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考向 24 平面向量的基本定理
及坐标表示
1．（2021·全国高考真题（理））已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2．（2019·江苏高考真题）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .
若 ，则 的值是_____.【答案】 .
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得 即 故 .
【点睛】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，
利用数形结合和方程思想解题.
1.应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出
来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似
等．
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的
运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表
达式.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．
4.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
.
1.平面向量基本定理
如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，
1 2 1
λ，使 .其中，不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量
2 1 2
分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x，y），B（x，y），则 =（x－x，y－y）.
1 1 2 2 2 1 2 1
3．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x，y），b=（x，y），则a＋b=（x+x，y+y），a－b=（x－x，y－y），λa=（λx，
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1
λy），
1
|a|= ，|a＋b|= .
4．平面向量共线的坐标表示
设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b xy－xy=0.
1 1 2 2 1 2 2 1
⇔5．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作 =a， =b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.
如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
【知识拓展】
向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 共线的向量时，可设所求向量为
( )，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 ，
，则 的充要条件是 ”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于 与 共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等
变换求解.
1．（2021·天水市第一中学高一期末）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且
，记 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2021·广东高三其他模拟）在四边形 中， ，单位向量 与 平行， 是 的中点，
，若在 ､ ､ ､ 中选两个作为基本向量，来表示向量 ，则 ___________.
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量 ， ， ， ，
___________.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））若向量 ， ，则 ___________.
1．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））在平行四边形 中， ， ，
， 为 的中点，则 （ ）
A．9 B．12 C．18 D．22
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量 ， ， ， ，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．10
3．（2021·福建三明一中高三其他模拟）已知向量 ， ，且 与 共线，则x=（
）
A． B． C． D．
4．（2021·北京高一其他模拟）已知向量 ，向量 ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
5．（2021·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）在 中， ，D是 上的点，若，则实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三其他模拟（文））在 中，点 是边 上的点，满足 ， ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国）（多选题）已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ，使得
B． ，使得
C． 小于
D．
8．（2021·河北唐山一中高三其他模拟）（多选题）设 是已知的平面向量且 ，向量 ， 和 在同
一平面内且两两不共线，关于向量 的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
B．给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
C．给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；D．给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 .
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量 + =(0，5)，2 ﹣ =(3，1)，则 的值为
___________.
10．（2021·全国高三其他模拟（理））在平行四边形 中，点 为 边的中点， ，
则 ________．
11．（2021·宁夏高三其他模拟（理））已知 (1，1)， (0，1)， (1，0)， 为线段 上一点，且
，若 ，则实数 的取值范围是___________.
12．（2021·辽宁高三其他模拟）在边长为2的正三角形 中，D是 的中点， ， 交
于F．①若 ，则 ___________；② ___________．
1．（2013·陕西高考真题（文））已知向量 ， ，若 ，则实数 等于（ ）
A． B． C． 或 D．0
2．（2012·广东高考真题（文））若向量 =（1,2）， =（3,4），则 =
A．（4,6） B．(-4，-6) C．(-2，-2) D．(2,2)
3．（2015·四川高考真题（理））设四边形ABCD为平行四边形， ， .若点M，N满足
，则 （ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
4．（2013·广东高考真题（文））设 是已知的平面向量且 ，关于向量 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 ，总存在向量 ，使 ；②给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
③给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
④给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ；
上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2014·福建高考真题（理））在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是
A． B．
C． D．
6．（2013·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足
，则点集 所表示的区域的面积是
A． B． C． D．
7．（2016·四川高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为 ，平面ABC内的动点P，M满足
， ，则 的最大值是
A． B． C． D．
8．（2014·上海高考真题（文））已知曲线C： ，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C
上的点P和l上的点Q使得 ，则m的取值范围为 .
9．（2018·全国高考真题（理））已知向量 ， ， ．若 ，则
________．10．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，
且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________．
1．【答案】D
【分析】
取 ， 作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出 .
【详解】
取 ， 作为基底，则 .
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
2．【答案】
【分析】
根据向量的线性运算即可得解.
【详解】
；故答案为：
3．【答案】
【分析】
利用向量的坐标运算求出 ，进而求出 ， ，结合向量的数量积公式即可求解.
【详解】
，
又 ，
利用向量的数量积公式可知
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的线性运算与向量的数量积公式的应用，解题的关键是熟悉公式
的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
4．【答案】48
【分析】
直接利用平面向量的坐标运算求解.
【详解】
.
故答案为：48
1．【答案】B【分析】
利用基底向量 表示出 ，再根据数量积的运算律以及定义即可求出．
【详解】
因为 ，
所以 ．
故选：B．
2．【答案】C
【分析】
先求出 的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.
【详解】
因 ， ，则 ，而 ， ，
于是得 ，即 ，解得 ，
所以 的值为2.
故选：C
3．【答案】B
【分析】
先表示出向量 和 的坐标，然后由 与 共线，列方程可求出 的值
【详解】
∵ ， ， 与 共线，
∴ ，解得 ．
故选：B．
4．【答案】A【分析】
根据向量共线的坐标表示，求出 的值，从而得到 的坐标，然后由向量模长的坐标公式求出 .
