 得
，同理得 ，由 结合韦达定理即可求解，而
，当 重合交于 点时，可求最值；
【详解】（Ⅰ） ，
所以点 的轨迹是一个椭圆，且长轴长 ，半焦距 ，
所以 ，轨迹 的方程为 .
（Ⅱ）当直线 的斜率为0时，与曲线 无交点.
当直线 的斜率不为0时，设过点 的直线方程为 ，点 坐标分别为 .
直线与椭圆方程联立得 消去 ，得 .
则 ， .
直线KA的方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 得 .
同理可得 .
所以
.
所以 的中点为 .
不妨设 点在 点的上方，
则 .
【点睛】本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题
55．已知椭圆 ： ， 为椭圆 的右焦点，三点 ， ，
中恰有两点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆 的左右端点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ），求证：直
线 与直线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由对称性得到点 ， 在椭圆 上，结合焦点坐标，得到方程组，求出
， ，求出椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，设 ， ， ，得到两根之和，
两根之积，由 和 共线得到方程组，联立后得到 ，求出 ，得到交点 在定直
线上，并求出该直线的方程.
【详解】（1）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ①,
由对称性得，点 ， 在椭圆 上，代入得 ②,
联立①②解得， ， ，
所以椭圆 的标准方程为： .
（2）由条件知直线 与直线 不重合，故直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ，
由（1）可得 ， ，
由 共线得： ③，
由 共线得： ④，
由③÷④消去 并整理得， ，
即 ，所以 ，
综上所述，直线 与直线 的交点 在定直线 上运动.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
56．已知 和 是椭圆 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于M，N两
点，直线 不经过坐标原点 ，且不与坐标轴平行，直线 与直线 的斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线OM与椭圆 的另外一个交点为 ，直线 与直线 相交于点 ，直线PO与直线 相交于点
，证明：点 在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定直线为
【分析】（1）设 ， ，依题意可得 ，进而结合 可得 ，从而求
解；
（2）设直线 的方程为： ，联立直线 和椭圆方程，结合韦达定理可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结合三点共线可得 ， ，进而得到 ，进而得到直线OP的方程，进而
联立直线OP与直线 的方程即可求解.
【详解】（1）设 ， ，
所以 ，即 ，
由题意知 ，所以 ，
所以 ，
则椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为： ，
联立椭圆 的方程，得 ，
所以 ，
则 ，
由根与系数的关系，得 ， ，
设 ，
由P，S， 三点共线，得 ，
由P，N， 三点共线，得 ，
则
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线OP的斜率为 ，
则直线OP的方程为 ，
联立直线OP与直线 的方程，可得 ，解得 ，
所以点 在一条定直线上，该定直线的方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
