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考点巩固卷 10 三角函数的图象及性质（十一大考点）
考点01：三角函数的定义域、值域
1．函数 的定义域是__________.
【答案】
【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域是 .
故答案为： .
2．已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调增区间；
(2)求证：当 时，恒有 .
【答案】(1) 的最小正周期为 ，单调增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式将函数化简，代入周期的计算公式即可求出周期，根据正弦函
数的单调性即可求解函数的单调增区间；
（2）根据自变量 求出 ，然后利用正弦函数的图像即可求证.
【详解】（1）函数
，
∴函数 的最小正周期 ，
令 ，得 ，
∴函数 的单调增区间为 .
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，
∴
即当 时， 恒成立，得证.
3．函数 的最小值是______．
【答案】
【分析】用 代换 ，化简函数解析式为 ，利用二次函数的性质即可得到函
数的最小值.
【详解】函数 ，
令 ，所以 ，
因为函数的对称轴为 ，
所以函数在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时，函数有最小值 .
故答案为：
4．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 有意义满足 ，即 ， ，
解得 ，
故选：D
5．函数 ， 的值域是______.
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式得出 ，由 的范围得出 的范围，再利用余弦函数的基本
性质可得出答案.
【详解】 ，且 ， ，
， ，
因此函数 在 的值域是 .
故答案为： .
6．函数 的值域为______.
【答案】
【分析】变换 ，根据 得到 ，得到值域.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则 ， ，故 .
故答案为：
考点02：由三角函数的值域（最值）求参数
7．设函数 ，已知 ，当 ______时， 的最小值为-2，此时
______.
【答案】
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简 ，即可由正弦型函数的性质求解最
值.
【详解】 .
∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时， 取得最小值为 ，∴ .
故答案为： ；
8．已知函数 在区间 上存在最大值，则实数 的取值范围为________．
【答案】
【分析】化简 ，得 ，转化为 在区间 上存在最小值，根据
余弦函数的性质可得结果.
【详解】 ，
因为 在区间 上存在最大值，所以 在区间 上存在最小值，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以 ，即 .
故答案为：
9．已知函数 的部分图象如图所示，且 在 上恰有一个最大
值和一个最小值，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】由 ，推出 ，从而知 ，再由 ，求得 的取值范围，
并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．
【详解】由图知 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由 ，知 ，
因为 在 上恰有一个最大值和一个最小值，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
10．函数 的定义域为 ，值域为 ，则α的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数关系化简后换元，得二次函数，利用二次函数单调性可知 ，即
，据此结合余弦函数图象与性质可得 的范围.
【详解】由 ，
令 ，得： ，二次函数开口向下，对称轴为 ，
因为 ，所以函数为递增函数，
因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 时， ，使函数的值域为 ，
所以由余弦函数图象与性质可知， ，所以 的取值范围是： ．
故选：A
11．已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 在 取最大值，可判断 要么在 的单调减区间上，要么满足左端
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学科网（北京）股份有限公司点到对称轴 不小于右端点，即可得 ，进而可求 的最小值.
【详解】 的周期为 ， 的单调递增区间为 ,单调递减区间为
，
当 取最大值，故可知 ，
当 时，即 ， , 在 单调递减，显然满足最大值为
，
当 时，要使 是最大值，则需满足 ，
综上可知当 , 时， 在 取最大值 ，
在 , 单调递减，故当 时， 取最小值，且最小值为 ，
故选：D
12．当 时，函数 的值域是 ，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：画出函数的图象，由 的范围求出 的范围，根据 的值域可得答案；
解法二：由 的范围求出 的范围，根据 的图象性质和 的值域可得答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由 ，可知 ，
因为 且 ，
要使 的值域是 ，只要 ，
即 ；
解法二：由题 ，可知 ，
由 的图象性质知，要使 的值域是 ，
则 ，解之得 ．
故选：D.
