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考向 28 等比数列及其前 n 项
和
1．（2021·全国高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】
∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
2．（2016·全国高考真题（文））已知 是公差为3的等差数列，数列 满足
．（Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 的前n项和．
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)见解析.
【详解】
试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.
试题解析：（Ⅰ）由已知， 得 ，所以数列 是首项为2，公差为3的等差
数列，通项公式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得 ，因此 是首项为1，公比为 的等比数列.记 的前
项和为 ，则
【考点】等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程
可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题
可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
1、等比数列基本运算的解题技巧
(1)求等比数列的基本量问题，一般是“知三求二”问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已
知条件列出首项和公比的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n项和等其余量．
(2)运用整体思想，达到设而不求的目的；运用等比定理，即 q＝＝＝…＝＝达到化简目的；运用分类讨论
思想，讨论q＝1和q≠1等问题．
2、利用等比数列性质解题应注意的2点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则
a ·a＝a·a”，可以减少运算量，提高解题速度．
m n p q
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而
不求思想的运用．
3、等比数列的判断与证明的常用方法1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比
数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此
时G2＝ab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为a＝a q n － 1 ；
n 1 n 1
通项公式的推广：a＝a qn－m.
n m
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S＝na；当q≠1时，S＝＝.
n 1 n
3.等比数列的性质
已知{a}是等比数列，S 是数列{a}的前n项和.
n n n
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a·a＝a · a .
k l m n
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为 q m .
k k＋m k＋2m
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S，S －S，S －S ，…仍成等比数列，其公比为 q n .
n 2n n 3n 2n
【知识拓展】
1.若数列{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则数列{c·a}(c≠0)，{|a|}，{a}，，{a·b}，也是等比数列.
n n n n n n
2.由a ＝qa，q≠0，并不能立即断言{a}为等比数列，还要验证a≠0.
n＋1 n n 1
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而
导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知递增等比数列 ， ， ， ，则 （
）
A．8 B．16 C．32 D．64
2．（2021·河南郑州十一中高二期末）已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，若 ，
，则 （ ）．
A． 或32 B． 或64 C．2或 D．2或
3．（2021·吉林长春市·高三（理））若无穷等比数列 的各项均大于1，且满足 ， ，
则公比 ________.4．（2022·全国高三专题练习）已知数列 满足： ， ， 为数列 的前 项和，
则 ___________.
1．（2021·赤峰二中（理））在公比q为整数的等比数列{a}中，S 是数列{a}的前n项和.若a·a=32，
n n n 1 4
a+a=12，则下列说法中，正确的是（ ）
2 3
①数列{ }是等比数列；
②a=4；
3
③数列{S+2}是等比数列；
n
④数列{log a}是等差数列
2 n
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
2．（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知公比为 的等比数列 的首项 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高三（理））已知等比数列 中， ， ， 成等差数列．则
=（ ）
A．4或 B．4 C． D．
4．（2021·全国高三专题练习）等比数列 中， ， ，则 的前12项和为（
）
A．90 B．60 C．45 D．325．（2022·全国高三专题练习）已知 是首项为2的等比数列， 是其前n项和，且 ，则数列
前20项和为（ ）
A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380
6．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知正项的等比数列 中 ， ，设其公比为
，前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知公比大于1的等
比数列 满足 ， ，则公比 等于________.
8．（2021·云南曲靖·高三（文））已知正项数列 满足 且 ，令
，则数列 的前 项的和等于___________.
9．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））在① ，② ，③ ，
，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列 是公比大于0的等比数列，其前
项和为 .已知 ，___________.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，且数列 的前 项和为 ，求 .
10．（2021·全国）已知数列 满足 ，若数列 满足 ，．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ．
11．（2021·全国高三）已知数列 的前n项和为 ，满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前n项和 ．
12．（2021·肥城市教学研究中心高三）已知 为等比数列 的前n项和，若 ，且 是等
差数列 的前三项.
（1）求数列 的前n项和 ；
（2）求数列 的通项公式，并求使得 的 的取值范围.
1．（2021·山东高考真题）在等比数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B．5 C． D．9
2．（2020·山东高考真题）在等比数列 中， ， ，则 等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
3．（2021·浙江高考真题）已知 ，函数 .若 成等比
数列，则平面上点 的轨迹是（ ）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
4．（2020·全国高考真题（文））设 是等比数列，且 ， ，则 （
）
A．12 B．24 C．30 D．32
5．（2020·全国高考真题（文））记S 为等比数列{a}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =
n n 5 3 6 4
（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
6．（2021·全国高考真题）（多选题）设正整数 ，其中 ，记
．则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2013·重庆高考真题（理））已知 是等差数列, ,公差 , 为其前 项和,若 , , 成等
比数列,则 _____.
8．（2021·湖南高考真题）已知各项为正数的等比数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
9．（2021·浙江高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.10．（2020·海南高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
1．【答案】D
【分析】
根据等比数列的性质、定义、通项公式计算求解即可.
【详解】
因为递增等比数列 中 ，
所以 ，
又 ，
解得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：D
2．【答案】B
【分析】利用等比数列的性质由 ，可求得 ，再由 可求出 ，从而可求出 的值
【详解】
∵数列 为等比数列， ，解得 ，
设数列的公比为 ， ，
解得 或 ，
当 ，则 ，
当 ，则 ．
故选：B．
3．【答案】2
【分析】
根据等比数列的性质可得 ，结合已知条件，以及 的各项均大于1，即可得 和 的值，
再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
因为数列 是等比数列，所以 ，
又因为 ，
解得： 或 ，
由无穷等比数列 的各项均大于1可知 ，
所以 ，因为 ，即 ，解得： .
故答案为：2.
