文档内容
考点 04 函数及其性质（20 种题型 10 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考1，第12题 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求函数值
2022新高考2，第8题 函数奇偶性与周期性 利用周期性求值
2021新高考1，第13题 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求解参数的值
2021 全国乙理，第4题 函数奇偶性与周期性 判断函数奇偶性
2020新高考1，第8题 函数奇偶性与周期性 解不等式
2020 新高考2，第7题 函数单调性与最值 利用单调性求参数的取值范围
二、命题规律与备考策略
本专题一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性，或将函
数的性质融入函数图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式
等知识进行求解。
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
1．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f
（y），f（1）＝1，则 f（k）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由
此可得解．
【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x
﹣1），
∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），
∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，
又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，
f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，
f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，
f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 1∴ ＝f（1）+f（2）+f（3）+f
（4）＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶
函数，f（2x+1）为奇函数，则（ ）
A．f（﹣ ）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
【分析】根据f（x+2）为偶函数，可得f（x+4）＝f（﹣x），f（2x+1）为奇函数，可
得f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1），即可判断选项．
【解答】解：∵函数f（x+2）为偶函数，
∴f（2+x）＝f（2﹣x），
∵f（2x+1）为奇函数，
∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），
用x替换上式中2x+1，得f（2﹣x）＝﹣f（x），
∴f（2+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即f（x）＝f（x+4），
故函数f（x）是以4为周期的周期函数，
∵f（2x+1）为奇函数，
∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），即f（2x+1）+f（﹣2x+1）＝0，
用x替换上式中2x+1，可得，f（x）+f（2﹣x）＝0，
∴f（x）关于（1，0）对称，
又∵f（1）＝0，
∴f（﹣1）＝﹣f（2+1）＝﹣f（1）＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
3．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）： f （ x ）＝ x 2
．
①f（xx）＝f（x）f（x）；②当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是
1 2 1 2
奇函数．
【分析】可看出f（x）＝x2满足这三个性质．
【解答】解：f（x）＝x2时， ；当
x∈（0，+∞）时，f′（x）＝2x＞0；f′（x）＝2x是奇函数．
故答案为：f（x）＝x2．
另解：幂函数f（x）＝xa（a＞0）即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取f（x）＝x2即可．
【点评】本题考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于
学科网（北京）股份有限公司 2基础题．
4．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝ 1 ．
【分析】利用奇函数的定义即可求解a的值．
【解答】解：函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，
y＝x3为R上的奇函数，
故y＝a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数，
所以y| ＝a•20﹣20＝a﹣1＝0，
x＝0
所以a＝1．
法二：因为函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
即﹣x3（a•2﹣x﹣2x）＝x3（a•2x﹣2﹣x），
即x3（a•2x﹣2﹣x）+x3（a•2﹣x﹣2x）＝0，
即（a﹣1）（2x+2﹣x）x3＝0，
所以a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
5．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为 1 ．
【分析】法一、求出函数定义域，对x分段去绝对值，当0＜x 时，分析函数的单
调性；当x＞ 时，利用导数分析单调性并求最小值，即可得到f（x）的最小值．
法二、令g（x）＝|2x﹣1|，h（x）＝2lnx，分别作出两函数的图象，数形结合得答案．
【解答】解：法一、函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为（0，+∞）．
当0＜x 时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝﹣2x+1﹣2lnx，
此时函数f（x）在（0， ]上为减函数，
当x＞ 时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝2x﹣1﹣2lnx，
则f′（x）＝ ＝ ，
当x∈（ ，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∵f（x）在（0，+∞）上是连续函数，
∴当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．
∴当x＝1时f（x）取得最小值为f（1）＝2×1﹣1﹣2ln1＝1．
故答案为：1．
学科网（北京）股份有限公司 3法二、令g（x）＝|2x﹣1|，h（x）＝2lnx，
分别作出两函数的图象如图：
由图可知，f（x）≥f（1）＝1，
则数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能
力，是中档题．
四、考点清单
一．函数的概念及其构成要素
初中函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对
应，那么就说y是x的函数，
x叫自变量，y叫因变量．
高中函数的定义：
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任
意一个数x，在集合中B
都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数
值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；
②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f
与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，
由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号 f（x）
表示外，还可用g（x），F（x）等表示．
【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．
【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考
学科网（北京）股份有限公司 4中函数命题比较多，以小题与大题出现，
可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联
系常常是压轴题，难度比较大．
二．判断两个函数是否为同一函数
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察
两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以
函数是否为相同函数命题比较少．
三．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定
义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域
的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须
为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是
同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）
抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围
是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范
围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
四．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换
元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生
学科网（北京）股份有限公司 5具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数
的压轴题中出现，是常考题型．
五．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数
的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，
函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定
系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是
基础题．
六．函数的表示方法
【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法
叫列表法．
2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的
关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．
3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．
图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质．
【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三
种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函
数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，
根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐
标系中描点，形成该函数的图象．
【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般
是基础题．
七．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）
连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应
法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象
有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、
周期性、对称性等）．
学科网（北京）股份有限公司 6其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点
连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|
x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的
曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利
用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平
移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到
比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
学科网（北京）股份有限公司 7④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性
从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数
求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出
每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函
数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助
我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获
取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋
势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分
析解决问题．
八．分段函数的解析式求法及其图象的作法
【知识点的认识】
分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对
应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数
在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．
【解题方法点拨】
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也
可用配凑法；
3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；
学科网（北京）股份有限公司 8另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要
的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．
【命题方向】
分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图
形相联系的简单问题．
九．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变
量x，x，
1 2
当x＜x时，都有f（x）＜f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x＜
1 2 1 2 1
x时，都有f（x）＞f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
2 1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）
单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应
用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能
用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x，x∈[a，b]且x≠x，那么
1 2 1 2
① ⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x﹣x）[f（x）﹣f（x）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
1 2 1 ⇔ 2
（x
1
﹣x
2
）[f（x
1
）﹣f（x
2
）]＜0 f⇔（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
⇔
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，
课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调
性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答
题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题
在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类
讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单
调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
十．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
学科网（北京）股份有限公司 9自变量x，x，
1 2
当x＜x时，都有f（x）＜f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x＞
1 2 1 2 1
x时，都有f（x）＜f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
2 1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格
的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、
指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小
开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、
最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的
取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调
性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考
查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数
求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重
点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
十一．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调
性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
十二．函数的最值及其几何意义
学科网（北京）股份有限公司 10【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高
点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可
得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距
离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视
本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范
围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导
法等．
十三．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝
﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于 0的部分的函数表达式，求它的小于 0的函数表达式，如奇函数f
（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝
﹣x2+x
⇒
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题
方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝
f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f
（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查
学科网（北京）股份有限公司 11对偶函数性质的灵活运用．
十四．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f
（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f
（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数
f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，
确保答题的正确率．
十五．奇偶函数图象的对称性
【知识点的认识】
奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点
是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n
时，f（﹣x）＝n．
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函
