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考向 33 空间中的平行关系
1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，则
（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
【答案】A
【分析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证 平面 ，即可得出结论.
【详解】连 ，在正方体 中，
M是 的中点，所以 为 中点，
又N是 的中点，所以 ，
平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 不垂直 ，所以 不垂直
则 不垂直平面 ，所以选项B,D不正确；
在正方体 中， ，
平面 ，所以 ，
，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
且直线 是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线
互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.2．（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中， 为正方体的两个顶点， 为所
在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】
利用线面平行的判定，结合正方体的性质判断直线 与平面 是否平行.
【详解】
A：由正方体的性质知： 平行于 与底面中心的连线，而该线段与面 交于 点，故 与面
不平行；
B： 且 平面 平面 ，则 平面 ；
C： 且 平面 平面 ，则 平面 ；
D： 且 平面 平面 ，则 平面 ．
故选：A．1.判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b α，a∥b a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
⊂ ⇒
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α a∥β)．
⊂ ⇒
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
⇒
3.证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 如果平面外一条直线与此平面
定 内的一条直线平行，则该直线
l∥α
定 与此平面平行(简记为“线线
⇒
理 平行⇒线面平行”)
性 一条直线与一个平面平行，则
质 过这条直线的任一平面与此平
l∥b
定 面的交线与该直线平行(简记
⇒
理 为“线面平行⇒线线平行”)
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两条相交直
判定 线与另一个平面平行，则
α∥β
定理 这两个平面平行(简记为
⇒
“线面平行⇒面面平行”)
如果两个平行平面同时和
性质
第三个平面相交，那么它 a∥b
定理
们的交线平行
⇒
【知识拓展】
平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)若α∥β，a α，则a∥β.
⊂
1．（2021·全国高三（文））如图在正方体 中，点 为 的中点，点 为 的中点，
点 在底面 内，且 平面 ， 与底面 所成的角为 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国高三专题练习（理））已知在三棱锥 中， 为线段 的中点，点 在 (含
边界位置)内，则满足 平面 的点 的轨迹为（ ）
A．线段 ， 的中点连接而成的线段
B．线段 的中点与线段 靠近点 的三等分点连接而成的线段
C．线段 的中点与线段 靠近点 的三等分点连接而成的线段
D．线段 靠近点 的三等分点与线段 靠近点 的三等分点连接而成的线段
3．（2021·福建省南安第一中学高三）如图，在长方体 中， ， ， ，
点 是棱 的中点，点 在棱 上，且满足 ， 是侧面四边形 内一动点（含边界），若 平面 ，则线段 长度的取值范围是_________．
4．（2021·全国高三专题练习（文））如图，在长方体 中， ， ， ，
分别是 ， 的中点，则下列四个结论中成立的是________．（写出对应的序号）
① 平面 ；
② ；
③ ；
④长方体 的外接球表面积为 ．
1．（2021·全国高三（文））如图，在直三棱柱ABC﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，O为AC与AC
1 1 1 1 1的交点，D为AB的中点，则下列结论：①DO 平面ABC；②DO 平面ABC；③DC⊥平面ABBA；④DC⊥
1 1 1 1 1
平面ABC.其中所有正确结论的序号为（ ）
1
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
2．（2021·四川仁寿一中高三（文））正方体 的棱长为 ， 分别为
的中点.则下列说法错误的是（ ）
A．直线AG与平面AEF平行
1
B．直线DD与直线AF垂直
1
C．异面直线AG与EF所成角的余弦值为
1
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
3．（2021·全国高三专题练习（理））如图，在直四棱柱 中， ， ，
， ，点 ， ， 分别在棱 ， ， 上，若 ， ， ， 四点共面，
则下列结论错误的是（ ）A．任意点 ，都有
B．任意点 ，四边形 不可能为平行四边形
C．存在点 ，使得 为等腰直角三角形
D．存在点 ，使得 平面
4．（2021·全国高三专题练习（文））已知 是两个不同的平面，m，n是平面 和 之外的两条不同
的直线，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021·全国高三专题练习（理））已知直线 和平面 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
6．（2022·全国）已知长方体 中， ，点 在线段 上，
，平面 过线段 的中点以及点 ，若平面 截长方体所得截面为平行四边形，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．7．（2021·江苏高三开学考试）在棱长为2的正方体 中， 为 的中点.当点 在平
面 内运动时，有 平面 ，则线段 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2021·全国）在长方体 中，已知 ， ， .若平面 平面 ，
且与四面体 的每个面都相交，则平面 截四面体 所得截面面积的最大值为___________.
