文档内容
考点 11 平面向量及其应用（20 种题型 6 个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
考题 考点 考向
2022新高考1，第3题 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算
2022新高考2，第4题 数量积的综合应用 由夹角相等求参数值
2021新高考1，第10题 数量积的定义及夹角与模问题 利用坐标运算求解向量的模，数
量积
2021新高考2，第15题 数量积的综合应用 平面向量的数量积
2021全国乙理，第14题 数量积的定义及夹角与模问题 由向量垂直求参数
2020新高考2，第3题 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算
2020新高考1，第7题 数量积的综合应用 求数量积的取值范围
高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性
运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，
分值为5分。
高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、
直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。
三、2023 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2023•甲卷）已知向量 ＝（3，1）， ＝（2，2），则cos〈 + ， ﹣ 〉＝（ ）
1A． B． C． D．
【分析】根据题意，求出 + 和 ﹣ 的坐标，进而求出| + |、| ﹣ |和（ + ）•（ ﹣ ）的值，进
而由数量积的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量 ＝（3，1）， ＝（2，2），
则 + ＝（5，3）， ﹣ ＝（1，﹣1），
则有| + |＝ ＝ ，| ﹣ |＝ ＝ ，（ + ）•（ ﹣ ）＝2，
故cos〈 + ， ﹣ 〉＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题．
2．（2023•甲卷）向量| |＝| |＝1，| |＝ ，且 + ＝ ，则cos〈 ﹣ ， ﹣ 〉＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，用 、 表示 ，利用模长公式求出cos＜ ， ＞，再计算 ﹣ 与 ﹣ 的数量积
和夹角余弦值．
【解答】解：因为向量| |＝| |＝1，| |＝ ，且 + ＝ ，所以﹣ ＝ + ，
所以 ＝ + +2 • ，
即2＝1+1+2×1×1×cos＜ ， ＞，
解得cos＜ ， ＞＝0，
所以 ⊥ ，
又 ﹣ ＝2 + ， ﹣ ＝ +2 ，
学科网（北京）股份有限公司 2所以（ ﹣ ）•（ ﹣ ）＝（2 + ）•（ +2 ）＝2 +2 +5 • ＝2+2+0＝4，
| ﹣ |＝| ﹣ |＝ ＝ ＝ ，
所以cos〈 ﹣ ， ﹣ 〉＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．
3．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 • ＝（ ）
A． B．3 C．2 D．5
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
所以 ＝﹣1， ， ， ＝2×2＝4，
则 • ＝（ ）•（ ）＝ + + + ＝﹣1+0+0+4＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知向量 ＝（1，1）， ＝（1，﹣1）．若（ + ）⊥（ + ），则（ ）
λ μ
A． + ＝1 B． + ＝﹣1 C． ＝1 D． ＝﹣1
λ μ λ μ λμ λμ
【分析】由已知求得 + 与 + 的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
λ μ
【解答】解：∵ ＝（1，1）， ＝（1，﹣1），
∴ + ＝（ +1，1﹣ ）， + ＝（ +1，1﹣ ），
λ λ λ μ μ μ
由（ + ）⊥（ + ），得（ +1）（ +1）+（1﹣ ）（1﹣ ）＝0，
λ μ λ μ λ μ
整理得：2 +2＝0，即 ＝﹣1．
故选：D．λμ λμ
【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
学科网（北京）股份有限公司 3二．填空题（共1小题）
5．（2023•新高考Ⅱ）已知向量 ， 满足| ﹣ |＝ ，| + |＝|2 ﹣ |，则| |＝ ．
【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解．
【解答】解：∵| ﹣ |＝ ，| + |＝|2 ﹣ |，
∴ ， ，
∴ ，∴ ＝3，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题．
四、考点清单
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运
定义 法则(或几何意义) 运算律
算
交换律：a＋b＝ b ＋
a；
加法 求两个向量和的运算
结合律：(a＋b)＋c＝
a ＋ ( b ＋ c )
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
求实数λ与向量a的 |λ a|＝ | λ | | a |，当λ>0 λ(μ a)＝ ( λμ ) a ；
数乘
积的运算 时，λa与a的方向相 (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ _a；
学科网（北京）股份有限公司 4同；
当λ<0时，λa与 a的
λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b ＝ λ a ．
4．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数
1 2
λ，λ，使a＝λe ＋ λe．
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，
1 2 1 2 1 2 1 2
λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝．
1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，
1 1 2 2 2 1 2 1
|AB|＝．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，a∥b⇔xy － xy ＝ 0．
1 1 2 2 1 2 2 1
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则 | a||b |
定义
· cos _θ 叫做a与b的数量积，记作a·b
| a | cos _θ 叫做向量a在b方向上的投影，
投影
| b | cos _θ 叫做向量b在a方向上的投影
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上
几何意义
的投影 |b | cos _θ 的乘积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ a ·( λ b ) ．
(3)(a＋b)·c＝ a·c ＋ b·c .