【详解】
向量 ，向量 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
故选：A.
5．【答案】D
【分析】
由 得到 ，然后带入 ，进而得到 ，然后根据B，D，
E三点共线，即可求出结果.
【详解】
解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵B，D，E三点共线，∴ ，∴ ．
故选：D．
6．【答案】C
【分析】
利用向量的线性运算，结合解三角形余弦定理可得 ，再利用基本不等式进行
求解即可.
【详解】
， ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ， ，
故 ，
根据基本不等式可得 ，
解得： ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最大值为 .
故选：C.
7．【答案】AC
【分析】
根据平面向量数量积、线性运算的坐标表示一一验证即可；
【详解】
解：因为 ，所以 ，令 ，
因为 ， 且 所以 与 异号，故A正确；
，若 ，则 ，解得 ，即当 时 ，故B错
误；
设 与 的夹角为 ，则若夹角为 小于 ，则 ，解得
因为 ，所以 小于 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，显然当 时 ，故D错误；
故选：AC
8．【答案】AB
【分析】
由平面向量的加减法可判断A，由平面向量基本定理可判断B，举出反例可判断C、D.
【详解】
对于A，给定向量 ，总存在向量 ，使 ，故A正确；
对于B，因为向量 ， ， 在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数 和 ，使 ，故B正确；
对于C，设 ，给定 ，则不存在单位向量 和实数 ，使 ，故C错误；
对于D, 设 ，给定 ，则不存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故D错误.
故选：AB.
9．【答案】
【分析】
利用向量坐标的线性运算求出 ，再由向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
由 + =(0，5)，2 ﹣ =(3，1)，
两式相加可得 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
10．【答案】
【分析】
找一组基向量分别表示出 ，再用待定系数法即可求得．
【详解】
，
又因为 ，所以 ，解得 所以 ．
故答案为：
11．【答案】
【分析】
根据 可得 ，再表示出 坐标，由条件可得 ，再将
代入可得关于 的不等式，从而可得答案.
【详解】
解析：设点 ，由 ，得 ，所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，化简得将 代入 ，得 ，即 ，
解得 .
因为 为线段 上一点，且 ，所以 .综上，可知 .
故实数 的取值范围是 .
【点睛】
关键点睛：本题主要考查向量的线性运算，数量积的坐标运算，解答本题的关键是由条件可得 和
，然后代入消去 ， 得到关于 的不等式 ，属于中档题.
12．【答案】
【分析】
作辅助线，利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，利用平面向量的线性运算即可用 表
示 ，求得x, y进而得解；再用 来表示 ，用平面向量的数量积即可 ，即可得解.
【详解】
如图，过E作 交 于M，
由 ，得 ， ，又D是 的中点，得 ， ，故 ，即 ，
所以
所以 ，故
易知
由已知得
所以
故答案为： ，
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积的运算，解题的关键是利用平面向量的线
性运算用 表示 ， ，考查学生的分析与转化能力，及计算能力，属于中档题.
1．【答案】C
【分析】
根据平面向量共线的坐标表示计算可得；
【详解】
解：因为 ， ，且
所以
解得故选：C.
【点睛】
本题考查向量共线求参数的值，属于基础题.
2．【答案】A
【详解】
.
3．【答案】C
【分析】
根据图形得出 , ,
,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足 ,
根据图形可得: ,
,
,
,
,,
，
，
故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
4．【答案】B
【详解】
试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以 的终点
作长度为 的圆，这个圆必须和向量 有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角
形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 ，所以④是假命题．综上，本题选
B．
考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．
5．【答案】B
【详解】
试题分析：由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有 成立.
故选B.
考点：平面向量的基本定理.
6．【答案】D
【详解】
，则知 是等边三角形，以 为直角坐标系原点， 在 轴，则
，当 ， 表示的区域是下图中的①；
当 ， 表示的区域是下图中的②；
当 ， 表示的区域是下图中的③；
当 ， 表示的区域是下图中的④；
则 表示的区域就是图中的平行四边形，其面积为
【考点定位】考查平面向量的概念，平面向量基本定理，以及线性规划面积，以及考查逻辑思维能力和转
化思想.
7．【答案】B
【详解】
试题分析：如图可得 .以 为原点，直线 为 轴建
立平面直角坐标系，则 设 由已知 ，得 ，又，它表示圆 上的点 与点 的距离的平方的 ，
，故选B.
【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要
把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 ，
且 ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 的坐标，同时动点
的轨迹是圆，则 ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的
数学思想．
8．【答案】
【详解】
故答案为 .
9．【答案】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
由题可得,即
故答案为
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
10．【答案】
【详解】
以 为 轴，建立直角坐标系，则 ，由 的模为 与 与 的夹角为 ，且 知，
，可得 ， ，由
可得 ， ，故答案为 .
【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．
向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）
平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，
箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最
值问题时用起来更方便．