9．（2019·湖南高考模拟（文））如图所示，正方体 的棱长为 ， 为 的中点，
点是正方形 内的动点，若 平面 ，则 点的轨迹长度为______．
10．（2021·甘肃兰州·高三（文））如图，正方体 的棱长为 ，点 在棱 上， ，过
的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．11．（2021·乐清市知临中学高三月考）如图，在三棱锥 中，底面 是边长2的等边三角形，
，点F在线段BC上，且 ， 为 的中点， 为的 中点.
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)若二面角 的平面角的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
12．（2022·全国高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 平面 ，
，E，F分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）在四边形 内是否存在点G，使平面 平面 ？若存在，求出该点的位置；若不存在，
请说明理由；
（Ⅱ）设D是 的中点，求 与平面 所成角 的正弦值．1．（2018·浙江高考真题）已知直线 和平面 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2015·福建高考真题（理））若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”
的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2015·北京高考真题（理））设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ．“ ”是“
”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2009·宁夏高考真题（理））如图，正方体 的棱线长为1，线段 上有两个动
点E，F，且 ，则下列结论中错误的是
A．
B．
C．三棱锥 的体积为定值
D．异面直线 所成的角为定值
5．（2008·湖南高考真题（理））设有直线m、n和平面 、 .下列四个命题中，正确的是A．若m∥ ,n∥ ,则m∥n
B．若m ,n ,m∥ ,n∥ ,则 ∥
C．若 ，m ,则m
D．若 ，m ，m ,则m∥
6．（2011·辽宁高考真题（理））如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中
不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
7．（2011·福建高考真题（文））如图，在正方体ABCD-ABCD中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD
1 1 1 1
上．若EF∥平面ABC，则线段EF的长度等于________．
1
8．（2013·江西高考真题（文））如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,
则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为______________9．（2009·江苏高考真题）设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；
（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；
（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；
（4）直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）
10．（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC-ABC的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，
1 1 1 1 1
M，N分别为BC，BC的中点，P为AM上一点，过BC和P的平面交AB于E，交AC于F.
1 1 1 1
（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBCF；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC的中心，若AO∥平面EBCF，且AO=AB，求直线BE与平面AAMN所成角的正弦值.
1 1 1 1 1 1 11．【答案】D
【分析】
取AD、CD的中点S、T，连接 ，由 ， ，
得平面 平面 ，再由已知得：点 在 上，从而结合图像即可求出 的最大值.
【详解】
取AD、CD的中点S、T，连接 ，
因为 ，所以 平面 ，
，所以 平面 ，
又因
所以平面 平面 ，
故点 在 上时， 平面 ，
设正方体的棱长为1，
因为 底面 ，
所以 即为 与底面 所成的角为 ，
当 为 的中点时， 取最大值，
此时， ， ， ，
故 的最大值为 .
故选：D.
2．【答案】A【分析】
利用面面平行得到线面平行，即可.
【详解】
解：如图所示，P、Q分别为线段 ， 的中点，
所以 , 平面 ,
平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ， ,
所以平面 平面 ，若 平面 ,则会有 平面 ，
故点 的轨迹为线段 ， 的中点连接而成的线段，
故选A.
3．【答案】
【分析】
取 中点 ，在 上取点 ，使 ，连结 、 、 ，可得平面 平面 ，
则可得 线段 ，由此可知当 与 的中点 重合时，线段 长度取最小值 ，当 与点 或点
重合时，线段 长度取最大值 或 ，
然后根据题中的数据进行计算即可
【详解】解：取 中点 ，在 上取点 ，使 ，
连结 、 、 ，则平面 平面 ，
∵ 是侧面四边形 内一动点（含边界）， 平面 ，
∴ 线段 ，∴当 与 的中点 重合时，线段 长度取最小值 ，
当 与点 或点 重合时，线段 长度取最大值 或 ，
∵在长方体 中， ， ， ，
点 是棱 的中点，点 在棱 上，且满足 ，
∴ ， ， ．
∴线段 长度的取值范围是 ．
故答案为：
4．【答案】①②④
【分析】
由长方体的结构特征，可证得平面ABD//平面BCD，即可判断①；通过相关计算可判断②③④，从而得解.
