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考向 25 平面向量的数量积及
其应用
1．（2021·全国高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【分析】
由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
2．（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
【答案】1
【分析】
设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式即可求出
最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
1.平面向量数量积的类型及求法：
(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式 ；二是坐标公式 .
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
2.平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 (夹角公式)，所以
平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量
的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
3．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：
(1)向量与平面几何综合问题的解法
①坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运
算和向量运算，从而使问题得到解决．
②基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．
(2)用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问
题；
②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
4．利用向量求解三角函数问题的一般思路：
(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及
三角函数中常用公式求解．
(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．
(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问
题转化为三角函数问题．
(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定
理或正、余弦定理解决问题.
5．用向量法解决物理问题的步骤如下：
(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.6．常见的向量表示形式：
(1)重心．若点G是 的重心，则 或 (其中P为平面
内任意一点)．反之，若 ，则点G是 的重心．
(2)垂心．若H是 的垂心，则 .反之，若
，则点H是 的垂心．
(3)内心．若点I是 的内心，则 .反之，若
，则点I是 的内心．
(4)外心．若点O是 的外心，则 或
.反之，若 ，则点O是 的外心.
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(或内积)，记作 ,即
，其中θ是 与 的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量 与 的夹角是θ，则 ( )叫做向量 在 方向上( 在 方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 与 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 在 方向上的投影的情形，其中 ，它的意义是，向量 在向量 方向上的投影长是向量 的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上的
投影 的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量 和实数 ,则
①交换律： ；
②数乘结合律： ；
③分配律： .
【知识拓展】
1.设非零向量 ， 是 与 的夹角.
（1）数量积： .
（2）模： .
（3）夹角： .
（4）垂直与平行： ；a∥b a·b=±|a||b|.
⇔
【注】当 与 同向时, ；当 与 反向时, .
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)
⇔
2.平面向量的模及其应用的类型与解题策略：
(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式 ，或坐标公式 的应
用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：
①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；
②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．
(3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.
1．（2021·内蒙古高三二模（理））在平行四边形ABCD中，已知两邻边满足AD＝2AB＝2，且 ，
E为BC的中点， 是 中点，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2021·山东菏泽市·高三二模）（多选题）已知平面向量 ， ， ，若 ， 是夹角为 的两
个单位向量， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南高三其他模拟）已知向量 ， ， 在 上投影为 ，则 ___________.4．（2020·新疆高三三模（文））已知向量 ， ，若 ，则实数 的值是
________．
1．（2021·广东高一期末）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南高三其他模拟）已知平面向量 与 的模长之比为 ，且夹角为 ，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·密山市第一中学高一其他模拟）设向量 ， ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． 与 垂直 D．
4．（2021·福建高三其他模拟）向量 ， ．若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．2
5．（2021·四川双流中学高三三模（理））在△ABC中， ，则△ABC的形状一定是
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在矩形 中， ， ， 为边 的中点，为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2021·四川高三二模（文））图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等
的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若 ， ，那么 （
）
A．2 B． C．6 D．
8．（2021·河南高二其他模拟（理））已知单位向量 ， 互相垂直，且 ， ，若 ，
则 ___________.
9．（2021·上海高三其他模拟）已知向量 ， ，则向量 在 方向上的投影为
___________.
10．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模（理））已知向量 的夹角为120°， ，若
，则实数λ=___________.
11．（2021·全国高三其他模拟（理））已知向量 ，则 ___________.
12．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量 与 ，满足 ，则 与 的夹角为__________；若向量 满足 ，则 的取值范围是__________．
1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2020·全国高考真题（理））已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（
）
A． B． C． D．
4．（2021·北京高考真题） ， ， ，则 _______； _______．
5．（2020·北京高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
_________； _________．
6．（2021·全国高考真题（文））若向量 满足 ，则 _________.
7．（2021·浙江高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.
8．（2021·全国高考真题（理））已知向量 ．若 ，则 ________．9．（2020·浙江高考真题）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ，
的夹角为 ，则 的最小值为_______．
10．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则
k=__________.
1．【答案】C
【分析】
用 为基底，表示 ，然后由数量积运算计算．
【详解】
因为E为BC的中点， 是 中点，所以 ，
，
，则 ，
所以
．
故选：C．
2．【答案】AC
【分析】
首先由数量积夹角公式得 ，转化为坐标运算后，得向量 的坐标满足圆 ，
利用圆的性质，判断AB选项，利用向量夹角的余弦公式，结合基本不等式判断CD.【详解】
因为 是夹角为 的两个单位向量，所以 ，
①
设 ，则 ， ，
设 ，将 代入①得，
即
因此向量 的坐标满足圆 ，而圆上的点到原点的最大距离为 ，A正确；
由①知，
当 时等号成立，故C正确.