学科网（北京）股份有限公司 510．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充
a·b ＝ 0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
要条件
11.平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为
三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、
正、余弦定理等知识．
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，
即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OP＝(OA＋OB)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC
的重心，则有如下结论：
①GA＋GB＋GC＝0；
②AG＝(AB＋AC)；
③GD＝(GB＋GC)，GD＝(AB＋AC)．
(5)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
学科网（北京）股份有限公司 6(1)基底e，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e，e，有a＝λe＋λe＝μe＋μe，则可以得到
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x ，y 有可能等于0，应表示
1 1 2 2 2 2
为xy－xy＝0.
1 2 2 1
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x，y)，B(x，y)，则P点坐标为.
1 1 2 2
(2)已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
1 1 2 2 3 3
6 ． 两个向量 a ， b 的夹角为锐角 ⇔ a·b ＞ 0 且 a ， b 不共线；
两个 向量 a ， b 的夹角为钝角 ⇔ a · b ＜ 0 且 a ， b 不共线．
7 ． 平面向量数量积运算的常用公式
(1)( a ＋ b )·( a － b ) ＝ a 2 － b 2 .
(2)( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 a · b ＋ b 2 .
(3)( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 a · b ＋ b 2 .
五、题型方法
一．向量的概念与向量的模（共2小题）
1．（2023•叶城县校级模拟）已知 ， ，若 与 模相等，则 ＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用坐标求出 的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于 的方程，问题即可得到
解决．
【解答】解：因为 ，所以 ，
故 ，而又已知 ，且 ，
所以 ，
解得 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 72．（2023•广西模拟）已知 和 是两个正交单位向量， 且 ，则k＝（
）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
【分析】根据题意得到 ， ，求得 ，根据向量模的计算公式，
列出方程，即可求解．
【解答】解：因为 和 是正交单位向量， ， ，
可得 ，所以 ，
解得k＝2或k＝4．
故选：B．
【点评】本题考查向量的运算，属于基础题．
二．向量相等与共线（共2小题）
3．（2023•南通模拟）若向量 满足 ，则向量 一定满足的关系为（ ）
A．
B．存在实数 ，使得
λ
C．存在实数m，n，使得
D．
【分析】对 两边平方即可得出 ，进而得出 ，从而判断A不
正确； 时，B不一定成立； 时，D不成立，这样只能选C．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 8∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 不一定成立； 时， 不成立； 时， 不成立．
故选：C．
【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
4．（2023•湖北模拟）已知向量 ，则“ 与 共线”是“存在唯一实数 使得 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 λ
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】充分性根据 验证；必要性直接证明即可．
【解答】解：当 时，满足 与 共线，
但是不存在实数 使得 ，
λ
故充分性不成立；
存在唯一实数 使得 ，则 与 共线成立，
λ
即必要性成立，
故“ 与 共线”是“存在唯一实数 使得 ”的必要不充分条件．
λ
故选：B．
【点评】本题主要考查了共线向量的定义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
三．平面向量的线性运算（共1小题）
5．（2023•济南三模）在△ABC中，若 ，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】由平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：设点A、B为线段DE的三等分点，
学科网（北京）股份有限公司 9因为 ，
所以 ＝ ， ，
则 ＝ ，
当且仅当CD⊥CE时取等号，
即△ABC面积的最大值为1．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．
四．向量的加法（共1小题）
6．（2023•浙江模拟）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用向量的线性运算法则求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴M是AC，BD的中点，
∴ ＝ ， ，
∴ ＝ ＝ ＝ （ ）＝ ＝ （ ）＝
＝ ．
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司 10【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
五．向量的减法（共1小题）
7．（2023•防城港模拟）在△ABC中，D为BC的中点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平面向量的线性运算求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，D为BC的中点，∴ ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，是基础题．
六．向量的三角形法则（共2小题）
8．（2023•普宁市校级二模）设 是单位向量， ＝3 ， ＝﹣3 ，| |＝3，则四边形ABCD（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】据向量相反向量的定义得四边形为平行四边形，再据邻边相等四边形为菱形．
【解答】解：∵ ，
∴
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵
∴四边形ABCD是菱形
故选：B．