1 1 1
【详解】
连接BD，BC，BD，AB，如图：
1 1 1 1由长方体的结构特征知，对角面BDDB是矩形，即BD//BD，BD 平面BCD，BD 平面BCD，于是
1 1 1 1 1 1 1 1
BD//平面BCD，
1 1 1
同理AD//平面BCD，而BD AD= D，BD 平面ABD，AD 平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面ABD//平面BCD，而 平面 ， 平面 ，故①正确；
1 1 1
中， ，由余弦定理得 ，故②正确；
中， ，故 ，故③错误；
长方体 外接球半径为 ，则 ，则 ，
则该长方体的外接球的表面积为 ，故④正确，
综上，正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④
【点睛】
结论点睛：长方体的体对角线是该长方体外接球的直径.
1．【答案】C
【分析】
根据 在平面 内判断①；根据线面平行的判定定理证明 与平面 平行，由此判断②；根据线面垂直的判定定理证明 与平面 垂直，由此判断③；通过假设结论成立的方法判断④.
【详解】
因为O为AC与AC的交点，且四边形 为矩形，所以 为 的中点，
1 1
又因为D为AB的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 显然不成立，故①错误；
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故②正确；
又因为 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，故③正确；
假设 平面 ，则 ，又显然 ， ，
所以 平面 ，所以 ，显然不成立，所以假设不成立，故④错误；
故选：C.
2．【答案】B
【分析】连接AD，FD，GF，BC，证得EF//AD，利用平面AEFD逐一分析各选项即可判断作答.
1 1 1 1 1
【详解】
正方体 中，连接AD，FD，GF，BC，如图：
1 1 1
因点E，F是BC，CC中点，则EF//BC，而正方体 的对角面ABCD是矩形，则AD//BC//
1 1 1 1 1 1
EF，
连GF，因G是棱BB中点，则GF//BC//AD，且 ，即四边形AGFD是平行四边形，
1 1 1 1 1 1 1
AG//DF，
1 1
平面AEF， 平面AEF，于是AG//平面AEF，A正确；
1
因 平面ABCD，而 平面ABCD，即有 AE，若 AF，必有 平面AEFD， AD，
1 1
与 矛盾，B不正确；
因EF//AD，AG//DF，则异面直线 与 所成角是 或其补角，
1 1 1
作 于M，显然 ，即四边形AEFD是等腰梯形， ，
1
， ，C正确；
，平面 截正方体所得的截面是等腰梯形AEFD，
1
等腰梯形AEFD的面积为 ，D正确.
1
故选：B3．【答案】C
【分析】
根据线线，面面的性质判断A，B是否正确；使用假设法判断C，D是否正确.
【详解】
解：对于A：由直四棱柱 ， ，
所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，故A正确；
对于B：若四边形 为平行四边形，则 ，
而 与 不平行，即平面 与平面 不平行，
所以平面 平面 ，平面 平面 ，
直线 与直线 不平行，
与 矛盾，
所以四边形 不可能是平行四边形，故B正确；
对于C：假设存在点 ，使得 为等腰直角三角形，令 ，过点 作 ，则 ，在线段 上取一点 使得 ，连接 ，则四边
形 为矩形，所以 ，
则 ，
，
显然 ，
若由 ，则 且 四边形 为平行四边 ，
所以 ，无解，故C错误；
对于D：当 时， 为 时，满足 平面 ，故D正确.
故选：C.
4．【答案】A
【分析】
根据充分条件和必要条件的概念，结合点线面的位置关系，即可判断.【详解】
充分性：因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 或 ，又因为m是平面 和 之
外的直线，所以 ；
必要性：因为 ， ，所以 或 与 相交或 ，又因为 ，所以 与 平行，相交，
异面，所以必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
5．【答案】C
【分析】
利用特例排除法，容易否定ABD,利用线面、面面垂直、平行的的关系可以断定C正确.
【详解】
选项A中，也可能 ；选项B中， 也有可能在 内；选项D中，m与 的关系不确定，故可排除A，
B，D.由线面平行和垂直的判定与性质可以看出C正确.