数的单调性相反．
eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求
函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．
解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，
那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4
【命题方向】
本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总
结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小
段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．
十六．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，
所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在
重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都
有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于
原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
学科网（北京）股份有限公司 12参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总
结，一定要重视这一个知识点．
十七．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它
的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考
中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
十八．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）
恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无
最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解
题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
十九．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于 0等），此时，函数中的参数成为限
制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此
学科网（北京）股份有限公司 13适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进
行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做
题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤ 恒成立
即a≤x+ +2
a≤2 +2
【命题方向】
⇒
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的
考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
二十．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域
一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距
离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，
方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
五、题型方法
一．函数的概念及其构成要素（共2小题）
1．（2023•西宁二模）已知图1对应的函数为y＝f（x），则图2对应的函数是（ ）
A．y＝f（﹣|x|） B．y＝f（﹣x） C．y＝f（|x|） D．y＝﹣f（﹣x）
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且x≤0时两函数解析式相同，
即可得解．
学科网（北京）股份有限公司 14【解答】解：根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数相同，
当x＞0时，所求函数图象与x＜0时图象关于y轴对称，
即所求函数为偶函数且x≤0时与y＝f（x）相同，故BD不符合要求，
当x≤0时，y＝f（﹣|x|）＝f（x），y＝f（|x|）＝f（﹣x），故A正确，C错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．
（多选）2．（2023•福建二模）对任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y
＝[x]为高斯函数，又称取整函数．如下m个数：[ ]，[ ]，[ ]，
…，[ ]可组成一个72元集合，则下列m的取值中不满足要求的有（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【分析】由取整函数及集合的定义，转化为[ ]，[ ]，[ ]，[ ]，
…，[ ]可组成一个72元集合，分两类判断元素的个数即可．
【解答】解：∵[ ]＝[ ]+1，
∴[ ]，[ ]，[ ]，…，[ ]可组成一个72元集合可转化
为
[ ]，[ ]，[ ]，[ ]，…，[ ]可组成一个72元集合，
令 ﹣ ≥1得，
n≤44；
故[ ]，[ ]，[ ]，[ ]，…，[ ]各不相同，共有45个数；
而[ ]＝44，[ ]＝43，[ ]＝43，
而72﹣45＝27，43﹣27+1＝17，
故[ ]＝17，
故17≤ ＜18，
故 ＜m≤ ，
而 ≈112.3， ＝119；
故113≤m≤119，
学科网（北京）股份有限公司 15故选项A，B，C不满足要求．
故选：ABC．
【点评】本题考查了取整函数及集合的性质的应用，同时考查了分类讨论的思想的应用，
属于中档题．
二．判断两个函数是否为同一函数（共1小题）
3．（2022•河东区模拟）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．g（x）＝elnx+1
【分析】根据同一函数的定义判断．
【解答】解：f（x）＝x+1的定义域为R，
A． ，且定义域为R，故正确；
B． ，故错误；
C． ，故错误；
D．g（x）＝elnx+1＝x+1（x＞0），故错误；
故选：A．
【点评】本题考查函数的三要素，属于基础题．
三．函数的定义域及其求法（共3小题）
4．（2023•海南一模）函数 的定义域为（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）∪（1，2]
C．[1，2] D．（﹣∞，1]
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得x≤2且x≠1．
∴函数 的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2]．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
5．（2023•延庆区一模）已知函数 的定义域为A，且﹣3∈A，则a的取值范围是
（﹣∞， ] ．
【分析】由ax+1≥0，对a分类验证x＝﹣3得结论．
【解答】解：由题意，ax+1≥0，
当a＝0时，把x＝﹣3代入，不等式成立；
学科网（北京）股份有限公司 16当a＞0时，得x ，则 ，即0＜a ；
当a＜0时，把x＝﹣3代入，不等式成立．
综上所述，a的取值范围是（﹣∞， ]．
故答案为：（﹣∞， ]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查分类讨论思想，是基础题．
6．（2023•泸县校级模拟）已知函数f（x）＝ 的定义域为R．
（1）求实数m的范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足 + ＝n时，求4a+7b的最小值．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得出；
（2）利用柯西不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤
（|x+2|+|x﹣4|） ，
min
∴|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴m≤6；
（2）由（1）知 n＝6，4a+7b＝ （4a+7b）（ + ）＝ [（a+5b）
+（3a+2b）]（ + ）≥ ，
当且仅当a＝ ，b＝ 时取等号，
∴4a+7b的最小值为 ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
四．函数的值域（共4小题）
7．（2023•全国模拟）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有
“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如
[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．已知 ， ，则函数f（x）的值
域为（ ）
A．{4，6，8} B．{4，5，6} C．{4，5，6，7，8} D．{4，8}
【分析】根据函数 的单调性先求出函数的值域，再由已知定义可求．
【解答】解：易知 ， 在 上单调递减，[2，6）上单调递增．
当x＝2时， ；当 时， ；当x＝6时， ，
学科网（北京）股份有限公司 17所以 ，则函数f（x）的值域为{4，5，6，7，8}．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于
基础题．
（多选）8．（2023•广州二模）已知函数 的定义域是[a，b]（a，
b∈Z），值域为[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）可以是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（﹣1，2）
【分析】可设 ，该函数在（0，2]上单调递减，在[﹣2，0）上单调
递增，从而得出f（x）在（0，2]和[﹣2，0）上的单调性及值域，并得出f（0）＝1，
从而得出f（x）在[﹣2，0]，[0，2]，[﹣1，2]上的值域都是[0，1]，从而得出a，b
的可能取值．
【解答】解：x≠0时，设 ，g（x）在（0，2]上单调递减，在[﹣
2，0）上单调递增，且 ，
∴f（x）在（0，2]上单调递减，0≤f（x）＜1；f（x）在[﹣2，0）上单调递增，0≤f
（x）＜1，且f（0）＝1，
∴f（x）在[0，2]，[﹣2，0]，[﹣1，2]上的值域为[0，1]，a，b中至少一个取﹣2或
2，
∴整数对（a，b）可以是（﹣2，0），（0，2），（﹣1，2）．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数 的单调性，函数 的单调性，根据函数单
调性求函数值域的方法，函数单调性的定义，考查了计算能力，属于中档题．
9．（2023•南部县校级模拟）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，
若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]
上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝
2x﹣1在[a，b]上是“亲密函数”，则b﹣a的最大值是 1 ．
【分析】根据新定义先解出亲密区间[a，b]，即可得出答案．
【解答】解：由|f（x）﹣g（x）|＝|x2﹣5x+5|≤1，得﹣1≤x2﹣5x+5≤1，解得
1≤x≤2或3≤x≤4．
∴f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x﹣1在[1，2]或[3，4]上是“亲密函数”，
则b﹣a的最大值是1．
故答案为1．
【点评】正确理解新定义是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司 1810．（2023•鼓楼区校级模拟）设函数f（x）＝ ，若f（x）在
区间[m，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m的取值范围为 [ ﹣ 8 ，﹣ 1 ] ．
【分析】函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得答案
【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得
当m∈[﹣8，﹣1]时，
f（x）∈[﹣1，2]．
故答案为：[﹣8，﹣1]．
【点评】本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题．
五．函数解析式的求解及常用方法（共3小题）
11．（2023•赤峰模拟）已知函数f（x）的部分图像如图，则函数f（x）的解析式可能为
（ ）
A．f（x）＝（ex﹣e﹣x）sinx B．f（x）＝（ex+e﹣x）sinx
C．f（x）＝（ex﹣e﹣x）cosx D．f（x）＝（ex+e﹣x）cosx
【分析】由奇偶性可排除AD，由特殊点可排除C，即可求解．
【解答】解：由于图像关于原点对称，所以f（x）为奇函数，
对于A：由f（x）＝（ex﹣e﹣x）sinx得：f（﹣x）＝（e﹣x﹣ex）sin（﹣x）＝（ex﹣e
﹣x）sinx＝f（x），f（x）为偶函数，故可排除A；
对于D：由f（x）＝（ex+e﹣x）cosx得：f（﹣x）＝（e﹣x+ex）cos（﹣x）＝（ex+e﹣
x）cosx＝f（x），f（x）为偶函数，故可排除D；
由图知f（x）图象不经过点 ，
学科网（北京）股份有限公司 19而对于C： ，故可排除C；
故选：B．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，考查函数性质的应用，属于基础题．
12．（2023•浙江模拟）定义在R上的非常数函数f（x）满足：f（﹣x）＝f（x），且f
（2﹣x）+f（x）＝0．请写出符合条件的一个函数的解析式f（x）＝
（答案不唯一） ．
【分析】根据已知f（﹣x）＝f（x），且f（2﹣x）+f（x）＝0得出对称轴和对称中心，
确定一个具体函数即可．
【解答】解：因为f（2﹣x）+f（x）＝0．得出对称中心（1，0），且f（﹣x）＝f
（x）得出对称轴为y轴，
所以周期为4的函数都可以．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了函数的对称性和周期性，属于基础题．
13．（2023•武功县校级模拟）已知函数f（x）满足f（x）+2f（ ）＝x，则函数f（x）
的解析式为 ．
【分析】令已知关系式中的x换成 ，得到一个新的方程，联立已知方程可求解．
【解答】解：由已知可得：f（ ）+2f（x）＝ ，联立f（x）+2f（ ）＝x，消去f（
）可得f（x）＝ ，
故答案为：f（x）＝ ．
【点评】本题考查了函数解析式的求法﹣﹣﹣﹣消元法，属于基础题．
六．函数的表示方法（共2小题）
14．（2023•广西模拟）2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计
如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图
的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 20A．7000 B．7500 C．8500 D．9500
【分析】通过条形图可得出晓文刚参加工作时的就医费用为：7000×15%＝1050，从而
得出目前的就医费用为850，再根据折线图即可得出目前的晓文的月工资．
【解答】解：根据题意及条形图和折线图即可得出目前的月工资为：
（7000×15%﹣200）÷10%＝8500．
故选：C．
【点评】考查对条形图和折线图的认识和应用．
15．（2023•丽江一模）据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，
如下表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情
况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：
．
【分析】由图1可得，1950﹣1960：土地沙化面积增加了1.6（万平方公里），平均沙
化面积为：0.16（万平方公里）＝16（百平方公里），同理可求各个时间的平均沙化面
积，画出图象即可．
学科网（北京）股份有限公司 21【解答】解：由图1可知：
1950﹣1960：土地沙化面积增加了1.6（万平方公里），
平均沙化面积为：0.16（万平方千米）＝16（百平方公里）
1960﹣1970：平均沙化面积为：0.16（万平方千米）＝16（百平方公里）
1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）＝21（百平方公里）
1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）＝25（百平方公里）
如图：
【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基
本概念，考查了识图、作图的能力．
七．函数的图象与图象的变换（共2小题）
16．（2023•河南模拟）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣2，2]上的大致图象，
则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据给定的函数图象特征，利用函数的奇偶性排除BC；利用f（1）的正负即
可判断作答．
【 解 答 】 解 ： 对 于 B ， ，
学科网（北京）股份有限公司 22，函数f（x）是偶函数，B不是；
对 于 C ， ，
，函数f（x）是偶函数，C不是；
对于D， ， ，D不是；
对 于 A ， ，
，函数f（x）是奇函数，
且 ，A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
17．（2023•南宁二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性排除BD，再利用特殊值分析可知f（x）在
（1，+∞）上不是增函数，排除A，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，因为 中，x≠±1，
又f（﹣x）＝ ＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除
BD，
学科网（北京）股份有限公司 23又由 f（2）＝ ＝﹣ ，f（10）＝ ＜f（2），f（x）在
（1，+∞）上不是增函数，排除A．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．
八．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共1小题）
18．（2022•上虞区模拟）设函数 ，则f[f（1）]＝ ﹣ 7 ，
若f（a）＞1，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣ 2 ）∪（ 1 0 ， + ∞） ．
【分析】依据分段函数的定义去求f[f（1）]的值；分类讨论关于a的不等式组，去求
a的取值范围．
【解答】解：∵函数 ，
∴f（1）＝lg1＝0，
f[f（1）]＝f（0）＝（ ）0﹣8＝﹣7；
f（a）＞1 或 ，
解得a＞10或a＜﹣2，
⇔
∴若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（10，+∞）．
故答案为：﹣7；（﹣∞，﹣2）∪（10，+∞）．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
九．函数的单调性及单调区间（共2小题）
19．（2022•吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）
A．y＝2x﹣2﹣x B．y＝x﹣3 C．y＝tanx D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2x﹣2﹣x，其定义域为R，导数y′＝（2x+2﹣x）ln2，则有y′＝（2x+2﹣x）
ln2＞0，则该函数在其定义域为增函数，符合题意，
对于B，y＝x﹣3，为幂函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意，
对于C，y＝tanx，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意，
学科网（北京）股份有限公司 24对于D，y＝ x，是对数函数，在其定义域上为减函数，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
20．（2022•黄浦区模拟）已知函数f（x）＝ ．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求证：函数f（x）的图象关于直线y＝ x对称；
（3）某同学经研究发现，函数f（x）的图象为双曲线，x＝0和y＝ 为其两条渐近
线，试求出其顶点，焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证．
【分析】（1）求得 ，令f′（x）＞0，即可求得函
数f（x）的递增区间；
（2）设P（x，y）为函数f（x）的图象上一点，点P关于直线 对称的点Q的
0 0
坐标为（x，y），根据直线 垂直且平分线段 PQ，求得 代入得到
1 1
，即可求解；
（3）由（2）得直线 为函数f（x）图像的一条对称轴，联立方程组求得
，得到双曲线的两个顶点一定只能是 ，进
而求得b＝2，c＝4，根据双曲线的两个焦点F（x，y），F（x，y），由|OF|＝4，
1 1 1 2 2 2 2
求得 ，结合双曲线的定义，作出证明．
【解答】（1）解：由题意，函数 ，
可得 ，
令f′（x）＞0，即 ，
解得 或 ，
所以函数f（x）的单调递增区间为 ．
（2）证明：设P（x，y）为函数f（x）的图像上一点，点P关于直线 对称的
0 0
点Q的坐标为（x，y），
1 1
学科网（北京）股份有限公司 25由直线 垂直且平分线段PQ，可得 ，
因为 ，所以 ，
将 代入 ，可得 ，
即点Q也在函数f（x）的图像上，所以函数f（x）的图像关于直线 对称．
（3）解：由（2）得直线 为函数f（x）图像的一条对称轴，
于是 ，解得 ，
因为 的图像是双曲线（以下记作Γ），
那么双曲线的两个顶点一定只能是 ，
于是半实轴a的值一定只能是 ，
双曲线Γ的实轴所在直线 与它的一条渐近线 的夹角为 ，
以双曲线Γ的一个顶点为直角的顶点，以 为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角
边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于Γ的半虚轴b之长，其斜边则等于Γ的
半焦距c之长．因此b＝2，c＝4．
