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考向 13 函数的零点及
函数的应用
1．（2020·海南高考真题）基本再生数R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一
0
个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以
用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近
0
似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
0 0
例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】
根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为
天，根据 ，解得 即可得结果.
【详解】
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，所以 天.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．（2020·天津高考真题）已知函数 若函数 恰有
4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数
y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必
有零点.
2.判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;
(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;
(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.
3.已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.
4.解决函数应用问题的步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.
1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数
y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.
2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.
【知识拓展】
判断函数零点个数的方法:
(1)利用零点存在性定理判断法;
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个
函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.
1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）函数 在 上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数 ，方程 有两
解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）在下列区间中，函数 一
定存在零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）已知函数 有两个不同的零点，则实
数k的取值范围是_________.1．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数 的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境
治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为 立方米，每天的进出水量为 立方米．已知污染源以
每天 个单位污染河水，某一时段 （单位：天）河水污染质量指数为 （每立方米河水所含的污染
物）满足 （ 为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80
倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：
）（ ）
A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年
3．（2021·重庆高三三模）已知函数 ， ， 的零
点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）若曲线 与 轴有且只有2个交
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知函数 ，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 没有零点，则
B．当 时， 恰有1个零点
C．当 恰有2个零点时， 的取值范围为
D．当 恰有3个零点时， 的取值范围为
6．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数 的所有零点之和为0，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·四川德阳市·高三二模（文））已知向量 ， ，函数
，若关于 的方程 至少有两个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·安徽高三其他模拟（文））记 分别为函数 的导函数.若存在x∈R，满
0
足f(x)=g(x)且 ，则称x为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数
0 0 0
与 有且只有一个真实点"，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 是奇函数，当 时，有 ，若函数 的零点个数为5，则实数 取值范围是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
10．（2021·山东济南市·高三其他模拟）（多选题）若函数f(x)＝ 恰有
两个零点，则正整数m的取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
11．（2021·上海市七宝中学高三一模）对核污染水的处理是当今全球环境治理的热点问题之一，某环保
企业准备研发一款设备用于处理核污染水中的放射性碘，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，之后每
年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为 .经计算发现当 时， 近似地满足
，其中 ，p，q为常数， .已知3年后总投入资金为研发启动时投入资
金的3倍.问
（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；
（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.
12．（2021·山东济南市·高三一模）已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 恰好有三个零点，求实数 的取值范围.1．（2020·全国高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2010·浙江高考真题（理））设函数 ，则在下列区间中函数 不存在零点的
是
A． B． C． D．
3．（2019·全国高考真题（文））函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成
1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工
作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需
要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5．（2019·浙江高考真题）已知 ，函数 ，若函数
恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
6．（2021·北京高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
7．（2019·江苏高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期
为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .
若在区间 上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
8．（2019·北京高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白
梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进
行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到
支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
__________．
9．（2015·上海高考真题（文））
如图，O,P,Q三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两警员同时从O地出
发匀速前往Q地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小
时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时.乙到达Q地后原地等待.设 时乙到达P地. 时乙到达Q
地.（1）求 与 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 时，求 的表达式，并判断 在
上得最大值是否超过3？说明理由.
10．（2018·全国高考真题（文））已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
1．【答案】C
【分析】
在 时，解方程 ，即可得解.
【详解】
当 时，由 .
若 ，可得 、 、 ；若 ，可得 、 、 、 .
综上所述，函数 在 上的零点个数为 .
故选：C.
2．【答案】B
【分析】
根据已知条件对 进行分类讨论： 、 ，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定
出方程 有两解时 所满足的不等式，由此求解出 的取值范围.
【详解】
因为 ，所以 且 ，
当 时， 在 时单调递增，所以 ；
又 在 时单调递增，且 ，
因为方程 有两解，所以 ，所以 ；
当 时， 在 时单调递减， ；
又 在 时单调递增， ，
因为方程 要有两解，所以 ，此时不成立.
综上可得 ，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：
方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析 的单调
性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.
3．【答案】ABD
【分析】
本题首先可通过求导得出函数 在 上是增函数、在 上是减函数以及 ，
然后通过函数 的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果.
【详解】
， ，
当 时， ，函数 在 上是增函数；
当 时， ，函数 在 上是减函数，
，
A项： ， ，
因为 ，所以函数 在 内存在零点，A正确；
B项： ， ，
因为 ， ，所以函数 在 内存在零点，B正确；
C项： ， ， ，
因为 ，所以函数 在 内不存在零点，C错误；
D项： ， ， ，则函数 在 内存在零点，D正确，
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数零点所在区间的判断，考查零点存在性定理的应用，若函数 在区间
上满足 ，则函数 在区间 上有零点，考查利用导数求函数单调性，考查
推理能力与计算能力，是中档题.
4．【答案】
【分析】
令 ，根据解析式，求得t的范围，将 有两个不同的零点，转化为曲线 （ 个单位
圆）与经过定点 的直线 有两个不同交点，分别作出图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】
令 ，则由函数的定义域知 ，解得 ，且 为增函数，
所以函数 有两个不同的零点转化为关于t的方程 在区间 上有两个不等实根，
即曲线 （ 个单位圆）与经过定点 的直线 有两个不同交点.