【点评】本题考查相反向量的定义，菱形满足的条件．
9．（2023•西宁模拟）在△ABC中，D是AB边上的中点，则 ＝（ ）
A．2 + B． ﹣2 C．2 ﹣ D． +2
【分析】利用向量加法法则直接求解．
【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，
学科网（北京）股份有限公司 11则 ＝ ＝
＝
＝2 ．
故选：C．
【点评】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
七．向量加减混合运算（共1小题）
10．（2023•雁塔区校级模拟）已知 ＝（1， ）， ＝（2，0），则| ﹣3 |＝（ ）
A．2 B．2 C．24 D．28
【分析】可根据条件求出 的坐标，从而可求出 ．
【解答】解： ；
∴ ．
故选：A．
【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，根据向量坐标求向量长度的方法．
八．两向量的和或差的模的最值（共3小题）
11．（2023•安徽模拟）△ABC中，| |＝2| |，则sinA的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【 分 析 】 由 | | ＝ 2| | ， 两 边 ， 整 理 得 到
学科网（北京）股份有限公司 12，结合基本不等式进而得到cosA的最小值，再利用平方关
系求解．
【解答】解：由| |＝2| |，
两边同时平方得 ，
展开整理得 ，
即 ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立．
又∵sin2A+cos2A＝1且sinA＞0，∴ 时，
所以sinA取最大值 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量模的运算性质，数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（2023•张家口一模）已知向量 ， ， 都是单位向量，若 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据数量积的运算律得到 ，设 ，即可得到 ，
再由 求出 的范围，即可得解．
【解答】解：由 ，得 ，即 ．
设 ，则 ，显然cos ≠0，
θ
学科网（北京）股份有限公司 13所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 的最大值为 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
13．（2023•市中区校级一模）若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
的最小值为 2 ．
【分析】在平面直角坐标系中，不妨设 ， ， ，再结合平面向
量的数量积运算，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设 ， ， ，
∵ ， ， ，
∴x x +y y ＝0，x ＝1，x ＝﹣1，
1 2 1 2 1 2
∴y y ＝1，
1 2
∴ ＝|y +y |＝ ＝ ，
1 2
当且仅当y ＝±1时，等号成立，
1
故 的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
九．向量数乘和线性运算（共2小题）
14．（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最
早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”
是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第 24届国际数学家大会的会徽．如图，大
学科网（北京）股份有限公司 14正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ，E为BF的中
点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．利用勾股定理可得x，通过
RT△ABE的边角关系，可得E的坐标，设 ＝m +n ，路坐标运算性质即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝ ．
设∠BAE＝ ，则sin ＝ ，cos ＝ ．
θ θ θ
∴x ＝ cos ＝ ，y ＝ sin ＝ ．
E E
θ θ
设 ＝m +n ，
则（ ， ）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝ ，n＝ ．
∴ ＝ + ，
学科网（北京）股份有限公司 15另解：过E分别作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．
通过三角形相似及其已知可得：AM＝ AB，AN＝ AD．
即可得出结论．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数求值、平面向量基本定理，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
15．（2023•湖南模拟）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若 ＝ + ，则
λ μ
+ ＝（ ）
λ μ
A．2 B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 16【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出 ， ．
【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： λ μ
设正方形边长为1，则 ＝（1， ）， ＝（﹣ ，1）， ＝（1，1）．
∵ ＝ + ，
λ μ
∴ ，解得 ．
∴ + ＝ ．
故λ选：μ D．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
一十．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）
16．（2023•天门模拟）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】根据数量积的运算律求出 ，在根据向量 在向量 上的投影向量为 计算可得．
【解答】解：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 17所以向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
17．（2023•淮北二模）已知向量 ， 满足 • ＝10，且 ＝（﹣3，4），则 在 上的投影向量为
（ ）
A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣ ）
【分析】根据投影向量的定义计算即可．
【解答】解：因为 • ＝10，且 ＝（﹣3，4），
所以 在 上的投影向量| |cos＜ ， ＞ ＝（ • ） ＝10× ＝（﹣ ， ）．
故选：C．
【点评】本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）
18 ． （ 2023• 射 洪 市 校 级 模 拟 ） 已 知 平 面 向 量 ， ， 的 夹 角 为 60° ，
，则实数t（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．±1
【分析】对 两边平方，再由数量积公式计算可得答案．