因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上，
所以Γ的两个焦点F（x，y），F（x，y），应在直线 上，
1 1 1 2 2 2
由|OF|＝4，得 ，利用对称性另一个焦点应为 ，
2
以下验证 图像上的任意一点到F，F两点的距离之差的绝对值为定
1 2
值，
设P（x，y）为函数 图像上的任意一点，
则 ＝
＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 26由 ，得 ，
故 有
＝2x2+2y2+32﹣2|x2+y2﹣8|，
因为 ，
故得 ，
即 为定值，且恰等于前面所得的 2a的值，由此验证函数
的图像为双曲线．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，由方程研究曲线的性质，属于较难题．
一十．函数单调性的性质与判断（共2小题）
21．（2023•台州二模）已知函数f（x）同时满足性质：①f（﹣x）＝f（x）；②当
∀x
1
，x
2
∈（0，1）时， ，则函数f（x）可能为（ ）
A．f（x）＝x2 B．
C．f（x）＝cos4x D．f（x）＝ln（1﹣|x|）
【 分 析 】 ① f（ ﹣ x） ＝ f（ x） 说 明 f（ x） 为 偶 函 数 ， ②
，说明函数在（0，1）上单调递减，
再逐项分析即可．
【 解 答 】 解 ： ① f（ ﹣ x） ＝ f（ x） 说 明 f（ x） 为 偶 函 数 ， ②
，说明函数在（0，1）上单调递减．
A不满足②，B不满足①，
C不满足②，因为f（x）＝cos4x在 单调递减，在 单调递增．
对于D，满足①，当x∈（0，1），f（x）＝ln（1﹣x），单调递减，也满足②．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
22．（2023•泸县校级模拟）函数f（x）满足：①定义域为R，②f（﹣x）+f（x）＝0，
③ ．请写出满足上述条件的一个函数f（x），f（x）＝ x ．
学科网（北京）股份有限公司 27【分析】根据已知条件，函数f（x）满足：①定义域为R，②f（﹣x）+f（x）＝0，③
．即满足函数是定义在实数集上的奇函数，且在R上为增函数的
即可．
【解答】解：因为函数f（x）满足：①定义域为 R，②f（﹣x）+f（x）＝0，③
，
所以函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，且在R上为增函数，
比如，f（x）＝x．
故答案为：x．（答案不唯一）
【点评】本题考查函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于基础题．
一十一．复合函数的单调性（共4小题）
23．（2023•济宁一模）若函数f（x）＝log （ax﹣x3）（a＞0且a≠1）在区间（0，1）
a
内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（1，3] C． D．
【分析】令μ＝g（x）＝ax﹣x3，利用导数求出函数g（x）的单调区间，再分a＞1和
0＜a＜1两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解．
【解答】解：令μ＝g（x）＝ax﹣x3，则g'（x）＝a﹣3x2，
当 或 时，g'（x）＜0，当 时，g'（x）＞0，
所以g（x）在 和 上递减，在 上递增，
当a＞1时，y＝log μ为增函数，且函数f（x）在区间（0，1）内单调递增，
a
所以 ，解得a≥3，
此时g（x）在（0，1）上递增，则g（x）＞g（0）＝0恒成立，
当0＜a＜1时，y＝log μ为减函数，且函数f（x）在区间（0，1）内单调递增，
a
所以 ，无解，
综上所述，a的取值范围是[3，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算
求解能力，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 28（多选）24．（2023•渝中区校级模拟）若 ，其中e为自然对数的
底数，则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．f（x）在（0，+∞）上单调递减
C．f（x）的图象关于直线x＝0对称
D．f（x）的图象关于点（0，0）中心对称
【分析】利用定义判断奇偶性，根据复合函数的规律判断单调性即可得．
【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴即x＝0对称，C项
正确，D项错误；
设u＝1﹣x2，其在（0，+∞）上单调减，y＝eu在u∈R上单调增，
则函数 ，在（0，+∞）上单调减，B项正确，A错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的性质，对称性，单调性，属于基础题．
25．（2023•重庆模拟）函数 的单调减区间为 （﹣∞，﹣ 5 ] ．
【分析】令t＝x2+4x﹣5，求得t≥0时的单调递减区间，又y＝ 为增函数，利用复合
函数的单调性可求得答案．
【解答】解：由x2+4x﹣5≥0，得x≤﹣5或x≥1，
∵y＝ 为增函数，t＝x2+4x﹣5在区间（﹣∞，﹣5]上是减函数，
∴由复合函数的单调性得：函数 的单调减区间为（﹣∞，﹣5]，
故答案为：（﹣∞，﹣5]．
【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，考查运算能力，属于中档题．
26．（2023•安康一模）已知函数 ．
（1）若f（1）＝3，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）利用f（1）＝3求得a，结合复合函数单调性同增异减求得f（x）的单
调区间．
（2）根据f（x）的最小值为0列方程，从而求得a的值．
【解答】解：（1）∵f（1）＝3，∴a+9＝23，即a＝﹣1，
，
由﹣x2+4x+5＞0，x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜5，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，5），
∵函数t＝﹣x2+4x+5在（﹣1，2）上单调递增，在（2，5）上单调递减，
又∵y＝logt在（0，+∞）上为增函数，
2
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，2），单调递减区间为（2，5）．
学科网（北京）股份有限公司 29（2）设存在实数a，使函数f（x）的最小值为0，h（x）＝ax2+4x+5，
∵函数 f（x）的最小值为 0，∴函数 h（x）的最小值为 1，所以 a＞0①，且
②，
联立①②解得：a＝1，
∴存在实数a＝1，使函数f（x）的最小值为0．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，函数的最值的求法，考查运算求解能力，属
于中档题．
一十二．函数的最值及其几何意义（共3小题）
27．（2023•安徽二模）在平面直角坐标系xOy中，定义A（x，y），B（x，y）两点间
1 1 2 2
的折线距离d（A，B）＝|x﹣x|+|y﹣y|，该距离也称曼哈顿距离．已知点M（2，
1 2 1 2
0），N（a，b），若d（M，N）＝2，则a2+b2﹣4a的最小值与最大值之和为（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
【分析】利用新定义，求解a，b的关系，然后转化求解不等式的最大值即可．
【解答】解：点M（2，0），N（a，b），若d（M，N）＝2，
可得|a﹣2|+|b|＝2，
a2+b2﹣4a＝（a﹣2）2+b2﹣4
＝|a﹣2|2+|b|2﹣4
＝（|a﹣2|+|b|）2﹣2|a﹣2||b|﹣4
＝﹣2|a﹣2||b|，
2＝|a﹣2|+|b|≥2 ，当且仅当|a﹣2|＝|b|时，取等号．
所以|a﹣2||b|≤1，
|a﹣2||b|的最小值为0，最大值为1，
﹣2|a﹣2||b|的最小值为﹣2，最大值为0，
a2+b2﹣4a的最小值与最大值之和为﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查新定义的应用，基本不等式求解表达式的最值的方法，考查分析问题
解决问题的能力，是中档题．
28．（2023•广东模拟）若存在常数a，b，使得函数f（x）对定义域内的任意x值均有f
（x）+f（2a﹣x）＝2b，则f（x）关于点（a，b）对称，函数f（x）称为“准奇函
数”．现有“准奇函数”g（x），对于∀x∈R，g（x）+g（﹣x）＝4，则函数h（x）＝
sinx+x+2g（x）﹣1在区间[﹣2023，2023]上的最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】令t（x）＝2g（x）﹣1，m（x）＝sinx+x+3，根据“准奇函数”的定义可确定
m（x），t（x）都关于（0，3）对称，则由对称性可得h（x）+3的最值之和，进而得
到h（x）的最值之和．
【解答】解：令t（x）＝2g（x）﹣1，
学科网（北京）股份有限公司 30则t（﹣x）+t（x）＝2g（﹣x）﹣1+2g（x）﹣1＝6，
所以t（x）关于点（0，3）中心对称；
令m（x）＝sinx+x+3，
则m（﹣x）+m（x）＝﹣sinx﹣x+3+sinx+x+3＝6，
所以m（x）关于点（0，3）中心对称；
因为h（x）＝m（x）+t（x）﹣3，
所以h（x）+3＝m（x）+t（x），
设h（x）在x＝x处取得最大值，则在x＝﹣x处取得最小值，
0 0
所以h（x）+3+h（﹣x）+3＝m（x）+m（﹣x）+t（x）+t（﹣x）＝12，
0 0 0 0 0 0
所以h（x）+h（﹣x）＝6，
0 0
即h（x）的最大值与最小值的和为6．
故选：B．
【点评】本题属于新概念题，考查了函数的对称性及转化思想，属于中档题．
29．（2023•江西模拟）已知函数 的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求 的最大值．
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解；
（2）由（1），根据基本不等式“1”的用法计算，即可求解．
【解答】解：（1） ，
当 时，上式取到等号，因此m＝4；
（2）由（1）知，m＝4，所以a+b＝4，
，
当且仅当 ，即 时，上式取等号，
所以 的最大值是 ．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中
档题．
一十三．奇函数、偶函数（共1小题）
30．（2023•重庆一模）设函数f（x）定义域为R，且f（x）﹣1是奇函数，当0≤x≤2时，
f（x）＝ +1；当x＞2时，f（x）＝2|x﹣4|+1．当k变化时，方程f（x）﹣kx﹣
1＝0的所有根从小到大记为x，x，…，x，则f（x）+f（x）+…+f（x）取值的集
1 2 n 1 2 n
学科网（北京）股份有限公司 31合为（ ）
A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，5，7} D．{1，3，5，7，9}
【分析】先根据题意可作出f（x）在[0，+∞）上的草图，再将方程f（x）﹣kx﹣1＝0
的根转化成数y＝f（x）与直线y＝kx+1交点的横坐标，接着数形结合，分类讨论即可
求出f（x）+f（x）+…+f（x）的值，从而得解．
1 2 n
【解答】解：∵f（x）﹣1是奇函数，∴y＝f（x）关于（0，1）对称，
∵当0≤x≤2时，y＝f（x）＝ +1，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，（y≥1），
又当x＞2时，f（x）＝2|x﹣4|+1，
∴可作出f（x）在[0，+∞）上的草图如下；
又方程f（x）﹣kx﹣1＝0的根即为函数y＝f（x）与直线y＝kx+1交点的横坐标，
数形结合可知：
①当直线y＝kx+1为图中l时，函数与直线只有1个交点，x＝0，f（0）＝1，
1
②当直线y＝kx+1为图中l时，函数与直线有3个交点，由图象对称性可知：
2
f（x）+f（x）+f（x）＝1+2×1＝3，
1 2 3
③当直线y＝kx+1为图中l时，函数与直线有5个交点，由图象对称性可知：
3
f（x）+f（x）+f（x）+f（x）+f（x）＝1+2×1+2×1＝5，
1 2 3 4 5
④当直线y＝kx+1为图中l时，函数与直线有7个交点，由图象对称性可知：
4
f（x）+f（x）+f（x）+f（x）+f（x）+f（x）+f（x）＝1+2×1+2×1+2×1＝7，
1 2 3 4 5 6 7
综合可得所求取值的集合为{1，3，5，7}．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，数形结合思想，方程的根与图象交点的横坐标的转化，
分类讨论思想，属中档题．
一十四．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
31．（2023•江西模拟）若f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（
）
A．y＝f（2x+2﹣x） B．y＝f（2﹣x）
C．y＝f（2x﹣2﹣x） D．y＝f（2x+x）
学科网（北京）股份有限公司 32【分析】由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），然后结合奇函数的定义检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），
A：令g（x）＝f（2x+2﹣x），则g（﹣x）＝f（2﹣x+2x）＝g（x），则g（x）为偶函数，
不符合题意；
B：令h（x）＝f（2﹣x），则h（﹣x）＝f（2+x）≠﹣h（x），即h（x）不是奇函数，
不符合题意；
C：令t（x）＝f（2x﹣2﹣x），则t（﹣x）＝f（2﹣x﹣2x）＝﹣f（2x﹣2﹣x）＝﹣t
（x），即t（x）为奇函数，符合题意；
D：令m（x）＝f（2x+x），则m（﹣x）＝f（2﹣x﹣x）≠﹣f（2x+x），即m（x）不是奇
函数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的定义在奇偶性判断中的应用，属于基础题．
32．（2023•贵州模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．f（x）的图象与x轴围成的三角形面积为2
【分析】去掉绝对值，得到 ，画出其图象，进而判断出四个选项．
【解答】解：A选项， ，
画出其函数图象，如下：
故f（x）不是偶函数，A错误；
B选项，f（x）在（0，1）上单调递减，故B错误；
C选项，f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；
D选项，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积为 ，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分段函数的图象和性质，属于基础题．
一十五．奇偶函数图象的对称性（共1小题）
33．（2023•晋中模拟）已知函数 ，则f（x）的图象（ ）
学科网（北京）股份有限公司 33A．关于直线x＝2对称 B．关于点（2，0）对称
C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称
【分析】根据函数解析式可得f（x）+f（4﹣x）＝0，由此得解．
【解答】解：f（x）＝2x﹣24﹣x，
则f（4﹣x）＝24﹣x﹣24﹣（4﹣x）＝24﹣x﹣2x，
所以f（x）+f（4﹣x）＝0，
则函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，
故选：B．
【点评】本题考查函数对称性的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
一十六．奇偶性与单调性的综合（共3小题）
34．（2023•商丘模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝0，且f（x）在
（0，+∞）上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【分析】由题意不等式 等价于xf（x）＞0，再根据函数的单调性
分x＞0和x＜0两种情况讨论即可得解．
【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝0，且f（x）在（0，+∞）
上单调递增，
所以f（﹣3）＝0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
由 ，得xf（x）＞0，
当x＞0时，由f（x）＞0＝f（3），得x＞3，
当x＜0时，由f（x）＜0＝f（﹣3），得x＜﹣3，
所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
35．（2023•房山区一模）已知函数f（x）同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有
f（x） +f（ ﹣ x） ＝ 0 ； ② 对 任 意 实 数 x ，x ， 当 x+x≠ 0 时 ， 都 有
1 2 1 2
．则函数f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝2x B．f（x）＝﹣2x C．f（x）＝2x D．f（x）＝﹣2x
【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案．
【解答】解：对任意实数x，都有f（x）+f（﹣x）＝0，故函数为奇函数；
对 任 意 实 数 x ， x ， 当 x+x≠ 0 时 ， 都 有 ， 即
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司 34，
即 ，（x≠x），故函数单调递减．
1 2
对选项A：f（x）＝2x单调递增，不满足；
对选项B：f（x）＝﹣2x单调递减，且函数为奇函数，满足；
对选项C：f（x）＝2x单调递增，不满足；
对选项D：f（x）＝﹣2x不是奇函数，不满足．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数性质的判断及应用，属于基础题．
36．（2023•抚松县校级一模）已知函数f（x）＝1﹣ （a＞0且a≠1）为定义在R
上的奇函数．
（1）利用单调性的定义证明函数f（x）在R上单调递增；
（2）求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．
（3）若函数g（x）＝kf（x）﹣1有零点，求实数k的取值范围．
【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数，知f（0）＝0，从而求得a＝2，再根据函数
单调性的定义，证明即可；
（2）利用f（x）是奇函数，可将原问题转化为f（x2+2x）＞f（4﹣x），再根据单调性，
解之即可．
（3）原问题等价于函数y＝f（x）与y＝ 有交点，再求得f（x）的值域，即可．
【解答】（1）证明：因为函数f（x）＝1﹣ （a＞0且a≠1）为定义在R上的奇
函数，
所以f（0）＝1﹣ ＝0，解得a＝2，
所以f（x）＝1﹣ ＝1﹣ ，
设x＜x，
1 2
则f（x）﹣f（x）＝（1﹣ ）﹣（1﹣ ）＝ ，
1 2
因为x＜x，所以 ＜ ， +1＞0， +1＞0，
1 2
所以f（x）﹣f（x）＜0，即f（x）＜f（x），
1 2 1 2
所以函数f（x）在R上单调递增．
（2）解：由题意知，f（x）既是奇函数又是增函数，
学科网（北京）股份有限公司 35所以f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0等价于f（x2+2x）＞﹣f（x﹣4）＝f（4﹣x），
所以x2+2x＞4﹣x，解得x＜﹣4或x＞1，
故原不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞1}．
（3）解：函数g（x）＝kf（x）﹣1有零点等价于函数y＝f（x）与y＝ 有交点，
因为f（x）在R上单调递增，且2x＞0，
所以f（x）＝1﹣ ∈（﹣1，1），
所以 ∈（﹣1，1），即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，函数的零点，指数的运算法则等，
考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
一十七．抽象函数及其应用（共3小题）
37．（2023•南宁二模）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，g'（x）为g（x）的导
函数，且f（x）+g'（x）＝2，f（x）﹣g'（4﹣x）＝2，若g（x）为偶函数，则f
（2022）+2＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解．
【解答】解：依题意，因为g（x）为定义在R为偶函数，所以g（x）＝g（﹣x），所
以g′（x）＝﹣g′（﹣x），所以g′（x）为奇函数且g′（0）＝0，
因为f（x）+g'（x）＝2，f（x）﹣g'（4﹣x）＝2，
令x＝2，则有 ，解得f（2）＝2，
因为f（x）﹣g'（4﹣x）＝2，所以f（x+4）﹣g'（﹣x）＝2，
又g′（x）＝﹣g′（﹣x），所以f（x+4）+g'（x）＝2，
由 ，得f（x）＝f（x+4），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（2022）＝f（2）＝2，
所以f（2022）+2＝4，故A，B，C错误．
故选：D．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性，难点是得出f（x）的周期为4，属于
中档题．
（多选）38．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）满足：①f（a+x）为偶函数；②f
（c+x）+f（c﹣x）＝2d，a≠c．f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（
）
A．f'（x）关于x＝c对称
B．f（2x）的一个周期为2|c﹣a|
C．f（f（x））不关于（c，d）对称
学科网（北京）股份有限公司 36D．f（f（x））关于x＝a对称
【分析】A选项，对f（c+x）+f（c﹣x）＝2d两边求导可判断选项正误；B选项，由
①②可知f（x）的一个周期为 4|c﹣a|，即可判断选项正误；C选项，验证f（f
（c+x））+f（f（c﹣x））是否等于 2d即可判断选项正误；D选项，验证f（f
（a+x））＝f（f（a﹣x））是否成立可判断选项正误．
【解答】解：A选项，由f（c+x）+f（c﹣x）＝2d两边求导得f'（c+x）﹣f'（c﹣x）
＝0，即f'（x）关于x＝c对称，故A正确；
B选项，由f（a+x）为偶函数，知f（a+x）＝f（a﹣x）⇒f（﹣x）＝f（2a+x），
又f（c+x）+f（c﹣x）＝2d f（﹣x）＝2d﹣f（2c+x），
⇒
则 f（x）＝f
（x+4|c﹣a|），
即f（x）的一个周期为4|c﹣a|，则f（2x）的一个周期为2|c﹣a|，故B正确；
C选项，注意到当c＝d时，f（c+x）+f（c﹣x）＝2c f（x）+f（2c﹣x）＝2c．
则f（f（c+x））+f（2c﹣f（c+x））＝f（f（c+x））+f（f（c﹣x））＝2c，
⇒
即此时f（f（x））关于（c，c），即（c，d）对称，故C错误；
D选项，由f（a+x）为偶函数，知f（x）关于x＝a对称，即f（a+x）＝f（a﹣x），