如图，设过点P的直线与曲线 相切于点A，连接OA.
设切线 的方程为 ，即 .
由 ，得 ，解得 （正值已舍去）.
又易得直线 的斜率是 ，故 ，解得 ，
即实数k的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
解题的关键是将方程求根问题，转换为求两图象交点问题，在根据直线与圆的位置关系，求得参数范围，
考查分析理解，数形结合思想，属基础题.
1．【答案】C
【分析】
根据零点存在性定理，若在区间 有零点，则 ，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】
由题意得 为连续函数，且在 单调递增，
， ， ，
根据零点存在性定理， ，
所以零点一定位于区间 .故选：C
2．【答案】C
【分析】
由题可知： ，化简得出结论.
【详解】
由题可知：
∴
∴
∴ （天）
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.
故选：C.
3．【答案】B
【分析】
函数 的零点直接求解即可，函数 的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案
【详解】
解：令 ，则 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，得 ，即 ，
因为函数 在 上为增函数，且 ，所以 在区间 存在唯
一零点 ，且 ，
综上， ，
故选：B
4．【答案】D
【分析】
作出函数 与 的图象，对参数分类讨论，得出结论.【详解】
解：作出函数 与 的图象，
当 时，只有B一个零点；
当 时，有A,B两个零点；
当 时， 有A一个零点；
当 时，有A,C两个零点；
综上，实数 的取值范围是： 或 ，
故选：D.
5．【答案】D
【分析】
作出 的图象，令 ，可得 或 ，分别讨论在 、 、 、
、 、 、 、 和 情况下， 和 图象与
图象交点个数，即可得 零点个数，综合分析，即可得答案.
【详解】
作出 的图象，如图所示：令 ，即 ，
可得 或 ，即 或 ，
当 时， 和 均无解，此时 无零点，
当 时， 有且仅有一个根x=-1， 无解，此时 有一个零点，故A错误；
当 时， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，
， 图象与 无交点，即 无解，此时 有2个零点；
当 时， 图象与 图象有3个交点，即 有3个根，
， 图象与 无交点，即 无解，此时 有3个零点；
当 时， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，
图象与 图象有1个交点，此时 有3个零点；故B错误
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，此时 有3
个零点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，， 图象与 图象有3个交点，即 有3个根，此时 有4
个零点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
图象与 图象有2个交点，即 有2个根，此时 有3个零点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，此时 有2个
零点，故C错误；
综上可得：当 恰有3个零点时， 的取值范围为 ，故D正确.
故选：D
【点睛】
解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m的范围，数形结合，即可得答案，考
查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.
6．【答案】A
【分析】
先根据分段函数的形式确定出 时 的零点为 ，再根据 时函数解析式的特点和导数
的符号确定出 图象的“局部对称性”以及单调性，结合 所有零点的和为0可得
，从而得到参数 的取值范围.
【详解】
当 时，易得 的零点为 ，
当 时， ，
∵当 时， ，∴ 的图象在 上关于直线 对称.又 ，
当 时， ，故 单调递增，
当 时， ，故 单调递减，且 ， .
因为 的所有零点之和为0，故 在 内有2个不同的零点，
且 ，解得 .
故实数a的取值范围为 ．
故选：A．
【点睛】
关键点睛：本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，关键根据解析式的特点
和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号.
7．【答案】B
【分析】
首先求出 ，然后研究函数 的性质，并作出函数图象，将关于 的方程 至少有
两个实数根转化为函数 和 至少有两个交点，数形结合即可得出结果.
【详解】
，
而由于 ，所以 为奇函数，
考虑 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
，所以 的大致图象如图：
直线 过定点，
过 和 的直线的斜率为 ，
由图可知 时，函数 和 至少有两个交点，
即方程 至少有两个实数根.
故选：B.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不
同的值，就有几个不同的零点．
8．【答案】A
【分析】
与 有且只有一个真实点"，则f(x)=g(x)且 的方程只有一个解，即
0 0
，结合 即可求解．
【详解】
由函数 ， ，得 ， ，
设x为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x)=g(x)且 ，得 ，
0 0 0
即 ，得 ，
由于函数 与 有且只有一个“真实点”，
从而 只有一解，故 ，解得b=0，此时 ， ．
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于由 与 有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．
9．【答案】C【分析】
函数 的零点个数为5等价于 与 的图像交点的个数为5，
然后作出函数图象，数形结合即可得出结果.