故选C.
6．【答案】D
【分析】
设线段 的中点为M，平面 与 交于点G，连接GE，由已知得四边形 是平行四边形，所以
，随着点E从C向 移动，则点G沿着 向下运动，当点G仍在线段 上时，面 截长方体
所得截面始终是平行四边形，临界状态为点E为 的中点，由此可得选项.
【详解】
解：设 ，则 ，设线段 的中点为M，平面 与 交于点G，连接GE，
若平面 截长方体 所得截面为平行四边形，即四边形 是平行四边形，所以
，
随着点E从C向 移动，则点G沿着 向下运动，当点G仍在线段 上时，面 截长方体所得截面始终是平行四边形，则点G从 的中点开始运动，此时点E与 重合，直到点
G运动到点D为止，此时点E为 的中点，所以临界状态为点E为 的中点，此时 ，所以
，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系，
动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓
住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
7．【答案】B
【分析】
CD中点P， 中点Q，连接PQ、PN、QN，根据面面平行的判定定理，可证平面 平面 ，即M
在平面 内，根据题意，可得点M在线段PQ上，在 中，分别求得各个边长，根据余弦定理，求
得 ，根据三角函数的定义，即可求得答案.
【详解】
取CD中点P， 中点Q，连接PQ、PN、QN，如图所示：因为P、N分别为CD、BC中点，
所以 ，
同理，P、Q分别为CD、 中点，
所以 ，
又 ， 平面PQN， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，又点 在平面 内运动，
所以点M在平面 和平面 的交线上，即 ，
在 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以N点到PQ的最小距离 .
所以线段 的最小值为 .
故选：B
【点睛】
解题的关键是作出平面 平面 ，在根据题意，确定点M的位置，再求解，考查面面平行的判
定及性质定理的应用，解三角形等知识，属中档题.
8．【答案】
【分析】
先判断截面的特征→通过平行等比例构造线段比→截面面积的表达式→转化为二次函数的最值问题.
【详解】
设平面 与长方体底面的距离为 ，平面 与四面体 的截面为四边形 ，
如图.显然四边形 为平行四边形，且平面 平面 .
设四边形 在长方体的底面 的射影为四边形 ，
则在 中，由 知 ，所以 ， ，
故四边形 的面积即为四边形 的面积，而四边形 的面积
，故当 时， 取得最大值 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是找四边形 在长方体的底面 的射影为四边形 ，并利
用面积分割进行计算.
9．【答案】
【分析】
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，可得四边形 是平行四边形，可得
，同理可得 ，可得面面平行，进而得出 点轨迹为 ．
【详解】
如图所示， 的中点 ， 的中点 ，连接 .
可得四边形 是平行四边形，∴ ，又 平面 ， 平面 ，可得 平
面 .同理可得 ， 平面 ，又 ，∴平面 平面 .∵ 点是正方形 内的动点， 平面 ，∴点 在线段 上．
∴ 点的轨迹长度为 .
故答案为： .
10．【答案】
【分析】
先利用平行关系得到截面与正方体的交点位于靠近 的三等分点处，从而得到截面图像，再利用正方
体的棱长求出截面多边形的周长即可.
【详解】
如图：虚线即为截面图形，
分别为各边的三等分点，
且面 面 ，
设正方体的棱长为 ，
则 ，
可得 ,
则截面 的周长为： ，则该截面多边形的周长为 .
故答案为： .
11．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .
【分析】
(Ⅰ) 取 的中点 ，连接 、 ，即可证明 ， ，从而得到面 面 ，即可
得证；
(Ⅱ) 连接 ， 为二面角 的平面角，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线
面角的正弦值；
【详解】
解：(Ⅰ)取 的中点 ，连接 、 ，因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，
，又 ，所以 ，因为 面 ， 面 ， 面 ，所以
面 ， 面 ，又 ， 面 ，所以面 面 ，因为
面 ，所以 平面 ；
(Ⅱ)连接 ，因为底面 是边长2的等边三角形， ，所以 ， ，所以为二面角 的平面角，即 ，如图建立空间直角坐标系，则 ， ，
， ， ，所以 ， ， ，设
面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，所以
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
12． 【答案】（Ⅰ）四边形 内存在点G，即线段 上任意一点，使平面 平面 ；
（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）取 ， 的中点M，N，可得 ，从而可得 平面 ，同理可证平面 ，由面面平行的判定定理可得平面 平面 ，从而可得结论；
（Ⅱ）取 的中点O，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得 与平面 所成角 的正弦值．
【详解】
（Ⅰ）如图所示，取 ， 的中点M，N，连接 ， ， ， ， ， ，
因为E，F分别为 ， 的中点，
所以在直三棱柱 中， ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
即平面 平面 ，
所以四边形 内存在点G，即线段 上任意一点，使平面 平面 ．
（Ⅱ）取 的中点O，连接 ， ，则在直三棱柱 中， ， ， 两两垂直，
以O为坐标原点， 所在的直线为x轴， 所在的直线为y轴， 所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
因为 ，
所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 与平面 所成角 的正弦值为 ．1．【答案】D
【分析】
从充分性和必要性两方面分别分析判断得解.
【详解】
直线 和平面 ， ，若 ，
当 时， 显然不成立，故充分性不成立；
当 时，如图所示，显然 不成立，故必要性也不成立．
所以“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件.
故选：D
【点睛】
方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：
（1）定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解；
（2）集合法：利用集合的包含关系分析判断得解；
（3）转化法：转化成逆否命题分析判断得解.
2．【答案】B
【详解】
若 ，因为 垂直于平面 ，则 或 ；若 ，又 垂直于平面 ，则 ，所以“
”是“ 的必要不充分条件，故选B．
考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
3．【答案】B
【详解】
试题分析： ， 得不到 ，因为 可能相交，只要 和 的交线平行即可得到
； ， ，∴ 和 没有公共点，∴ ，即 能得到 ；∴“ ”是“”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及
充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题； 并得不到 ，根据面面平行的判
定定理，只有 内的两相交直线都平行于 ，而 ，并且 ，显然能得到 ，这样即可找出
正确选项.
4．【答案】D
【详解】
A正确，易证 B显然正确， ；C正确，
三角形 面积确定且 到平面 的距离确定；D错误，选D.
5．【答案】D
【详解】
当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，
B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，
C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，
D选项中由α⊥β，m⊥β，m ，可得m∥α，故是正确命题，
故选D
6．【答案】D
【详解】
试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与
O，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为 所以两角相等，
D中由异面直线所成角的求法可知两角不等
考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角
7．【答案】
【分析】
根据直线与平面平行的性质定理可得 ,再根据 为 的中点可得 为 的中点,从而根据三角形的中位线可得.
【详解】
如图:
因为 平面 , 平面 ,且平面 平面 ,
所以 ,
又因为 为 的中点,所以 为 的中点,
所以 ,
因为正方体的棱长为2.所以 ,
所以 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了直线与平面平行的性质定理,属于基础题.
8．【答案】4
【详解】
因为过EF作垂直于CD（AB）的平面 垂直平分CD，所以该平面与过AB中点并与AB垂直的平面 平行，
和正方体的左右侧面平行，和正方体的前后侧面及上下底面相交，所以它与正方体的六个面所在的平面相
交的平面个数为4.
考点：该题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查空间直线与平面的平行与相交，考查空间想象能力
和逻辑思维能力.
9．【答案】（1）（2）
【详解】
由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．直线与平面垂直必须直线与平面内两条相交直线垂直，所以（3）（4）都不
正确.
10．【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平面
平面 ，只需证明 平面 即可；
（2）连接 ，先求证四边形 是平行四边形，根据几何关系求得 ，在 截取 ，由
（1） 平面 ，可得 为 与平面 所成角，即可求得答案.
【详解】
（1） 分别为 ， 的中点，
又
在 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面
平面
平面
平面 平面
（2）连接
平面 ，平面 平面
根据三棱柱上下底面平行，
其面 平面 ，面 平面故：四边形 是平行四边形
设 边长是 ( )
可得： ，
为 的中心，且 边长为
故：
解得：
在 截取 ，故
且
四边形 是平行四边形，
由（1） 平面
故 为 与平面 所成角
在 ，根据勾股定理可得：
直线 与平面 所成角的正弦值： .
【点睛】
本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.