则f（f（a+x））＝f（f（a﹣x）），即f（f（x））关于x＝a对称，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、周期性和对称性，属
于中档题．
39．（2023•宣威市校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且对任意实数x，y
满足f（x﹣y）＝f（x）+f（y）+xy﹣1恒成立．
（1）求f（0），f（1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若方程f[（f（2x）]＝k恰有两个实数根在（﹣2，2）内，求实数k的取值范围．
【分析】（1）令x＝y＝0得f（0），令x＝y＝1得f（1）；
（2）令y＝x，可得f（x）的解析式；
（3）构造函数令g（x）＝﹣2x4+2x2+ ，利用导数研究函数的最大值和最小值，（分
别画出y＝f[（f（2x）]，与y＝k的图象，利与学生理解），即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0）﹣1，即f（0）＝1．
令x＝y＝1，得f（0）＝f（1）+f（1）+1﹣1，
即1＝2f（1），即f（1）＝ ．
（2）令y＝x，得f（0）＝f（x）+f（x）+x2﹣1，
即1＝2f（x）+x2﹣1，
则2f（x）＝﹣x2+2，
学科网（北京）股份有限公司 37则f（x）＝﹣ x2+1．
（3）∵f（x）＝﹣ x2+1．
∴f（2x）＝﹣2x2+1，
∴f[（f（2x）]＝ （﹣2x2+1）2+1＝﹣2x4+2x2+ ，
令g（x）＝﹣2x4+2x2+ ，
∴g′（x）＝﹣8x3+4x，
令g′（x）＝0，解得x＝0，或x＝﹣ ，或x＝ ，
∴g（x）在（﹣2， ），（0， ）上单调递增，在（﹣ ，0），（ ，2）上
单调递减，
∴x＝0时g（x） ＝g（0）＝ ，
极小值
当x＝± ，g（x） ＝g（± ）＝1，g（±2）＝﹣ ，
极大值
当k＝1时，﹣2x4+2x2+ ＝ ，解得x＝﹣ ，或x＝ ，
∵方程f[（f（2x）]＝k恰有两个实数根在（﹣2，2）内，
∴﹣ ＜k≤ ，
终上所述：k的取值范围为（﹣ ， ）∪{1}．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键，导数和函数的
极值和最值之间的关系，综合性较强．
一十八．函数的周期性（共2小题）
40．（2023•鞍山一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若
x∈[0，1]，f（x）＝2x，则f（2023）＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司 38A．4 B．2 C．1 D．0
【分析】根据f（1+x）＝f（1﹣x），结合f（x）是定义在R上的偶函数，易得函数f
（x）的周期为2，然后由f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）求解．
【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（1+x）＝f（x﹣1），
令t＝x﹣1，则x＝t+1，
所以f（t+2）＝f（t），即f（x）＝f（x+2），
所以函数f（x）的周期为2，
所以f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、对称性的应用，属于中
档题．
41．（2023•新乡模拟）已知函数f（4x+3）的周期为1，则（ ）
A．f（x+2）﹣f（x﹣2）＝0 B．f（x+1）﹣f（x）＝0
C．f（x+2）+f（x﹣2）＝0 D．f（x+1）+f（1﹣x）＝0
【分析】根据题意，分析函数f（x）的周期，据此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（4x+3）的周期为1，则f（x）的周期为4，
依次分析选项：
对于A，f（x）的周期为4，则有f（x+2）﹣f（x﹣2）＝0，A正确；
对于B，f（x+1）﹣f（x）＝0表示周期为1，而f（x）的周期为4，B错误；
对于C，由f（x+2）+f（x﹣2）＝0，可得f（x+2）＝﹣f（x﹣2），将x+2代替x，可
得f（x+4）＝﹣f（x），可得f（x）的周期为8，而f（x）的周期为4，C错误；
对于D，不能确定f（x）的图象是否关于点（1，0）对称，即f（x+1）+f（﹣x+1）＝0
不一定成立，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性的性质以及应用，注意判断函数的周期，属于基础题．
一十九．函数恒成立问题（共8小题）
42．（2023•南昌县校级二模）已知函数f（x）＝|x+a|．
（1）当a＝﹣4时，若不等式f（x）≥m﹣|x﹣2|恒成立，求m的取值范围；
（2）当x∈[0，1]，若不等式f（x）≤|x2﹣3|+x2恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝﹣4时，不等式f（x）≥m﹣|x﹣2|恒成立，化为m≤|x﹣4|+|x﹣
2|恒成立，令g（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|，由绝对值的几何意义求得f（x）的最小值，则
答案可求；
（2）当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤|x2﹣3|+x2恒成立，即|x+a|≤3恒成立，可得
﹣3﹣x≤a≤3﹣x，分别求出﹣3﹣x的最小值与3﹣x的最大值，则答案可求．
【解答】解：（1）当a＝﹣4时，不等式f（x）≥m﹣|x﹣2|恒成立，即|x﹣4|≥m﹣|x
﹣2|恒成立，
即m≤|x﹣4|+|x﹣2|，
学科网（北京）股份有限公司 39令g（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|，由绝对值的几何意义可知，f（x） ＝2，
min
∴m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]；
（2）当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤|x2﹣3|+x2恒成立，即|x+a|≤﹣（x2﹣3）+x2
恒成立，
∴|x+a|≤3恒成立，即﹣3≤x+a≤3，﹣3﹣x≤a≤3﹣x，
∵x∈[0，1]，∴（3﹣x） ＝2，（﹣3﹣x） ＝﹣3，
min max
∴﹣3≤a≤2．
故实数a的取值范围是[﹣3，2]．
【点评】本题考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，
是中档题．
43．（2023•宜宾模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）∀x∈[0，2]，f（x）≥a|2x+1|，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据x的范围分类讨论去掉绝对值号，解不等式即可；
（2）对x的范围分类讨论，分离参数a转化为恒成立问题即可求解．
【解答】解：（1） ，
当x＞1时，由2x+2≤6得x≤2，∴1＜x≤2，
当﹣3≤x≤1时，4≤6，∴﹣3≤x≤1，
当x＜﹣3时，﹣2x﹣2≤6，得x≥﹣4，∴﹣4≤x＜﹣3，
∴不等式f（x）≤6的解集是{x|﹣4≤x≤2}．
（2）由∀x∈[0，2]，f（x）≥a|2x+1|得：
①当x∈[0，1]时，2x+1＞0，4≥a（2x+1），∴ ，
令 ，则g（x）在[0，1]上单调递减，最小值为 ，
②当x∈（1，2]时，即2x+2≥a（2x+1），∵2x+1＞0，∴ ，
令 ，
则h（x）在[1，2]上单调递减，最小值为 ，∴ ，
综上，实数a的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查绝对是不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属
于中档题．
44．（2023•中卫一模）已知关于x的不等式 在（1，e3）上恒成立，
学科网（北京）股份有限公司 40则正数m的最大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
【分析】将不等式变形得到xm﹣lnxm≤ex﹣lnex，构造f（t）＝t﹣lnt（t≥1），研究
其单调性得到xm≤ex，取对数后参变分离得到 ，构造 ，求导后得
到 ，从而得到 ，求出0＜m≤e，得到答案．
【解答】解： 变形为xm+x≤mlnx+ex，
即xm﹣lnxm≤ex﹣lnex，
其中m＞0，x∈（1，e3），故xm＞1，ex＞1，
令f（t）＝t﹣lnt（t≥1），则有f（xm）≤f（ex），
因为 在t≥1上恒成立，故f（t）＝t﹣lnt在t≥1上单调递
增，
故xm≤ex，两边取对数得：mlnx≤x，则 ，
令 ，则 ，故当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，
故 在 x∈（1，e）上单调递增，在 x∈（e，+∞）上单调递减，
在x＝e处取得极大值，也是最大值， ，
所以 ，解得：0＜m≤e，故正数m的最大值为e．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查
运算求解能力，属于中档题．
（多选）45．（2023•文昌模拟）记f'（x）、g'（x）分别为函数f（x）、g（x）的导函
数，若存在x∈R，满足f（x）＝g（x）且f'（x）＝g'（x），则称x为函数f
0 0 0 0 0 0
（x）与g（x）的一个“S点”，则下列说法正确的为（ ）
A．函数f（x）＝ex与g（x）＝x+1存在唯一“S点”
B．函数f（x）＝lnx与g（x）＝x﹣2存在两个“S点”
C．函数f（x）＝x与g（x）＝x2+2x﹣2不存在“S点”
D．若函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx存在“S点”，则
学科网（北京）股份有限公司 41【分析】令h（x）＝f（x）﹣g（x），求出h′（x），利用“S点”的定义逐项判断，
可得出合适的选项．
【解答】解：令h（x）＝f（x）﹣g（x），
对于A，h（x）＝ex﹣x﹣1，则h'（x）＝ex﹣1，
由h'（x）＜0，得x＜0；由h'（x）＞0，得x＞0，
所以，函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝0，所以h′（0）＝0，
此时，函数f（x）＝ex与g（x）＝x+1存在唯一“S点”，故A正确；
对于B，h（x）＝lnx﹣x+2，x＞0，则h′（x）＝ ﹣1＝ ，
令h′（x）＝0，则x＝1，
所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，h′
（x）＜0，h（x）单调递减；
因为h（1）＝1≠0，
所以函数f（x）＝lnx与g（x）＝x﹣2不存在“S点”，故B错误；
对于C选项，h（x）＝x﹣（x2+2x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，则h′（x）＝﹣2x﹣1，
令h（x）＝0，可得﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝1或﹣2，
但h′（1）＝﹣3≠0，h′（﹣2）＝3≠0，
此时，函数f（x）＝x与g（x）＝x2+2x﹣2不存在“S点”，故C正确；
对于D选项，h（x）＝ax2﹣1﹣lnx，其中x＞0，则h′（x）＝2ax﹣ ，
若函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx存在“S点”，记为x，
0
则 ，解得 ，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合运用及恒成立问题，理解定义是关键，
属于中档题．
46．（2023•平顶山模拟）已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|2x﹣1|．
（1）若a＞0，f（x）的最大值为4，求f（x）＜3的解集；
（2）若x∈（﹣1，0）时，f（x）＞x2成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值，即可求出a的值，即可得
到f（x）的解析式，再写出分段函数，分类讨论求出不等式的解集；
（2）依题意可得|2x+a|＞x2﹣2x+1＞0，x∈（﹣1，0），即可得到2x+a＞x2﹣2x+1在
x∈（﹣1，0）上成立，或者2x+a＜﹣（x2﹣2x+1）在x∈（﹣1，0）上成立，参变分离，
结合二次函数的性质计算可得．
【解答】（1）因为f（x）＝|2x+a|﹣|2x﹣1|≤|（2x+a）﹣（2x﹣1）|＝|a+1|＝4，
学科网（北京）股份有限公司 42因为a＞0，所以a＝3，
所以 ，
由f（x）＜3，可得 或 或 ，
解得x∈∅或 或 ，
所以f（x）＜3的解集为 ．
（2）当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝|2x+a|+2x﹣1，
由f（x）＞x2，得|2x+a|＞x2﹣2x+1＞0，
则可转化为2x+a＞x2﹣2x+1在x∈（﹣1，0）上成立，或者2x+a＜﹣（x2﹣2x+1）在
x∈（﹣1，0）上成立．
即a＞x2﹣4x+1或a＜﹣x2﹣1，
令h（x）＝x2﹣4x+1，x∈（﹣1，0），显然h（x）在（﹣1，0）上单调递减，又h
（﹣1）＝6，所以a≥6，
令m（x）＝﹣x2﹣1，x∈（﹣1，0），显然m（x）在（﹣1，0）上单调递增，又m（﹣
1）＝﹣2，所以a≤﹣2．
所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属
于中档题．
47．（2023•奉贤区二模）设函数y＝f（x）的定义域是R，它的导数是f'（x）．若存在
常数m（m∈R），使得f（x+m）＝﹣f'（x）对一切x恒成立，那么称函数y＝f（x）具
有性质P（m）．
（1）求证：函数y＝ex不具有性质P（m）；
（2）判别函数y＝sinx是否具有性质P（m）．若具有求出m的取值集合；若不具有请
说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，结合假设法，以及性质P（m）的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合正弦函数的求导法则，以及性质P（m）的定义，即可求解．
【解答】证明：（1）假设y＝ex具有性质P（m），即 ex+m＝﹣（ex）′对一切x恒成立，
ex+m＝ex•em＝﹣ex，解得em＝﹣1，
显然不存在实数m使得em＝﹣1成立，
故假设错误，原命题成立；
（2）解：假设y＝sinx具有性质P（m），
学科网（北京）股份有限公司 43即 sin（x+m）＝﹣（sinx）′对一切x恒成立，即sin（x+m）＝﹣cosx对一切x恒成
立，
故sinxcosm+（sinm+1）cosx＝0，即 ，解得 ，
综上所述，当 时，y＝sinx具有性质P（m）．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
48．（2023•广西模拟）已知函数 ，
（1）当a＝3时，求f（x）的最小值；
（2）若对∀m∈（0，6），∀x∈R，不等式 恒成立，求a的取值范
围．
【分析】（1）首先化简得f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a+1|，利用绝对值不等式即可求出f
（x）的最小值；
（2）利用三元基本不等式求出 ，再根据绝对值不等式得f（x）≥|a﹣
1|，则有|a﹣1|＞8，解出即可．
【解答】解：（1）化简得f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a+1|，
当a＝3时，f（x）＝|x﹣3|+|x﹣5|≥|（x﹣3）﹣（x﹣5）|＝2，
当3≤x≤5时等号成立，所以f（x）的最小值为2；
（2）由基本不等式得 ，
当且仅当m＝12﹣2m，即m＝4时，等号成立．
又因为f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a+1|≥|（x﹣a）﹣（x﹣2a+1）|＝|a﹣1|，
当且仅当（x﹣a）（x﹣2a+1）≤0时，等号成立．
所以|a﹣1|＞8，
解得a＞9或a＜﹣7，
即a的取值范围为{a|a＞9或a＜﹣7}．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，属于中
档题．
49．（2023•丰城市模拟）已知f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）≥6；
（2）对任意x∈[0，3]，都有f（x）≤x2+a+b+c恒成立，求a2+b2+c2的最小值．
【分析】（1）分x＜﹣ 、﹣ ≤x＜1、x≥1分别去绝对值求解即可；
（2）令g（x）＝f（x）﹣x2，x∈[0，3]，由题意可得以a+b+c≥g（x） ，结合柯西
max
不等式求解即可．
【解答】解：（1）f（x）≥6，即|2x+1|+|x﹣1|≥6，
当x＜﹣ 时，有﹣2x﹣1+1﹣x≥6，解得x≤﹣2；
学科网（北京）股份有限公司 44当﹣ ≤x＜1时，有2x+1+1﹣x≥6，解得x∈∅；
当x≥1时，有2x+1+x﹣1≥6，解得x≥2；
综上所述：不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣2或x≥2}；
（2）因为对任意x∈[0，3]，都有f（x）≤x2+a+b+c恒成立，
所以对任意x∈[0，3]，都有f（x）﹣x2≤a+b+c恒成立，
设g（x）＝f（x）﹣x2，x∈[0，3]，
所以g（x）＝ ，
所以g（x）在[0， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，在[1， ）上单调递增，
在（ ，3]上单调递减；
因为g（ ）＝g（ ）＝ ，
所以g（x）≤ ，
即g（x） ＝ ，f（x）﹣x2≤ ，
max
所以a+b+c≥ ，
由柯西不等式可得：（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2，当且仅当a＝b＝c时，等号
成立，
又因为a+b+c≥ ，
所以有（a2+b2+c2）（1+1+1）≥ ，
所以有a2+b2+c2≥ ，当且仅当a＝b＝c＝ 时等号成立，
所以a2+b2+c2的最小值为 ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、转化思想及柯西不等式的应用，属于中档题．
二十．函数的值（共3小题）
50．（2023•深圳二模）已知函数 则f（f（2））＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】f（f（2））是从里面开始算，按照分段函数的条件代入求值即可．
学科网（北京）股份有限公司 45【解答】解：f（2）＝log 2＜1，∴f（f（2））＝ ＝2．
3
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的求值，属于基础题．
51．（2022•兴庆区校级二模）设 ，那么f（n+1）
﹣f（n）等于（ ）
A． B．
C． D．
【分析】f（n+1）﹣f（n）＝（ + ）﹣（ +
），由此能求出结果．
【解答】解：∵ ，
∴f（n+1）﹣f（n）＝（ + ）﹣（ +
）＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
52．（2023•黄山模拟）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并
提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在 上，其解析式如下：
，定义在实数集上的函数 f（x），g
（x）满足f（﹣x）＝5﹣g（2+x），g（x）＝9+f（x﹣4），且函数g（x）的图象关于
直线 x＝2 对称，g（2）＝2，当 x∈（0，1）时，f（x）＝R（x），则
＝ ．
【分析】由f（﹣x）＝5﹣g（2+x），g（x）＝9+f（x﹣4）推出f（x）为偶函数与周
期的函数，据此求 的值即可．
【解答】解：因为函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，所以g（2+x）＝g（2﹣
x），
由f（﹣x）＝5﹣g（2+x）得f（x）＝5﹣g（2﹣x），所以f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）为偶函数，
学科网（北京）股份有限公司 46由g（x）＝9+f（x﹣4）得g（2﹣x）＝9+f（﹣x﹣2）＝9+f（x+2），代入f（x）＝5
﹣g（2﹣x）得f（x）＝﹣4﹣f（x+2），
所以f（x）+f（x+2）＝﹣4，所以f（x+2）+f（x+4）＝﹣4，
所以f（x）＝f（x+4），所以f（x）是以4为周期的函数，
由g（x）＝9+f（x﹣4）得g（2）＝9+f（﹣2）＝2，所以f（﹣2）＝﹣7，即f（2）
＝﹣7，
由f（x）+f（x+2）＝﹣4得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所 以 ， ＝
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的奇偶性和周期性，以及赋值法
的应用，属于中档题．
六、易错分析
易错点1：求函数的单调区间忽视定义域致错
函数y＝的单调递减区间为( )
A. B.
C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]
【错解】选A 令t＝x2＋3x，y＝是由y＝与t＝x2＋3x复合而成，又外层函数y＝在[0，
＋∞)上单调递增，内层函数t＝x2＋3x在 上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同
增异减的原则可知，函数y＝的单调递减区间为 ．
【错因】没有考虑函数y＝的定义域，
【正解】选D 由题意，x2＋3x≥0，可得x≤－3或x≥0，函数y＝的定义域为
(－∞，－3]∪[0，＋∞)．令t＝x2＋3x，则外层函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，内层
函数
t＝x2＋3x在(－∞，－3]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以，函数y＝的单调递
减区间为(－∞，－3]．
易错点2：判断函数的奇偶性忽视定义域致错
|x+1|
判断函数f(x)＝ 的奇偶性：
学科网（北京）股份有限公司 47√1−x √ 1−x √ 1−x
∵f(x）=|x+1| = |x+1| 2 = （1+x) 2 = √1−x2
1+x 1+x 1+x
【错解】
∴f(−x)= √1−(−x) 2 = √1−x2 =f(x) |x+1|
，所以函数f(x)＝ 为偶函数。
|x+1|
【错因】没有考虑函数f(x)＝ 的定义域，
【正解】因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1f(2a)，则a的取值
范围是( )
A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．C．（1，＋∞)
【错解】∵y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，∴a＋1<2a，解得
1f(2a)，∴－4≤a＋
1<2a≤4，
解得10时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为
_______．
【错解】设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1.