【解答】解：因为 ，所以 ，
即4+2×2×cos60°t+t2＝3，解得t＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
19 ． （ 2023• 鼓 楼 区 校 级 模 拟 ） 在 边 长 为 2 的 菱 形 ABCD 中 ，
学科网（北京）股份有限公司 18，则 的最小值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
【解答】解：已知在边长为2的菱形ABCD中， ，
则 ，
则 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
又x [0，1]，
∈
则当x＝0时， 取最小值 ．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
20．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量 满足 ，则
的取值范围是 ．
【分析】设 ，则 ，得到 ，结合绝对值三角不等式
即可求解．
【解答】解：不妨设 ，则 ，
由 ，可得 ，
则 ||
，
所以 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司 19故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质以及绝对值不等式的应用，属于中档题．
一十二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）
21．（2023•广州三模）已知向量 ， ，且 ，则 ＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用向量的数量积运算求出m，再利用向量的求模公式求解．
【解答】解：∵ ，
∴ + +2 • ＝ + ﹣2 • ，∴ • ＝0，
∵ ， ，
∴12+4m＝0，m＝﹣3，
∴ ＝（4，﹣3），
∴ ＝ ＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的数量积，向量的求模公式，属于基础题．
22．（2023•丹东模拟）已知向量 ， ，则 ＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
【分析】由已知求得 的坐标，再由平面向量数量积的坐标运算求解．
【解答】解：∵ ， ，∴ ，
则 ＝2×（﹣1）+1×（﹣1）＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查向量减法的坐标运算及数量积的坐标运算，是基础题．
一十三．向量的投影（共2小题）
23．（2023•翠屏区校级模拟）已知向量 ，若 ，则 在 方向上的投
学科网（北京）股份有限公司 20影为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】利用坐标运算求出 ，然后求投影即可．
【解答】解： ， ，
则 ，
则 在 方向上的投影为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
24．（2023•宜宾模拟）已知点M是圆C：（x﹣4）2+y2＝4上的一个动点，点N是直线y＝x上除原点O外
的任意一点，则向量 在向量 上的投影的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】取点N（a，a），则a≠0，设点M（4+2cos ，2sin ），其中0≤ ＜2 ，利用向量投影的定义
θ θ θ π
以及三角恒等变换可求得向量 在向量 上的投影的最大值．
【解答】解：取点N（a，a），则a≠0，设点M（4+2cos ，2sin ），其中0≤ ＜2 ，
θ θ θ π
所以，向量 在向量 上的投影为
＝ ，
若向量 在向量 取最大值，则a＞0，
所以，
＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 21因为0≤ ＜2 ，则 ，
θ π
当且仅当 时，等号成立，故向量 在向量 上的投影的最大值是为 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的投影，考查转化能力，属于中档题．
一十四．投影向量（共2小题）
25．（2023•东莞市校级三模）已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投
影向量为（ ）
A．（6，﹣3） B． C． D．
【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可．
【解答】因为 ，
所以 ， ，
故所求投影向量为： ．
故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
26．（2023•开福区校级二模）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则向量 在 方向上的投影向量为（
）
A． B． C． D．
【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解．
【解答】解：因为两个单位向量 和 的夹角为60°，
则 ，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 22，
故所求投影向量为 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式及投影向量的定义，属于基础题．
一十五．平面向量的基本定理（共3小题）
27．（2023•斗门区校级三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于点O， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果．
【解答】解：如图，
由 ，可得 （利用平行关系求得线段比），
则 ，
所以 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
28．（2023•浠水县校级三模）在平行四边形ABCD中， ．若 ，则m
﹣n＝（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 23【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用 表示出 ，求出参数，进而得结果．
【解答】解： ＝ ，
所以 ，
则 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
29．（2023•镇江三模）在△ABC 中， ＝3 ，点 E 是 CD 的中点．若存在实数 ， 使得
λ μ
，则 + ＝ （请用数字作答）．
λ μ
【分析】首先根据题意，利用向量线性运算将 用 和 表示，然后和题设条件对照，即可求出．
【解答】解：如图，因为E为CD中点，所以 ＝ + ，
又 ＝3 ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
故 ＝ ， ，∴ + ＝ ．
λ λ μ
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司 24【点评】本题考查平面向量的线性运算，属简单题．
一十六．平面向量的坐标运算（共2小题）
30．（2023•浙江二模）若 ， ，则 ＝（ ）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【分析】根据平面向量的坐标运算即可求得答案．
【解答】解：由题意知 ， ，