考点03：求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性
13．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦函数的倍角公式化简题设函数，从而利用最小正周期公式即可得解.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以所求最小正周期为 .
故选：C.
14．（多选）设函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图像关于直线 对称
C． 的一个零点为
D． 在 单调递减
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法或代入检验法可求出函数的对称轴、
对称中心和单调区间．
【详解】函数 ，最小正周期为 ，A选项正确；
由 ，解得 图像的对称轴方程为 ，当 时， ，B选项
正确；
， 不是 的零点，C选项不正确；
时，有 ， 是正弦函数的单调递减区间，
所以 在 单调递减，D选项正确.
故选：ABD
15．（多选）下列函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递增的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依次判断选项的周期和单调性即可得到答案.
【详解】对于A： 的最小正周期 ，且在区间 上单调递增，故A符合题意；
对于B： ，将 在x轴下方的图象翻折到上方，
可知最小正周期 ，在区间 上单调递减，故B不符合题意；
对于C， 的最小正周期 ，
，则 在区间 上单调递增，故C正确；
对于D， ，的最小正周期 ，
，则 在区间 上有增有减，故D不正确.
故选：AC.
16．（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为－2
B． 的单调增区间为 ，
C． 的对称中心为 ，
D．若 为偶函数，则 最小值是
【答案】BD
【分析】根据二倍角的正弦余弦公式和辅助角公式，利用三角函数的性质及诱导公式即可求解.
【详解】 ，
可得 的最小值为 ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以 的单调增区间为 ， ，故B正确；
由 ，得 ，所以 的对称中心为 ， ，故C错误；
若 为偶函数，即 是偶函数，
所以 ，解得 ，可得 最小值是 ，故D正确.
故选：BD.
17．（多选）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【分析】化简得到 ，计算 为偶函数，关于直线 对称，关于点 对称，
在 上单调递减，得到答案.
【详解】
.
对选项A： ， ，正确；
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学科网（北京）股份有限公司对选项B： ， ， 在 上单调递减，错误；
对选项C：当 ，则 ， 是 的对称轴，正确；
对选项D：当 时， ，故 的图象关于点 对称，正确.
故选：ACD
18．已知向量 ，设函数 ，则下列关于函数 的性质的描述
正确的是（ ）
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．周期为 D． 在 上是增函数
【答案】D
【分析】先利用向量的数量积表示函数，再利用公式化简，根据三角函数图像和性质判断.
【详解】因为向量 ,
.
所以 .
对于A，把 代入 得 ，没有取得最值，所以不成立.
对于B，把 代入 得 ，所以不成立.
对于C，由于周期 ,所以不成立.
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学科网（北京）股份有限公司对于D，因为 ，又 ，
所以 在 上是增函数.
故选：D.
考点04：解三角不等式
19．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的值；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得 ，代入求值可得答案；
（2）利用（1）中结论，由不等式 可得 ，结合正弦函数性质即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得
，
故当 时， ；
（2）由 可得 ，
即 ，故 ,
故不等式 的解集为 .
20．根据三角函数的图象，写出使下列不等式成立的 的集合：
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学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）结合 的图象求得正确答案.
（2）结合 的图象求得正确答案.
（3）结合 的图象求得正确答案.
（4）结合 的图象求得正确答案.
(1)
画出 的图象如下图所示，
由图可知，不等式 的解集为 .
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学科网（北京）股份有限公司(2)
画出 的图象如下图所示，
，
由图可知，不等式 的解集为 .
(3)
画出 的图象如下图所示，
由图可知，不等式 的解集为 .
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学科网（北京）股份有限公司(4)
画出 的图象如下图所示，
由图可知，不等式 的解集为 .
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学科网（北京）股份有限公司21．解不等式组
【答案】 ．
【分析】利用三角函数线求解可得.
【详解】由 ，得
在直角坐标系中作单位圆，如图所示，
由三角函数线可得：
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学科网（北京）股份有限公司解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为 ．
22．在 中， 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过三角函数性质结合充分条件与必要条件的推导即可得出答案.