{ 2
f(x)=¿ x +x−1,x>0¿¿¿¿
综上所述，
【错因】没有考虑自变量0的函数值，
【正解】设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1，且f(0)＝0.
综上所述，f(x)＝
易错点7：使用换元法忽视新变量的取值范围致错
若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________.
【错解】由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设t＝2x，则f(t)＝t2－t，所以f(x)＝x2－
x.
【错因】没有考虑2x的取值范围，因为2x大于零，所以t大于零，
【正解】由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设t＝2x>0，则f(t)＝t2－t，t>0，所以f(x)
＝x2－x，x>0.
易错点8：忽视零点存在性定理前提条件而致错
对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
【错解】因为f(－1)f(3)<0，由零点存在性定理知函数f(x)在(－1,3)上必有零点，
故方程f(x)＝0一定有实数解，所以选A。
【错因】零点存在性定理要求f(x)的图象在区间[a，b]上连续。
【正解】选D 因为函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，
但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
易错点9：搞不清复合函数的自变量而致错
已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是( )
A. B.
[ 3] [ 1 ]
1， 1∪ − ,0
2 2
C. D．
【错解】选C ∵f(x2－1)的定义域为[0,3]，∴0≤x≤3，∴0≤x2－1≤3，∴1≤x2≤4，
学科网（北京）股份有限公司 49∴1≤x≤2或－2≤x≤－1，所以1≤2x－1≤2或－2≤2x－1≤－1，
3 1 [ 3] [ 1 ]
1， 1∪ − ,0
2 2 2 2
所以1≤x≤ 或－ ≤x≤0，则f(2x－1)的定义域是
。
【错因】搞不清复合函数的自变量是哪个，f(x2－1)的定义域为[0,3]，是说0≤x≤3。
【正解】选B ∵f(x2－1)的定义域为[0,3]，∴0≤x≤3，∴－1≤x2－1≤8，即f(x)的定
义域为
[－1,8]．∴在f(2x－1)中－1≤2x－1≤8，∴0≤x≤，即函数f(2x－1)的定义域为.
易错点10：搞不清函数图象左右平移规则而致错
将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
【错解】y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，根据左加右减的原则，可知得到函数
f(－x－1)的图象。故答案为y＝f(－x－1)
【错因】函数图象左加右减变换针对的是自变量x,
【正解】y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，根据左加右减的原则，可知得到函数
f[−(x−1)]=f(−x+1)
的图象，故答案为y＝f(－x＋1)
七、刷提分
一．选择题（共8小题）
1．（2023•上饶一模）函数f（x）＝xcosx的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，用排除法分析：分析函数的奇偶性排除B，分析函数值的符号排除
AD，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝xcosx，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣xcos（﹣
x）＝﹣xcosx＝﹣f（x），
函数f（x）为奇函数，排除B，
在区间（0， ）上，cosx＞0，f（x）＝xcosx＞0，
学科网（北京）股份有限公司 50在区间（ ， ）上，cosx＜0，f（x）＝xcosx＜0，排除AD，
故选：C．
π
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值的符号，属于基础题．
2．（2023•建华区模拟）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的为
（ ）
A．y＝tanx B．y＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）
C． D．y＝ex﹣e﹣x﹣2x
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝tanx，是正切函数，是奇函数，当在（0，+∞）上不具有单调性，不符合题
意；
对于B，y＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），有 ，解可得﹣1＜x＜1，即函数的定义
域为（﹣1，1），不符合题意；
对于C，y＝ ＝x﹣1+x﹣2，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于D，设f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，其定义域为R，有f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+2x＝﹣f（x），
f（x）为奇函数，
而f′（x）＝ex+e﹣x﹣2≥0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于
基础题．
3．（2023•开封一模）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，则满
足f（x）＜f（x﹣2）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【分析】利用f（x）的奇偶性、单调性可得|x﹣2|＜|x|，再解不等式可得答案．
【解答】解：因为f（x）是定义域为R的偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
又f（x）在[0，+∞）上单调递减，
所以在（﹣∞，0）上单调递增，
若f（x）＜f（x﹣2），则|x﹣2|＜|x|，解得x＞1．
故选：D．
【点评】主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
4．（2023•东湖区校级一模）已知函数f（x），g（x），g'（x）的定义域均为R，g'（x）
学科网（北京）股份有限公司 51为g（x）的导函数．若g（x）为偶函数，且f（x）+g'（x）＝1，f（x）﹣g'（4﹣x）＝
1．则以下四个命题：①g'（2022）＝0；②g（x）关于直线x＝2对称；③
＝2022；④ ＝2023中一定成立的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【分析】由g（x）为偶函数可得g'（x）为奇函数，继而得到g'（x）是以4为周期的周
期函数，即可判断①③④；
由 可得g'（x）＝﹣g'（4﹣x），继而得到g（x）＝g（4﹣x），
即可判断②．
【解答】解：对②：由 ，可得g'（x）＝﹣g'（4﹣x），则g
（x）+C ＝g（4﹣x）+C （C 与C 为常数），
1 2 1 2
令x＝2，则g（2）+C ＝g（2）+C ，所以C ＝C ，则g（x）＝g（4﹣x），
1 2 1 2
故g（x）关于直线x＝2对称，②正确；
对①：∵g（x）为偶函数，则g（x）＝g（﹣x），
∴g'（x）＝﹣g'（﹣x），则g'（x）为奇函数，
故g'（x）＝﹣g'（4﹣x）＝g'（x﹣4），即g'（x+4）＝g'（x），则g'（x）是以4为周
期的周期函数，
由g'（x）＝﹣g'（4﹣x），令x＝2，则g'（2）＝﹣g'（2），可得g'（2）＝0，
故g'（2022）＝g'（2）＝0，①正确；
由g'（x）＝﹣g'（4﹣x），令x＝1，则g'（1）＝﹣g'（3），即g'（1）+g'（3）＝0，
令x＝0，则g'（0）＝﹣g'（4）＝0，即g'（4）＝0，
故 g' （ 1 ） +g' （ 2 ） +g' （ 3 ） +g' （ 4 ） ＝ 0 ， 则
g'（4k+1）+g'（4k+2）+g'（4k+3）+g'（4k+4）＝0（k N），
对 ③ ： 由 f （ x ） +g' （ x ） ＝ 1 ， 即 f （ x ） ＝ 1﹣ g' （ x ） ， 则
∈
由于无法得出g'（1）的值，③错误；
对 ④ ：
④正确；
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司 52【点评】本题主要考查了函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图
象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推
证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
5．（2023•宛城区校级模拟）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，若 a，
∀
b [0 ， +∞ ） ， 且 a≠ b ， 都 有 成 立 ， 则 不 等 式
∈
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，构造函数g（x）＝xf（x），求出函数g（x）的单调性和奇偶性，
即可求出不等式的解集．
【解答】解：令g（x）＝xf（x），由题意知g（x）在[0，+∞）上为减函数，
又f（x）为R上的偶函数，所以g（x）为R上的奇函数，
又g（x）在[0，+∞）上为减函数，g（0）＝0，
所以g（x）在R上为减函数，
①当t＞0时， ，即 ，
所以 ，所以1＜2t2﹣t，解得t＞1；
②当t＜0时， ，即 ，
所以 ，所以1＜2t2﹣t，解得 ．所以 或t＞1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
6．（2023•长春模拟）已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）+f（y）＝f
（x+y）﹣xy﹣1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n（n N*）的n的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∈
【分析】令y＝1得，f（x）+f（1）＝f（x+1）﹣x﹣1，所以f（x+1）﹣f（x）＝x+2，
利用累加法可求出f（n）的解析式，从而求出满足f（n）＝n（n N*）的n的个数．
【解答】解：函数f（x）满足：f（x）+f（y）＝f（x+y）﹣xy﹣1，
∈
令y＝1得，f（x）+f（1）＝f（x+1）﹣x﹣1，即f（x+1）﹣f（x）＝x+2，
∴f（2）﹣f（1）＝1+2＝3，
f（3）﹣f（2）＝2+2＝4，
f（4）﹣f（3）＝3+2＝5，
学科网（北京）股份有限公司 53……
f（n）﹣f（n﹣1）＝（n﹣1）+2＝n+1，
累加得，f（n）﹣f（1）＝3+4+5……+（n+1），
∴f（n）＝1+3+4+5……+（n+1）＝1+ ＝1+ ，
即当n N*时，f（n）＝1+ ，
∈
令f（n）＝n得，1+ ＝n，
解得n＝﹣2或1，
又∵n N*，∴n＝1，
即满足f（n）＝n（n N*）的n的个数是1个．
∈
故选：A．
∈
【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了累加法求和，属于中档题．
7．（2023•青海模拟）已知函数f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）在[﹣1，+∞）上单调
递增，则关于x的不等式f（1﹣2x）＜f（﹣7）的解集为（ ）
A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式．
【解答】解：因为f（x﹣1）为偶函数，所以f（x﹣1）的图像关于y轴对称，
则f（x）的图像关于直线x＝﹣1对称，
因为f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，
因为f（1﹣2x）＜f（﹣7）＝f（5），所以﹣7＜1﹣2x＜5，
解得x＜3，
即原不等式的解集为（﹣∞，3）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的对称性和单调性，属于中档题．
8．（2023•涪城区校级模拟）设偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满
足f（2）＝0，对于任意x ，x （0，+∞），x ≠x 都有
1 2 1 2
（n N）成立，
∈
∈
（1）不等式 解集为
（2）不等式 解集为
（3）不等式 解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
学科网（北京）股份有限公司 54（4）不等式 解集为（﹣2，0）∪（0，2）
其中成立的是（ ）．
A．（1）与（3） B．（1）与（4） C．（2）与（3） D．（2）与（4）
【分析】先令n＝0，得到 ＞0，即y＝f（x）在（0，+∞）上为增函数，
判断（1）（2），再构造函数g（x）＝ ，得到g（x）＝ 在（0，+∞）上
为增函数，最后利用偶函数的性质求解即可判断（3）（4）．
【解答】解：当n＝0时，则 ＞0，
∴y＝f（x）在（0，+∞）上为增函数，
⇔
∵偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴y＝f（x）在（﹣∞，0）上为
减函数，
当x＞0时，则 f（2x+1）＞0＝f（2），∴2x+1＞2，∴x＞ ，
⇔
当x＜0时，则 f（2x+1）＜0＝f（﹣2），∴2x+1＞﹣2，∴﹣ ＜x＜
0，
⇔
∴不等式 解集为 ，∴（1）正确，（2）错误，
设 g （ x ） ＝ ， 则 ＝ ＝
＞0，
∴g（x）＝ 在（0，+∞）上为增函数，∵f（2）＝0，
∴不等式 g（|x|）＞g（2），
∴|x|＞2，∴x＞2或x＜﹣2，
⇔
∴不等式 解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴（3）正确，（4）错误，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性的应用，构造函数的应用，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 55二．填空题（共15小题）
9．（2023•酉阳县校级模拟）函数f（x）＝ 的定义域为 （ 0 ， 1 ）∪（ 1 ， e ] ．
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：函数f（x）＝ ，
所以 ，
解得0＜x≤e，且x≠1，
所以f（x）的定义域为（0，1）∪（1，e]．
故答案为：（0，1）∪（1，e]．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．
10．（2023•泸县校级模拟）函数f（x）满足：①定义域为R，②f（﹣x）+f（x）＝0，
③ ．请写出满足上述条件的一个函数f（x），f（x）＝ x ．
【分析】根据已知条件，函数f（x）满足：①定义域为R，②f（﹣x）+f（x）＝0，
③ ．即满足函数是定义在实数集上的奇函数，且在R上为增函数
的即可．
【解答】解：因为函数 f（x）满足：①定义域为R，②f（﹣x）+f（x）＝0，③
，
所以函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，且在R上为增函数，
比如，f（x）＝x．
故答案为：x．（答案不唯一）
【点评】本题考查函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于基础题．
11．（2023•万州区校级模拟）已知函数 ，则f（f（﹣
2））＝ 4 ．
【分析】根据分段函数的解析式先求f（﹣2），进而求解即可．
【解答】解：因为 ，
所以f（﹣2）＝1+log （2﹣（﹣2））＝1+log 4＝3，
2 2
所以f（f（﹣2））＝f（3）＝23﹣1＝22＝4．
学科网（北京）股份有限公司 56故答案为：4．
【点评】本题主要考查了分段函数中函数值的求解，属于基础题．
12．（2023•鼓楼区校级模拟）设函数f（x）＝ ，若f（x）在区
间[m，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m的取值范围为 [ ﹣ 8 ，﹣ 1 ] ．
【分析】函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得答案
【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得