4．【答案】
【分析】
依题意可得 ，即数列 为等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】
解：因为 ，
，
.
故答案为：
1．【答案】C
【分析】
由题中条件，计算基本量 ，可得 ，依据等差、等比数列的定义，依次判断即可
【详解】
由题意，{a}为等比数列，a·a=32，a+a=12
n 1 4 2 3
由等比数列的性质：
或
又公比q为整数，
数列{ }， ，且 ，因此数列{ }为等比数列，故①正确；
，故②不正确；
数列{S+2}， 且 ，因此数列{ }为等比数列，故③正确；
n
数列{log a}， ，因此数列{ }为等差数列，故④正确；
2 n
故选：C
2．【答案】A
【分析】
根据等比数列的性质可得 ，若 ，可得 ，然后再根据充分条件和必要条件的判断方
法即可得到结果．
【详解】
由于公比为 的等比数列 的首项 ，
所以 ，
若 ，则 ，所以 ，即 或 ，
所以公比为 的等比数列 的首项 ，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
3．【答案】B
【分析】
根据等差中项的应用求解出公比 ，然后将 化简为关于 的形式，由此求解出结果.
【详解】
设等比数列 公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，且 ，
所以
解得 或 ，
为保证 有意义，则 ，所以 ，
所以 ，
故选：B
4．【答案】C
【分析】
根据等比数列的性质求得公比 ，然后再计算和．
【详解】
设数列的公比为 ，则 ，
所以 ，同理 ，
所以 ．
故选：C．
5．【答案】A
【分析】
从等比数列 的前n项和 满足的等式中，解出公比，进而得到数列 的通项公式，也就得到了数列
的通项公式，而后使用等差数列求和公式求和.
【详解】
根据题意 ，所以 ，从而有 ，
所以 ，
所以数列 的前20项和等于
故选： .
6．【答案】ABD
【分析】
由 ，根据等比数列的通项公式的计算，求得 ，进而求得通项公式和 的值，再由
， ，结合选项，即可求解.
【详解】
因为 ，可得 ，即 ，解得 或 ，
又由正项的等比数列 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
数列 的通项公式为 ，所以B正确；
则 ，所以C不正确；
由 ，则 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
7．【答案】2
【分析】
由等比数列以及 ，可知 ，由已知条件结合等比数列通项公式可知
，联立方程求解，根据 可解的答案.【详解】
解：由题意得
则 ，又因为
解得： 或 （舍去）
故答案为：2
8．【答案】
【分析】
首先由递推关系可得 是等比数列，进而可得 、 的通项公式，再利用乘公比错位相减，分组求
和即可求解.
【详解】
由 可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
则 的前 项的和等于 ，
令 ， 前 项的和为 ，则
，，
两式相减可得：
，
所以 ，
所以 前 项的和为 ，
故答案为： .
9．【答案】条件选择见解析；（1） ；（2） .
【分析】
（1）若选择①②，可设公比为 ，根据已知条件得到关于 的方程，求出 后可求通项.若选择③，利用
可得 ，从而可得数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得所求的通项.
（2）利用分组求和和裂项相消法可求 .
【详解】
（1）若选①，设等比数列 的公比为 .
， ，而
，解得 或 .
， ， .
若选②，设等比数列 的公比为 ，且 ，
由 可得 .， ，即 .
， ， .
若选③，当 时， ，
即 ， 也满足，
即数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
则 .
（2）由（1）知 ，
.
10．【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）利用递推作差法求出 通项公式，且证明当 时也符合，再利用构造法结合已知条件求出
的通项公式；
（Ⅱ）借助分组求和、等差、等比数列求和公式即可求出数列 的前 项和．
【详解】
（Ⅰ）由 得当 时， ，可得 ；
当 时， ，
两式相减得 ，
所以 ，
当 时也满足上式，
所以 的通项公式为 ，
因为 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，且 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
故 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，．
11．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由题得 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，即得解；
（2）由题得 ，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）由 ，得 ，
又 ，作差得 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则有 ；
（2）由题得 ，
所以 ．
12．【答案】（1） ；（2） ，使得 的 的取值范围是 ， .
【分析】
（1）根据等差中项列方程，化简求得 ，结合 求得 ，由此求得 .
（2）由（1）求得等差数列 的前三项，进而求得 ，化简不等式 ，结合差比较法求得 的取值
范围.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由 是等差数列 的前三项，得 ，
即 ，
所以 ，
整理得 ，解得 .
由 ，得 ，所以 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
所以 ， ，
所以等差数列 的前三项为 ，
所以 .
由 ，得 ，即 .
令 ，
故有 .
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
而 .
所以使得 的 的取值范围是 ， .1．【答案】D
【分析】
由等比数列的项求公比，进而求 即可.
【详解】
由题设， ，
∴ ．
故选：D
2．【答案】A
【分析】
求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
3．【答案】C
【分析】
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：，
，
，
，
所以 或 ，
其中 为双曲线， 为直线.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的
逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
4.【答案】D
【分析】
根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
5.【答案】B
【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和
前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 项和公式的应用，考查了数学运算能
力.
6.【答案】ACD
【分析】
利用 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】
对于A选项， ， ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.
7.【答案】64
【分析】
利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
【详解】
解：因为 为等差数列,且 , , 成等比数列,所以 ,解得 ,所以
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据条件求出 即可；
（2） ，然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】
（1） 且 ， ，
（2）
9.【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即可得出结
论；
（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分类讨
论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
【点睛】
易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，
如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，分离参数
不等式要变号.
10.【答案】（1） ；（2）
【分析】
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】
(1) 设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，数列的通项公式为： .
(2)由于： ，故：
.
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关
公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