【详解】在 中， ，
则 或 ，
故 推不出 ， 可推出 ，
则在 中， 是 的必要不充分条件，
故选：B.
23．求函数 的定义域为_________．
【答案】
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数 有意义，则 ，即 ，
解 ，得 ，
解 ，得 ，于是 ，
所以所求定义域为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
考点05：根据单调求参数
24．函数 的最小正周期为________，若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值
为________.
【答案】
【分析】根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果.
【详解】函数 的最小正周期 .
由 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，
若函数 在区间 上单调递增，则 ， ，
则 ，则 ，即 的最大值为 .
故答案为： ； .
25．（多选）已知函数 的图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，则
以下（ ）可能是 的值.
A． B．4 C． D．
【答案】ABC
【分析】根据 的对称中心和单调性列不等式，求得 的范围，从而确定正确答案.
【详解】由于 关于点 对称，所以 ，
①.
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，且 在区间 上是单调函数，所以 在 上递减，
，所以 ②.
由①②得 ，
所以 或 或 ，
所以 ，或 ，或 .
故选：ABC
26．（多选）若函数 在区间 上单调，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】方法一：首先求得 ，由 在 上单调可构造不等式组，
结合 可确定 所有可能的取值，由此可得 的范围，进而确定选项；
方法二：利用诱导公式可化简得到 ，得到 ，根据 ，可确定
，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得 的范围，进而确定选项.
【详解】方法一：当 时， ，
在区间 上单调，
或 ，
或 ；
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学科网（北京）股份有限公司由 得： ；又 ， ； ，
又 ， ， ，又 ， ；
由 得： ；又 ， ， ，
又 ， ， ，即 ；
综上所述： .
方法二： ，
当 时， ；
在 上单调， ， ；
由 ， 知： 或 ，解得： 或 ，
.
故选：AC.
27．函数 在 上是减函数，且在 上恰好取得一次最小值 ，
则 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据 的最值情况，即可得出 .根据函数的单调性，结合求得的范围 ，列出
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学科网（北京）股份有限公司不等式组 ，求解即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 .
因为 在 上恰好取得一次最小值 ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为， 在 上是减函数，
根据余弦函数的单调性可知 ，解得 .
所以， .
故答案为： .
28．已知函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可知，函数 在 上为减函数，由 可得出 ，根据余
弦型函数的单调性可得出 ，可得出关于 的不等式组，由此可得出正实数
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围.
【详解】对任意的 ， 恒成立，
因为函数 在区间 内单调递增，
所以，函数 在 上为减函数，
当 时，因为 ，则 ，
所以， ，
所以， ，解得 ，
所以， ，解得 ，
因为 ，则 ，所以， .
故选：A.
29．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 ，再根据 的单调区间，列出不等式组求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又因为 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ,解得： ，
因为 ，故 ，而 ，故 ，故 .
故选：C
考点06：根据对称求参数
30．若函数 的图像关于 轴对称，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知当 时， 取得最值，从而可得 ，进而可得答案.
【详解】因为函数 的图像关于 轴对称，
所以当 时， 取得最值，
所以 ，得 ，
对于A，若 ，则 ，解得 ，不合题意，
对于B，若 ，则 ，解得 ，不合题意，
对于C，若 ，则 ，解得 ，题意，
对于D，若 ，则 ，解得 ，不合题意，
故选：C
31．已知函数 的图象关于点 对称，那么 的最小值为________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.
【详解】 的图象关于点 对称， ，即
，令 ，可得 的最小值为 ．
故答案为：
32．直线 和 是曲线 的相邻的两条对称轴，则 _____
【答案】2
【分析】由题意可得 ，求出周期，再利用周期公式可求出 的值.