当m [﹣8，﹣1]时，
f（x） [﹣1，2]．
∈
故答案为：[﹣8，﹣1]．
∈
【点评】本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题．
13．（2023•天津一模）已知函数f（x）＝ ，则 ＝ ﹣ 1
；若f（x）在x （a， ）既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为 [ ﹣ 3 ，﹣
1 ） ．
∈
【分析】根据分段函数的性质即可求解第一问，而第二问需画出函数 f（x）的图象，根
据图象即可得实数a的取值范围．
【解答】解：根据分段函数的性质，可得f（f（ ））＝f（sin ）＝f（﹣1）＝|﹣
1+1|﹣1＝﹣1；
由已知函数解析式，可得f（ ）＝sin ＝1，f（﹣3）＝|﹣3+1|﹣1＝1，f（﹣1）＝﹣
1，
且当x＞0时，由正弦函数性质和周期定义，可得函数f（x）的周期为2，
函数f（x）的图象如图所示：
学科网（北京）股份有限公司 57由图可知f（x）要在区间（a， ）取得最大值和最小值，则a的范围是[﹣3，﹣1）．
故答案为：﹣1；[﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了分段函数的性质以及求最值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
14．（2023•清新区模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x [0，+∞）时，f
（x）＝x2+（a﹣1）x+a+1，则f（﹣3）＝ ﹣ 3 ．
∈
【分析】根据奇函数性质求出a，再计算f（﹣3）的值作答．
【解答】解：因为f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，
而当x [0，+∞）时，f（x）＝x2+（a﹣1）x+a+1，
则有f（ ∈0）＝a+1＝0，解得a＝﹣1，即当x [0，+∞）时，f（x）＝x2﹣2x，
所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣（32﹣2×3）＝
∈
﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，考查转化能力，属于基础题．
15．（2023•海安市校级模拟）定义在R上的函数f（x），g（x），满足f（2x+3）为偶函
数，g（x+5）﹣1为奇函数，若f（1）+g（1）＝3，则f（5）﹣g（9）＝ 1 ．
【分析】由奇偶函数的定义，可得f（x），g（x）满足的关系，赋值计算即可．
【解答】解：由于f（2x+3）为偶函数，则f（2x+3）＝f（﹣2x+3），令x＝1，则f
（5）＝f（1），
由于g（x+5）﹣1为奇函数，则g（x+5）﹣1+g（﹣x+5）﹣1＝0，即g（x+5）+g（﹣
x+5）＝2，令x＝4，则g（9）+g（1）＝2，
于是f（1）+g（1）﹣[f（5）﹣g（9）]＝g（9）+g（1）＝2，由于f（1）+g（1）＝3，
则f（5）﹣g（9）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查抽象函数赋值计算，以及奇偶函数的性质，属于基础题．
16．（2023•德阳模拟）已知函数f（x）＝ 的值为
．
学科网（北京）股份有限公司 58【分析】推导出f（ ）＝ ＝﹣2，从而f[f（ ）]＝f（﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数 ，
∴f（ ）＝ ＝﹣2，
f[f（ ）]＝f（﹣2）＝2﹣2＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理
运用．
17．（2023•泰和县校级一模）已知函数f（x）＝ ，则f（f（﹣2））
＝ 3 ．
【分析】由分段函数先求出f（﹣2）＝ ，由此能求出f（f（﹣2））的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝ ，
∴f（﹣2）＝ ，
f（f（﹣2））＝f（ ）＝1﹣ ＝1﹣（﹣2）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质
及运算法则的合理运用．
18．（2023•重庆模拟）函数 的单调减区间为 （﹣∞，﹣ 5 ] ．
【分析】令t＝x2+4x﹣5，求得t≥0时的单调递减区间，又y＝ 为增函数，利用复合
函数的单调性可求得答案．
【解答】解：由x2+4x﹣5≥0，得x≤﹣5或x≥1，
∵y＝ 为增函数，t＝x2+4x﹣5在区间（﹣∞，﹣5]上是减函数，
∴由复合函数的单调性得：函数 的单调减区间为（﹣∞，﹣5]，
故答案为：（﹣∞，﹣5]．
【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，考查运算能力，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 5919．（2023•安宁市校级模拟）已知函数 f（x）＝ ，则f（f（﹣1））＝
﹣ 5 ；若f（2a2﹣3）＞f（5a），则实数a的取值范围是 （﹣ ， 3 ） ．
【分析】根据函数的解析式求得f（1）的值，进而求得f[f（1）]的值．再根据函数f
（x）在R上是减函数，结合所给的条件，可得 2a2﹣3＜5a，解此一元二次不等式求得
a 的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝ ，∴f（﹣1）＝ ＝2，∴f[f（﹣
1）]＝f（2）＝1﹣3×2＝﹣5．
再由函数的解析式可得，函数f（x）在R上是减函数，故由f（2a2﹣3）＞f（5a），
可得 2a2﹣3＜5a，解得﹣ ＜a＜3，
故答案为﹣5，（﹣ ，3）．
【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值，函数的单调性的应用，一元二次不等
式的解法，属于中档题．
20．（2023•射洪市校级模拟）已知方程sinx+ cosx＝m+1在x [0， ]上有两个不相等的
实数解，则实数m的取值范围是 ． ∈ π
【分析】通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的最值，得到表达
式，然后求解m的范围．
【解答】解：m+1＝sinx+ cosx＝2sin（x+ ），
x [0， ]，x+ [ ]，如图：
∈ π
方程 sinx+ cosx＝m+1 在 x [0， ]上有两个不相等的实数解，2sin（x+ ）
． ∈ π ∈
∴m+1 ，
可得m∈ ．
故答案∈为： ．
学科网（北京）股份有限公司 60【点评】他考查函数的恒成立，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决
问题的能力．
21．（2023•衡水模拟）已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则x（y﹣x+4）的最大值为
．
【分析】把已知等式变形为： ，利用函数f（x）＝xex（x＞0）的单调
性得x，y的关系，这样把x（y﹣x+4）转化为x的函数，再利用导数求得最大值．
【解答】解：由lnx＝yex+lny，两边同时除以y（y＞0），得
⇔
，
⇔
因为x，y＞0，所以 ，
设m（x）＝xex（x＞0），则m'（x）＝ex（x+1）＞0，m（x）递增，
所以由 可得 ，
所以 ， ，
设 ，则 ，
所以当0＜x＜2时，g'（x）＞0，g（x）递增，x＞2时，g'（x）＜0，g（x）递减，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已
学科网（北京）股份有限公司 61知等式进行同构变形： ，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．
考查了学生的逻辑思维能力，属于难题．
22．（2023•丰台区一模）设函数f（x）＝ 若f（x）存在最小值，则a
的一个取值为 0 ；a的最大值为 1 ．
【分析】对函数f（x）分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小
值时a的范围即可．
【解答】解：当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＝0时，函数f（x）图像如图所示，满足题意；
当0＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足﹣a2+1≥0，解
得：0＜a≤1；
当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
学科网（北京）股份有限公司 62当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数f（x）有最小值，需（a﹣2）2≤﹣
a2+1，无解，故不满足题意；
综上所述：a的取值范围是[0，1]，
故答案为：0，1．
【点评】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题
目．
23．（2023•山东模拟）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1，g（x）＝ ，用max{m，n}表示
m，n中的最大值，设 （x）＝max{f（x）．g（x）}．若 （x）≥ 在（0，+∞）上
φ φ
恒成立，则实数a的取值范围为 [ ， + ∞）
【分析】讨论0＜x＜3，x≥3，g（x）与y＝ 的关系，问题转化为f（x）≥ 在（0，
3）恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．
【解答】解：当x （0，3）时，g（x）＝ ＜ ；x [3，+∞）时，g（x）≥ ，所以
∈ ∈
（x）≥ 在[3，+∞）必成立，
φ
问题转化为f（x）≥ 在（0，3）恒成立，由ax﹣lnx﹣1≥ 恒成立，可得a≥ +
在x （0，3）恒成立，
∈
设h（x）＝ + ，x （0，3），可得h′（x）＝ ，由0＜x＜1时，h′
（x）＞0，h（x）递增，1＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）递减，
∈
学科网（北京）股份有限公司 63可得x＝1处，h（x）取得极大值，且为最大值，
则h（x） ＝h（1）＝ ，
max
故a≥ ，即a的取值范围是[ ，+∞）．
故答案为：[ ，+∞）．
【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查导数的运用：求最值，考查转化思想和
分类讨论思想，属于难题．
三．解答题（共2小题）
24．（2023•武功县校级模拟）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2
﹣2x．
（1）求函数f（x）在x （﹣∞，0）的解析式；
（2）当m＞0时，若|f（m）|＝1，求实数m的值．
∈
【分析】（1）根据偶函数的性质，令x （﹣∞，0），由f（x）＝f（﹣x）即可得解；
（2）m＞0，有|m2﹣2m|＝1，解方程即可得解．
∈
【解答】解：（1）令x （﹣∞，0），则﹣x （0，+∞），
由f（x）＝f（﹣x），此时f（x）＝x2+2x；
∈ ∈
（2）由m＞0，|f（m）|＝|m2﹣2m|＝1，
所以m2﹣2m＝±1，
解得m＝1或 或 （舍）．
【点评】本题考查了偶函数的性质，属于基础题．
25．（2023•浑南区一模）设函数 （a＞0，且a≠1）是定义域为R的
奇函数，且y＝f（x）的图象过点 ．
（Ⅰ）求t和a的值；
（Ⅱ）若 x R，f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）是∀否存∈ 在实数m，使函数g（x）＝22x+2﹣2x﹣mf（x）在区间[1，log
2
3]上的最大值
为1．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用奇函数的性质，f（0）＝0，即可求出t的值，再利用y＝f（x）的
图象过点 ，即可求出a的值；
（Ⅱ）利用函数的奇偶性将问题转化为f（kx﹣x2）＜f（1﹣x）对 x R恒成立，再利用
f（x）的单调性去掉“f”，将问题转化为x2﹣（k+1）x+1＞0对 ∀x∈R恒成立，利用二
次函数的性质，列式求解即可；
∀ ∈
学科网（北京）股份有限公司 64（Ⅲ）利用换元法t＝2x﹣2﹣x，转化为函数h（t）在 上有最大值1，然后分对
称轴 ＞ 和对称轴 ≤ 两种情况，分别求解函数h（t）的最大值，列出关
系式，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0）＝0，即 ，解得t＝2，
经检验，当t＝2时符合题意，
所以f（x）＝ax﹣a﹣x，
又y＝f（x）的图象过点 ，
则 ，解得a＝2或a＝ ，
又a＞0且a≠1，
所以a＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f（x）＝2x﹣2﹣x，
因为 x R，f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，
即f（ ∀kx∈ ﹣x2）＜﹣f（x﹣1）对 x R恒成立，
因为f（x）为奇函数，
∀ ∈
则f（kx﹣x2）＜f（1﹣x）对 x R恒成立，
又f（x）＝2x﹣2﹣x为R上的单∀ 调∈递增函数，
所以kx﹣x2＜1﹣x对 x R恒成立，
即x2﹣（k+1）x+1＞0∀ 对 ∈ x R恒成立，
则Δ＝（k+1）2﹣4＜0，解
∀
得
∈
﹣3＜k＜1，
所以实数k的取值范围为（﹣3，1）；
（Ⅲ）由题意g（x）＝22x+2﹣2x﹣mf（x）＝22x+2﹣2x﹣m（2x﹣2﹣x），
令t＝2x﹣2﹣x，则（2x﹣2﹣x）2＝22x+2﹣2x﹣2，
所以22x+2﹣2x﹣m（2x﹣2﹣x）＝t2﹣mt+2，
因为x [1，log 3]，
2
∈
所以t ，
记函数h（t）＝t2﹣mt+2，
∈
则函数h（t）在 上有最大值1，
学科网（北京）股份有限公司 65①若对称轴 ＞ ，
则 ，解得 （舍）；
②当对称轴 ≤ ，
则 ，即 ，
所以m＝ ．
综上所述，存在实数 ，使函数g（x）＝22x+2﹣2x﹣mf（x）在区间[1，log 3]上的最大
2
值为1．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，函数与不等式的综合应用，函数奇偶性的应用与
函数解析式的求解，函数单调性的判断与应用，二次函数的最值的求解与应用，考查了
逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．
八.刷素养
一．选择题（共4小题）
1．（2023•台州二模）设函数 f（x）＝（x+2sinx）（2﹣x+1），x （0，+∞），则
（ ）
∈
A．函数g（x）＝f（x）﹣x有且仅有一个零点
B．对 a＜0， b＞0，函数g（x）＝f（x）﹣ax﹣b有且仅有一个零点
C． m R，|f（x）﹣2x|≤m恒成立
∀ ∀
D． a，b，m R，|f（x）﹣ax﹣b|≤m恒成立
∃ ∈
∃ ∈
【分析】对于A，构造函数 ，研究其单调性结合零点存在性定
理即可解决；对于B，举特殊点的函数值结合零点存在性定理即可解决；对于C，利用
极限思想判断；对于D，构造函数结合绝对值三角不等式判断．
【解答】解：对于A， ，令g（x）＝0，得sinx+
，
设 ， ，则 ＝
学科网（北京）股份有限公司 66，
易知，当0＜x＜ 时，t′（x）＞0，当 时，t′（x）＜0，
所以t（x）在 上递增，在 递减，所以 ＝t
（log e）＝ ，
2
所以 ，所以 ，h（2k ）＞0，k N ，
+
π ∈
所以h（x）在 上有零点，即有无数个零点，故A错误；
对于B，f（0）＝0， ，f（ ）＝ （2﹣ +1）＞0，
π
π π
因 为 ， ， 所 以 0 ＝ f （ 0 ） ，
，
所以存在a＜0，b＞0，使得f（x）＝ax+b有两个交点，故B错误；
对于C，x→+∞时，f（x）→x，所以|f（x）﹣2x|→|﹣x|＝x→+∞，故C错误；
对 于 D ， 取 a ＝ b ＝ 1 ， |f （ x ） ﹣ x﹣ 1| ＝
，
令d（x）＝10•2x﹣x，则d′（x）＝10×2xln2﹣1＞0，所以d（x）在（0，+∞）上递增，
所 以 d （ x ） ＞ d （ 0 ） ＝ 10 ， 所 以 ， 所 以
，
故可取a＝b＝1，m＝30，|f（x）﹣ax﹣b|≤m恒成立，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的零点、不等式恒成立问题，其中涉及到不
等式的放缩，是一道难题．
2．（2023•万安县校级一模）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x [a，b]时的值
域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝ex+2x是k倍值函数，
∈