故 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
31．（2023•兴庆区校级二模）已知向量 ， ， ，若 ，则
m+n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，即可求解．
【解答】解： ， ， ， ，
则（9，4）＝（2m，﹣3m）+（n，2n），即 ，解得m＝2，n＝5，
故m+n＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
一十七．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
32．（2023•河南三模）已知向量 ，若 ，则实数 x＝
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数．
【解答】解： ，
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司 25所以（2+3x）×（﹣1）＝7×（2﹣x），解得x＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
33．（2023•武侯区校级模拟）已知向量 ， ，且 ．则sin 的值为
α
（ ）
A． B．0 C．±1 D．不存在
【分析】根据向量共线得到5cos ＝2sin2 ，利用二倍角正弦公式得到cos ＝0，再根据平方关系计算可
得． α α α
【解答】解：因为 ， ，且 ，
所以5cos ＝2sin2 ，即5cos ＝4sin cos ，
即cos （α5﹣4sin α）＝0，因为α sin α[﹣1α，1]，所以5﹣4sin ＞0，
所以cαos ＝0，又αsin2 +cos2 ＝0，α所∈以sin ＝±1． α
故选：Cα． α α α
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
一十八．数量积表示两个向量的夹角（共3小题）
34．（2023•北京模拟）若向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量夹角的坐标运算公式可求出结果．
【解答】解：向量 ， ，
则 ＝ ，
又因为 ，
所以 ，即 与 的夹角等于 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 2635．（2023•郴州模拟）已知向量 满足 ，则向量 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合相垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：设向量 的夹角为 ， [0， ]，
θ θ∈ π
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴cos ＝ ＝ ，
θ
∴ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
36．（2023•渝中区校级模拟）已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 与 的夹角
大小为 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解： ，
故cos ＝ ＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 27∵ ，
∴向量 与 的夹角大小为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
一十九．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题）
37．（2023•西宁二模）若向量 ， ，且 ，则 ＝（ ）
A． B．4 C． D．
【分析】根据向量垂直的坐标表示求x，再由向量的模的坐标表示即得．
【解答】解：由 ，可得﹣x+2×2＝0，
所以x＝4， ， ．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
38．（2023•江西模拟）已知向量 ， ， ，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
【分析】根据题意，由平面向量垂直的坐标运算即可得到结果．
【解答】解：因为向量 ， ，且 ，
则 ，解得x＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
二十．平面向量的综合题（共2小题）
39．（2023•龙华区校级模拟）如图，在△ABC中，E是AB的中点， ＝2 ， ＝ ，EF与AD交
于点M，则 ＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司 28A． + B． +
C． + D． +
【分析】根据题意，分析可得 ＝ + ，设 ＝k ，则 ＝ + ，再设 ＝x +y
，分析可得 + ＝ + ，分析k、x、y的关系，可得k的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意， ＝ ＝ （ ﹣ ），则 ＝ ，
则 ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ + ，
M在AD上，设 ＝k ，则 ＝ + ，
又由E、M、F三点共线，则 ＝x +y ，（x+y＝1）
则 ＝ + ，而 ＝ + ，
则有 + ＝ + ，故有 ，解可得k＝ ，
故 ＝ + ．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题．
40．（2023•金山区二模）已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若
学科网（北京）股份有限公司 29，则 的最小值为 ．
【分析】画出图形，结合已知条件找出C，B的几何意义，判断D的位置，利用向量的模的几何意义，
转化求解不等式的最小值即可．
【解答】解：如图设 ＝ ， ＝5 ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，
点B在以A为圆心，半径为 的圆上，
点C在以M为圆心，半径为1的圆上，∠NOM＝ ，
所以D在射线ON上，
所以 ＝ ≥| |﹣
＝ ，
作的A关于射线ON的对称点G，
则 ，且 ，
所以 ≥
＝ ﹣ ＝ ，（当且仅当D、G、M共线时取等号），
的最小值为 ．
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司 30【点评】本题考查向量的模的几何意义的应用，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，是难题．
六、易错分析
易错点一、忽略向量共线致误
1、已知向量 的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
【错解】因为向量 的夹角为钝角，所以 ，
即 ，解得 ，
【错因】概念模糊，错误地认为 为钝角 ，实际上， 为钝角
不共线 。
【正解】因为向量 的夹角为钝角，所以 且 不共线，
即 ，解得 ，
所以实数x的取值范围为 。
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【错解】∵cos θ＝＝.因θ为锐角,有cos θ>0,
∴>0 2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是.
【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角．
⇒
【正解】∵θ为锐角,∴0