【详解】因为直线 和 是曲线 的相邻的两条对称轴，
所以 ，得周期 ，
所以 ，得 ，
故答案为：2
33．若函数 在区间 上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得到 ，再求出 ，结合对称轴条数得
到不等式，求出答案.
【详解】 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 区间 上恰有唯一对称轴，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 .
故选：D
34．（多选）已知函数 在 上单调，且 的图象关于点 对称，
则（ ）
A． 的最小正周期为
B．
C．将 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数 在 上有且仅有一个零点
【答案】ACD
【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出 ，再根据最小正周期公式可判断A；根据解析式计算可判
断B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C，利用余弦函数的图象可判断D.
【详解】因为函数 在 上单调，
所以 的最小正周期 满足 ，即 ，所以 .
因为 的图象关于点 对称，
所以 ， ，得 ， ，
由 ，得 ，因为 ，所以 ， .
所以 .
对于A， 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，故B不正确；
对于C，将 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为 为偶函
数，故C正确；
对于D， ，令 ，得 ，
令 ，由 ，得 ，
作出函数 与直线 的图象如图：
由图可知，函数 与直线 的图象有且只有一个交点，
所以函数 在 上有且仅有一个零点，故D正确.
故选：ACD
35．（多选）已知函数 图象的一个对称中心是 ，且 ，则以下结论正确
的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 为偶函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则
【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由条件结合正弦函数的对称性可求 ，根据正弦型函数的周期公式求周期判断A；根据三角函数
的平移变换结合函数的奇偶性的定义可判断B；求函数 在 上的最小值可判断C；根据三角函数的
单调性可判断D.
【详解】因为点 是函数 的一个对称中心，
，解得 ， ，
又因为 ，所以 ， ，
对于A项：最小正周期为 ，故A错；
对于B项：因为 ，
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，
所以函数 为偶函数，故B对；
对于C项：当 时， ，
所以 ，
可得 ，所以 的最小值为 ，故C对；
对于D项：当 时，所以 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，故D错，
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学科网（北京）股份有限公司故选：BC．
考点07：由图象确定三角函数解析式
36．（多选）如图是函数 的部分图象，则下列结论正确的有（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． D．函数 在 上有2个零点
【答案】ACD
【分析】由函数 的图象，得到 ，得到 ，可判定A正确，B不正确；再由三角
函数的性质，可判定C正确；由当 时，得到 ，得到 ，可判
定D正确.
【详解】由函数 的图象，可得 ，解得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以A正确，B不正确；
又由 ，所以C正确；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，可得 ，
当 时，即 时，可得 ；
当 时，即 时，可得 ，所以函数 在 上有2个零点，所以D正确.
故选：ACD.
37．（多选）若函数 （ ， ， ）的图象如图，且 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为5
B．函数 的对称轴为 ，
C．函数 在 内没有单调性
D．若将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，得到的函数图象关于 轴对称，则 的最小值为1
【答案】BD
【分析】根据给定的函数及图象，结合“五点法”作图，求出函数 的解析式，再逐项分析、计算判断
作答.
【详解】观察图象知， ，而 ，解得 ，又 ，则 ，
因为 ，由“五点法”作图知， ，解得 ，于是 ，
对于A，函数 的周期 ，A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，由 ，得 ，函数 图象的对称轴为 ，B正确；
对于C，当 时， ，因此函数 在 上单调递增，C错误；
对于D，将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，得到函数 的图象，
依题意， ，解得 ，因此 ，D正确.