故选：AC．
3．【答案】
【分析】
根据向量的数量积的几何意义，列出方程，即可求解.
【详解】
设 与 的夹角为 ， 在 上投影为 ，
解得 .故答案为： .
4．【答案】4
【分析】
将 平方，可得 ，利用数量积的坐标表示列方程求解即可.
【详解】
因为 ，
故 ，展开得到 ，
因为 ，
故 ， ，
故答案为：4.
1．【答案】C
【分析】
利用向量垂直列方程，化简求得 与 的夹角.
【详解】
依题意 ，
所以 ，
即 ，
由于 ，
所以 ，
解得 ，由于 ，所以 .
故选：C
2．【答案】B
【分析】
由向量 与 的夹角为 ，可得 ，由 与 的模长之比为 ，可得 ，然后
求出 ， 的值，代入夹角公式可得答案
【详解】
解：因为向量 与 的夹角为 ，所以 ，
所以 ，
因为向量 与 的模长之比为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为两个向量的夹角范围为 ，
所以 与 的夹角为 ，
故选：B
3．【答案】C
【分析】
根据向量的坐标表示及数量积的坐标运算，逐项判定，即可求解.【详解】
因为向量 ， ，
由 ， ，所以A不正确；
由 ，所以B不正确；
由 ，所以 ，所以C正确；
由 ，所以 与 不平行，所以D不正确.
故选：C.
4．【答案】C
【分析】
解法一：利用向量的坐标运算求得 ， 的坐标，再根据向量垂直的条件建立方程，解之可得选项.
解法二：根据向量垂直的条件得出 ，再运用向量数量积的运算律求得 ，从而可得
选项.
【详解】
解法一： ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ．
解法二：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选：C.
5．【答案】A
【分析】
注意到 ，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到 ，进
而得到结论.【详解】
∴BA⊥AC,
∴△ABC为直角三角形，
故选：
6．【答案】B
【分析】
以 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算直接求解即可.
【详解】
以 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
.
故选：B.
7．【答案】D
【分析】
由已知图形可得 ，展开后代入向量的数量积公式求值．【详解】
解：由题意可知， ，
，
又 ， ，
， ，
．
故选：D．
8．【答案】
【分析】
由题意不妨令 ， ，由 可得 ，求出 ，从而可求出 的坐标，进而
可求出其模
【详解】
不妨令 ， ，则 ， ，
由 得 ，解得 ，则 ，
.
故答案为：9．【答案】
【分析】
根据向量 ， 的坐标及向量投影的计算公式，即可求出 在 方向上的投影的值.
【详解】
∵ ， ，
∴向量 在 方向上的投影为： .
故答案为： .
10．【答案】
【分析】
由 ，可得 ，化简后结已知条件可求得答案
【详解】
解：因为向量 的夹角为120°， ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
11．【答案】
【分析】
由题设有 ，结合已知条件可得关于 的一元二次方程，解方程求 即可.
【详解】
由题设， 知： ，
∵ ，
∴ ，解得 或 (舍)∴ .
故答案为：
12．【答案】 ； [1，2].
【分析】
依题意求得 ，进而可得 ，从而可得 与 的夹角；将 平方可得
，结合 可得 的取值范围.
【详解】
依题意知 ，由 得 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 ；
将 平方，得 ，因为 ，所以
.
故答案为：① ；② .
1．【答案】B
【分析】
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以
成立，此时 ，∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
2．【答案】D
【分析】
计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】
， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算
能力，属于中等题.
3．【答案】D
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直
这一性质，考查了数学运算能力.
4．【答案】0 3
【分析】
根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
，
， ，
.
故答案为：0；3.
5．【答案】
【分析】
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，求得点 的坐标，利用平面
向量数量积的坐标运算可求得 以及 的值.
【详解】
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 的坐标是解答的关键，考查计算
能力，属于基础题.
6．【答案】
【分析】
根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】
∵
∴
∴ .
故答案为： .
7．【答案】【分析】
设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】
由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小
值.
8．【答案】 .
【分析】
利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量 垂
直的充分必要条件是其数量积 .
9．【答案】
【分析】
利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得 ，再根据向量夹角公式求 函数关系式，根据
函数单调性求最值.
【详解】
，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解
能力，属中档题.10．【答案】
【分析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】
由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