则实数k的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 67A．（e+1，+∞） B．（e+2，+∞） C．（e+ ，+∞） D．（e+ ，+∞）
【分析】可看出f（x）在定义域R内单调递增，从而可得出ea+2a＝ka，eb+2b＝kb，即
得出a，b是方程ex+2x＝kx的两个不同根，从而得出 ，可设 ，
通过求导，根据导数符号可得出g（x）的极小值为g（1）＝e+2，并判断出g（x）在
（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，并得出x趋向0时，g（x）趋向正无
穷，x趋向正无穷时，g（x）趋向正无穷，这样即可得出k＞e+2时，方程ex+2x＝kx有
两个不同根，即得出k的取值范围．
【解答】解：f（x）在定义域R内单调递增，
∴f（a）＝ka，f（b）＝kb，即ea+2a＝ka，eb+2b＝kb，即a，b为方程ex+2x＝kx的两个
不同根，
∴ ，
设g（x）＝ ， ，
∴0＜x＜1时，g′（x）＜0；x＞1时，g′（x）＞0，
∴x＝1是g（x）的极小值点，∴g（x）的极小值为：g（1）＝e+2，
又x趋向0时，g（x）趋向+∞；x趋向+∞时，g（x）趋向+∞，
∴k＞e+2时，y＝k和y＝g（x）的图象有两个交点，方程 有两个解，
∴实数k的取值范围是（e+2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了对k倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查
了推理能力和计算能力，属于难题．
3．（2023•安宁市校级模拟）设函数f（x）的定义域为R，且 ，当x
∈
（﹣1，0]时，f（x）＝x（x+1），若对任意x （﹣∞，m]，都有 ，则实
数m的取值范围是（ ）
∈
A． B． C． D．（﹣∞，3]
【分析】根据题设得到：x （k，k+1]，k Z时， ，注意
∈ ∈
判断函数值的变化趋势，再求得 的最大k值，此时结合二次函数性质
学科网（北京）股份有限公司 68确定x （k+1，k+2]上 对应x值，即可得m的范围．
【解答】解：令0＜x≤1，∴﹣1＜x﹣1≤0，
∈
∴f（x﹣1）＝x（x﹣1），又f（x）＝3f（x﹣1），
∴f（x）＝3x（x﹣1），x （0，1]，
令﹣2＜x≤﹣1，∴﹣1＜x+1≤0，
∈
∴f（x+1）＝（x+1）（x+2），又 ，
∴ ，x （﹣2，﹣1]，
结合已知：x （k，k+1]，k Z时，
∈
f（x）＝3k+1（x﹣k）[x﹣（k+1）]，又3k+1＞0，
∈ ∈
对x （k，k+1]，k Z时， ，即随k增大f（x） 依次变
min
小，
∈ ∈
∴要使对任意x （﹣∞，m]都有 ，令 ，则k≤1且k Z，
∈ ∈
∴x （1，2]时， ，且x （2，3]时， ，
∈ ∈
当x （2，3]时，令 ，
∈
则 ，∴ 或 ，
综上，要使对任意x （﹣∞，m]都有 ，只需 ．
故选：C．
∈
【点评】本题考查分段函数解析式的求解，恒成立问题的求解，化归转化思想，分类讨
论思想，属难题．
4．（2023•南充模拟）设定义在 R上的函数f（x）与g（x）的导函数分别为f'（x）和
g'（x）．若f（x）﹣g（4﹣x）＝2，g'（x）＝f'（x﹣2），且f（x+2）为奇函数，则下
列说法中一定正确的是（ ）
A． B．
C． x R，f（2+x）+f（﹣x）＝0 D．g（3）+g（5）＝4
【分析】根据f（x+2）为奇函数推出对称中心（2，0），根据f′（x）＝g′（x+1）逆
∀ ∈
向思维得到 g（x）与f（x﹣2）的关系，代入f（x）﹣g（4﹣x）＝2，推出f（x）的对
称轴为x＝1，进一步得出f（x），g（x）周期为4，即可求解．
学科网（北京）股份有限公司 69【解答】解：对C，∵g'（x）＝f'（x﹣2），则g（x）＝f（x﹣2）+a，则g（4﹣x）＝f
（2﹣x）+a，
又f（x）﹣g（4﹣x）＝2，所以f（x）＝f（2﹣x）+a+2，令x＝1，可得a+2＝0，即a＝
﹣2．
所以f（x）＝f（2﹣x），所以函数f（x）的图象关于x＝1对称，
而f（2+x）+f（﹣x）＝0，可得f（x）关于（1，0）对称，C错；
对A：∵f（x+2）为奇函数，则y＝f（x）图像关于（2，0）对称，且f（2+x）+f（2﹣
x）＝0，
∴f（0）＝0，f（2）＝0，f（1）+f（3）＝0，f（4）+f（0）＝0，∴f（4）＝0．
又f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+2）＝f（x+4），∴y＝f（x）
的周期T＝4，
∴ f（k）＝505[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝0，A对；
对D，g（x）＝f（x﹣2）﹣2，则g（x）是周期T＝4的函数，
g（3）+g（5）＝f（1）﹣2+f（3）﹣2＝﹣4，D错误；
对B， g（k）＝f（﹣1）﹣2+f（0）﹣2+f（1）﹣2+…+f（2021）﹣2＝ f（k）
﹣2×2023＝﹣4046，B错误．
故选：A．
【点评】本题考查了函数性质与导函数的综合应用，难度较大，属于难题．
二．多选题（共6小题）
（多选）5．（2023•山西模拟）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）对任意的x R有f
（x+2）＝﹣f（x），当﹣1≤x≤1 时，f（x）＝ax（a≥1）．函数 g（x）＝
∈
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是周期为4的函数
B．函数g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减
C．当a＝1时，方程f（x）＝g（x）在R上有2个不同的实数根
D．若方程f（x）＝g（x）在R上有4个不同的实数根，则a≥ln6
【分析】分析函数f（x）的周期判断A；确定g（x）在区间（﹣∞，0）上单调性判断
B；分析f（x）的最大值判断C；由方程有4个根求出a的范围判断D作答．
【解答】解：对于A，∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是周期为4的函数，∴A正确；
对于B，∵x＜0时，g（x）＝﹣x，
∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，∴B正确；
学科网（北京）股份有限公司 70对于C，∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）＝﹣f（x），又f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝f（﹣x），∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∵a＝1时，当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x，
∴当1≤x≤3时，﹣1≤2﹣x≤1，f（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，﹣1≤f（x）≤1，
∴函数f（x）在R上的值域为[﹣1，1]，
当﹣1≤x＜0时，g（x）＞0＞f（x），当x＜﹣1时，g（x）＞1≥f（x），
∴方程f（x）＝g（x）在（﹣∞，0）上无解，
当0≤x≤1时，令h（x）＝x﹣ln（x+1）， ，
当x （0，1）时有h′（x）＞0，h（x）在[0，1]上递增，
∴当x （0，1]时，h（x）＞h（0）＝0，∴函数h（x）在[0，1]上有唯一零点，
∈
当1≤x≤3时，令 （x）＝2﹣x﹣ln（x+1），显然函数 （x）在[1，3]上单调递减，
∈
又 （1）＝1﹣ln2＞0， （3）＝﹣1﹣ln4＜0，∴函数 （x）在[1，3]上有唯一零点，
φ φ
当x＞3时，g（x）＞ln4＞1≥f（x），即方程f（x）＝g（x）在（3，+∞）上无解，
φ φ φ
∴当a＝1时，方程f（x）＝g（x）在R上有2个不同的实数根，∴C正确；
对于D，∵函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，
又f（1）＝a，而函数f（x）的周期为4，
∴f（x） ＝f（4k+1）＝a，k Z，f（0）＝g（0）＝0，
max
由选项C知，当x （0，1]时，ax≥x＞ln（x+1），
∈
即方程f（x）＝g（x）在[0，1]上有一个根，当1≤x≤3时，f（x）＝a（2﹣x），
∈
∴函数u（x）＝a（2﹣x）﹣ln（x+1）在[1，3]上单调递减，∴u（1）＞0，u（3）＜
0，
即方程f（x）＝g（x）在（1，3）上有一个根，
显然函数f（x）在[3，5]上单调递增，在[5，7]上单调递减，当f（5）＞g（5），即a＞
ln6时，
方程f（x）＝g（x）在（3，7）上有两个根，要方程f（x）＝g（x）在R上有4个不同
的实数根，
必有f（9）＜g（9），即a＜ln10，又f（﹣3）＝a＜ln10＜3＝g（﹣3），
因此当a＜ln10时，方程f（x）＝g（x）在（﹣∞，0）上无解，
所以方程f（x）＝g（x）在R上有4个不同的实数根，ln6＜a＜ln10，D错误．
故选：ABC．
学科网（北京）股份有限公司 71【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考
查了数形结合的数学思想，属难题．
（多选）6．（2023•广州一模）已知函数f（x）＝x2+2（x≥0），g（x）＝ae﹣x（a＞0），
点P，Q分别在函数y＝f（x）的y＝g（x）的图像上，O为坐标原点，则下列命题正确
的是（ ）
A．若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0在[0，1]上无解，则a＞3e
B．存在P，Q关于直线y＝x对称
C．若存在P，Q关于y轴对称，则0＜a≤2
D．若存在P，Q满足∠POQ＝90°，则
【分析】根据给定条件，求出方程f（x）﹣g（x）＝0在[0，1]上有解的a范围判断A；
设出点P，Q的坐标，由方程有解判断B；设出点P，Q的坐标，建立函数关系，求出
函数的值域，判断CD作答．
【解答】解：函数f（x）＝x2+2（x≥0），g（x）＝ae﹣x（a＞0），
对于A，方程f（x）﹣g（x）＝0，则有h（x）＝x2+2﹣ae﹣x＝0在[0，1]上有解，
显然函数h（x）在[0，1]上单调递增，则有 ，解得2≤a≤3e，
则关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0在[0，1]上无解，得0＜a＜2或a＞3e，A错误；
对于B，设点Q（t，ae﹣t），依题意，点Q关于直线y＝x对称点（ae﹣t，t）在函数f
（x）＝x2+2的图象上，
即关于t的方程t＝a2e﹣2t+2有解，即a2＝（t﹣2）e2t有解，此时t＞2，
令函数 （t）＝（t﹣2）e2t，t＞2，
'（t）
φ
＝（2t﹣3）e2t＞0，即函数 （t）在（2，+∞）上单调递增， （t）＞ （2）
＝0，
φ φ φ φ
而函数 y＝t﹣2，y＝e2t在（2，+∞）上都单调递增，它们的取值集合分别为
（0，+∞），（e4，+∞），
因此函数 （t）的值域为（0，+∞），又a2＞0，于是a2＝（t﹣2）e2t在（2，+∞）有
解，
φ
所以存在P，Q关于直线y＝x对称，B正确；
学科网（北京）股份有限公司 72对于C，设点P（u，u2+2），u≥0，
则点P关于y轴对称点（﹣u，u2+2）在函数g（x）＝ae﹣x（a＞0）的图象上，
即aeu＝u2+2，则a＝ ，令F（u）＝ ，u≥0，F'（u）＝ ＝﹣
＜0，
即函数F（u）在[0，+∞）上单调递减，F（u） ＝F（0）＝2，又 u [0，+∞），恒
max
有F（u）＞0，
∀ ∈
因此0＜a≤2，C正确；
对于D，令P（x ， +2），Q（x ，ae ），由∠POQ＝90°，
1 2
得 • ＝x x +ae （ +2）＝0，
1 2
显然x x ≠0，且x ＞0，x ＜0．a＝ • ，令G（x）＝ ，x＞0，G'（x）＝
1 2 1 2
，
当0＜x＜1时G'（x）＞0，函数G（x）单调递增，当x＞1时，G'（x）＜0，函数G
（x）单调递减，
因此G（x） ＝G（1）＝ ，即有0＜G（0）≤ ，0＜ ≤ ，而0＜ ≤
max
＝ ，
当且仅当x ＝ 时取等号，所以0＜ • ≤ ，即0＜a≤ ，D正
2
确；
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的性质，导数的综合应用，属于难题．
（多选）7．（2023•石家庄模拟）设f（x）是定义域为R的奇函数，且y＝f（2x+2 ）的
π
图象关于直线 对称，若0＜x≤ 时，f（x）＝（ex﹣e ﹣x）cosx，则（ ）
π
A．f（x+ ）为偶函数
π
π
B．f（x）在 上单调递减
C．f（x）在区间[0，2023 ]上有4046个零点
π
学科网（北京）股份有限公司 73D．
【分析】利用函数的平移变换和伸缩变换判断A，利用导函数研究f（x）的单调性，结
合奇函数的性质判断B，利用f（x）是奇函数和f（x+ ）是偶函数求得f（x）的周期判
断CD．
π
【解答】解：因为y＝f（2x+2 ）的图象关于直线x＝﹣ 对称，
π
所以将 y＝f（2x+2 ）的图象向右平移 个单位得 y＝f（2（x+ ﹣ ））＝f
（2x+2 ）的图象关于y轴对称，
π π
再将y＝f（2x+2 ）的横坐标扩大为原来的2倍得f（x+ ）的图象关于y轴对称，
π
即f（x+ ）为偶函数，A正确；
π π
由题意可
π
得当0＜x≤ 时令g（x）＝f'（x）＝（ex+e ﹣x）cosx﹣（ex﹣e ﹣x）sinx，
π π
则g'（x）＝﹣2（ex+eπ ﹣x）sinx≤0在0＜x≤ 恒成立，所以f'（x）单调递减，
π
π
又f'（ ）＝0，所以当0＜x＜ 时f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当 ＜x≤ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，因为f（x）是奇函数，
π
所以f（x）在（﹣ ，﹣ ）上单调递减，B正确；
由A可得f（x）关于x＝ 对称，结合f（x）是奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x）＝f
π
（x+2 ），
π
所以f（x）＝﹣f（x+2 ）＝f（x+4 ），即f（x）是以4 为周期的周期函数，
π
π π π
因为f（ ）＝0，结合f（x）单调性和关于x＝ 对称可得f（x）在区间（0，2 ）上
有2个零点，
π π
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，所以f（x）在区间[﹣2 ，2 ）上有
6个零点，
π π
所以f（x）在区间[0，2023 ]上有3036个零点，C错误；
因为f（ ）＝1﹣e ，f（2 ）＝f（0）＝0，f（3 ）＝﹣f（﹣3 ）＝﹣f（ ）＝e ﹣1，
π
π π
f（4 ）＝f（0）＝0，
π π π π π
π
所以 f（k ）＝505[f（ ）+f（2 ）+f（3 ）+f（4 ）]+f（ ）+f（2 ）+f（3 ）＝
0，D错误；
π π π π π π π π
故选：AB．
【点评】本题考查函数的性质，考查周期性，单调性，奇偶性，属于难题．
（多选）8．（2023•邵阳一模）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，对任意x，y
学科网（北京）股份有限公司 74满足f（x﹣y）＝f（x）g（y）﹣g（x）f（y），且f（﹣2）＝f（1）≠0，则下列说法正
确的有（ ）
A．g（0）＝1
B．函数f（2x﹣1）的图象关于点 对称
C．g（1）+g（﹣1）＝1
D．若 ，则
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC，对于D，通过观察选项可以推断
f（x）很可能为周期函数，结合f（x）g（y），g（x）f（y）的特殊性以及一些已经证明
的结论，想到当令y＝﹣1和y＝1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f（x+1）+f
（x﹣1）＝﹣f（x），进一步可得出f（x）是周期函数，从而可得出 的值．
【解答】解：对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f（0）＝f（0）g（0）﹣g（0）f
（0）＝0，得f（0）＝0，
再令y＝0，x＝1，代入已知等式得f（1）＝f（1）g（0）﹣g（1）f（0），
可得f（1）[1﹣g（0）]＝﹣g（1）f（0）＝0，结合f（1）≠0得1﹣g（0）＝0，g
（0）＝1，故A正确；
对于B，再令x＝0，代入已知等式得f（﹣y）＝f（0）g（y）﹣g（0）f（y），
将f（0）＝0，g（0）＝1代入上式，得f（﹣y）＝﹣f（y），∴函数f（x）为奇函数，
∴函数f（2x﹣1）关于点 对称，故B正确；
对于C，再令x＝1，y＝﹣1，代入已知等式，
得f（2）＝f（1）g（﹣1）﹣g（1）f（﹣1），∵f（﹣1）＝﹣f（1），∴f（2）＝f
（1）[g（﹣1）+g（1）]，