故选：BD
38．（多选）已知 是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数
图象的一部分(如图所示)，则（ ）
A． 的定义域为
B．当 时， 取得最大值
C．当 时， 的单调递增区间为
D．当 时， 有且只有两个零点 和
【答案】BCD
【分析】先利用待定系数法求出 ，再根据原点右侧的第二个零点为 ，即可判断A；求出
的值即可判断B；求出当 时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C；求出当 时的零点，结合函
数为偶函数即可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由图得 ，且位于增区间上，
所以 ，又因为 ，所以 ，
，
则 ，得 ，所以 ，
所以 ，
由图可知，原点右侧的第二个零点为 ，
所以 的定义域为 ，故A错误；
当 时， ，
因为 为最大值，则当 时， 取得最大值，故B正确；
当 时，令 ，则 ，
又因为 ，
所以当 时， 的减区间为 ，
因为函数 为偶函数，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，故C正确；
当 时， ，令 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 或 ，则 或 ，
因为函数 为偶函数，
所以当 时， 有且只有两个零点 和 ，故D正确.
故选：BCD.
39．（ 2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的
两个交点，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得， ，从而得
到 的值，再根据 以及 ，即可得 ，进而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
40．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．将 的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在 上单调递增
【答案】C
【分析】由图象求出 的表达式后逐一验证选项即可.
【详解】由函数图象可知，最小正周期为 ，所以 ，
将点 代入 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ， ，解得 ，
，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图象，令
， ，
解得 ， ，
令 得 ，因为 ，故D错误.
故选：C.
41．已知函数 的部分图象如图所示，其中 ，图中函数 的图象与
坐标轴的交点分别为 ，则下列代数式中为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据图象，由 求出 ，再由M，N点的坐标求出 为定值.
【详解】由图象可得， ，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
则 .
故选：D
考点08：描述三角函数的变换过程
42．怎样由函数 的图像变换得到 的图像
【答案】答案见解析
【分析】根据函数图像变换的规则.
【详解】现将 向右平移 个单位，得到 ，然后使得纵坐标不变，横坐标变为原来的
即可.
43．已知函数 的部分图象如下所示，其中 ，为了得
到 的图象，需将（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．函数 的图象的横坐标伸长为原来的 倍后，再向左平移 个单位长度
B．函数 的图象的横坐标缩短为原来的 后，再向右平移 个单位长度
C．函数 的图象向左平移 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 倍
D．函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 倍
【答案】D
【分析】根据已知条件可知， ，即可求得 ，再代入点的坐标，根据已知条件的
来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得.
【详解】依题意， ，解得 ，故 ，则 ，而
2，故 ，而 ，故 .将函数
的图象向右平移 个单位长度后，得到 ，再将横坐标伸长为原来的 倍，
得到 .
故选：D.
44．（多选）为了得到函数 的图象，只需把 函数图象上所有点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 倍
B．向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 倍
C．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位长度
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用诱导公式将 化简，再根据三角函数的变换规则一一判断即可.
【详解】因为 ，
所以将 向左平移 个单位长度得到 ，
再将横坐标缩短到原来的 倍得到 ，故A正确；
将 向右平移 个单位长度得到 ，
再将横坐标缩短到原来的 倍得到 ，故B正确；
将 横坐标伸长到原来的 倍得到 ，
再将 向左平移 个单位长度得到 ，故C错误；
将 横坐标缩短到原来的 倍得到 ，
再将 向左平移 个单位长度得到 ，故D正确；
故选：ABD
45．（多选）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到
B．函数 图象可由函数 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得
到
C．函数 图象可由函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得
到
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学科网（北京）股份有限公司D．函数 图象的对称轴为 ，
【答案】BC
【分析】利用三角函数图象变换分别分析并判断选项A，B，C；求出函数 图象的对称轴判断D作答.
【详解】对于A，函数 的图象向右平移 个单位得到：
函数 的图象，A错误；
对于B，函数 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到：
函数 的图象，B正确；
对于C，函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到：
函数 的图象，C正确；
对于D，由 ，得 ，即函数 图象的对称轴为 ，D错误.
故选：BC
46．为了得到函数 的图象，需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.
【详解】易知 ，
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学科网（北京）股份有限公司，因为 ，
所以函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象.
故选：D．
47．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【分析】根据三角函数的平移变换法则（左加右减）即可求解.