【详解】
∵偶函数 ， ， 是奇函数，得 ，即
， ，得 ， ，即 与
的图像交点的个数，因为 ，即为 与 的图像交点的个数，因为
的图像为半圆，故由图像可知斜率 应该在 与 之间或为 ，
或 ，
故选：C.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函
数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
10．【答案】AD【分析】
函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题．
【详解】
函数f(x)的零点即为方程f(x)＝0的解．
当m＝1时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣1＝0，解得：x＝0；
当x≥2时，2021（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x＝1或3，只取x＝3．
∴函数有两个零点0或3．∴A对；
当m＝2时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣2＝0，解得：x＝ ；
当x≥2时，2021（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x＝2或6．
∴函数有三个零点 或2或6．∴B错；
当m＝15时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣15＝0，解得：x＝log15＜2；
4
当x≥2时，2021（x﹣15）（x﹣45）＝0，解得：x＝15或45．
∴函数有三个零点log15或15或45．∴C错；
4
当m＝16时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣16＝0，解得：x＝2不成立；
当x≥2时，2021（x﹣16）（x﹣48）＝0，解得：x＝16或48．
∴函数有两个零点16或48．∴D对；
故选：AD．
11．【答案】（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年
的投入资金增长的最多.
【分析】
（1）已知 ， ，代入解析式求得 ，由 可得；
（2）求出第 年的投入资金 ，然后由基本不等式得最大值．
【详解】
解：（1）由题意知 ， .
所以 解得 .所以 .令 ，得 ，解得 ，
即 ，所以 ，
所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍.
（2）由（1）知
第n年的投入资金 .
当且仅当 ，即 等号，此时 .
所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多.
【点睛】
思路点睛：本题考查数列的应用，解题关键是由已知数据求出表达式中的参数值，然后由表达式进行计算
求解．第（2）解答时注意问题是第 年投入资金，因此为 ，再由基本不等式求最值，但
要注意等号成立的条件．
12．【答案】（1）最小值为 ；（2） .
【分析】
（1）求出导函数 ，确定函数 的单调性后可得最小值；
（2）确定 ， 时只有一个零点，因此在 上有两个零点，由二次函数的性质可得．【详解】
（1） 时， .
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 的极小值为 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 的极小值为 ；
因为 ，所以 的最小值为 ；
（2）显然 ；
因为 时， 有且只有一个零点 ，
所以原命题等价于 在 上有两个零点.
所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查求函数的最值，由零点个数求参数值．解题关键是求出导函数，由导函数的正负确
定单调性后得极值，比较后得最值．1．【答案】B
【分析】
设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
【详解】
设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
2．【答案】A
【详解】
，因为 ，所以 ， ，
因此 在 上有零点，故在 上有零点；
，而 ，即 ，因此 ，故
在 上一定存在零点；
虽然 ，但 ，又 ，即，从而 ，于是 在区间 上有零点，也即在
上有零点，
排除B，C，D，那么只能选A．
3．【答案】B
【分析】
令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由 ，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结
合和方程思想解题．
4．【答案】B
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5．【答案】C
【分析】当 时， 最多一个零点；当 时，
，利用导数研究函数的单调性，
根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当 时， ，得 ； 最多一个
零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零
点．不合题意；
当 ，即 时，令 得 ， ，函数递增，令 得 ， ，函数递
减；函数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，
上有2个零点，
如图：
且 ，
解得 ， ， ．
故选 ．【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨
论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
6．【答案】①②④
【分析】
由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情形，
利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】
对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，
求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．7．【答案】 .
【分析】
分别考查函数 和函数 图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】
当 时， 即
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要使
在 上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.
当 时，函数 与 的图象有 个交点；
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当
与 图象相切时，圆心 到直线 的距离为 ，即 ，得 ，函
数 与 的图象有 个交点；当 过点 时，函数 与 的图象有 个交点，
此时 ，得 .综上可知，满足 在 上有 个实根的 的取值范围为 .
【点睛】
本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，
根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
8．【答案】130. 15.
【分析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得 的最大值.
【详解】
(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
【点睛】
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，
创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
9．【答案】（1） ， 千米；（2）没有超过3千米.
【详解】
（1） ，设此时甲运动到点R，则 千米，
所以 千米.
（2）当 时，乙在 上的N点，设甲在M点，所以 ， ，
所以 ，
当 时，乙在Q点不动，设此时甲在M点，
所以 .
所以 .
所以当 时, ，故 的最大值没有超过了3千米.
考点：余弦定理的实际运用，函数的值域.
10．【答案】（1）f（x）在（–∞， ），（ ，+∞）单调递增，在（ ，
）单调递减．
（2）见解析.
【详解】
分析：（1）将 代入，求导得 ，令 求得增区间，令 求得减区
间；（2）令 ，即 ，则将问题转化为函数
只有一个零点问题，研究函数 单调性可得.
详解：（1）当a=3时，f（x）= ，f ′（x）= ．令f ′（x）=0解得x= 或x= ．
当x∈（–∞， ）∪（ ，+∞）时，f ′（x）>0；
当x∈（ ， ）时，f ′（x）<0．
故f（x）在（–∞， ），（ ，+∞）单调递增，在（ ， ）单调递减．
（2）由于 ，所以 等价于 ．
设 = ，则g ′（x）= ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在
（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a–1）= ，f（3a+1）= ，故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．
点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数 的定义域；②求导数 ；③由
（或 ）解出相应的 的取值范围，当 时， 在相应区间上是增函数；当
时， 在相应区间上是减增函数.
（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数 有唯一零点，可
先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.