又∵f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣f（1），∴﹣f（1）＝f（1）[g（﹣1）+g（1）]，
∵f（1）≠0，∴g（1）+g（﹣1）＝﹣1，故C错误；
对于D，分别令y＝﹣1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式：f（x+1）＝f（x）g
（﹣1）﹣g（x）f（﹣1），f（x﹣1）＝f（x）g（1）﹣g（x）f（1），
两式相加易得f（x+1）+f（x﹣1）＝﹣f（x），所以有f（x+2）+f（x）＝﹣f（x+1），
即f（x）＝﹣f（x+1）﹣f（x+2），
有﹣f（x）+f（x）＝f（x+1）+f（x﹣1）﹣f（x+1）﹣f（x+2）＝0，
即f（x﹣1）＝f（x+2），∴f（x）为周期函数，且周期为3，
∵ ，∴ ，∴ ，f（3）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）＝0，
学科网（北京）股份有限公司 75∴ ，
故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与周期性的综合，考查运算
求解能力，属于难题．
（多选）9．（2023•重庆二模）已知函数f（x），g（x）的定义域为R，g'（x）为g（x）
的导函数，且f（x）+g'（x）﹣10＝0，f（x）﹣g'（4﹣x）﹣10＝0，若g（x）为偶函数，
则下列一定成立的有（ ）
A．f（2）＝10 B．f（4）＝10
C．f'（﹣1）＝f'（﹣3） D．f'（2023）＝0
【分析】根据题意，分析可得g′（x）为奇函数，由此分析可得f（x+4）＝f（x），函
数f（x）是周期为4的周期函数；由此分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若g（x）为偶函数，则其导数g′（x）为奇函数，
又由 f（x）﹣g'（4﹣x）﹣10＝0，变形可得 f（x+4）﹣g′（x）﹣10＝0，则有 f
（x+4）+g'（x）﹣10＝0，
又由f（x）+g'（x）﹣10＝0，必有f（x+4）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函
数；
依次分析选项：
对于A，f（x）+g'（x）﹣10＝0，变形可得f（4﹣x）+g′（4﹣x）＝10，
又由f（x）﹣g'（4﹣x）﹣10＝0，
两式相加可得f（x）+f（4﹣x）＝20，即f（x）的图象关于点（2，10）对称，
必有f（2）＝10，A正确；
对于B，在f（x）+g'（x）﹣10＝0，令x＝0可得：f（0）+g′（0）＝10，
又由函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（4）+g′（0）＝10，
在f（x）﹣g'（4﹣x）﹣10＝0，令x＝4可得：f（4）﹣g′（0）＝10，
两式相加可得：f（4）＝10，B正确；
对于C，由A的结论，f（x）的图象关于点（2，10）对称且函数f（x）是周期为4的周
期函数，
则f（x）的图象关于点（﹣2，10）对称，必有f'（﹣1）＝f'（﹣3），C正确；
对于D，函数f（x）是周期为4的周期函数，则f′（x）也是周期为4的周期函数，
故f′（2023）＝f′（﹣1+2024）＝f′（1），不一定有f′（2023）＝0，D错误；
故选：ABC．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和对称性，属于难题．
（多选）10．（2022秋•兖州区期中）设定义在R上的函数f（x）与g（x）的导函数分别
为f'（x）和g'（x），若f（x+2）﹣g（1﹣x）＝2，f'（x）＝g'（x+1），且g（x+1）为
奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 76A．g（1）＝0
B．函数g'（x）的图像关于x＝2对称
C．
D．
【分析】根据g（x+1）为奇函数推出对称中心（1，0），根据f'（x）＝g'（x+1）逆向
思维得到f（x）+a＝g（x+1）+b，代入f（x）＝g（3﹣x）+2，推出g（x）的对称轴x
＝2，进一步得出周期4，f（x）周期也为4，算出x＝1，2，3，4时的函数值即可求解．
【解答】解：g（x+1）为奇函数，则g（x+1）过（0，0），图像向右移动一个单位得到
g（x）过（1，0），A正确；
f'（x）＝g'（x+1），则f（x）+a＝g（x+1）+b，
因为f（x+2）﹣g（1﹣x）＝2，所以f（x）＝g（3﹣x）+2，
所以g（x+1）+b＝g（3﹣x）+a+2，
取x＝1代入得到g（2）+b＝g（2）+a+2，
则b＝a+2，
故g（x+1）＝g（3﹣x），g（x）关于x＝2对称，
两边求导g'（x+1）＝﹣g'（3﹣x），函数g'（x）的图像关于（2，0）对称，B错误；
因为g（x）关于（1，0）对称，关于x＝2对称，则g（x）的周期T＝4；
g（1）＝g（3）＝0，g（2）＝﹣g（4），
＝g（1）+g（2）+．．．+g（2022）＝g（1）+g（2）＝g（2），不一定为
0，C错误．
f（x）＝g（3﹣x）+2，是由g（x）的图像移动变化而来，故f（x）周期也为4，
因为g（1）＝g（3）＝0，
所以f（2）＝g（1）+2＝2，f（4）＝g（﹣1）+2＝g（3）+2＝2，
所以f（1）g（1）＝f（3）g（3）＝0，f（2）g（2）+f（4）g（4）＝2[g（2）+g（4）]
＝0，
故 ＝f（1）g（1）+f（2）g（2）+...+f（2021）g（2021）＝f（1）g
（1）＝0，D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，难度大．
三．填空题（共4小题）
学科网（北京）股份有限公司 7711．（2023•沈阳模拟）已知实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则2x2+y2的最大值为 2+
．
【分析】由题意 2x2+y2＝ ，讨论 x＝0 和 x≠0 时，转化 2x2+y2＝
，设 ＝t，再讨论t＝0和t≠0时，2x2+y2＝化为关于t的解析式，从而求
出2x2+y2的最大值．
【解答】解：因为x2+y2+xy＝1，所以2x2+y2＝ ，
x＝0时，2x2+y2＝ ＝1；
x≠0时，2x2+y2＝ ，
设 ＝t，则t＝0时，2x2+y2＝2；
t≠0时，2x2+y2＝ ＝1﹣ ＝1﹣ ，t＝1时，x＝
y，2x2+y2＝1，
t≠1时，2x2+y2＝1﹣ ，若t﹣1＞0，则（t﹣1）+ ≥2 ，当且仅
当t﹣1＝ ，即t＝ +1时取“＝”，2x2+y2有最小值，不合题意；
若t﹣1＜0，则（t﹣1）+ ≤﹣2 ，当且仅当t﹣1＝ ，即t＝﹣ +1时取
“＝”，2x2+y2有最大值为1﹣ ＝2+ ；
综上，2x2+y2的最大值为2+ ．
故答案为：2+ ．
学科网（北京）股份有限公司 78【点评】本题考查了利用构造函数法求最值的应用问题，是难题．
12 ． （ 2023• 江 西 模 拟 ） 若 时 ， 关 于 x 的 不 等 式
恒成立，则正整数 n 的取值集合为 {1 ， 2} ．（参考数据：
e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099）
【分析】不等式 恒成立，则函数f（x）＝xa﹣log x的最小值大于0，利用
a
导数研究函数单调性，由f（x） ＞0，有alna＞ 恒成立，结合参考数据计算即可．
min
【解答】解：令f（x）＝xa﹣log x，
a
则f′（x）＝axa﹣1﹣ ＝ ，又因为 ，所
以a＞1，
所以y＝axalna﹣1在（0，+∞）上单调递增，
易知函数f（x）在（0，x ）单调递减，（x ，+∞）单调递增，其中 ＝ ，
0 0
则f（x）≥f（x ）＝ ﹣log x ＝ ﹣ ＝ ＝ ＞0，
0 a 0
即alna＞ 恒成立，
又因为e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，
所以 ≈0.3679，
设h（a）＝alna，
则h（ ）＝ ln ＝ （ln3﹣ln2）≈0.609＞ ，h（ ）＝ ln ＝ （ln4﹣ln3）
≈0.3936＞ ，
令g（x）＝ln（x+1）﹣x，函数定义域为（﹣1，+∞），g′（x）＝ ﹣1，
令g′（x）＞0，解得﹣1＜x＜0，g′（x）＜0，解得x＞0，
所以g（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以g（x）的最大值为g（0），
所以g（x）＝ln（x+1）﹣x≤g（0）＝0，
即当x＞0时，有ln（x+1）＜x，
所以ln ＜ ，可得 ln ＜ ＜ ，即h（ ）＜ ，
学科网（北京）股份有限公司 79又h（a）＝alna在（1，+∞）上单调递增，
当n＝1时，a （ ，2），n＝2时，a （ ， ），n＝3时，a （ ， ），
∈ ∈ ∈
只有n＝1和n＝2时，有alna＞ 恒成立，
所以满足条件的n的取值集合为{1，2}．
故答案为：{1，2}．
【点评】本题考查了转化思想、导数的综合运用及恒成立问题，也考查了计算能力，属
于难题．
13．（2023•湖北模拟）设a＞0且a≠1，若对 x （﹣∞，0）都有 恒成立，
则实数a的取值范围为 （ 1 ， 2 ] ．
∀ ∈
【分析】由原不等式结合基本不等式可得 ，再由x＜0可得 ，则
得a＞1，然后由 结合指数的运算可得a≤2，再通过构造函数利用导数证明
在1＜a≤2，x （﹣∞，0），有 即可．
∈
【解答】解：因为a＞0且a≠1，因为 ，当且仅当 时取等号，
故 ，所以 ，
又x＜0，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以a＞1．
又 ，所以 ，显然ax＞0，
所以有 ，即 恒成立，
又x＜0，所以 ，故log 2≥1＝log a，所以a≤2．
a a
当a＞2时， 恒成立，即 恒成立，与 x （﹣∞，0）矛盾．
∀ ∈
下面证明：在1＜a≤2，x （﹣∞，0），有 ，
∈
学科网（北京）股份有限公司 80令 ，
要使 ，即 ，
即 ，
由1＜a≤2知t＝a1+x （0，a），得 ，
∈
从而需证： ，
即需证明： ，记lna＝b （0，ln2]，
从而只需证：h（t）＝b[lnt+ln（2﹣t）]﹣lnt⋅ln（2﹣t）≥0①，
∈
而
令 ， 则
，
令 ，则 ，
当0＜x＜1时，t'（x）＜0，当x＞1时，t′（x）＞0，
所以t（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
所以t（x）≥t（1）＝0，即 ，
因为ln2﹣b≥0，所以 '（t）≥0，
∴h'（t）在（0，a）上递增，又h'（1）＝0，
φ
∴在0＜t≤1，h'（t）＜h'（1）＝0，h（t）递减，h（t）≥h（1），1≤t＜a，h'（t）＞
h'（1）＝0，h（t）递增，h（t）≥h（1），
而h（1）＝0，从而在1＜t＜a时总有h（t）≥h（1）＝0，
∴①式恒成立，不等式 得证．
综上所述，a （1，2]．
故答案为：（1，2]．
∈
【点评】此题考查导数的综合应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是根据已知条
件结合基本不等式确定出a的范围，然后通过构造函数再证明其正确性即可，考查数学
转化思想和计算能力，属于难题．
学科网（北京）股份有限公司 8114．（2023•江西模拟）已知a R．设函数 若关于x的不
∈
等式f（f（x））≥0恒成立，则a的取值范围为 [ ﹣ ， e ] ．
【分析】对a讨论，分a＞0，a＜0，a＝0，考虑x [﹣1，1]和x （1，+∞）时，f（x）
的单调性，求得最值，解不等式，求并集可得所求范围．
∈ ∈
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝ ，
f（f（x））≥0即f（x）＞1或﹣1≤f（x）≤1，
即f（x）≥﹣1，当x≥﹣1时恒成立，故a＝0成立；
（2）当a＞0时，﹣1≤x≤1时，f（x）递减，可得f（x） [1，1+2a]，故f（f（x））
≥0恒成立；
∈
当x＞1时，f′（x）＝1﹣ ＝ ，当x＞a时，f（x）递增；当x＜a时，f（x）递减．
①当a≤1时，f（x）在（1，+∞）递增，可得f（x）＞1，f（f（x））≥0恒成立；
②当a＞1时，f（x）在x＝a处取得最小值a﹣alna，当1＜a≤e时，f（a）≥0，则f（f
（x））≥0恒成立；
当a＞e时，f（a）≥0，则f（f（x））≥0不恒成立；
故0≤a≤e时，则f（f（x））≥0恒成立；
（3）当a＜0时，f（x）在[﹣1，1]递增，可得f（x） [1+2a，1]，
即2a＝1≥﹣1，此时a≥﹣1，f（f（x））＝f（2a+1）＝1+a﹣2a2﹣a＝1﹣2a2≥0，所
∈
以﹣ ≤a＜0；
x＞1时，f（x）递增，f（x）＞1，故f（f（x））≥0恒成立．
综上可得，a的取值范围是[﹣ ，e]．
故答案为：[﹣ ，e]．
【点评】本题考查分段函数的运用，以及函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转
化思想、运算能力和推理能力，属于难题．
四．解答题（共1小题）
15．（2023•重庆模拟）俄国数学家切比雪夫（1821﹣1894）是研究直线逼近函数理论的先
驱．对定义在非空集合I上的函数f（x），以及函数g（x）＝kx+b（k，b R），切比雪
夫将函数y＝|f（x）﹣g（x）|，x I的最大值称为函数f（x）与g（x）的“偏差”．
∈
（1）若f（x）＝x2（x [0，1]），g（x）＝﹣x﹣1，求函数f（x）与g（x）的“偏差”；
∈
（2）若f（x）＝x2（x∈[﹣1，1]），g（x）＝x+b，求实数b，使得函数f（x）与g（x）
的“偏差”取得最小值．
∈
学科网（北京）股份有限公司 82【分析】（1）计算出y＝|f（x）﹣g（x）|＝（x+ ）2+ ，结合x [0，1]，求出y [1，
3]，得到“偏差”；
∈ ∈
（2）令t（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣ ）2﹣b﹣ ，x [﹣1，1]，h（x）＝|t（x）|，
结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”，即可得出结论．
∈
【解答】解：（1）y＝|f（x）﹣g（x）|＝|x2+x+1|＝|（x+ ）2+ |＝（x+ ）2+ ，
x [0，1]，因为x [0，1]，
∈ ∈
由二次函数的性质可得y＝（x+ ）2+ [1，3]，
故函数f（x）与g（x）的“偏差”为3；
∈
（2）令t（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣x﹣b＝（x﹣ ）2﹣b﹣ ，x [﹣1，1]，
∈
因为t（﹣1）＝2﹣b，t（ ）＝﹣b﹣ ，t（1）＝﹣b，
令h（x）＝|t（x）|＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |，x [﹣1，1]，
∈
因为x [﹣1，1]，x﹣ [﹣ ， ]，（x﹣ ）2 [0， ]，
∈ ∈ ∈
当﹣b﹣ ＝0，即b＝﹣ 时，此时（x﹣ ）2﹣b﹣ ≥0，
则h（x）＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |的“偏差”为2﹣b，由于2﹣b＝ ，有最小值，满足要
求；
当﹣b﹣ ＞0，即b＜﹣ 时，此时（x﹣ ）2﹣b﹣ ＞0，
则h（x）＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |的“偏差”为2﹣b，由于2﹣b＞ ，无最小值，不满足
要求；
当﹣b﹣ ＜0，t（﹣1）＝2﹣b＞0且b+ ＜2﹣b，即﹣ ＜b＜ 时，
则h（x）＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |的“偏差”为2﹣b，由于 ＜2﹣b＜ ，无最小值，不
满足要求；
当﹣b﹣ ＜0，t（﹣1）＝2﹣b＞0且b+ ＞2﹣b，即b＞ 时，
则h（x）＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |的“偏差”为b+ ，由于b+ ＞ ，无最小值，不满足
学科网（北京）股份有限公司 83要求；
当﹣b﹣ ＜0，t（﹣1）＝2﹣b＞0且b+ ＝2﹣b，即b＝ 时，
则h（x）＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |的“偏差”为b+ ，由于b+ ＝ ，有最小值，满足要
求；
当﹣b﹣ ＜0，t（﹣1）＝2﹣b＜0，即b＞2时，
则h（x）＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |的“偏差”为b+ ，由于b+ ＞ ，无最小值，不满足
要求；
当﹣b﹣ ＜0，t（﹣1）＝2﹣b＝0，即b＝2时，
则h（x）＝|（x﹣ ）2﹣b﹣ |的“偏差”为b+ ，由于b+ ＝ ，有最小值，满足要
求；
综上，b＝ 或﹣ 或2时，满足要求．
【点评】本题属于新概念题，考查了二次函数的性质，也考查了分类讨论思想，理解概
念是关键，属于难题．
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