【详解】由于函数 ，所以要得到函数 的图象，只需
将函数 的图象向右平移 个单位长度.
故选：A.
考点09：求图象变换前（后）的函数解析式
48．将函数 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 ，然后再将整个图像沿x轴向右平移 个单
位长度，得到的曲线与 的图像相同，则 的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数图像变化规律，反向变化即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】先将 的图像向左平移 个单位长度，得到 ，
再将图像上所有点的横坐标变到原来的2倍，得到 .
故选：B
49．已知函数 的最小正周期为T．若 ，把 的图象向右平移 个
单位长度，得到偶函数 的图象，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦型函数的图象变换、奇偶性、周期性进行求解.
【详解】由题知，把函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象．
因为 为偶函数，所以 ，即 ．
又 ，所以 ．
因为 的最小正周期为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
所以 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
50．函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到一个偶函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最小正周期求出 ，写出平移后的解析式，根据其为偶函数得到 ， ，
根据 的范围即可得到答案.
【详解】由题得最小正周期 ，可得 ，所以 .
的图象向右平移 个单位长度后为偶函数 的图象，
故 ， ， ， ．
， ，
故选：D．
51．已知函数 的部分图象如图．
(1)求 的表达式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度得到曲线 ，把 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的 倍得到函数 的图象．若关于 方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的
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学科网（北京）股份有限公司取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图可知 ，求出周期，再利用周期公式求出 ，然后将 代入函数中
可求出 的值，从而可求出 的表达式；
（2）先由三角函数图象变换规律求出 的解析式 ，令 ，，则将问题转化
为 与 的图象在 有两个不同的公共点，作出函数图象，利用图象求解即可.
【详解】（1）函数 的周期为 ，由图象可得 ，得
所以 ，
所以 ，
因为 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到曲线 ： ，
因为再把 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍得到函数 的图象，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，
所以 在 上有两个不同的实数解，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以只需 与 的图象在 有两个不同的公共点，
作出 在 上的简图如下，
由图可知当 或 时， 与 的图象有两个不同的公共点，
所以实数 的取值范围为
52．（多选）将函数 的图像的横坐标伸长为原来的2倍后，再向左平移 个单位长度，
得到函数 的图像，则（ ）
A． 的周期为 B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D． 在 上单调递减
【答案】BC
【分析】利用函数 的图像变换规律得到 的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论.
【详解】由题意得， ，则 ，故A错误；
，故B正确；
∵ ，∴ 是 图像的一条对称轴， ,故C正确；
∵ ，∴ ，∴ 在 上单调递增，故D错误.
故选：BC.
53．已知函数 的图象上相邻的两个对称中心之间的距离为 ，将函数
的图象向左平移 个单位后可得到一个偶函数的图象，则函数 在区间（ ）上单调递增．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】两个对称中心之间的距离为半个周期，可得T和ω，由图像平移的知识点可得平移后函数解析式，
由偶函数的性质列方程求 ，得出 ，然后求出单调递增区间即可得到结果.
【详解】函数 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，
则T＝π，所以ω＝2，
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学科网（北京）股份有限公司将函数f(x)的图象向左平移 后所得图象的函数解析式为 ，
由已知 是偶函数，
故 ，
解得 ，
由于 ，
所以当k＝0时， ．
所以 ，
令 ，
解得 ，
当 时，单调递增区间为 ，
当 时，单调递增区间为 ，
由于 ，
故选：A.
考点10：三角函数图象与性质的综合应用
54．已知函数 ， ，
(1)求 的单调递减区间；
(2)求 在闭区间 上的最大值和最小值；
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学科网（北京）股份有限公司(3)将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 上所有零点
之和．
【答案】(1)
(2)最小值为 ，最大值为
(3)
【分析】（1）先将函数 化简成一个三角函数，再根据单调区间公式求得即可；
（2）先由 求出整体角的取值范围，再求得 的最大值和最小值；
（3）先根据图形变换求出 ，在求其零点得出结果.
【详解】（1）函数
.
令
解得 ，
所以函数的单调递减区间为 ，
（2）由（1）得 ，
由于 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ，
当 时，函数 的取最小值，最小值为 ，
当 时，函数 的取最大值，最大值为 .
（3）将函数的图象 向左平移 个单位得到函数 的图象，
令 ， ，即 ，
整理得 ，即 或 ，
当 时， 或 ，即 ， ；
当 时， ， ；
当 时， ；
故所有零点之和为 ．
55．已知函数 的图像相邻对称轴之间的距离是 ，______；
①若将 的图像向右平移 个单位，所得函数 为奇函数．
②若将 的图像向左平移 个单位，所得函数 为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)设函数 的零点为 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦函数图像的性质得出 ，选①：由正余弦函数的奇偶性得出 ，
进而由二次函数的性质求解即可；选②：由正余弦函数的奇偶性得出 ，进而由二次函数的性质求解即
可；
（2）由 得出 ，再由诱导公式结合倍角公式求解即可.
【详解】（1）因为函数 的图像相邻对称轴之间的距离是 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
选①：
当将 的图像向右平移 个单位，得到函数 ，
因为 为奇函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
选②： 的图像向左平移 个单位，得到函数 ，
因为函数 为偶函数，所以 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，则
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
（2）因为函数 的零点为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
.
56．（多选）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的部分图象如
图所示，有下列四个结论：① ；② 在 上有两个零点；③ 的图象关于直线
对称；④ 在区间 上单调递减，其中所有正确的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BD
【分析】根据平移后的函数图象，结合函数周期以及特殊点求得参数 ，可得 解析式，由此计算
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学科网（北京）股份有限公司判断①，求出 在 上的零点，判断②，将 代入函数解析式验证，判断③，根
据正弦函数的单调性可判断④，即得答案.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象
对应的函数解析式为： ，
由图像知 ,
将点 代入 表达式中，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ；
故 ，故①错误；
即 ，
由 得 ，故 或 ，即 或 ，
即 在 上有两个零点，②正确；
将 代入 ，得 ，
即 的图象不关于直线 对称，③错误；
当 时， ，由于正弦函数 在 上单调递减，
故 在区间 上单调递减，④正确，
故选：BD
57．（多选）已知函数 ，若 ，且直线 与函
数 的交点之间的最短距离为 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 的最小正周期为
B． 在 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数为偶函数
【答案】AB
【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.
【详解】由题知直线 与函数 的交点之间的最短距离为 ，所以 ，故A正确；
由A可知， ，所以 ，
又由 可知 的图象关于点 对称，
所以 ，即 ， ，
又因为 ，所以当 时， ，所以 ，
时， ， Ü ，故B正确；
因为 ，故C错误；
函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数
为奇函数，故D错误．
故选：AB．
58．（多选）（ 2023·山东潍坊·三模）将函数 的图象向右平移 个单位长度
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学科网（北京）股份有限公司后得到函数 的图象，若 是 的一个单调递增区间，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上单调递增
C．函数 的最大值为 D．方程 在 上有5个实数根
【答案】ACD
【分析】根据函数平移规则得出 解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出 ，即可得出 和
解析式，根据三角函数性质即可选出答案.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度后得到
，
所以 的最小正周期为 ，则 是 的半个最小正周期，
又 是 的一个单调递增区间，所以 ，
即 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
的最小正周期 ，故A正确；
令 ， ，解得 ， ，
即 的递增区间为 ， ，
所以 在 上单调递增，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司，
所以
，
所以函数 的最大值为 ，故C正确；
当 时 ，令 ，
则 、 、 、 、 ，
即方程 在 上有5个实数根，故D正确.
故选：ACD.
59．（多选）函数 的部分图象如图所示，则下列关于函数 的说法正确的
是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于 中心对称
C． 在 上单调递减
D．把 的图像向右平移 个单位长度，得到一个奇函数的图象
【答案】AD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由图象可得函数周期，可得 ，由 在 处取最大值，可确定 .A选项，由图象可得函数周期；
BC选项，由A分析，可得 .由在 处取最大值，可确定 ，后由正弦函数对称性，单调性可判断选项正误；
D选项，判断平移后所得函数的奇偶性即可判断选项.
【详解】A选项，由图可得， 的半个最小正周期为 ，则 的最小正周期为 ，故A正
确；
BC选项， ，由 在 处取最大值，则 ， .则 ，取
，则 .即 .
将 代入 ，得 ，则 不是 对称中心；
， ，因 在 上递减，在 上递增，则
不是 的单调递减区间，故BC错误；
D选项，由BC选项分析可知， ，向右平移 个单位长度后，得
，为奇函数，故D正确.
故选：AD
考点11：三角函数在生活中的应用
60．筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史
料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自
然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的筒车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀
速旋转，且旋转一周用时60秒，经过 秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足
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学科网（北京）股份有限公司，则函数 的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合条件可得 的值，从而求得函数 的解析式.
【详解】由题意， ， ，
所以 ，
又点 代入 可得 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故函数解析式为 .
故选：B
61．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰
四周的景色（如图1）．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均
匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进
入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座
舱开始计时．
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学科网（北京）股份有限公司(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足
（其中 ， ），求摩天轮转动一周的解析式 ；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，首次距离地面的高度恰好为30米？
【答案】(1) ， , ；
(2)游客甲坐上摩天轮5分钟时，首次距离地面的高度恰好为30米．
【分析】（1）利用正弦型函数的一般式 结合题意，求出 ， ， ， ；
（2）根据（1）求出的表达式，将 化简求得 ．
【详解】（1） （其中 ， ， ，
由题意知： ，
，故 ，
， ，
又 ， ，
，
故解析式为： ， , ；
（2）令 ，则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 , ，则 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故游客甲坐上摩天轮5分钟时，首次距离地面的高度恰好为30米．
62．上海中心大厦的阻尼器全名为“电涡流摆设式调谐质量阻尼器”，是一种为了消减强风下高层晃动的
专业工程装置：质量块和吊索构成一个巨型复摆，它与主体结构的共振，能消减大楼晃动，由物理学知识
可知，某阻尼器的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移 （单位：m）和时间 （单位：
s）的函数关系为 ，若该阻尼在摆动过程中连续四次到达平衡位置的时间依次
为 ， ， ， ，且 ， .
(1)求函数 的单调增区间；
(2)若 ，求 的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意辅助角公式，结合周期求得 ，再根据正弦函数的单调性分析运算；
（2）根据正弦函数分析运算.
【详解】（1）因为 ，且定义域为 ，
由题意可得： ，即 ，
则 ，且 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
令 ，解得 ，
注意到 的定义域为 ，
所以函数 的单调增区间 .
（2）令 ，即 ，
则 或 ，
解得 或 ，
所以 的取值集合 .
63．如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心 距离水面的高度为 .设筒
车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位： ）（在水面下则 为负数），若以盛水筒 刚浮出水面
时开始计算时间，则 与时间 （单位： ）之间的关系为
(1)求 与 的函数解析式；
(2)此盛水筒 第一次进入水面到离开水面至少经过多长时间？
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据 的最值即可求得 , ，再利用转速和 即可求得
；
（2）利用正弦函数单调性即可解得 时 的取值范围，进而求得经过的时间.
【详解】（1）由题意知 ；
可得 ，
由于每分钟转1.5圈，所以周期
则 .
当 时，刚浮出水面，即
又 ，可得
则 与 的函数解析式为
（2）盛水筒进入水面时 ，令
即 ，由正弦函数单调性可知 ，
解得
当 时，
即此盛水筒 第一次进入水面到离开水面至少经过 .
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